至诚学院-四川美院分手门事件

第三章 概率的进一步认识
2 用频率估计概率
一、学生知识状况分析 < br>学生的知识技能基础：学生通过以前的学习，对用试验方法估计随机事件
发生的概率有了初步的认 识，知道了“当试验次数较大，实验频率稳定于理论概
率，并可据此估计某一事件发生的概率”. 学生的活动经验基础：经历了试验、统计过程，获得了用试验方法估计事
件发生的概率的体验，并且 在以前的数学学习活动中已经历了很多合作学习的过
程，具有了一定的合作学习经验，具备了一定的合作 与交流的能力.

二、教学任务分析
本节课的重点是掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率。
难点是试验估计随机事件发生的概率；关键是通过试验、统计活动，体会
随机事件的概率。
为此，本节课的教学目标是：
1、知识与技能
经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程，估计一些复杂的随
机事件发生的概率.
2、过程与方法
经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能
力.
3、情感、态度、价值观
通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习 数学的
兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.

三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：一、课前准备；二、情境引入；三、探索新知 ；
四、练习提高；五、课时小结；六、布置作业；七、活动探究.

第一环节：课前准备（提前一周布置）
内容：以6人合作小组为单位，开展调查活动：每人课外调查10个人的生
日、生肖.
目的：收集数据，为本节课的学习提供素材，在课堂中运用源于学生实际调
查的真实数据展开教学，能 极大地激发学生学习数学的兴趣及学习的积极性与主
动性.另一方面，也锻炼了学生的社交能力. 实际效果与注意事项：学生课外收集数据时有可能来自相同的人，各小组课
前准备时，教师提醒尽量 避免调查相同的人，最好每个小组的调查范围相对确定，
如：初一、初二、初三等。

第二环节：情境引入
内容：《红楼梦》第62回中有这样的情节：
当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。……
袭人笑道：“这是他来给你拜寿 .今儿也是他的生日，你也该给他拜寿.”宝玉
听了，喜的忙作下揖去，说：原来今儿也是姐姐的芳诞. ”平儿还福不迭。……
探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了。”
……
探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日。人多了，便这
等巧了，也有三个一日，两 个一日的。……
目的：以小说情节开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生
的学习兴趣.
实际效果：学生置身于情境之中，并陷入思考：为什么“便这等巧？”

第三环节：探索新知
经历试验、统计等活动过程，估计复杂随机事件（生日相同）的概率。
内容：
教师提出问题串
（1）400位同学中，一定有2人的生日相同（ 可以不同年）吗？有什么依

据呢？
（2）300位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？
（3）教师提出一个论断 ：“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学
的生日相同”你相信吗？
对于问题（1） ，学生能给予肯定的回答“一定”，对于能力比较强的学生可以
用“抽屉原理”加以解释。例如，有的学 生会给出如下的解释：“一年最多366天，
400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当 于400个物品放到366
个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里—抽屉原理：把m个物品任意
放进几个空抽屉里（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。
对于问题（2），学生会给出“不一定”的答案。
对于问题（3），学生会表示怀疑，不太相信。
于是，在班级课堂里展开现场的调查。得到数据后请学生反思：
① 如果50个同学中有2人生日相同，能否说明50人中有2人生日相同的
概率是1？
② 如果50人中没有2人生日相同，就说明50人中2 人生日相同的概率为
0？
学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子。例如：
随意抛掷一枚硬币 ，若国徽面朝上，说它的确概率为1，国徽面朝下的概率
为0.显然是错误的，我们知道它们的概率均为 0.5.
随意抛掷一枚骰子，“6朝上”时我们说“6朝上”的概率为1，6朝下的概率为
0 ，显然也是错误的，我们知道它们的概率为16.
活动一，每个同学课外调查10人的生日，从全班的 调查结果中随机选择50
人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日有相同的概率.
活动设计目的：通过具体收据数据、实验、统计结果过程，丰富学生的数学
活动经验，对本节课 有更直观的感知，经历用实验估计理论概率的过程，初步感
受到生日相同的概率较大.
设计方案：学生自主设计.
附学生设计的方案：
方案一：将每个同学调查的生日随 机排列成一方阵，然后按某一规则从中

选取50个数据进行实验（如25×20），从某 行某列开始，自左而右，自上而下，，
选出50个数）.
方案二：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机抽取.
方案三：从50个同学手里随机抽取一个调查数据，组成50个数据.
方案四：全班分成10 个小组，把每个小组调查数据放在一起，打乱次序，
随机抽取5个，然后10个小组的结果放在一组成5 0个数据.
活动过程指导：
（1）节约时间，生日表示方式简化成四位数.如“0217”
（2）人人参与，大胆发言、交流、讨论从大量的重复试验活动中感受生日
相同的概率较大.
（3）激励学生提出更好的活动方案，如：产生1～365之间某一自然数随
机数的方法；分工 制作1～365自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张，记下号码，
放回去，再随机抽取，直至抽出50张 ，多次重复试验，并估计出50人中有2
人生日相同的概率，此为模拟试验.
活动评价指导：
（1）学生的参与程度，活动过程中的思维方式，与同学合作交流情况.
（2）鼓励思维多样性.
（3）关注学生能否用实验方法估计一些较复杂随机事件发生的概率.
（4）关注学生对概率的理解是否全面.
（5）关注实验次数.
实际效果：通过以 上探索活动，经历了大量重复试验，能估算出50人中有
2人生日相同的概率是多少.约0.9704， 很大.
结果可解释《红楼梦》生日相同“遇的巧”的问题.
这个结果出人意料之处就在于其 结果违反了人们的直觉：人们往往觉得两人
生日相同是一种可能性不大的事情，计算结果却是：如果人数 不少于是23人，
这种可能性就达50%.看下表是“几个人中至少有2人生日相同”的概率大小表：
n
20
21
p
0.4114
0.4437
n
29
30
p
0.6810
0.7105
n
38
39
p
0.8641
0.8781
n
47
48
p
0.9548
0.9606
n
56
57
p
0.9883
0.9901

