华南师范大学招生-托福范文

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人教版《义务教育实验教科书数学（五年级上册）》介绍

人民 教育、课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心研制出版的《义务教育教科书
数学（一～六年级） 》是《义务教育课程标准实验教科书 数学（一～六年级）》（以下简称实
验教材）经修订后形成的一套 新教材。实验教材以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》
（以下简称《标准（实验稿）》）的基 本理念和所规定的教学容为依据，在总结以往九年义务教
育小学数学教材研究和使用经验的基础上编写的 。实验教材从2001年秋季开始使用，经过国家
级实验区和省级实验区实验使用证明，这是一套我国城 乡广区普遍适用的小学数学教材。从2011
年7月开始，实验教材的编写者根据新颁布的《义务教育数 学课程标准（2011版）》（以下简
称《标准（2011）》）对实验教材进行了全面而系统的修订， 形成了《义务教育教科书数学（一～
六年级）》，于2013年3月全部通过国家基础教育课程教材专家 工作委员会的审查，并已于2012
年秋季开始陆续替换实验教材。
这套教材的实验教材是以 《标准（实验稿）》的基本理念和所规定的教学容为依据，在总
结以往九年义务教育小学数学教材研究和 使用经验的基础上进行设计的。在使用十年后，2012
年在总结10年实验与使用经验的基础上，根据 《标准（2011）》提出的新要求，广泛听取并吸
收小学数学教师和教研人员的意见和建议，对实验教 材进行了系统、细致的修订。通过教材的修
订，我们期望使本套小学数学教材的容质量得到全面提升，体 现数学的价值，体现时代精神与科
技进步，渗透社会主义核心价值体系。使教材结构更为科学合理，符合 学生学习数学的认知规律，
减轻学生课业负担，增强学生学好数学和会用数学的信心，获得适应未来社会 生活和进一步发展
所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，初步形成发现、提出 、分析和
解决数学问题的能力。使教材的风格和特色更加鲜明，将数学学科体系严谨性与学生自主学习的
开放性有机结合，更好地促进教育教学活动，初步培养学生严谨又勇于探索创新的科学精神，更
加符合实施素质教育的要求。使教材的版面设计清爽美观，图文并茂配合切当，装帧精美，文字
准确并适 合于小学生阅读。
修订后的教材，既具有原实验教材的主要特点，同时又呈现出一些新的特色。
1．改进小数乘、除法计算的编排，体现计算教学改革的理念，培养学生的数学素养。
小数四 则计算在实际生活中以及进一步学习中都有着广泛的应用，是小学阶段需要掌握的
基础知识和基本技能。 本册教材安排了小学乘法和小数除法。这两部分容的计算教学，知识容量
大，具体的计算过程比较复杂， 所以它们既是本册教学的重点容，也是难点容。这次修订，教材
的编排结构变化不大，但在编排思想上更 加注意体现《标准（2011）》中关于计算教学改革的基
本理念，主要有这样一些特点。
（1）淡化小数乘、除法意义的教学。
小数实质上是十进分数，要理解小数乘、除法的意义， 应从分数乘、除法的意义入手，按
理小数乘除法应在分数乘除法的基础上教学。但由于分数乘法的算理较 难理解，考虑到学生年龄
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特点和认知水平，教材一般是先教学 小数乘法，再教学分数乘法。且小数乘法是转化为整数乘法
来计算的，其计算方法的推导与小数乘法的意 义联系不大，而小数除法的意义可以按整数除法的
意义来理解。故此，教材淡化了小数乘、除法意义的教 学，把重点放在计算的算理和方法的总结
上。
（2）结合“十进制”的计量单位，帮助学生理解小数乘、除法的算理。
小数乘法是利用积的 变化规律转化为整数乘法来计算的，小数除法是以除数是整数的小数
除法为基础，把除数是小数的除法通 过商不变的性质转化为除数是整数的小数除法来计算的。也
就是说，小数乘除法在计算时，都需要将小数 转化为整数，而小数与整数有着密切的联系，借助
“十进制”计量单位，可以将小数转化为整数。因此在 教学小数乘、除数时，教材利用人民币、
长度单位，同时结合整数乘法的意义和小数的意义，沟通小数乘 除法与整数乘除法的联系，为学
生理解算理提供感性支撑。例如，教学小数乘整数时，通过解决“蝴蝶风 筝每个3.5元，买3
个多少钱”的问题，在探索如何计算3.5×3的过程中,着重说明可以将元转化 为角,把小数乘整数
转化为整数乘整数来计算，为后
面利用因数的变化规律把小数乘法转化为 整数乘法提供了依据。再如，教学除数是整数的
小数除法时，教材利用长度单位千米、米之间的关系，同 时结合小数的意义，帮助学生理解算理，
探索“商的小数点”的定位方法。
（3）重视计算法则的概括总结。
计算法则是对计算步骤的提炼和概括。表述准确、规、精炼 的法则，有利于学生准确把握
计算法则的涵，掌握计算方法。尤其是对学习有困难的学生，法则的呈现会 更有利于他们自主复
习，逐步领悟计算方法和算理。因此，与整数乘除法教学相同，小数乘、除法，也是 在学生理解
了算理，并用自己的语言对算法进行个性化解读的基础上，逐步完成对运算程序与步骤的文本 概
括的。
2. 简易方程的教学编排，遵循学生的认知特点，渗透代数思维的培养。
本册教材在“简易方程”单元正式教学有关代数的初步知识。从算术到代数是人们对现实
世界的数量关 系认识的一次飞跃，也是数学思想方法的一次突破。在小学阶段让学生学习一些代
数初步知识，学习用代 数的方法解决问题，不仅有助于巩固和加深理解所学的算术知识，同时可
以促进抽象逻辑思维能力的发展 ，使学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，以及思维的
灵活性提高到一个新的水平。
具体在编排上，体现出以下一些特点。
（1）重视用字母表示数量关系的教学。
用 代数式表示数量关系，即根据数量关系的述写出代数式，这是进一步学习代数知识的基
本技能。对小学生 来说，受以往学习习惯、思维方式的影响起初会有一些困惑。因此，为了突破
难点，保证基础，教材加强 了用字母表示数的教学。除了原有的两个例题之外，还增加了两个例
题，学习表示稍复杂的数量关系，如 ，a-bx、ax+bx等，相应地还增加了一个练习。同时，还加
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. < br>强了代入求值的教学，使学生不断看到，用含字母的式子既可以表示数量关系，又可以表示一个
量 ，当用一个合适的数代替字母并求值，就得到了一个具体的数。从而帮助学生逐步感悟、适应
字母代数的 特点。
（2）以等式的基本性质为解方程的依据。
过去，在小学阶段教学简易方程，方程变 形的主要依据是四则运算各部分间的关系。这实
际上是用算术的思路求未知数。这样的教学利用了学生已 有的知识，因而易于理解，但却不易于
与中学代数教学的衔接，这种思路及其算法掌握的越牢固，对中学 代数起步教学的负迁移就越明
显。根据《标准（2011）》的要求，从小学起就引入等式的基本性质， 并以此为基础导出解方程
的方法。不仅有利于改善和加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生代数思 维习惯的培养。
（3）突显利用等式基本性质解方程的优势。
引进等式基本性质作为解简易 方程的依据后，利用等式基本性质解方程的优越性变显现出
来了。例如，解形如的方程，都可以归结为， 等式两边减去与加上，得与；解形如与的方程，都
可以归结为，等式两边除以与乘上，得与。这样解决方 程显然比原来依据逆运算关系解方程，思
路更为统一。
（4）加强列方程解决实际问题的教学，适当分散难点。
原实验教材将解方程的教学与列方程 解决实际问题的教学，结合在一起编排，这样处理，
虽然有利于让学生感受从数学抽象到数学应用的完整 过程，但容易出现难点集中的弊端。这一弊
