北京高考时间-五年级下册英语试卷

鸽巢问题教学设计
【教学目标】
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了 解“抽屉原理”（鸽巢
原理）的基本形式，并能运用“抽屉原理”解决相关实际问题或解释相
关 现象。
2、通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经历抽屉原
理的形成过程，体会 和掌握逻辑推理思想和模型思想，提高学习数学的
兴趣。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重点】
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
2、“不管怎么放”、“总有”、“至少”的具体含义，以及为什
么商+1而不是加余数。
【教学难点】
1、理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
2、判断谁是物体，谁是抽屉。
【突破方法】
在建立“抽屉原理”模型的过程中， 对模型中的各个要素进行深入
分析，从而学会将生活中的简单问题和“抽屉原理”的各个要素进行一一对应。
【教学准备】
扑克牌、多媒体课件。

【教学过程】
一、情景激趣导入。
师：今天上课前，我先给 大家表演一个魔术，大家想看吗？这个魔
术需要一名同学来配合，谁愿意？（向大家介绍）这是一副扑克 牌，取
出大王、小王，还剩多少张？请你任意从中抽取5张牌。我敢肯定地说：
你手中的5张至 少有两张是同一花色。同学们，你们相信吗？好，见证
奇迹的时刻到了。（打开牌让大家看）
神奇吧！再给你们表演一个，这回请你任意抽出14张，我很确信
的说，现在你手里的14张牌中至少有 一对儿！
（理解“至少”的意思）
老师为什么能做出准确的判断呢？因为这个魔术中蕴含了一个数
学原理，大家有兴趣研究吗？
【设计意图】第一次与学生接触，在课前进行的情景激趣、游戏激
趣，一使教师和学生进行自然 的沟通交流；二激发学生的兴趣，引起探
究的愿望；三为今天的探究埋下伏笔。
二、通过操作，探究新知
（一）教学例1
师：同学们都带稿纸了吗？请用“︱”代 表一枝铅笔，用“○”代
表笔筒，现在我们就开始研究吧！

板书： 铅笔 笔
筒
4 3

师：将4枝铅笔放进3个笔筒里，可能会有怎样的结果？大家在稿
纸上画画看。
（师 巡视，了解情况，个别指导，然后指名上黑板展示，师引导学
生共同将可能的几种结果订正并完善。）
【设计意图】此处设计从最简单的数据开始，将实际物件抽象为符
号代替来进行操作探究，从而 化繁为简，有利于学生操作、观察、理解，
更能调动所有的学生积极参与进来。
师：请大家注 意观察，黑板上同学们呈现的四种情况，它们都不一
样是吧？(是)但它们却有一个共同的特点，谁来说 说？
生1：——
生2：——
生3：它们总有一个笔筒里装有两根或两根以上的铅笔。
师： 你真了不起，一语道破了天机，请同学们重复一下他说的话！
生重复：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。
师：“不管怎么放”是什么意思？
师：“总有”是什么意思？
生：一定存在。
师：“至少”有2枝什么意思？

生：不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝。
师：你能在3个笔筒中的一个笔筒里摆放出比2枝更少的情况吗？
（生：不能）
师：让我们再重复一遍我们发现的这个结论吧。
生：把4枝铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至
少有2枝铅笔。
【 设计意图】通过观察，使学生积极投入到对问题研究中。同时，
加强学生对“不管怎么放”、“总有”、 “至少”几个词的理解，并初
步渗透建模的数学思想。
师：把4枝铅笔放进3个笔筒里，不管 怎么放，总有一个笔筒里至
少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作进行枚举的方法发现了这个结论。(板书：枚举法)那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种
情况，也能得到这个结论呢 ？
（学生思考——组内交流——汇报）
师：哪一组同学能把你们的想法汇报一下？
组1生：我们发现如果每个笔筒里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下
的1枝不管放进哪一个笔筒里，总有 一个笔筒里至少有2枝铅笔。
师：你能结合操作给大家演示一遍吗？（学生操作演示）
师：你们组太聪明了！大家给他们点掌声！同位之间边演示边说一
说好吗？
师：这种分法，实际就是先怎么分的？
生众：平均分

