广东警察学院-吉林师范大学录取分数线

《鸽巢问题》教学设计
一、教学内容
人教版小学数学六年级下册教材第68-69页《鸽巢问题》。
二、教学目标
知识 与技能：通过操作、观察,比较、推理等活动，初步了解抽屉原理，运用抽屈原理
的知识解决简单的实际 问题。
数学思考与间题解决：在抽展原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握抽屉原理，经
历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。
情感态度：通过对抽屉原理的灵 活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生
解决问题的能力和兴趣。
三、教学重点难点
重点:经历抽屉原理的探究过程,初步了解抽屉原理。
难点:理解抽屉原理,并对一些简单的实际问题加以模型化。
四、教学准备
多媒体课件、铅笔、一次性纸杯
五、教学过程
（一）创设情境，导入新知
师：在上课之前，我先给大家表演一个魔术，你们想看吗？老师手里有一副扑克牌，抽
掉大小王还剩多 少张？扑克牌有几种花色？
师:我需要五位同学上台配合老师来完成这场魔术,从扑克牌中随机抽取一 张,现在老师
来猜一猜，我猜这五位同学中一定有至少两位同学抽到同一花色,你们相信吗？有同学相信
有同学不相信，现在见证奇迹的时刻到了，请亮牌同学们观察一下，谁来说说你观察到的结
果？
学生汇报观察到的结果，验证老师猜测的正确性。
激发学生探索兴趣，走进鸽巢问题。
（二）自主操作，探究新知
大屏幕展示题目：把四支铅笔放进三个笔筒中，①有几种放法？② 不管怎么放总有一个
笔筒里至少有2支铅笔，为什么？
1、分析题意
分析总有和至 少的含义，引导学生回顾知识，总有就是一定有，至少是最少或最起码，

至少2支表示2 支或2支以上。
师：也就是说，不管怎么放，一定有一个笔筒里有两支或两支以上的铅笔。这句话到底
对不对呢？为什么？
根据大屏幕上的活动要求，小组之间通过放一放，画一画的方式，把自己 的想法表示出
来，小组之间分工明确，进行讨论。
2、学生汇报
生：把四支铅笔放进三个笔筒里，总共有四种放法；
第一种：把四支铅笔都放进第一个笔筒里，另外两个笔筒不放笔；
第二种：从第一个笔筒中拿出一支铅笔放入第二个笔筒，第三个笔筒不方笔；
第三种：从第一个笔筒中再拿出一支铅笔放进第二个笔筒，第三个笔筒不放笔；
第四种：从第二个笔筒中拿出一支铅笔放进三个笔筒。
所以不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两支铅笔。
课件展示四种放法。
3、列举法
通过大屏幕的展示过程，学生仔细观察，看看能发现什么？为什么是总有一个笔筒 里至
少有两支铅笔？
生：第一种放法，三个笔筒里有一个笔筒有四支铅笔；第二种放法，三个 笔筒里有一个
笔筒里有三支铅笔；第三种放法，三个笔筒里有两个笔筒有两支铅笔；第四种放法，三个笔
筒里有一个笔筒有两支铅笔。四支铅笔、三支铅笔、二支铅笔，就表示两支或两支以上的铅
笔， 所以不管怎么放，三个笔筒里一定有一个笔筒有两支或两支以上的铅笔，一定有就是总
有，两支或两支以 上就是至少两支。
得出结论：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
4、假设法
师：如果随着数据的增加，笔筒数和铅笔数增加，还能用一一列举的方法吗？有什 么方
法可以直接一步得出结论？
生：假设每个笔筒各放一支铅笔，还剩余一支，剩余的这一支 不管放进哪个笔筒，那个
笔筒至少有2支铅笔，所以不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。 < br>大屏幕展示假设法放法过程，引导学生观察，发现第一次放进的铅笔是平均分的，也就
是把4支铅 笔平均分到三个笔筒中，每个笔筒放一支，还剩余一支，剩余的一支不管放进哪
一个笔筒，那个笔筒至少 有两支铅笔，所以不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两支铅笔。

5、巩固练习
把五支铅笔放进四个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两支铅笔，为什么？
学生根据假设法把此题解释清楚，大屏幕展示把五支铅笔放进四个笔筒中的过程。
6、算式法
平均分，可以用数学符号除号来表示，那么，把五支铅笔放进四个笔筒中就可以列式为：
5÷4=1支......1支，1+1=2支
师：这两个1分别表示什么意思？学生进行解 释，发现至少数=商+余数和至少数=商+1
两种结果。
7、巩固练习
①把10支笔放进9个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两支铅笔，为什么？
10÷9=1支......1支，1+1=2支
②把100支笔放进99个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两支铅笔，为什
么？
100÷99=1支......1支，1+1=2支
③把（n+1）支笔放进n个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两支铅笔，为
什么？
(n+1)÷n=1支......1支，1+1=2支
学生通过观察式子得出结论 ：当铅笔数比笔筒数多一时，不管怎么放，总用一个笔筒里
至少有两支铅笔。
（三）强化提升，继续探索
1、商不为1
把七本书放进三个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有三本书，为什么？
生： 7÷3=2支......1支，2+1=2支
对式子进行分析。
2、余数不为1
把七本书放进五个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
学生产生分歧，通过大屏幕的展示，最终得出正确结论
7÷5=1支......2支，1+1=2支
体会再平均分的含义，体会至少数表示的意义。分析式子每个数字的含义。
3、得出结论