端已在实践中有所显现。因此，为了便于学与教，这次修订， 在“解方程”这部分容中，方程没
有刻意一一从现实情境引出；而且解方程的过程，充分借助实物直观、 几何直观，发挥数形结合
的优势，帮助学生理解方程变形、求解的过程。待学生有了一定的解方程基础后 ，在“实际问题
与方程”这部分容中，再由实际问题引入前面没有出现过的方程。这样处理，两部分容各 有侧重，
既分散了教学的难点，又关注了数学知识与现实世界的联系，有利于提高教学的有效性，切实加
强数学应用意识的培养。
3．提供丰富的图形与几何的教学容，注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。
本册图形与几何的教学容，主要是 “多边形面积的计算”。
“位置”对于学生并不陌生，在 生活中他们已经能用“第几”“第几排第几个”确定物体
的位置。本册教材主要是在学生已有认知经验基 础上，教学在具体情境中用数对表示物体的位置
或在方格纸上用数对确定位置，进一步提升学生的已有经 验，培养学生的空间观念，为第三学段
学习“图形与坐标”的容打好基础。教材在编排时，注意结合学生 已有的认知经验，学习新知。
如，结合学生已有的用“第几组第几个”描述实际情境中物体的位置的经验 ，引入新知，及时将
学生已有的确定物体位置的经验进行提升，将具体经验数学化，帮助学生理解用数对 确定位置的
方法。同时还注意提供丰富的生活情境和活动素材，帮助学生掌握用数对确定物体位置的方法 。
教材一方面呈现丰富的生活情境和现实素材，巩固用数对确定位置的方法。如提供中药房里中药
呈放的情境、国际象棋，让学生练习确定物体的位置；还在“生活中的数学”中介绍了在围棋盘
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上用19条横线和19条纵线确定棋子位置，以及在地球上用经线和纬线确 定地点位置等确定位置
方法的实际应用，拓展了学生的视野。另一方面，在练习中，注意为学生提供综合 运用知识解决
问题的机会。如练习一的第7题，让学生用数对确定图形平移后顶点所在的位置；第8题联 系方
位的知识，让学生根据图上的数据描述建筑物的实际方位及行走路线。帮助 学生在综合应用所学知识解决问题的过程中，加深对用数对确定位置方法的理解，体会数学知识之间的联系，培养
空间 相像能力。
“多边形面积”单元，主要教学平行四边形、三角形和梯形的面积计算。在编排上有这样< br>一些特点。
（1）运用转化思想，根据图形间的在联系推导面积计算公式。
多边形的 面积计算，是在认识了三角形、平行四边形和梯形的特征，并掌握了长方形、正
方形面积计算的基础上教 学的。在教学面积计算公式时，是以长方形面积计算为基础，以图形间
在联系为线索，以未知转化为已知 的基本方法进行推导。如将平行四边形转化为长方形、三角形
转化为平行四边形、梯形则转化为平行四边 形或三角形，这样根据转化前后两种图形的在联系，
由已知图形的面积公式导出未知图形的面积公式。这 样通过本单元的教学，学生探索并体会了所
学各种图形的特征、图形之间的关系，图形之间的转化，还体 验了图形的平移、旋转以及转化的
数学思想方法，促使空间观念得到进一步发展。
（2）加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程。
首先，每种图形面积计算方法 的教学，均采用让学生动手实验，自主探索得到。例如，平
行四边形的面积，是先借助数方格的方法得到 ；再引导学生通过剪、拼图形，将平行四边形转化
为长方形，推导出平行四边形的面积计算方法。其次， 按照知识学习的先后顺序，逐步提高探索
的难度和要求。三角形的面积就直接让学生试着转化为已学的图 形推导出计算公式。到梯形面积
计算时，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。第三， 研究每一种图形面积的
计算方法时，教材均没给出推导过程，以便于学生从多种途径探索，自己得出结论 ，从而给教师
和学生都留以较大的探索空间。
（3）在解决实际问题中，渗透估测意识、策略。
在生活实际中，经常会接触到不规则图形， 它们的面积无法直接用面积公式计算。那么如
何估测它们的面积呢？教材安排了借助方格纸估计不规则图 形（树叶）面积的容，培养学生估测
的意识和解决实际问题的能力。在估测的过程中，体会到：一，估测 最重要的是要确定一个适合
的测量标准，然后利用这个测量标准去估计。比如，估计学校到家的路程，可 以借助步长、单位
时间走的距离或者自己熟悉的一个长度等作为参照来估计。这里不规则图形的面积估算 ，同样也
要找到一个度量的标准，根据树叶的大小，教材选择了每个小方格面积为1cm的方格纸，引导 学
生借助方格纸估计树叶的面积。二，根据图形的不同特点，可以采用不同的估计策略。如这里既
可以用数方格的方法，还可以将不规则图形近似看作为规则图形来估计面积。
4．提供丰富的素材，促进学生不确定现象和可能性大小的体验。
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“可能性”原实验教材安排在三年级上册，让学生初步体验有些事件的发生 是确定的，有
些则是不确定的，知道事件发生的可能性是有大小的。但实践表明，低年级学生对不确定现 象理
解有困难，教学设计与实施有很大难度。鉴于此，这次修订，根据《标准（2011）》对这部分容
的调整，教材2
将可能性的教学移到第二学段本册，同时选取学生熟悉的生活情境作为教学素 材。如“联
欢会上抽签表演节目” 让学生体验不确定现象，设计了学生感兴趣的摸棋子试验活动（例2 、
例3），使学生初步了解现实世界中存在着的不确定现象，并逐步知道事件发生的可能性有大有
小。不确定现象是这部分容的一个重要研究对象，从不确定现象中去寻找规律，这对学生来说是
一种全 新的观念。如果缺乏对随机现象的丰富体验，学生较难建立这一观念。因此，教科书中设
计了多种不同层 次的、有趣的活动和游戏。如摸棋子、涂色、抛硬币、掷骰子等。通过创设这些
具有启发性的问题情境， 使学生在大量观察、猜测、试验与交流的数学活动中，逐步丰富对不确
定现象和可能性大小的体验，经历 形成新的观念、理解新的知识的过程。
5．渗透数学思想方法，让学生感受并体验数学思想方法在解决问题的作用。
本册“数学广角 ”主要是通过解决简单的植树问题，让学生体会一些解决问题的策略和思
想方法，如化繁为简，数形结合 、模型思想等，同时学习用这样的思想方法解决一些简单的实际
问题。在编排时，教材提供了丰富的题材 来帮助学生学习方法，体会思想。如除了研究直线上的
植树问题外，教材还新增了封闭曲线上的植树问题 。同时在“做一做”和练习中增加了“每两棵
梧桐树中间栽一棵银杏树”“马拉松比赛设置饮水点”“项 链上的水晶”等实际问题。使学生通
过解决这些生活中的事例，初步体会解决植树问题所涉及一些思想方 法，同时感受这种方法在解
决实际问题中的应用。以培养学生在解决实际问题中探索规律、建立数学模型 、找出解决问题的
有效方法的能力。
这册教材包括下面一些容：小数乘法，小数除法，简易方 程，位置，多边形的面积，可能
性，数学广角和综合与实践主题活动等。其中小数乘法，小数除法，简易 方程，多边形的面积是
本册教材的重点教学容。
（一）数与代数
第一单元 小数乘法
第二单元 小数除法
第五单元 简易方程
（二）图形与几何
第二单元 位置
第六单元 多边形的面积
（三）统计与概率
第四单元 可能性
（四）数学思想方法
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第七单元 数学广角――植树问题
（五）综合与实践
掷一掷
下面按教材的顺序就每一单元的容做一个简要的介绍。
第一单元 小数乘法
一、教学容
1．小数乘法的计算方法。
2．积的近似值。
3．整数乘法运算定律推广到小数。
4．解决问题。
和原实验教材相比，变化有： 一是，引导学生概括总结小数乘法的计算法则，例3后增加
概括总结法则的活动，给出不完整的计算法则 文本。二是， 不再安排有关小数乘法的两步运算