师：为什么要先平均分？（组织学生讨论）
生1：要想发现存在着“总有一个 笔筒里一定至少有2枝”，先平
均分,余下1枝，不管放在那个笔筒里，一定会出现“总有一个笔筒里一
定至少有2枝”。
生2：这样分，只分一次就能确定总有一个笔筒至少有几枝笔了。
师：哦，这个方法真妙。你们听明白了吗？我也听明白了。就是先
假设在每个笔筒里放一只铅笔，3个 笔筒里就放了3只铅笔，还剩下1
枝，放入任意一个笔筒，那么这个笔筒中就有2枝铅笔了。这种方法我
们可以把它叫做“假设法”。（板书：假设法）那么，用“假设法”研
究这类问题的核心是什么 ？（先平均分）
师：其他小组还有其它的方法吗？
（补充数的分解法并板书）
师 ：同学们真聪明！看来在探究解决问题时，通常都存在几种不同
的方法策略。在我们刚才展示的三种方法 中，你们认为最佳的方法是那
一种？为什么？大家同桌之间互相讨论一下。
生1：我认为假设法最方便，因为假设法只需平均分一次就知道至
少是多少。
师：我也这样认为。那么，让我们用这种最佳的方法来进行后面的
研究，好不好？
【 设计意图】数学课堂应为学生自主探索、合作交流提供足够的空
间。在解决问题时，培养学生从多角度出 发探索解决问题的不同策略和
方法，从而简单地渗透“方法论”的哲学思想。

师：请同学们继续思考：把5枝笔饭放进4个盒子里，不管怎么放，
总有一个盒子里至少有几枝铅笔？为 什么？
生：（一边演示一边说）5枝铅笔放在4个盒子里，不管怎么放，
总有一个盒子里至少 有2枝铅笔。因为如果每个盒子里放1枝铅笔，最
多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个盒子里，总有一 个盒子里至少有
2枝铅笔。
师：把6枝笔放进5个盒子里呢？
生：6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少
有2枝铅笔。
师：把10枝笔放进9个盒子里呢？
把100枝笔放进99个盒子里呢？……（板书类推数字）
你发现什么？
生1：笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少
有2枝铅笔。
师： 你的发现和他一样吗？（一样）如果我们把“99个盒子”用“n
个抽屉”来代替，把“100枝铅笔” 用“n+1个物体”来代替，那么该怎
样归纳这个发现呢？
生1：将n+1个物体放在n个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉
里至少有2个物体。
师：你们同意吗?(同意)
【课件】出示抽屉原理1。（生齐读）

【设计意图】在学生自主探索的基础上，教师进一步比较优化，让
学生逐步学会运用一般性的数学方法来 思考问题。在有趣的类推活动中，
引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本
原理，当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个
物体。这样的教学过程， 从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，
有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。）
师：你太了不起了！如果你早出生200年，数学史将因你而改写！
那也没关系，今天你却是第 一个吃到螃蟹的人，大家给他以热烈的掌声！
【课件】抽屉原理的来历
师：这个发现最早是 由19世纪德国数学家“狄里克雷”发现的，
人们为了纪念他从平凡的事情中发现规律，就把这个规律用 他的名字命
名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“抽屉原理”，还把它叫做“鸽
笼原理”。而 我们今天正是利用抽屉原理来解决的这类问题，我们也把
它叫做“鸽巢问题”（板书课题：鸽巢问题）在 我们刚才的探究中，“4
枝铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个笔筒”就是“3个抽屉”，
这个问题用“鸽巢问题”的语言来描述就是：4只鸽子要飞进3个鸽笼，
总有一个鸽笼至少要飞进2只 鸽子。
【设计意图】介绍抽屉原理的由来，以增加数学文化的气息。同时
教育学生学习数学家 的观察生活的态度，研究问题的方法。
2．解决问题。
师；我们刚才用三种不同的方法研究 出了抽屉原理1，知道了抽屉
原理的来历。抽屉原理也叫“鸽笼原理”。瞧，鸽子来了。

【课件】5只鸽子飞回3个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽
笼里，为什么？
师：你们能用三种方法中的其中一种方法来说理吗？
（学生活动——独立思考， 自主探究，交流、说理）
师：谁能说说为什么？或者你是怎么想的？
生1：如果一个鸽笼里 飞进一只鸽子，最多飞进3只鸽子，还剩2
只，要飞进其中的一个鸽笼里或两个鸽笼。不管怎么飞，至少 有2只鸽
子要飞进同一个鸽笼里。
师：同意吗？（生：同意）老师把这位同学说的算式写下来，（板
书：5÷3=1……2）
师：同位之间再说一说，对这种方法的理解。
【设计意图】通过“做一做”中的鸽巢问题，使 学生可以利用例题
中的方法进行迁移类推，对从余数1到余数2在思维层次上进一步提升。
（二）教学例2
过渡语：德国数学家“狄里克雷”在生活中，发现了抽屉原理1这
个 规律后，并没有停止对现象的研究，又发现了问题。我们也想一想，
还有没有值得我们继续研究的问题呢 ？如果物件的数量更多一些会怎么
样呢？
1．【课件】出示例2：把5本书放进2个抽屉里， 不管怎么放，总
有一个抽屉里至少有几本书？如果8本书会怎样呢？10本呢？
（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）
2．学生汇报。

