新人教版小学数学五年级上册第五单元《简易方程》教材分析及归纳总结

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2020年08月19日 20:35
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新人教版小学数学五年级上册第五单元《简易方程》教材分
析及归纳总结
第5单元 简易方程
单元分析
【教材分析】
本单元主要学习的是用字 母表示数、运算定律、计算公式和数量关
系,学习方程的意义、等式的基本性质和解简易方程,以及在解 决一些
实际问题中简易方程的运用。在学生已有的算术和代数知识的基础上学
习简易方程,有助 于培养学生的抽象概括能力,发展他们思维的灵活性,
并且能够巩固和加深所学的算术知识。
【学情分析】
用字母表示数,对小学生来说比较抽象,学生理解起来会有一定的
难度 。特别是用含有字母的式子来表示数量关系,更让学生感到困难。
让学生从具体的、确定的数过度到用字 母表示抽象的、可变的数,对学
生来说是认识上的一个飞跃。因此在教学中,教师要充分利用学生原有< br>的相关认识基础,使学生从具体实例到一般意义的抽象概括逐渐过渡。
学生在学习这部分内容时 ,往往不会将含有字母的式子看作是一个
量,如:苹果2元一斤,香蕉比苹果贵x 元,2+x 既表示 苹果价格与香
蕉价格之间的数量关系,也表示香蕉的价格,很多学生认为这只是一个
式子,不是 结果。而这正是学生学习简易方程的基础,所以要先学习用
字母表示一个特定的数,再学习用字母表示一 般的数,也就是用字母表
示运算定律和计算公式,让学生有了一定的基础后,再学习用含字母的
式子表示数量和数量关系,这样由易到难,便于学生在数学认知上有更
高的飞跃。
【教学目标】
知识技能:使学生初步认识用字母表示数的意义和作用,能用字母
表示 运算定律和计算公式等,初步了解简易方程,能用等式的性质解简
易方程。
数学思考:培养学生根据具体情况,灵活选择算法的意识和能力。

1



问题解决:能列简易方程来解决生活中的实际问题。
情感态度:使学生感受到数学与现实生活的联系,初步学会列方程
解决一些简单的实际问题。
教学重点:用含有字母的式子表示数量关系,等式的基本性质,解
方程,培养学生书写规范和自 觉检验的习惯。
教学难点:用含有字母的式子表示数量关系,列方程解决实际问题
【课时划分】
20课时
1.用字母表示数„„„„„„„„„„„6课时
2.解简易方程„„„„„„„„„„„„12课时
3.整理和复习„„„„„„„„„„„„2课时


第五单元 简易方程教材分析

一、教学内容

1.用字母表示数。

2.解简易方程(解方程、实际问题与方程)。

和原实验教材相比,变化有:一是, 增加用字母表示常见数量关系的例题,为解决实际问题列方
程作准备。二是,根据课标要求,明确给出等 式的性质(原来只是借助天平平衡来理解),利用等式
的性质解方程。三是,解方程和列方程解决问题分 开编排,分散难点,并且解方程的类型更全面。

二、教学目标

1.使学生 初步认识用字母表示数的作用,发展符号意识,能够用字母表示学过的运算定律和计算
公式,能够在具体 的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据字母所取的值,求含有字母式
子的值。
< br>2.使学生初步了解方程的作用,初步理解等式的基本性质,能用等式的基本性质解简易方程。在
这过程中初步体会化归思想。

3.使学生感受数学与现实生活的联系,初步学会列方程解决一 些简单的实际问题。在这过程中获
得数学建模的初步体验。培养学生根据具体情况,灵活选择算法的意识 和能力。

三、编排特点

1.重视用字母表示数量关系的教学。

学生在日常生活和前面的学习中已经接触到了用字母表示数,学习了用符号表示一个特定的数、
用字母表示运算定律等,所以教材就不再从用字母表示特定的数、一般的数起步,而是直接从用含有
字母 的式子表示数量关系开始。

用代数式表示数量关系,即根据数量关系的陈述写出代数式,这是 进一步学习代数知识的基本技
能。对小学生来说,受以往学习习惯、思维方式的影响起初会有一些困惑。 因此,为了突破难点,保
证基础,教材加强了用字母表示数的教学。除了原有的两个例题之外,还增加了 两个例题,学习表示
稍复杂的数量关系,也为后面学习列方程解决实际问题作准备(具体内容如下表)。 相应地还增加了
一个练习。

例1

例2

用字母表示数量关系(a+30)

用字母表示数量关系6x


2



例3

例4

例5







用字母表示运算定律和计算公式

用字母表示数量关系(1200-3x)