例题，直有了例1的感性经验，这里脱离具体量，用因 数与积的变化规律说明将小数乘整数转化
为整数乘法的理由。
教材通过图示呈现转化的过程， 帮助学生理解。（原来转化的过程中是说扩大到它的多少
倍，缩小到它的多少分之一。本次教材修订在因 数和积的变化规律中，是利用乘几除以几进行说
明，到了小数点移动引起小数大小变化的规律中说明：乘 几就是扩大到它的几倍，除以几就是缩
小到它的几分之
一．因此，教材这里根据因数和积的变 化规律转化时，采用的是用乘几除以几的方式。当
然老师教学中也可以用扩大缩小来说明。）
最后说明如果积的小数末尾有0，根据小数的基本性质，这里的“0”可去掉。
教学时，教师 要注意引导学生紧紧抓住例１中的计算经验，特别是将“元”转化为“角”
的经验来学习例2。先提出0 .72元×5你会计算吗？再去掉元，提出0.72×5该怎么计算。然后放
手让学生应用已有的整数乘 法经验自主计算“0.72×5”，列出竖式，并尝试对过程做出合理的解
释。最后应引导学生小结小数 乘整数的竖式计算要点:(1)按整数乘法的规则进行；(2)处理好积
中小数点的位置，因数中有几位 小数，积中也应有几位小数；(3)算出积以后，应根据小数的基
本性质用最简方式写出积，积中小数末 尾的“0”可去掉。
（二）小数乘小数
1．例3：小数乘小数。
有了例2的计算 经验，这里学生容易想到把第二个因数也转化为整数，即将小数乘法转化
为整数乘法来计算，故教材直接 给出转化和计算的过程。在“做一做”之后，引导学生观察、归
纳因数与积的小数位数之间的关系。为后 面总结计算法则作准备。
教学时，可以让学生根据图意列出乘法算式，然后让学生自主尝试计算2.4 ×0.8，再组织
学生共同研讨它的竖式算法及算理。让学生将有代表性的方法展示出来，并简述其道理 。可能有
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学生将“米”化为“分米”，将小数乘法转化为整数 乘法来计算，也可能学生按书上的方法进行
计算。教师应引导学生沟通两种方法的联系，以帮助学生理解 “2.4×0.8”的算理。
2．总结计算法则。
在前面学习的基础上，组织学生交流、概括总结出计算法则。
这是教材新的变化，在提示让学 生讨论交流的基础上，以记录讨论结果的形式呈现不完全
的计算法则文本，让学生补充完整。帮助学生在 理解算理的基础上，更好地掌握算法。
3．例4：难点问题。
教学积的小数位数不够的难点 问题。利用小数点移动的变化规律，帮助学生理解要在前面
用0补足，再点小数点。
这样，通过循序渐近的方式让学生扎实理解和掌握小数乘法的算理算法。
例1，结合具体量，将小数乘法转化为整数乘法来计算，感受其转化的合理性。
例2，脱离具体量，引导学生根据因数和积的变化规律转化为整数乘法。
例3，教学小数乘小 数，同样是转化为整数乘法来计算。结合做一做的练习观察，发现积
的小数位数和因数的小数位数之间的 关系。
在此基础上，总结出计算小数乘法的一般方法。
例4，突破小数乘法的难点问题。
层层递进，各有重点，让学生逐渐理解和掌握小数乘法的计算方法。
4．例5：小数倍。 < br>通过“非洲野狗追赶鸵鸟”有趣情境引出，使学生知道利用小数也可以表示两个数量间的
倍数关系 。并且领会有时 “用小数倍表示两个数量间的关系”比较直观。然后再计算。
接下来，由检验计算是否正确，提出验算要求，培养验算习惯。
对于验算方法不作统一规定， 教材呈现了三种，一种是“把因数的位置交换一下，再乘一
遍。”二是“用计算器验算。”三是观察法， 借助前面的学习经验，因为第二个因数大于1，所
以积一定大于第一个因数，所以答案7.28是错的。 这里学生只要会用合适的方法验算就行。
教学时，结合本例让学生领悟有时“用小数倍表示两个数量间 的关系”比较直观。可请学
生说一说“鸵鸟的最高速度是非洲野狗的1.3倍”中“1.3倍”的含义。 验算的引入，既可直接
由检验书上女孩的计算引出，也可由检查自己的计算引出。教材对如何验算不作统 一要求。
（三）积的近似值
1．例6：取积的近似值。
创设一个“狗帮助人们抓 坏蛋”的情境，通过计算使学生认识到：在解决实际问题时，当
积的小数位数比较多时，有时不需要保留 那么多的小数位数，只要根据实际需要求出积的近似数
就可以了。
求积的近似数所用的方法同 求一个小数的近似数的方法完全相同。因此，本例教学前，可
组织学生做适当的练习，让他们回忆求一个 小数的近似数的方法，为自主求积的近似数作好准备。
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（四）整数乘法运算定律推广到小数
1．推广。
原来安排有例题专门教学小数乘法 的两步运算来说明运算顺序。事实上，运算顺序跟数域
无关，不管是整数也好，小数也好，包括后面学习 的分数，运算顺序都是一样的。所以，教材这
里直接说明小数四则混合运算的顺序和整数一样，让学生直 接进行知识的迁移类推。
教材结合具体算式说明整数乘法运算定律对于小数乘法同样适用。分两个层次编排：
①给出三组算式，让学生观察、计算，找出每组中两个算式的关系。
②用归纳的方法类推出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。” 通
过这两个层次的活动，逐步培养学生合情推理的能力。
2．例7：乘法运算定律的应用。
教材通过乘法运算定律的应用，一方面，让学生应用乘法运算定律进行简便运算，体会运
算的简 便性。另一方面，进一步加深对运算定律的理解。
教学中，注意在复习整数乘法运算定律的基础上进行 教学。因为整数计算中学生已有了应
用乘法运算定律进行简便运算的基础，这里可以引导学生类推。同时 注意加强对乘法分配律应用
的教学。因为乘法分配律的应用有正方两个方面，学生容易出错。如，练习第 4题“1.5×105”
和“1.2×2.5＋0.8×2.5”都要运用乘法分配律进行简算，“1. 5×105”是乘法分配律正向应用，
而在“1.2×2.5＋0.8×2.5”是乘法分配律的逆向应 用。
（五）解决问题
教材新增两个解决问题的例题，分别是估算和分段计费的实际问题。一 方面巩固小数乘法
的计算；另一方面进一步培养学生应用数学解决实际问题的能力。
1．例8：估算。
创设超市购物的情境，通过适合的问题背景，体会估算在解决实际问题的应 用。教学中注
意两点：一是教给学生阅读理解的方法。让学生体会当信息和数据比较多时，借助表格来整 理，
可以使信息和数据更清晰、直观，能帮助我们更好地分析数量关系。二是培养学生估算意识，体会估算的不同策略。让学生根据数据和问题灵活选择算法，像这类够不够的问题，可以用估算解
决。 估算时，要根据实际数据选择适当的估算策略。比如，第一个问题，是通过把钱数估大，发
现都不超过1 00元来判断够的。第二个问题，是通过把钱数估小，发现都已经超过100元来判断
不够的。
2．例9：解决分段计费的实际问题。
解决分段计费问题的关键是理解题意。这里要解决“要 付多少钱”，就必须知道行驶里程
和收费标准。而收费标准重点要让学生理解两点：一是分段计费；一是 3千米以上，不足1千米
按1千米计算（也就是按“进一法”取整数）。教学时，可以采用摘录条件的方 法帮助学生理解
(如下图)。同时，分段计费的问题就是分段函数的问题。通过学习，让学生初步体会一 一对应思
想和函数思想。如
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填好价格表后，引导学 生观察，思考行驶里程与出租车费之间的联系及它的变化情况。有
条件的可以借助图示进一步体会分段计 费问题的特点。需要注意地是，画图时不能直接在方格纸
上描点连线，因为行驶的里程数要取整数来计算 。
五、教学建议：
1．重点引导学生用转化的方法学习小数乘法。
由于小数乘法 与整数乘法之间有着十分密切的联系，因此，教学时应紧紧抓住这种联系，
帮助学生将未知转化为已知。 如，例2教学“0.72×5”时，引导学生思考：“能不能转化为整数
来计算？”引导学生经历将未知 转化为已知的学习过程，同时获得用转化的思想方法去探究新知