通过观察黑板上的所有式子，得出结论：至少数=商+1
师：用物体数和抽屉 数表示数，得出等量关系式：物体数÷抽屉数=商......余数，至少数=
商+1。
（四）知识拓展
鸽巢原理”又称“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来 的,所以又
称“狄里克雷原理”。“鸽果原理”的应用是千变万化的用它可以解决许多有趣的问题,它是
组合数学中的一个主要原理。
（五）灵活应用，解决问题
课前预习单上的练习题
（六）回顾反思
回顾解释扑克牌魔术的原理和在本节课中学到的知识。




板书设计；
鸽巢问题
物体数÷抽屉数=商......余数 至少数=商+1
5÷4=1支......1支 1+1=2支
10÷9=1支......1支 1+1=2支
100÷99=1支......1支 1+1=2支
(n+1)÷n=1支......1支 1+1=2支
7÷3=2支......1支 2+1=3支
7÷5=1支......2支 1+1=2支

《鸽巢问题》学情分析
“抽屉原理”的内容是有难度的，尤其是它的具 体应用，学生是非常难理解的，而且学
生仅仅停留在对“至少数=商+1”这个数学结论的获取上,关注 的是抽屉原理模型建构的表面。
在实际的具体应用上只限于简单问题，且找不清什么是“物体数”和“抽 屉数”，本班是五
年级学生，他们对于学习新的知识有着很大的热情，同时在课前我也为他们布置了课前 小研
究，让他们初步体会例1中分铅笔的问题，对于题目的分析异常关键，由于是五年级学生，
第一次与他们接触，所以也有很多不当之处，通过前置小研究，我发现了很多存在的问题，
在课堂上的小 组合作对他们进行了指点。同时，本节内容对于学生的思维发散有很大的帮助，
每一个同学都有他对知识 的理解，所以在本节课，我大胆把知识放给学生，让学生体会思考
的快乐和成就感。
我在课堂 上尝试采用“创设情境——揭示课题——操作探究，建构模型——综合实践，
应用模型——回顾反思，总 结方法”这样的学习路径，重在引导学生初步了解数学思想，体
验数学思考，培养逻辑思维能力；引导学 生借助生活经验和直观活动建立鸽巢原理的一般化
模型，增强应用意识，激发数学兴趣。
《鸽巢问题》效果分析
本节课通过有趣的游戏导入，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题” 的原理，使学生
在理解的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”并会用所学知识加以解决，积累 数
学活动经验。
因为不是自己本班的学生，且年级小，所以一开始的我信心不足，感觉孩子们 可能理解
不了这么深，所以在题目的选择上更注重简单，侧重学生的实际活动和汇报演示，而在实际的课堂上，学生相较于我第一次见他们更加的紧张，安庄镇的孩子们有一个共性，因为地处
农村，经 济不太发达，很多孩子内向，不善于表达自己和表现自己，所以孩子们内心是懂的，

但却 不愿意去讲出来，所以在课堂上需要对他们进行强烈的鼓励和帮助，提高他们的自信心。
好在学生实际上 都有认真听课，学生的眼睛就是他们的镜子，从眼神中我看到了大部分孩子
的热情和积极性，他们对于本 堂课也是怀着忐忑的心情走进的课堂。
合情推理是小学生数学思考的重要能力，合情推理对于学生积累 基本数学活动经验、培
养基本数学思想有重要作用。
《鸽巢问题》教材分析
一、教学内容和作用
“抽屉原理”来源于一个基本的数学事实。如，将三个苹果放到两只抽屉里，要么在一
只 抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一个
抽屉里不 放，这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果，
虽然我们无法断定哪 只抽屉里放入至少两个苹果，但这并不影响结论。如果将上述问题中的
苹果换成铅笔、书本、小动物或数 ，同时，将抽屉相应地换成笔筒、学生、鸽舍或数的集合，
仍然可以得到相同的结论，由此可以看出，上 述推理的正确性与具体的事物是没有关系的。
同样不管苹果与抽屉的具体数量是多少，只要苹果的数量比 抽屉的数量多,推理依然成立。
如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉 互换的事物叫做
集合，那么上面的结论就可以表述为：假如有多于n个元素按任一确定的方式分成n个集 合
那么一定有一个集合中，至少含有2个元素。它还可更一般地表述为:把多于kn(k是正整数)个元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中，至少含有(k+1)个元素。
例 1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。
教材呈现了两种思考 方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的
方法看到在这四种情况都是满足结 论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放
1支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一 个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅
笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。通过本 例的教学，使学生感知这类问
题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语 “总有”和“至
少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。
例2：本例描述“抽屉原理” 更为一般的形式，即“把多于kn（k是正整数）个物体任
意分放进n个空抽屉里，那么一定有一个抽屉 中放进了至少（k+1）个物体”。教材首先探究
把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3 本书的情形。当数据变得越来越大时，