用字母表示数量关系(3x+4x)

同时,还加强了代入求值的教学,使学生不断看 到,用含字母的式子既可以表示数量关系,又可
以表示一个量,当用一个合适的数代替字母并求值,就得 到了一个具体的数。从而帮助学生逐步感悟、
适应字母代数的特点。

2.以等式的基本性质为解方程的依据,突显利用等式性质解方程的优势。

根据《标 准(2011)》的要求,从小学起引入等式的基本性质,并以此为基础导出解方程的方法。
这不仅有利 于改善和加强中小学数学教学的衔接,而且有利于学生代数思维习惯的培养。

以等式性质作为 解简易方程的依据后,利用等式基本性质解方程的优越性变显现出来了。例如,
解形如的方程,都可以归 结为,等式两边减去与加上,得与;解形如与的方程,都可以归结为,等式
两边除以与乘上,得与。这样 解决方程显然比原来依据逆运算关系解方程,思路更为统一。

3.加强列方程解决实际问题的教学,适当分散难点。

教材一方面在第一节,加强用 含有字母的式子表示数量关系的教学,为学习列方程解决实际问题
奠定了更为坚实的基础。另一方面,解 方程单独编排,并且解方程的类型更全面,分散难点。

在“解方程”这部分内容中,方程没有 刻意一一从现实情境引出;而且解方程的过程,充分借助
实物直观、几何直观,发挥数形结合的优势,帮 助学生理解方程变形、求解的过程。待学生有了一定
的解方程基础后,在“实际问题与方程”这部分内容 中,再由实际问题引入前面没有出现过的方程。
这样处理,两部分内容各有侧重,既分散了教学的难点, 又关注了数学知识与现实世界的联系,有利
于提高教学的有效性,切实加强数学应用意识的培养。

教材对“实际问题与方程”这部分内容进行调整,并有所加强。一共安排5个例题(具体如下表)。
这部分的5个例题,如果用算术方法解答,都需要逆向思维,从而便于突出等量关系的分析,突出列方程解决实际问题的特点。



例1

例2

例3

例4

例5



x+b=c的应用

ax
?
b=c的应用

ax+ab=c的应用

x+bx=c的应用

ax+bx=c的应用

四、具体内容

(一)用字母表示数

1.例1:用字母表示加减的关系。

重点让 学生体会还有字母的式子表示数量关系的特点:具有一般性,可以看作一个具体的量。具
体编排体现“具 体—一般—具体”的过程。

(1)重视抽象概括。用含有字母的式子表示数量关系和一个量, 这是列方程的基础。教材采用从
个别到一般的归纳思路,先列出用具体的数表示的式子,让学生看到这些 式子,每个只能表示个别现

3



象,提出问题:怎样才能 用一个式子表示一般情况呢?由此引出含有字母的式子。使学生看到用含有
字母的式子表示,不仅简单明 了,而且具有一般性,经历抽象概括的过程。

(2)渗透函数思想。让学生体会:a+30随 着a的变化而变化,它们之间一一对应,以渗透函数
思想。

(3)取值范围。关于字 母的取值范围应该让学生明确,在一个实际问题中,字母的取值范围是由
实际情况决定的。
< br>(4)代入求值。代入求值是由一般到具体的过程,通过正反两个思维过程,帮助学生进一步理解,
含有字母的式子也可以表示一个具体的数量。如:当a是一个具体的岁数时,a+30也是一个具体的
岁数。

2.例2:乘除的数量关系。

(1)编排和例1相同。同样是从具体到一般的抽象、归纳过程,再从一般到具体的代入求值。

(2)介绍字母与数相乘的习惯写法。

3.例3:运算定律、计算公式。

(1)体会数学符号语言的优越性。对比用语言描述和用字母表示运算定律,体会到:用字母表
示,一目了然,准确、简明、易记。

(2)代入求值。以正方形的面积和周长为例,教学怎样 用字母表示计算公式,怎样把已知数据
代入公式求值。介绍平方的书写方法,数与字母相乘的书写习惯。

4.例4:两级运算。

例4例4和例5是新增的,目的是让学生学会用含 有字母的式子表示稍复杂的数量关系,为后面
列方程解决实际问题作准备。

这里数量 关系比前面进了一步,含两级运算,重点是还是用含有字母的式子表示数量关系和一个
量。有了前面学习 的基础,这里可以让学生独立思考,写出代数式,代入求值。

5.例5:两积之和(
ax+bx
)。

(1)借助直观图帮助学生理解并用含有字母的式子表示。

(2)引导学生化简式子 。根据乘法分配律进行化简,学生熟练后可以直接写出7
x


(3)拓展例 题。将式子改为4
x-
3
x
,让学生说出它的含义,再说出化简的结果。这时 将出现数
与字母相乘的特殊情况,即“1与字母相乘,1可省略”,可用来检查前面学习的书写习惯。< br>
(二)解简易方程