的本领。
2．指导学生对小数乘法的算理作出合理的解释，提高简单的推理能力。
本单元学习过程中， 学生感到困难的不是小数乘法计算方法的掌握，而是对算理的理解和
表述。因此，教学时应给学生提供充 分的思考、交流的机会，帮助学生对计算过程作出合理的解
释。重点是引导学生从积与因数的关系出发， 强调转化的思想、方法。如，例3教学“2.4×0.8”
时，应引导学生说出将因数2.4和0.8转 化成整数，因数分别扩大到原来的10倍，相应的积192
就扩大到原来的100倍，所以要缩小到原来 的，也就是1.92。在理解算理的基础上，引导学生
讨论、交流，会正确表述，能正确计算。
3．组织学生讨论、归纳小数乘法的计算方法。
本单元教材重视引导学生讨论、归纳小数乘法 的计算方法。在组织学生自主总结小数乘法
计算方法时，要特别突出两点。一是转化的方法，将小数乘法 转化为整数乘法来算；二是小数点
的处理，也就是利用因数和积的大小关系来确定小数点的位置。
第二单元 位置
一、教学容
用数对确定物体的位置。
本单元容由原六年级上册移来。
二、教学目标
1．结合具体情境，让学生能用数对（正整数）表示物体的位置。
2. 让学生能在方格纸上用数对表示物体的位置。
3．让学生知道数对与方格纸上的点存在对应关系。
三、编排特点
本单元容的编排是在学生一年级上册学习了用上、下、前、后、左、右确定位置 ，三年级
下册学习了用东南西北等词语描述物体方向的基础上，进一步学习用数对确定物体的位置。也为
后面进一步学习“根据方向和距离两个参数确定物体的位置”打下基础。编排上主要有以下几个
特点。
1．从实际情境出发，帮助学生掌握用数对确定位置的方法。
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学生在生活中已经能用“第几”描述物体的位置，还经历了类似用“第几排 第几个”的方
式找到物体的位置，如教室里的座位、电影院的座位等，初步具有用数表示位置的经验。教 材充
分利用并及时提升了学生的这些已有经验。例1通过呈现确定多媒体教室中学生的座位情境，引出本单元容的学习，借助教师操作台上的学生座位图，迅速将实际的具体情境数学化，抽象成在
平面 图上确定位置，并帮助学生理解如何用数对确定位置的方法。
2．结合具体情境，初步感知直角坐标系的思想和方法。
结合熟悉的生活情境，让学生在具体 情境中或方格纸上用抽象的数对表示物体的位置，初
步感知直角坐标系的思想，为后面“图形与坐标”的 学习作好铺垫。
例如，例1学生根据亮坐在教室的第2列、第3行用数对（2，3）表示，初步建立与 座位
示意图的对应关系，在同样的规则下，再次通过周明坐在教室的第1列、第3行怎样用数对表示和给出数对确定位置的活动，加深数对与座位示意图行列的一一对应关系。这样的学习过程有利
于学 生直观体会直角坐标系的思想。
例2更为直接地呈现了方格纸这一学生熟悉的材料，其中同样蕴含着直 角坐标系的思想，
只不过没有明确表示出x、y轴。不同的是，例1中物体的位置相当于方格纸中的每个 格子，而
例2进一步抽象为一个点，用方格纸上的格点（横线和竖线的交点）来表示。可以说，方格纸是
渗透直角坐标系的有效载体，借助方格纸来学习也是实践直观几何的重要手段。小学几何的学习
立足于直观几何，通过方格纸研究几何图形的有关特点和性质，获得几何活动经验，发展几何直
观，逐步 培养学生推理的意识和能力。
四、具体编排
1．例1：用数对表示具体情境中物体的位置。
学生在生活中已经会用两个数描述位置，比如第几排第几个等，这里学习数学上位置的表
示方法 。教材呈现的是一个教室，老师的讲桌上有一个座位示意图，哪个学生如果有问题，按一
下开关，座位示 意图上的灯就会亮起来。这里编排的层次主要有：
（1）明确“列”“行”的含义及一般规则。结合“ 教师是如何确定亮的位置”的讨论，使
学生明确：竖排叫做列，横排叫做行；确定第几列一般是从左往右 数，确定第几行一般是从前往
后数。
（2）给出数对表示的方法。由小精灵直接给出用数对表 示的方法，正是有了前面的规则才
能保证数对表示的唯一性。
（3）明确数的顺序，体会一一 对应思想。通过比较王艳和雪两位同学的位置进一步明确数
对中两个数是有顺序的。并体会数对和每个人 的位置是一一对应的。
2．例2：在方格纸上用数对确定物体的位置。
教材进一步抽象，通 过方格纸把用数对表示位置的实际问题抽象成用数对表示平面上点的
位置的数学问题，使学生明确如何在 方格纸上用数对确定点的位置，感悟数对与物体位置的一一
对应关系。这种方格纸的呈现和数据的表示特 点，初步渗透了直角坐标系的思想。
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教学中，要注意渗透数 形结合思想。如引导学生比较大象馆和海洋馆的位置数对，结合示
意图观察在方格纸上这两个场馆是在同 一条横线（行）上，相应的数对有什么特点。提问“如果
两个数对中的第1个数相同，这两个场馆的位置 有什么特点”，帮助学生初步感受数形结合的思
想，加深对方格纸上用数对确定位置的理解。教学时，还 可以根据需要增加一些场馆，或者对数
据进行调整。
此外，本单元的练习安排注意体现两方面 ，一是联系实际。如第4题，中药房中根据药方
抓药的场景，进一步让学生用数对表示位置。体会简洁性 。二是综合应用。结合前面学习的方向
来描述路线和位置，如第8题。也为后面的学习作好铺垫。
四、教学建议
1.充分利用学生已有的生活经验和知识基础，经历用数对表示位置的学习过程。
学生在生活 中已经具有大量用数对确定物体位置的经验，教学中应充分利用这些经验和知
识为学生提供探究的空间， 帮助学生将用生活经验描述位置上升为用数学方法确定位置，发展数
学思考，培养空间观念。同时，在“ 用数对确定位置”的教学过程中应注重学生的自主探究学习，
让学生经历表示物体位置的过程，在比较中 发现用数对表示位置的简洁与有效。
2.适时渗透数形结合的思想和方法，感悟数对与位置的一一对应思想。
如练习中的第7题， 让学生发现图形平移后，位置变了，表示顶点位置的数对也相应的变
了，发现其中的规律。教师在教学中 应充分利用这些素材，通过形来研究数的特点，通过数来呈
现物体的位置，在方格纸和用数对表示点的位 置的方法之间架起了数与形的桥梁，使学生初步体
会数形结合的思想，并感悟数对和点的位置的一一对应 关系。
第三单元 小数除法
解决小数点的位置问题。结合数的含义，帮助学生理解“商的小 数点要与被除数的小数点
对齐”的道理。这里24表示24个十分之一，除得的结果是6个十分之一，所 以小数点要和被除
数的小数点对齐。
为了帮助学生理解算理，教学例1前，可以先复习整数除 法，如，224÷4。让学生明确，每
次除的被除数和商是多少个十，或多少个一，为后面理解算理作准 备。
2．例2：除到被除数的末尾还有余数。
除到被除数的末尾还有余数，要在后面添0继续除。同样也是结合数的含义理解。
学习完例1 、例2后，小精灵提示学生总结除数是整数的小数除法的方法，教材这里虽然
没有给出法则，但是因为这 是小数除法的基础，应该让学生在理解算理的基础上掌握算法。引导
学生回顾总结小数除以整数的计算步 骤以及要注意的问题，可以总结成： ①按照整数除法的方
法去除，商的小数点和被除数的小数点对齐。 ②如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾
添0再继续除。
3．例3：特殊情况。
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教学被除数比除数小，整数部分不够除1，商0，点上小数点 再除。事实上，和整数除法相
同，除到被除数的哪一位，商0，就在那一位写0，不同的是整数除法最高 位上的0不写，而小
数除法如果商的最高位是个位商0，要用0占位。
教材没有特别说明验算的方法，让学生用已学的知识自己思考如何验算。
（二）一个数除以小数
小数除法教学的重点，关键在于把除数是小数的除法转化成除数是整数 的除法。根据除数
和被除数小数位数的情况，安排了2个例题。一个是被除数和除法的小数位数相同，一 个是被除