生 1：把7本书放进3个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩
1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有 一个抽屉里至少有3本书……
板书：
先平均分 总有一个抽屉里至少数
7÷3=2……1 3（2+1=3）
8÷3=2……2 3（2+1=3）
10÷3=3……1 4（3+1=4）
【设计意图】在例1和“做一做”的基础上，相信学生会用平均分
的方法解 决“至少”的问题，将证明过程用有余数的除法算式表示，为
下一步，学生发现结论与商和余数的关系做 好铺垫。
师：观察板书你能发现什么？
生1：“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用 “商+ 1”就可以
得到。
师：如果把8本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里
至少有几本书？
生：“总有一个抽屉里的至少有4本”只要用8÷3=2本……2本，
用“商+ 2”就可以了。
生：不同意！先把8本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放
2本，还剩 2本，这2本书再平均分，不管分到哪两个抽屉里，总有一
个抽屉里至少有3本书，不是3本书。
师：到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？同位间
进行研究、商量一下。

交流、说理活动：
生1：把8本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放2 本，余
下的2本可以在2个抽屉里再各放1本，结论是“总有一个抽屉里至少
有3本书”。 < br>生2∶我们组的结论是8本书平均分放到3个抽屉里，“总有一个
抽屉里至少有3本书”用“商加 1”就可以了，不是“商加2”。
师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至
少有几个物体呢？
生4：用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1，就会发现“总
有一个抽屉里至少有商加1本书”了。
师：同学们同意吧？
【课件】展示板书：至少数＝平均数+1
师：同学们，在前面 例一的研究中，同学们很了不起，发现并总结
出了“抽屉原理1”。那么，通过刚才对例2的研究，你们 能不能也总
结出一句话呢？
师引导学生总结。
【课件】展示“抽屉原理2” 把a个物体放进n个空抽屉里，如果a÷n=b……c(c≠0),那么一定
有一个抽屉至少放（b +1）个物体。
生齐读。
【设计意图】在这一环节的教学中通过抓住假设法最核心的思路就
是用“有余数除法” 形式表 示出来，使学生学生借助直观，很好的理解

了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里 ，看每个抽屉里能分到多
少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的
书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中
的商加“1”， 而不是商加“余数”，教师适时挑出针对性问题进行交
流、讨论，使学生从本质上理解 “抽屉原理”。
三、应用原理解决问题（说明“把谁当做物体，把谁当做抽屉”）
师：经过刚才的探索研究， 我们经历了一个很不简单的思维过程，
我们获得了解决这类问题的好办法，下面让我们用抽屉原理轻松地 解决
问题。
【课件】69页“做一做”。
（独立完成，交流反馈）
2、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有
一镖不低于几环？
【设计意图】研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去。课的
前后需要一定的联系，通过让学生去 用这节课学过的抽屉原理解释课始
老师呈现的问题，再从生活中举出和抽屉原理有关的例子，让学生进一
步认识数学与生活的联系 。
四、回顾总结，拓展延伸
这节课，我们通过一系列的 研究，初步了解了“抽屉原理，并能结
合生活实际进行理解。但是，它的应用确实千变万化的，用它可以 解决
许多有趣的问题。

现在你们能解释老师在课的开始说到5张牌至少有两张 是同一花色
和14张牌中至少有有一对的解释吗？（学生作解释。）请大家课后相互
说一说。
五、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【板书设计】

题



物体数
数
n+1

5
2
分
数学广角——鸽巢问

抽屉
总有一个抽屉至少数
n
2 （1+1=2）
÷ 3=1……
2 （1+1=2）
先平均
商+1

7 ÷ 3=2……
1 3 （2+1=3）
8 ÷ 3=2……
2 3 （2+1=3）
10 ÷ 3=3……
1

c


a ÷

4 （3+1=4）
n=b……
b+1