1.方程的意义。

方程是含有未知数 的等式,因此教学方程的概念要从认识等式开始。教材采用连环画的形式,通
过天平演示,经历由数的等 式到含有未知数的等式,通过不等到相等的比较,为引入方程提供丰富的
感性认知基础。
教学时,可制作动画或自制的天平教具来演示。因为精密的天平仪器小,学生不易看清,也不容
易取 得平衡。

通过实物演示得到了一个方程,接下来再通过图示得出第二个方程。然后以两个方程 为例,给出
方程概念的描述。为了丰富对方程的感知,让学生自己写出一些方程,并呈现三个同学在黑板 上写的
方程,初步感知方程的多样性。

2.等式的性质。

原来没 有直接出示等式性质,但是解方程时不利于学生的描述,这次正式总结出。通过插图演示
天平平衡的实验 ,探究等式基本性质。

用连环画式的插图,一方面提示教师可以怎样演示,另一方面也给学生 思考、感悟天平保持平衡
的变化规律,提供了直观的观察材料。要注意的是,教具演示能使学生看到动态 的过程,获得实实在
在的真切感受。但演示过后,呈现在学生眼前的,只剩最后的结果状态。而连环画式 的插图,没有实
物演示那么生动,但可以保留初始状态和结果状态,便于学生观察、比较。


4



教学中注意引导学生双向观察,可以丰富学生的感性 认识。同时引导学生自己总结规律。等式性
质1的演示过程中可以用等式来表示,这样从直观演示过渡到 等式,帮助总结。等式的性质2可以放
手让学生自己总结,通过交流完善对0的补充说明。

3.解方程。

(1)例1:解形如
x+a=b
的方程。

利用等式性质解方程,理解解方程和方程的解的概念。

①这里借助三幅天平演示图展 现了解方程的完整思考过程。为了便于通过图示说明解方程的全过
程,这里的数据比较小。但是学生可能 一眼就能看出结果,为提高学习掌握新方法的积极性,可以明
确指出,要根据等式性质来解方程。在这里 要暂时避开算法多样化的讨论。

②结合解方程的过程给出方程的解和解方程的概念,不再单独编排。

③检验。由小精灵给以提示,介绍了验算的全过程,就是前面所学的代入求值的过程。

(2)例2:解形如
ax=b
的方程。

编排思路同例1。练习中尝 试解形如
x
÷
a
=
b
的方程。

(3)例3:解形如
a
-
x=b
的方程。

这是新增的,解方程的类型更全面。

重点突出转化思想。教材以20-
x< br>=9为例,讨论形如
a

x

b
的方程的解法,思路 是转化为
x

b

a
,即转化为例1的形式。这里不再依靠 天平的图示,意在及时抽象,启发学生直接依据等式性
质进行转化。
a
÷
x< br>=
b
类型的方程让学生自主探索。

教学中注意让学生积累解方程的经 验。完成基本类型的方程求解后,小精灵提示学生总结解方程
的思考方法(利用等式性质)、解题步骤、 要注意的问题。

(4)例4:解形如
ax
+
b=c
的方程。

(5)例5: 解形如
a
(
x
+
b
)
=c
的方程。

这两种都是新增的稍复杂的类型。同样也是利用转化的方法,将解较复杂的方程转化为前面的基本类型来求解。教学重点是把什么看作一个整体。

4.实际问题与方程。

(1)例1:基本类型。

①经历列方程解决实际问题的基本方法。这里的问题比较简 单,容易发现数量关系。学生也比较
容易直接利用算术方法求解,教材在这里尊重学生的经验,先出示了 算术解法。以此鼓励学生自己想
方法解决问题的积极性。接下来引出列方程的方法来解决。这是学生第一 次接触列方程解答实际问题,
对将所求数量设为
x
,对未知数参加列式,都会感到不习 惯。所以,教材引导学生将未知数设为
x
,
列出方程。

②体会列方 程解决问题的特点:用字母表示未知数,未知数参与列式。其中寻找等量关系是列方
程的关键,教材用色 块予以凸显,但它不是解题书写的要求,主要是帮助学生列方程。