数比除数的小数位数少。还有被除数比除数的小数位数多的情况安排在练习中。
1．例4：被除数的小数位数和除数小数位数相同。
（1）突出基本方法是“把除数转化成整数”。
（2）用虚线框的图示呈现了根据商不变的性 质，把除数和被除数同时扩大到原来的100倍，
使除数变成整数的过程。之后出示简便的写法。
（3）教学前可先复习商不变性质，帮助学生理解算理。
2．例5：被除数的小数位数比除数少。
（1）用学生提问“被除数的位数不够怎么办？”引起思考。
（2）通过虚线框里的图示说明 在把除数变成整数小数点要向右移动两位，根据商不变性质，
被除数也要右移两位，而12.6只有一位 小数，所以要在末尾用“0”补足。
（3）至此，小数除法计算的各种情况均已涉及，通过小精灵的话 引导学生对小数除法的计
算方法进行总结。在学生概括的基础上，教师加以提炼和完善。还可以总结成三 个步骤：一看：
看清除数有几位小数；二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数 变成整
数。当被除数位数不足时，用“0”补足；三算：按照除数是整数的小数除法的方法计算。
（三）商的近似数
小数除法经常会出现除不尽的情况，或者商的小数位数较多的情况。但是在 实际工作和生
活中，并不总是需要求出很多位小数的商，而往往只要求出商的近似值就可以了。如在计算 钱数
时，一般只精确到角或分，这样就涉及到求计算结果的近似数。
1．例6：取商的近似数。
（1）体会取商的近似数的必要性。小数除法中取近似数有两种情 况，一种是除不尽的时候，
一种是除的尽，但是小数位数比较多，根据实际需要不用这么多。为了让学生 体会，教材不再提
示用计算器计算，而是在笔算的过程中感受除不尽的时候，根据实际需要取近似数。
（2）掌握取商的近似数的方法。小精灵给出求商的近似数的一般方法。在学生熟练后，还
可以 介绍一种简便的方法，即除到要保留的小数位数后，不用再继续除，只要把余数同除数作比
较，若余数比 除数一半小，就说明求出下一位的商小于5，直接舍去；若余数等于或大于除数的
一半，就说明求出下一 位的商等于或大于5，就在已经求得的商的末一位上加1。
（四）循环小数
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1．例7：教学商从某一位起，一个数字重复出现的情况。
为认识循环小数提供感性材料。
2：例8和循环小数的认识。
通过计算两道除法式 题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复出现某个数
字；另一种是从某位起几个数字依次 不断重复出现。
由此引出循环小数的概念并介绍循环节和简便记法。
教学中注意引导学生探 究商循环出现的原因。结合学生发现的规律，理解商出现循环的原
因，是余数的重复出现。
3．有限小数和无限小数。
组织学生结合具体计算，讨论“两个数相除，如果不能得到整数商 ，所得的商会有哪些情
况”，由商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。以前学生对小数概念的 认识仅限于有
限小数。学习了循环小数以后，小数概念的涵进一步扩展了，循环小数就是一种无限小数。
（五）用计算器探索规律。
1．例9。
教材编排分三个层次:用计算器计算—观察发现规律—用规律写商。
教材给出一组算式，让学 生用计算器计算出结果，然后寻找商的规律：都是循环小数；循
环节都是被除数的9倍。最后根据发现的 规律直接写出后面算式的商。培养学生归纳、推理的能
力。
（六）解决问题
解决问 题中不出有特殊数量关系的连除问题（“双归一”）的类型，数量关系在前面已学，
直接在练习中应用。
1．例10：根据实际情况用“进一法”和“去尾法”取商的近似值
前面介绍了用四舍五入的 方法求商的近似数，但实际应用中还会用到其他的方法。比如进
一法和去尾法。教材安排了例10，强调 “在解决实际问题时，要根据实际情况选择适当的方法
取商的近似值”。安排了两道小题，分别教学：在 解决问题时，需要根据实际用“进一法”（第
1小题）和“去尾法”（第2小题）取商的近似值。两题算 出的结果都是小数，由于要求的瓶子
数和礼品盒数都必须是整数，因此都要取计算结果的近似值。 教学中让学生明确：在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入法”，而是要根据具体情
况确定是“ 舍”还是“入”。
（七）整理和复习
教材给出整理的线索，帮助学生梳理知识结构。
第1题，回顾小数乘除法的计算方法，沟通小数乘除法与整数乘除法的联系，突出转化的
思想。 第2题，开放性、综合性较强，而且联系实际，注重学生解决问题能力的培养。
五、教学建议
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1. 抓住新旧知识的连接点，在理解算理的基础上，引导学生通过讨论总结小数除法的计算
方法。 本单元容 与旧知识联系十分紧密。小数除法的计算法则是以整数除法中被除数和除数同
时乘上相同的数（0除外） 商不变，以及小数点位置移动规律等知识为基础来说明的。小数除法
的试商方法、除的步骤和整数除法基 本相同，不同的只是小数点的处理问题。因此，要注意复习
和运用整数除法的有关知识，为新知识的学习 奠定好基础。
同小数乘法一样，教学中要让学生在理解算理的基础上，及时归纳、总结小数除法的计算
方法，帮助学生形成良好的计算能力。
2.要注意突出重点，攻破难点。
除数是整 数的小数除法，要注意讲明商的小数点为什么与被除数的小数点对齐。小数除以
小数，要重点说明除数怎 样转化为整数。讲清了一般的计算原理，注意克服难点：小数点的处理
问题。学生
在计算中经 常出现只去掉除数的小数点，而不把被除数的小数点相应地向右移动，或者把
小数点的位置移错，使商的 小数点常常处理错。为了帮助学生攻破难点，可适当安排有针对性的
单项练习。
{C}{C}{C}{C}{C}{C}如学完小数除法后，学生计算“0.63
÷0.6”的正确率较低，错误主要有两方面。第一，商的小数
点位置不对（如图1）。例题中没有单独安排“被除数比除数
小数位数多”的类型，只是在“做一做”中以练习形式出现，
而且将被除数、除数的位数多少的三种情况安排在一节课中对
一些学生来说掌握起来可能有困难。第二，商中间的0漏掉（如
图2）。商中间有0的除法仅在三年级“除数是一位数的除法”
时出现过，而四年级“除数是 两位数的除法”受到计算步数的制约，避免计算的繁杂，没
有将“除数是两位、商是三位”作为教学要求 ，因此，商中间有0的除法基础是薄弱的。基于这
两个原因，教学中，一方面需要关注要点，重视“除数 位数与被除数的小数位数不同”这一除法
类型；另一方面，需要加强商中间有0的除法的铺垫与练习，以 弥补薄弱，突破难点。
第四单元 可能性
一、教学容
1．体验事件的确定性和不确定性，列出所有的可能。
2．定性描述可能性的大小。
本单元容由原实验教材三年级上册移来。
关于“可能性”这一容，原来的实验教材分两次进行 了集中编排。第一次是在三年级上册，
主要是让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定 的，知道事件发生的可能性是
有大小的。第二次在五年级上册，使学生对“可能性”的认识和理解逐渐从 定性向定量过渡，学
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会用分数描述事件发生的概率。但实践表 明，低年级学生对不确定现象理解有困难，并且《标准
（2011）》对这部分容也进行调整，第一学段 不再学习概率的容，将可能性的教学移到第二学段。
二、教学目标
1．在具体情境中，通过 现实生活中的有关实例使学生感受简单的随机现象，初步体验有些
事件的发生是确定的，有些是不确定的 。
2．通过实际活动（如摸球），使学生能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。