如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的 话，对于学生来说是有困难的。这时需要
学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2 本，那么3个抽屉里最多放
6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放 到任意一个抽
屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证
法”的这样一个过程。在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。在
过去 ，由于数据的问题，学生会得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得
到的余数总是1， 那么学生很容易得到一个错误的结论：总有一个抽屉里放进“商+余数”
本书（因为余数正好是1）。而 实际上，这里的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里
呈现了8除以3余2的情况，这时候余数是 2，可是最后的结论还是“把8本书放进 3个抽
屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的 数据方面的调整，可以让学生得到一
个更加正确的推论。


《鸽巢问题》评测练习
一、巩固新知
1、研究发现，在抽屉原理的问题中，“抽屉”至少放入物体数的求法是用物体数除以（ ）
数，当除得的商没有余数时，至少放入的物体数就等于（ ）；当除得的商有余数时，
至少放入的物体数就等于（ ）。
2、5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人，为什么？


3、5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子，为什么？


4、11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进3只鸽子，为什么？


二、强化提升
1、某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是（ ）。

A.至少有2名男生是在同一个月出生的 B.至少有2名女生是在同一个月出生的
C.全班至少有5个人是在同一个月出生的 D.以上选项都有误
2、某校有30名学生是2月份（28天）出生的，所以该校至少有2名学生的生 日是同一天，
为什么？

《鸽巢问题》教后反思
学生在生活中常常能遇到 “抽屉原理”的实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解
和运用“抽屉原理”。教学中应有意识地让 学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级
的学生都有一定的逻辑思维能力、小组合作能力和动手 操作能力，加上已有的生活经验，很
容易感受到用“抽屉原理”解决问题带来的乐趣。因此我在教学时借 助实物操作或画草图的
方式来指导学生学习。教学例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”，能用 有余数的
除法算式表示思维的过程。
抽屉原理是一个重要而又基本的数学原理。通过 本课教学向学生介绍抽屉原理的由来，
并通过对一些简单实际问题进行模型化地研究，使学生理解抽屉原 理，掌握一些研究问题的
方法，达到会证明生活中的某些现象，会解决生活中的某些问题的目的。本课教 学主要分以
下4个层次：
第一层:课的引入部分。为了激发学生兴趣,我通过猜扑克 牌中至少有2人摸到同一花色
这个情境引入,调动和激发学生学习的主动性和探究欲望。
第二层:教学一类抽屉原理。引导学生从简单的情况开始研究，渗透“建模”思想。通
过学生独立证明、 小组交流、汇报展示，使学生相互学习解决问题的不同方法。通过说理，
沟通比较不同的方法，让学生理 解：为什么只研究一种方法(平均分的思路)就能断定一定有
“至少2支铅笔在同一个笔筒中”。这个过 程中主要解决对“至少”“最不利”“平均分”这
些词的理解。最后总结一类抽屉原理。在证明过程中, 进行解决问题方法的比较,理解从具体
到抽象,各自的优越性有哪些。
第三层:数学 小知识的介绍，鸽巢原理、抽屉原理的由来，增加一些数学文化的气息。
通过回顾魔术表演的原理，检验 学生应用知识的情况。
第五层:实践应用。通过举例、解决问题，开阔学生视野，理解抽屉原理应用的广泛性。

《鸽巢问题》课标分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段 目标”的“第二学段”中提出：“会
独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证 等活动中，发展合情推
理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历 与他人合
作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。
《义务教育数学课程标准（2 011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探
索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结 合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决
问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识 和方法，了解所学知识之间的联系，
获得数学活动经验”。
（一）让学生初步经历“数学证明”的过程
在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严 格证明。在小学阶段，虽然并不需要
学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但 仍可引导学生用直观的
方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。结合学生个性化的表达，教师可 展示分析
解答过程，通过分析逐步消除学生的各种错误认识，让学生形成对这类问题中抽屉的模型结构的初步感知。显然，教学的过程就是教师鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进
行“说理 ”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的
雏形。通过这样的方式 ，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学
证明做准备。
（二）要有意识地培养学生的“模型思想”
本单元讲的“鸽巢问题”，实际就是一个“抽屉原 理”问题。“抽屉问题”的变式很多，
应用更具灵活性。当我们面对一个具体的问题时，能否将这个具体 问题与“抽屉问题”联系
起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的一般化模型之间的内在关 系，能否找
出该问题中什么是“物体”，什么是“抽屉”，是能否解决该问题的关键因素。因此，教师教
学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再
思考 如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学生经历将
具体问题“数学化 ”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质的数学模型的过程。这样的过
程，可有效地发展学生的数学思 维能力，尤其可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用
能力。