《简单的染色问题》教学设计
九寨沟的资料-品管部工作计划
《简单的染色问题》
授课教师 赵 岩 教学时间 2005年10月15日
教学班级 高一竞赛班 授课类型 探究课
通过做六点（任意三点不共线）染色的数学游戏，帮助学生抽
象出数学问题，在探究问题的过程中，使学生初步了解解决一
教学目标
类染色问题——线段染色问题的基本方法（抽屉原理、算两次）
及其相关结论．
教学重点 使学生掌握解决线段染色问题的基本方法
教学难点 用算两次的方法解决染色问题
教学方法 探究式教学 教学手段 多媒体
教师讲述和提问过程 学生活动安排和调控
一、创设问题情境
情景1：
在我们美丽的地球上，有60多亿人口，任何六个人
聚在一起，或者有三个人彼此相识，或者有三个人彼此学生参与
不相识。你相信吗？
情景2：
那就先让我们来作个游戏
规则：正六边形的六个顶点，两游戏者每次可随意
．．
选用红或白色的粉笔，轮流选择其中的两点连线，谁第
．．
一个被迫画成一个同色的三角形（红色或白色），他就是
失败者．
二、抽象数学问题
设问1：
这个游戏是否一定能分出胜负呢？与先下后下是否
有关？
学生概括
问题1：
把六个点（任意三点不共线）的连线染两色，至少
会出现一个同色三角形
三、解决数学问题
证明：
学生独立解决问题
任取一点A，那么由点A引出的5条边中，由抽屉原
理，至少有三条是同色的，不妨设AB、AC、AD是白色的，
如图所示。考察BC、BD、CD三条边，若这三条边中有一
条是白色的，则与A形成一个白色三角形；若这三条边
都是红色的，则三角形BCD为一个红色三角形。
归纳数学方法：
教师介绍相关数学史
（1）抽屉原理
（2）从整体到局部，从局部到整体的分析方法
四、解决实际问题
任何六个人聚在一起，或者有三个人彼此相识，或
者有三个人彼此不相识．
五、探究数学问题
（一）设问2：
如果我们将刚才的六点染色游戏继续下去，染完所
有的线段，同色三角形最少出现了几个？这是偶然吗？
问题2：
在六点（任意三点不共线）染色游戏中，必有两个让学生在独立思考的基础
同色三角形．
上，展示自己的证明方法
证明：方法一（略）
方法二（算两次）：
考虑自同一点引出的两条边，如果他们颜色相同，教师给出证明
就称他们组成一个“同色角”，设自点A引出r条红边，
5－r条白边，则自A点引出的同色角共有
222
CC
（
C
r
2
C
5
）个，易知当r＝2或3时最小，最
rr5r
小值为4，所以该六点图中至少有6×4＝24个同色角；
另一方面，每个同色三角形中有3个同色角，每个边不
全同色的三角形中只有1个同色角．设同色三角形有
x
3
x
）个，因此，同色角共个，则不同色三角形有（
C
6
3
x)20x
个．有
3x(C
6
综上，
20x24
，从而，
x2
归纳数学方法：
（1）抽屉原理
（2）从整体到局部，从局部到整体的分析方法
（3）算两次
（二）设问3：
如果减少一点，做五点（任意三点不共线）染色游学生独立思考
戏是否一定能分出胜负呢？如出现平局，平局的图形是多媒体演示
什么样的呢？
问题3：
在五点染色游戏中，或者必出现一个同色三角形，课后学生自行证明
或者必出现一个同色五边形（首尾顺次连接即可）
（三）课后思考：
如将上述一类问题推广，可在哪几方面进行变化？
六、反馈训练：
例1．
17位学者，每一位都给其余的人写一封信，信的内
容是讨论三个问
题中的一个。而且两个人互相通信所讨
论的是同一个问题。证明：至少有三位学者，他们之间
通
信所讨论的是同一个问题．
练习：
1．两个航空公司为十个城市通航，使得任意
两个城市之
间恰有一个公司开设直达航班的往返服务，证明：至少
有一个公司能提供两个不相交
的旅游圈，每圈可游览奇
数个城市．
2．9个人中一定有3个人互相认识或者4个人互不相识
三、总结与反思
学生猜想