3 ．通过试验、游戏等活动，使学生感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些
简单的随机现象 发生的可能性大小作出定性描述，并能和同伴进行交流。
三、编排特点
1．运用数据分析来体会随机性，强调对可能性大小的定性描述。
在可能性知识的教学中，应 加强对学生概率素养的培养，增强学生对随机思想的理解，使
学生充分感受和体验简单随机现象中数据的 随机性，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小
作出定性描述，而不要把丰富多彩的可能性容变成了 机械的计算和练习。《标准（2011）》中也
提出运用数据分析来体会随机性，加强对可能性大小的理 解，使这部分容更具可操作性，符合小
学阶段学生学习的特点。
2．提供丰富的现实学习素材，促进数学知识的理解。
本单元教材不仅利用丰富多采的呈现形 式，为学生提供现实的、有趣的学习素材，同时注
意所设计的教学活动能使学生经历知识的形成过程。首 先，教材选取学生熟悉的生活情境作为教
学素材，以
“联欢会上抽签表演节目”（例1）、大 量的活动（做一做、例2）等来丰富学生对不确定
现象的体验，使学生初步了解现实世界中存在着的不确 定现象，并逐步知道事件发生的可能性有
大有小；其次，教科书中设计了多种不同层次的、有趣的活动和 游戏，如摸棋子试验、涂色活动、
抽签游戏、抛硬币、掷骰子等，这些活动都特别注意联系学生的生活实 际，不但便于教师组织教
学，更使学生在大量观察、猜测、试验、思考与交流的数学活动中，逐步丰富对 随机现象和可能
性大小的体验，经历知识的形成过程；再次，教科书第49页编排了“生活中的数学”， 一方面
可以加深学生对所学数学知识的理解，另一方面也使学生感受到可能性知识与生活的联系，有利< br>于培养学生的应用意识。
3．注重方法的指导和知识的整理。
要体验随机现象中数据 的随机性，就要求学生在进行相关试验活动或游戏活动时必须遵守
一定的规则，例如摸球时不能看着球摸 ，也不能摸完一次后不摇匀球就接着摸，这样都不能很好
地体现随机性。教材在相关例题及习题中明确提 出了“放回去摇匀再摸”“按要求涂一涂”“随
意摸一”等要求，对学生的试验和游戏活动进行方法的指 导，使学生能更好地体验数据的随机性。
四、具体编排
1．主题图。
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主题图从学生已有的生活经验出发，呈现了学生熟悉的“联欢会上抽签表演 节目”的场景，
使学生体验在现实生活中存在着不确定现象，充分感受数学与生活的联系。
教师还可以利用买体育彩票、抽奖等现实题材来引入可能性的容。
2．例 1：体验事件发生的确定性和不确定性。
由主题图的情境自然引出例题的学习。原来教材安排的摸球活 动，这里的抽签游戏更贴近
学生的生活，也更容易让学生理解和体验，可以让学会亲历事件发生的必然性 和随机性。
例题通过一次一次的抽签的活动，让学生亲身感受、体验事件发生的确定性和不确定性。< br>第一次，小明可能会抽到什么节目？这里让学生体会有三种可能，每个结果发生的可能性是相同
的 。小明抽到跳舞后，剩下的两，小丽可能会抽到什么?体会有两种可能，并且不可能是跳舞。
最后只剩唱 歌，小雪一定会抽到它。
学生在活动过程中，通过观察、实践、描述和交流充分感受事件发生的确定性和不确定性。
3．例2：正向体会可能性的大小。
例2和例3都是体会可能性的大小，分别从正反两个方向体会。
例2编排分两个层次：一是， 列出可能发生的结果。通过摸棋子活动，让学生通过动手试
验后列出所有可能发生的结果。也可以让学生 先猜测后验证。二是，通过统计规律，感受可能性
的大小。接下来，让学生在收集、分析数据以及讨论交 流统计结果的活动中，初步感受随机事件
发生的统计规律性，并知道事件发生的可能性是有大小的。最后 ，引导学生根据试验的统计结果
对下一次试验的情况作出推测，使学生进一步感受可能性的大小。要注意 让学生明白：单次试验
的结果是不确定的，但当大量重复试验就呈现一种规律。比如老师可以提问：再摸 一次一定能摸
到红色的棋子吗？让学生体会：再摸一次，两种颜色的棋子都有可能，但是摸出红色的可能 性大。
4．例3：逆向推理，体会可能性的大小。
教材同样是通过统计规律，让学生感受可能性的大小。
这里是根据摸棋子试验的统计结果来推 测原来盒子里的球那种颜色的多，通过实际验证，
进一步体会随机事件发生的统计规律性，感受可能性的 大小。
教学时可以分小组活动，记录统计的结果，从每次摸出的情况到小组统计的结果，最后到
小组汇总的结果，让学生感知和理解试验次数足够多时，实验数据呈现出的统计规律性。
五、教学建议
1．引导学生借助观察、猜测、实验等来体验事件的确定性与不确定性，感受可能性的大小。 对
于不确定性现象和可能性，第二学段的学生在生活中已经有了一定的经验和体验。在教学中，不
管是在 学生熟悉的生活情境还是感兴趣的游戏活动中（如掷硬币、玩转盘、摸卡片等），教师都
应（2）引导学 生化简式子。根据乘法分配律进行化简，学生熟练后可以直接写出7x。
（3）拓展例题。将式子改为 4x-3x，让学生说出它的含义，再说出化简的结果。这时将出现数
与字母相乘的特殊情况，即“1与 字母相乘，1可省略”，可用来检查前面学习的书写习惯。
（二）解简易方程
1．方程的意义。
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方程是含有未知数的等式，因此 教学方程的概念要从认识等式开始。教材采用连环画的形式，通
过天平演示，经历由数的等式到含有未知 数的等式，通过不等到相等的比较，为引入方程提供丰
富的感性认知基础。
教学时，可制作动 画或自制的天平教具来演示。因为精密的天平仪器小，学生不易看清，也不容
易取得平衡。
通 过实物演示得到了一个方程，接下来再通过图示得出第二个方程。然后以两个方程为例，给出
方程概念的 描述。为了丰富对方程的感知，让学生自己写出一些方程，并呈现三个同学在黑板上
写的方程，初步感知 方程的多样性。
2．等式的性质。
原来没有直接出示等式性质，但是解方程时不利于学生的 描述，这次正式总结出。通过插图演示
天平平衡的实验，探究等式基本性质。
用连环画式的插 图，一方面提示教师可以怎样演示，另一方面也给学生思考、感悟天平保持平衡
的变化规律，提供了直观 的观察材料。要注意的是，教具演示能使学生看到动态的过程，获得实
实在在的真切感受。但演示过后， 呈现在学生眼前的，只剩最后的结果状态。而连环画式的插图，
没有实物演示那么生动，但可以保留初始 状态和结果状态，便于学生观察、比较。
教学中注意引导学生双向观察，可以丰富学生的感性认识。同 时引导学生自己总结规律。等式性
质1的演示过程中可以用等式来表示，这样从直观演示过渡到等式，帮 助总结。等式的性质2
可以放手让学生自己总结，通过交流完善对0的补充说明。
3．解方程。
（1）例1：解形如x+a=b的方程。
利用等式性质解方程，理解解方程和方程的解的概念。
①这里借助三幅天平演示图展现了解方 程的完整思考过程。为了便于通过图示说明解方程的全过
程，这里的数据比较小。但是学生可能一眼就能 看出结果，为提高学习掌握新方法的积极性，可
以明确指出，要根据等式性质来解方程。在这里要暂时避 开算法多样化的讨论。
②结合解方程的过程给出方程的解和解方程的概念，不再单独编排。
③检验。由小精灵给以提示，介绍了验算的全过程，就是前面所学的代入求值的过程。
（2）例2：解形如ax=b的方程。
编排思路同例1。练习中尝试解形如x÷a=b的方程。
（3）例3：解形如a-x=b的方程。
这是新增的，解方程的类型更全面。
重点 突出转化思想。教材以20－x＝9为例，讨论形如a－x＝b的方程的解法，思路是转化为x
＋b＝a ，即转化为例1的形式。这里不再依靠天平的图示，意在及时抽象，启发学生直接依据等
式性质进行转化 。a÷x＝b类型的方程让学生自主探索。
教学中注意让学生积累解方程的经验。完成基本类型的方程 求解后，小精灵提示学生总结解方程
的思考方法（利用等式性质）、解题步骤、要注意的问题。