22
23
24
25
26
27
28

0.4757
0.5073
0.5383
0.5687
0.5982
0.6269
0.6545
31
32
33
34
35
36
37
0.7305
0.7533
0.7750
0.7953
0.8144
0.8322
0.8487
40
41
42
43
44
45
46
0.8912
0.9032
0.9140
0.9239
0.9329
0.9410
0.9483
49
50
51
52
53
54
55
0.9658
0.9704
0.9744
0.9780
0.9811
0.9839
0.9836
58
59
60




0.9917
0.9930
0.9941




第四环节：练习提高
内容：课本P70随堂练习
课外调 查的10个人的生肖分别是什么？他们中有2人的生肖相同吗？6
个人中呢？利用全班的调查数据设计一 个方案，估计6个人中有2个人生肖相同
的概率.
目的：本问题与前面生日问题类似，借助于 课外调查的数据再次进行有关
问题的概率估算，丰富数学活动经验，直观感受较复杂事件的概率问题.
设计方案：模仿生日问题，学生自主设计，以上方案仅供参考.
方案一：全班分6人一小组试 验（多出人员可一人当2人，3人），每人随
机写下自己调查的一个生肖，小组长汇总收集数据，统计结 果，课代表收集全班
数据，估算6人中有2人生肖相同的概率.
方案二：将全班调查好所有结果写在纸条上，放进箱子里随机抽取6张.
方案三：生肖结果用数字代替排成方阵.
活动过程指导：
（1）简化过程，把生肖按顺序用1-12个数据代替.
（2）鼓励学生积极大胆发表自己的见解.
（3）在讨论、交流过程中使学生进一步感受大量重复试验中频率稳定于
概率的意义.
（4）激励学生探索该问题的模拟试验.
活动评价指导：
（1）主要是积极评价，鼓励学生思维的多样性.

（2）看学生能否用试验的方法估计一些复杂随机事件的概率.
（3）关注学生对概率意义的理解是否全面.
（4）此问题的理论概率约0.78，在此不要求学生把结果精确到那一位.

第五环节：课时小结
内容：师生共同总结本节内容
目的：回顾本节教学目标
学生先自我总结，然后师生共析：
本节课经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计 结果，合作交
流的过程，知道了用大量的实验频率来估计，一些复杂的随机事件的概率，当试
验 次数赵多时，实验频率稳定于理论概率，还知道了“直觉并不可靠”，本节“生
日相同的概率”50人中 有2人生日相同的概率竟高达0.97，这有违我们的“常识”。
实际上，生活中有很多类似巧合，实则 平凡且极为平凡的现象，如果我们从科学
的角度通过实验估计随机事件发生的概率，用知识来武装我们的 头脑，我们就会
“透过现象看本质”，也不会受别有用心的人的欺骗，从而破除迷信，树立正确的
唯物主义世界观.

第六环节：布置作业
1、课本习题
2、收集有关概率的文章

第七环节：活动探究
本环节对学生的思维要求较高，仅供给部分学有余力的学生阅读和提高，并
非对全体同学的要求。
内容:
1、用“树状图”原理，求班上60名同学中至少有2人生日相同的概率
先求出“60人中没有两人生日相同的概率”
365×364×363×…×306

P(A)= —————————————— =0.0059
365×365×365×…×365
则60人中有2人生日相同的概率为：
P=1-P(A)=1-0.0059=0.9941
即“60人中有2人生日相同的概率”为0.9941
如果班人有45人或55人等，可类似地进行计算
2、用“树状图”原理，求6人中至少有2人生肖相同的概率
先求出“6人中没有2人生日相同的概率”：
12×11×10×9×8×7
P(A)= ——————————— =0.22
12×12×12×12×12×12
则“6人中有2人生肖相同的概率”为：
P=1-P(A)=1-0.22=0.78
目的：巩固并拓展学生学习应用知识的能力.

四、教学反思
1、教材是教与学的素材，可以充分利用、拓展、丰富、创新.本节 课教材
提出的生日相同的问题，教师可充分发挥学生的想象能力，发散思维，设计多种
多样的活 动方案，完成本节教学任务，更重要的是发展学生的学习能力，合作与
交流的能力.
2、学生 是学习的主体，课堂也就应以学生为主体，教师起主导作用，多
用积极的评价、恰当的引导，激发学生的 学习兴趣，提高学习数学的积极性、主
动性，让学生成为课堂学习的主人.
3、应注意的问题 ：①由于设计活动方案各异，可能时间上会紧张，需要
在活动过程中老师加以引导，以便节省时间，按计 划完成本节课教学任务.②对
学困生在小组里的表现应予以更多关注，多鼓励其参与，并给予指导，使其 完成
一些力所能及的任务，产生成就感.