③淡化算术方法和列方程方 法的对比。这里的数量关系简单,体现不出列方程的优势,重在经历
一般方法,规范书写格式。

(2)例2:列方程解形如
ax±b=c
的问题。

①体会优越性。 这里的问题如果用算术方法解决需要逆思考,思维难度较大,学生容易出现先除
后减的错误。而用方程解 ,思路比较顺,体现了列方程解决问题的优越性。

②注重数量关系的分析。这里的数量关系, 学生常有不同的分析(如下)。学生有必要的话,可
以画线段图帮助分析。如:

黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数

黑色皮的块数×2-白色皮的块数=4

黑色皮的块数×2=白色皮的块数+4

③总结列方程解决实际问题的基本步骤。教材给出了基本步骤,提升学生的学习经验。


5



(3)例3:列方程解形如
ax±ab=c
的问题。

这里的数量关 系是两积之和,是典型的数量关系,生活中很常见。而且,理解了两积之和的数量
关系,也就容易理解两 积之差、两商之和(差)的数量关系。同时,两个积中有相同的因数,可以根
据分配律,得到含小括号的 方程。所以例3具有举一反三的典型意义。

(4)例4:列方程解形如
ax±bx=c
的问题。

①含有两个未 知数。此类问题称为“和差、和倍、差倍问题”,其特点是:含有两个未知数,知
道这两个未知数的倍数 关系,以及它们的和或差,求两个未知数(如本例)。如果用算术方法解比较
难。改用方程解,都可归结 为解形如
ax±bx=c
的方程,思路统一,解法一致,学会其中之一的解
法,其他 类似的问题,如“和差”就很容易类推解决。

②设未知数。解决这类问题,首先要确定一个未 知数为
x
,另一个根据两者之间的关系用含有
x
的式子来表示。但这里重点是 设谁是
x
,一般为了解方程方便,设倍数关系中的单位量为
x
。也可以
利用线段图帮助学生思考。

(5)例5:解决问题。

这里是行程中的相 遇问题,比较经典,这里以解决问题的形式进行编排,让学生体会方程解的优
越性。

这里的方程形式与例3相同,重点是借助线段图来帮助学生分析数量关系,列出方程。

五、教学建议

1.关注由具体到一般的抽象概括过程。

本单元的 知识大多比较抽象。教学时要充分利用学生原有的相关认知基础,关注由具体实例到一
般意义的抽象概括 过程。无论是学习用字母表示数量关系,还是学习方程的概念或等式的性质,既要
发挥具体实例对于抽象 概括的支撑作用,又要及时引导学生超脱实例的具体性,实现必要的抽象概括。

2.有意识地渗透数学的思想方法。

本单元的内容蕴涵较为丰富的数学思想,如抽象 思想、推理思想、化归(转化)思想、等价思想、
模型思想等。比如:

解方程的过程 实际上是一连串依据等式性质的演绎推理过程,最终将原方程转化为与其等价的“
x
=?”的形 式。“
x
=?”是方程变形的目标。教学时,应要求学生做得对、说得清,从而在理解变
形依据、过程的基础上掌握所学方程的解法。

列方程的过程实际上是一个用数学符号提炼现 实生活中特定关系的过程,也就是数学建模过程。
教学时,应启发学生学习把日常生活中的自然语言等价 地转化为数学语言,得到方程,进而解决有关
问题。

3.重视解决实际问题能力的培养,注重数量关系的分析,体会列方程解决实际问题的优越性。

列方程解决实际问题的思考过程比较直接、简明,能使某些实际问题的解决化难为易。让学生体
会列方程的优越性。同时,引导学生掌握列方程解决问题的基本步骤,还要注意引导他们逐步学会根
据问 题特点,灵活选择便于思考的简便解法,进而丰富解题策略,发展思维的灵活性。




第五单元简易方程归纳总结

6



1、在含有字母的式子里,字母中间的乘号可以记作“·”,
也可以省略不写。
注: 加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。
2、a×a可以写作a·a或a
2
读作a的平方。
注: 2a表示a+a ; a
2
表示a×a

3、方程:含有未知数的等式称为方程。
4、使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
5、求方程的解的过程叫做解方程。
6、解方程原理:天平平衡。
等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数(0除外),等
式依然成立。
7、10个数量关系式:
@ 加法;
和=加数+加数 ;
一个加数=和-两一个加数
@ 减法:

7



差=被减数-减数 ;
被减数=差+减数 ;
减数=被减数-差
@乘法:
积=因数×因数 ;
一个因数=积÷另一个因数
@ 除法:
商=被除数÷除数 ;
被除数=商×除数 ;
除数=被除数÷商



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