（4）例4：解形如ax+b=c的方程。
（5）例5：解形如a(x+b)=c的方程。
这两种都是新增的稍复杂的类型。同样也是利用转化的方法，将解较复杂的方程转化为前面的基
本类型来求解。教学重点是把什么看作一个整体。
4．实际问题与方程。
（1）例1：基本类型。
①经历列方程解决实际问题的基本方法。这里的问题比较简单，容易 发现数量关系。学生也比较
容易直接利用算术方法求解，教材在这里尊重学生的经验，先出示了算术解法 。以此鼓励学生自
己想方法解决问题的积极性。接下来引出列方程的方法来解决。这是学生第一次接触列 方程解答
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实际问题，对将所求数量设为x，对未知数参加列式 ，都会感到不习惯。所以，教材引导学生将
未知数设为x,列出方程。
②体会列方程解决问题 的特点：用字母表示未知数，未知数参与列式。其中寻找等量关系是列方
程的关键，教材用色块予以凸显 ，但它不是解题书写的要求，主要是帮助学生列方程。
③淡化算术方法和列方程方法的对比。这里的数 量关系简单，体现不出列方程的优势，重在经历
一般方法，规书写格式。
（2）例2：列方程解形如ax±b=c的问题。
①体会优越性。这里的问题如果用算术方法 解决需要逆思考，思维难度较大，学生容易出现先除
后减的错误。而用方程解，思路比较顺，体现了列方 程解决问题的优越性。
②注重数量关系的分析。这里的数量关系，学生常有不同的分析（如下）。学生 有必要的话，可
以画线段图帮助分析。如：
黑色皮的块数×2－4＝白色皮的块数
黑色皮的块数×2－白色皮的块数＝4
黑色皮的块数×2＝白色皮的块数＋4
③总结列方程解决实际问题的基本步骤。教材给出了基本步骤，提升学生的学习经验。
（3）例3：列方程解形如ax±ab=c的问题。
这里的数量关系是两积之和，是典型的数 量关系，生活中很常见。而且，理解了两积之和的数量
关系，也就容易理解两积之差、两商之和（差）的 数量关系。同时，两个积中有相同的因数，可
以根据分配律，得到含小括号的方程。所以例3具有举一反 三的典型意义。
（4）例4：列方程解形如ax±bx=c的问题。
①含有两个未知数。此 类问题称为“和差、和倍、差倍问题”，其特点是：含有两个未知数，知
道这两个未知数的倍数关系，以 及它们的和或差，求两个未知数（如本例）。如果用算术方法解
比较难。改用方程解，都可归结为解形如 ax±bx=c 的方程，思路统一，解法一致，学会其中之
一的解法，其他类似的问题，如“和差”就很容易类推解决。
②设未知数。解决这类问题，首先要确定一个未知数为x，另一个根据两者之间的关系用含有x
的式子来表示。但这里重点是设谁是x，一般为了解方程方便，设倍数关系中的单位量为x。也
可以利用 线段图帮助学生思考。
（5）例5：解决问题。
这里是行程中的相遇问题，比较经典，这里 以解决问题的形式进行编排，让学生体会方程解的优
越性。
这里的方程形式与例3相同，重点是借助线段图来帮助学生分析数量关系，列出方程。
五、教学建议
1.关注由具体到一般的抽象概括过程。
本单元的知识大多比较抽象 。教学时要充分利用学生原有的相关认知基础，关注由具体实例到一
般意义的抽象概括过程。无论是学习 用字母表示数量关系，还是学习方程的概念或等式的性质，
既要发挥具体实例对于抽象概括的支撑作用， 又要及时引导学生超脱实例的具体性，实现必要的
抽象概括。
2.有意识地渗透数学的思想方法。
本单元的容蕴涵较为丰富的数学思想，如抽象思想、推理 思想、化归（转化）思想、等价
思想、模型思想等。比如：在生活实际中，经常会接触到不规则图形，它 们的面积无法直接用面
积公式计算。那么如何估测它们的面积呢？教材安排了借助方格纸估计不规则图形 （树叶）面积
的容，培养学生估测的意识和解决实际问题的能力。
四、具体编排
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（一）主题图
设计了一幅街区图。由小精灵提出观察的要求：“ 你发现了哪些图形？你会计算它们的面
积吗？”引入面积计算的教学。
（二）平行四边形的面积
教材分以下三个步骤安排。
（1）从主题图中的两个花坛 （一个长方形，一个平行四边形）引出如何计算平行四边形面
积的问题。
（2）先用数方格的 方法试一试。在方格纸上呈现一个平行四边形和一个长方形让学生数，
说明不满1格的按半格计算。完成 填表后，发现等底等高的长方形和平行四边形的面积相等，为
转化作准备。
（3）探究平行四 边形面积计算公式。突出转化思想，用割补的方法把一个平行四边形转化
为一个长方形，教材用直观图展 示了这一过程，通过观察两个图形之间的联系，引导学生推导出
平行四边形面积的计算公式。最后结合平 行四边形的图示，用字母表示面积计算公式。
例1是平行四边形面积公式的应用,教学中注意培养良好的书写习惯。
（三）三角形的面积
1. 继续用转化的方法探究。有了推导平行四边形面积公式的经验，这里放手让学生自己去
探 究。继续渗透转化思想，帮助学生理解把未知转化为已知，就能解决问题的思路。也就是把三
角形转化为 已经知道面积计算公式的图形。转化的方法可以割补，也可以拼摆。教材通过拼摆两
个同样的三角形转化 为平行四边形的方法，这种方法推导过程简单，学生比较容易理解和掌握，
便于推导公式。
2. 推导过程学生独立完成。转化以后，放手让学生自己观察，写出三角形的面积计算公式，
特别要强调除以2的理解。最后用字母表示出面积计算公式。
3．例2同样是三角形面积公式的应用。
（四）梯形的面积
1．转化的方式有多种：一种是分割的方法，把梯形剪成两个三角形，或将 梯形剪成了一个
平行四边形和一个三角形；一种是拼摆的方法，用两个一样的梯形拼成一个平行四边形。 这些转
化方法都是可以的，但其中用两个一样的梯形拼成一个平行四边形的方法，比较容易推导和理解，
另外两种因为涉及代数式的运算，学生的推导有困难。因此教学时可以以拼摆方法为研究重点，
让学生叙述推导的过程，得出梯形面积计算公式。其他方法可视学生接受能力，进行介绍。
2．例3是梯形面积公式的应用。
3．“你知道吗？”介绍古代割补的转化方法，教学中可以适当拓展，丰富学生转化的方法。
（五）组合图形的面积
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教材提供了几个生活中的具 体物品，使学生认识组合图形是由几个简单图形组合而成的。
然后要求学生找一找生活中的组合图形。例 4教学组合图形面积的计算，由于一个组合图形可以
有不同的分
解方法，也就有不同的面积计 算方法，教材展示了两种方法。当然，学生可能还会有其他
不同的方法，通过交流要让学生体会怎样分解 能使计算更简便。
（六）估计不规则图形的面积
例5编排了不规则图形面积的估计。编排意图主要是：
1.培养估算意识。
教材安排了借助方格纸估计不规则图形（树叶）的面积，这是估算思想在图形与几何中的
应用。
2.培养估算策略。
不规则图形不像规则图形，可以找到面积计算公式，我们只能估算出它的 面积。而估算策
略最重要的是要根据要估计的事物找到一个适合的测量标准，然后利用这个测量标准去估 计。比
如，前面我们学习的长度的估计，估计学校到家的路程，可以借助步长、单位时间走的距离或者< br>自己熟悉的一个长度等，来进行估计。这里不规则图形的面积估算，同样也要找到一个度量的标
准 ，根据树叶的大小，我们选择了每个小方格面积为1cm2的方格纸，当然学生也可以利用其他
熟悉的测 量标准来估计，比如用一个已知面积的图形（物品）来估计。
教学中，可以直接出示树叶，让学生思考 怎样来估计它的面积，通过交流体会选择测量标
准的重要性。
3.体会估算方法多样。 借助方格纸估计树叶的面积，首先可以确定它的面积围。如教材所示，分别数出满格和不
是满格的格 子数，就能确定面积的区间。接下来，学生可以用自己的方法进行估计，比如取面积
区间的中间值；或者 借助前面学习平行四边形面积时的经验，把不是满格的看作半格，估计出面
积；或者把超过半格的当一格 ，不到半格的忽略不计（也就是四舍五入）的方法；等等，只要合
