本科专业目录-开学第一周

《鸽巢问题》教学设计
【教材分析】
鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学 中最简单也是最基本的原理之一，从
这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观 的例子，借
助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上，
对一 些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理
能力的发展。
【学情分析】
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维
的思考可能会感到困 难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。
【教学目标】
1.知识与技能：通过操作、观察 、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，
学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单 的实际问题。
2.过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，
经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。
3.情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感 受数学的魅力，体会数学的价
值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
【教学重点】
经历鸽巢问题的探究过程，初步了解鸽巢原理。
【教学难点】
理解“总有”“至少 ”的意义，理解“至少数=商数＋1”；理解鸽巢原理，并
对一些简单的实际问题加以模型化。
【教学准备】
多媒体课件、扑克牌、合作探究作业纸。
【教学过程】
一、游戏引入
（一）谈话
你们知道“料事如神”这个词是什么意思吗？今天老师也 能做到“料事如神”，

你们信不信？现在取一副牌，取出大小王，还剩52张牌，你们5 人每人随意抽
一张，我知道至少有两张是同花色的。你们信吗？
（二）玩游戏，组织验证。
通过玩游戏，引导学生体会到：不管怎么抽，总有两张牌是同花色的。
（三）设疑
你们想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象了。下面
我们就来研究这类问题，我们 先从简单的情况入手研究。
【设计意图】通过玩游戏，调动学生的学习热情，初步渗透鸽巢原理。
二、合作探究
（一）初步感知
1.出示题目：有3支铅笔，2个笔筒（把实物摆放 在讲桌上），把3支铅笔
放进2个笔筒，怎么放？有几种不同的放法？谁愿意上来试一试。
2.学生上台实物演示。
可能有两种情况：一个放3支，另一个不放；一个放2支，另一个放1支。
教师根据学生回答在黑板上画图和数的分解两种方法表示两种结果。（3，0）、
（2、1）
3.提出问题：“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，这句话说得
对吗？
学生尝试回答，师引导：这句话里“总有”是什么意思？（一定有，肯定有）。
这句话里“至少”是什 么意思？（最少）
4.得到结论：从刚才的实验中，我们可以看到3支铅笔放进2个笔筒，总有
一个笔筒至少放进2支笔。
（二）枚举法
过渡：如果现在有4支铅笔放进3个笔筒，还会出现这样的结论吗？
1.小组合作。
（1）画一画：借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来；
【设计意图】尊 重学生的个体差异，引导学生用自己的方法去探究、发现，
经历抽屉原理的探究过程。
（2）找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔标出；

（3）我们发现：总有一个笔筒至少放进了（ ）支铅笔。
2.学生汇报，展台展示。
交流后明确：
（1）四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）
（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。
（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
3.小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解” 两种方法列举出所有情况验证
了结论，这种方法叫“枚举法”，我们能不能找到一种更为直接的方法，只 摆一
种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？
（三）假设法
1.学生尝试回答。（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法”的截
图）
2.学生操作演示，教师图示。
3.语言描述：把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放 1支，余下的1
支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了
2支笔。（指名说，互相说）
4.引导发现
（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分）
（2）为什么要一开始就平均分？（均匀 地分，使每个笔筒的笔尽可能少一
点，方便找到“至少数”），余下的1支，怎么放？（放进哪个笔筒都 行）
（3）怎样用算式表示这种方法？（4÷3=1……1 1+1＝2）算式中的两个“1”
是什么意思？
【设计意图】让学生通过假设法，把抽象的数 学知识同具体的分析策略结合
起来，经历知识发生、发展的过程，体验策略的多样性。
5.引伸拓展
（1）5支笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进（ ）支笔。
（2）25支笔放进24个笔筒，总有一个笔筒至少放进（ ）支笔。
就是“假设法”，它 里面就蕴含了“平（3）101支笔放进98个笔筒，总有
一个笔筒至少放进（ ）支笔。

学生列出算式，依据算式说理。
6.发现规律
刚才的这种方法均分 ”，我们用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表
示出来了，现在会用简便方法求“至少数”吗？
（四）建立模型
1.出示题目：5支笔放进3支笔筒，5÷3=1支……2支
学生可能有两种意见：总有一个笔筒里至少有2支，至少3支。
针对两种结果，各自说说自己的想法。
2.小组讨论，突破难点：至少2只还是3只？ 3.学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进1支笔，余下2只再平均分
放进2个不同的笔筒里 ，所以至少2只。（指名说，互相说）
4.质疑：为什么第二次平均分？（保证“至少”）
5.强化：如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢？
（1）10支笔放进7个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
10÷7＝1（支）…3（支） 1+1＝2（支）
（2）14支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
14÷4＝3（支）…2（支） 3+1＝4（支）
（3）23支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
23÷4＝5（支）…3（支） 5+1＝6（支）
6.对比算式，发现规律：先平均分，再用所得的“商+1”
7.强调：和余数有没有关系？
学生交流，明确：与余数无关，不管余多少，都要再平均分，所以就是加
1.
8.引 申拓展：刚才我们研究了笔放入笔筒的问题，那如果换成鸽子飞进鸽笼
你会解答吗？把苹果放入抽屉，把 书放入书架，高速路口同时有4辆车通过3
个收费口……，类似的问题我们都可以用这种方法解答。
三、鸽巢原理的由来
课件出示：同学们从数学的角度分析了这些事情，同时根据数据特征，发 现
了这些规律。你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样，只不过他

是在150多年前发现的，你们知道他是谁吗？——德国数学家？“狄里克雷”，
后人们为了纪念他从 这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命
名，叫“狄里克雷原理”，由于人们对鸽子飞 回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹
新，所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”，它还有另外一个名字叫 “抽屉原
理”。
四、解决问题
1.上课时扑克游戏，现在你能解释吗？
2.你们5人每人随意抽一张，我知道至少有两张是同花色的，为什么？
3.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
4.5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
5.把15本书放进4个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少有4本书，
为什么？
【设计意图】在这个环节里抓住假设法的核心思路，用有余数除法的形式表
示，让学生直观地理解如果 物体尽可能多的平均分给各个抽屉，看看每个抽屉里
能分多少，余下多少，都能保证总有一个抽屉里的数 量比平均数多1。
五、交流讨论、总结提升
学生讨论总结：发现“总有一个抽屉里至少有几”就是“商+余数”。
教师总结：如果物体的 个数除以抽屉数有余数，用所得的商+1，就能确定总
有一个抽屉里至少放几个物体了。
六、板书设计
数学广角—鸽巢问题
枚举法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）

4÷3=1……1 1+1=2
假设法 5÷4=1……1 1+1=2 至少数=商+1
5÷3=1……2 1+1=2


【教学反思】

本节课的教学突出体现以下两个特点：（1）游戏导入，激发兴趣。教师从“扑
克牌魔术”游戏开始，昂学生初步体验不管怎么抽，总有两个同学抽到的扑克牌
花色相同，激发了学生的 学习兴趣，为后面开展教与学的活动做了铺垫。（2）注
重“说理”活动，培养学生逻辑思维
能 力。