理都可以。还可以引导学生：如果想估 的更准确一些，可以将方格纸的每个小方格等分成更小的
正方形，就能探索更接近实际面积的估计值。也 就是说，选择的测量标准面积越小，得到的估计
越精确。
此外，还可以将不规则图形近似看作 为规则图形来估计面积，利用方格纸的刻度，找出计
算规则图形面积的条件进行估算。教材也呈现了这样 的方法，将树叶转化为近似的平行四边形来
估计面积。
(七) 整理和复习
1.突出转化。
复习面积计算公式的推导过程，重点是突出转化的思想。
2.建立联系。
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让学生发现梯形和平行四边形、三 角形面积公式的在联系：当梯形的上、下底相等时就成
了平行四边形的面积，梯形的上底为0时就成来三 角形面积。帮助学生理解和记忆公式。
五、教学建议
1．经历探究过程，渗透转化思想。
各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，将图形转化为已经学过的图形，再探索
转化后 的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。按照学习的先后顺
序，探索的要求 逐步提高。
2．注意培养学生灵活运用公式进行计算的能力。
如计算梯形的面积，不一定要 把上底、下底、高都找到才能计算。练习中就有根据上底、
下底之和来计算面积的，教学中，注意培养学 生灵活运用公式计算的能力，加深对公式的理解。
第七单元 数学广角
一、教学容
植树问题。
本单元容由原实验教材四年级下册移来，例3调整为封闭曲线上的植树问题。
二、教学目标
1．引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会植树问题的模型思想。
2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。
3．让学生尝试用植树问题的 方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生解决实际问题的
能力。
三、编排特点
（1）题材更为丰富。
与原实验教材相比，本次修订后的“植树问题”新增了一些生活中的“ 植树问题”。如例
3探讨在一条封闭曲线上植树的问题。另外，教材在“做一做”和练习中增加了 “每 两棵梧桐
树中间栽一棵银杏树”“马拉松比赛设置饮水点”“项链上的水晶”等实际问题，一方面激发学
生的学习兴趣和探究欲望，另一方面帮助学生多角度、有效地体会和运用植树问题的数学思想和
方法。
（2）突出线段图的教学，帮助学生直观理解植树问题的数学模型。
在“植树问题” 中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象
出数学模型的过程是教学“植树 问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，
通过几何直观帮助学生理解“植树问题” 的数学模型。例1先画出形象的线段图，然后抽象成线
段图表示两端都栽的情况，例2通过迁移呈现出两 端都不栽的线段图， “做一做”的第2题，
让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图，最后例3 让学生理解在封闭曲线上植树的线段
图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系 。教材通过突出线段图的教
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学，帮助学生直观理解不同情况下 植树棵树、分割点和间隔数之间的关系，由此理解和建立植树
问题的数学模型。
四、具体编排
1．例1：一条线段上植树（两端都栽）。
植树问题教学的重点是解决点和间隔的关系，建立 相应的模型。但是当数据比较大时，不
利于学生发现规律，所以教材编排上体现了化繁为简和建模的思想 。
例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过
程 中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。
（1）渗透化繁为简的思想，经历解决问题的过程。
通过学生的话“100m太长了，可以先 用简单的数试试”渗透化繁为简的解决问题的方法，
接下来的编排渗透了“猜测—探索—归纳—应用”的 解决问题的策略。
（2）重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力。
教材呈现学生用画 示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察两端都栽树的示意图或线段
图，把分割点和栽树的棵树一一对 应起来，发现并初步总结栽树的棵数与间隔数之间的关系。再
让学生在30m、35m上加以验证，从而 建立起一条线段两端都栽这类植树问题的数学模型。从而
找到解决问题的方法。
2．例2：一条线段上植树（两端都不栽）。
例2是关于一条线段的植树问题的另一种情况， 即两端都不栽树的情况。教材继续通过画
线段图的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决问题， 突出学生的迁移能力培养。
有了例1的基础，可以放手让学生独立思考。学生自然会想到借助线段图来 分析，教材呈
现学生画线段图进行分析，发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少1，然后利用发 现的
规律解决例题的问题。
一端栽另一端不栽的情况放在“做一做”第2题让学生自己探究。 通过画线段图，可以与
例1、例2的对比来获得对这一基本模型的理解，同时运用发现的规律解决要求的 问题。
3．例3：封闭曲线上植树。
（1） 突出画图的策略。
例3是在一条首 尾封闭的曲线上植树的问题。编排思路和例1相同，继续渗透化繁为简的
思想和画图的策略。借助图示探 索规律，建立模型。
（2）注重模型的对比与沟通。
通过小精灵的问题“如果把圆拉直成线 段，你能发现什么？”启发学生联系已有的知识找
出这种植树问题的规律，即栽树的棵树正好等于间隔数 ，也就相当于一条线段上植树的一端栽另
一端不栽的情况，渗透转化的数学思想。
五、教学建议
1.经历建模的过程，感悟思想方法。
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“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想 方法。具体到
本单元，教学时，教师应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发 现隐
含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。比如例1的教学，可以让学生经历猜想、实验、归纳、推理的过程，渗透简单的化归、数
形结 合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生学习数学的兴趣。
2.突出画图（线段图）的策略。
几何直观是课标的核心概念之一，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画
示意图 或线段图来解决植树问题，可以更直观理解、更好地发现规律，建立模型，找出解决问题
的方法。 另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽另一端不栽、两端都不栽三种情况弄混。事
实上，学生 不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会
到画图策略的价值。
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