机房管理-滨州职业学院分数线

人教版六年级数学上册册 教材知识点系统梳理总汇
圆的认识和周长
知识精讲1：圆的认识
1、圆：一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周时，它的另一端就会画出一条封闭的
曲线，这条封闭曲线叫做圆。

2、圆规画圆的方法。

① 把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离；→定半径
② 把带有针尖的角固定在一点上；→定圆心
③ 把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。→画圆
3、圆的认识。
（1）圆心：用圆规画圆时，针尖所在的点叫圆心。用字母O表示。→决定圆的位置
（2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径。用字母r表示。
（3）直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径。用字母d表示。
半径（直径）越长，圆越大；半径（直径）越短，圆越小。


（4）等圆：半径相等的两个圆叫做等圆。等圆经过平移可以完全重合。
（5）同心圆：圆心重合，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
（6）在同圆或等圆中：
r
同心圆

等圆

决定圆的大小

d
或
d2r

2
半径扩大到原来的几倍，直径也扩大到原来的几倍；
半径缩小到原来的几分之一，直径也缩小到原来的几分之一。
（7）圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

知识精讲2：圆的周长
1、圆的周长。
（1）圆的周长：围成圆的曲线的长是圆的周长。
（2）测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。
（3）圆周率是任意一个圆的周长和它直径的比值。这个比值是一个固定数，用π表示。
它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……通常取π≈3.14。


（4）圆的周长
圆的周长
圆周率
直径
圆的周长直径圆周率

圆的周长
圆周率（π）3.14

直径
无限不循环小数，π3.1415926535

C

d
圆的周长直径圆周率

C2

r

半径×2
拓展：
圆的周长半径2圆周率
① 圆的半径或直径扩大到原来的几倍，它的周长也扩大到原来的几倍。
圆的半径或直径缩小到原来的几分之一，它的周长也缩小到原来的几分之一。
r
1
d
1
C
1

②
r2
d
2
C
2
1


r
< br>d
； ③
C
圆周长的一半
2
1


r2r

dd


C
半圆
=
C
圆周长的一半
+直径
2












奥数思维拓展：

运用分析法解决组合图形的周长问题。
1.渗透三种数学思想：数形结合、迁移、数学模型。
2.学习三种思维方法：观察法、实验法、割补法。
思维提升：
例题：
已知AB=120 m，BC=60 m，如右图，从点A到点C有2条不同的路线①和②，请
你判断哪条路线最短。




练习：甲乙两条毛毛虫要从A地到B地获取食物，甲沿着路线①前进，乙沿着路线②前进，
如图所示，哪条毛毛虫能够先获取食物？



运用转化法解决求捆扎物体的周长问题。
例2：直径均为1 dm的4根管子被一根金属带紧紧捆在一起，如右图。试求金属带的长度。
（接头忽略不计）

练习：有7根半径是5 cm的钢管，用一根绳子把它们紧紧捆成一捆，如图示。求绳子的长
度。
（接头忽略不计）







圆的面积
知识精讲1：圆的面积公式推导
（1）圆的面积定义：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。圆的面积的大小与半径（直径）的长短有关。
（2）圆的面积公式：
把圆等分成若干份，用这些接近于等腰三角形的小图形拼成学过的图形来进行推导。










宽
长方形
长
长方形的长近似于圆的周长的一半
发现：
把圆平均分成的份数越多，
每一份就会越小，拼成的图形就
会越接近于一个长方形。
长方形的宽近似于
圆的半径

圆的面积 ＝ 长方形的面积
＝ 长 × 宽
＝
d
S

()
2

2
C
×
r

2
S

r
2

C
2
S

()

2

＝

r
×
r

＝

r
2




梯形的（上底+下底）→圆的 三角形的 底 →圆的
梯形的 高 →圆的 三角形的 高 →圆的

知识精讲2：圆的半径、直径、周长、面积之间的关系
圆的半径、直径、周长、面积之间的关系。
①圆的半径扩大到原来的
a
倍，则它的直径扩大到原来的
a
倍，
它的周长扩大到原来的
a
倍，
它的面积扩大到原来的
a
2
倍。
例如：圆的半径扩大到原来的3倍，
则它的直径扩大到原来的（ ）倍，周长扩大到原来的（ ）倍，面积扩大到原来的（ ）倍。
11
②圆的半径缩小到原来的，则它的直径缩小到原来的，
aa

1
它的周长缩小到原来的，
a
1
2< br>1
它的面积缩小到原来的
()
2
。
aa
例如：圆的半径缩小到原来的，
则它的直径缩小到原来的（ ），周长缩小到原来的（ ），面积缩小到原来的（ ）。
1
3

S
1
r
1
2
r
1
2
d
1
2
d
1
2
C
1
r
1
d
1
()()

③
22
S
2r
2
r
2
d
2
d
2
C
2r
2
d
2


知识精讲3：圆环的面积
圆环（环形）：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。
外圆：圆环中较大的圆。 外圆的半径用字母“R”表示。
内圆：圆环中较小的圆。 内圆的半径用字母“r”表示。
环宽：两个圆之间的宽度。 环宽＝外圆半径－内圆半径，用字母“L”表示，即L＝R－r。


圆环的面积 = S
大圆
— S
小圆

=

R

r

22
=

(Rr)

外圆
R
内圆
r
L
22
环宽
知识精讲4：外方内圆 和 外圆内方
圆的直径是正方形的 。
S
阴影
= S
正
— S
圆

= —
r

外方内圆 =

r
圆的直径是正方形的 。
圆的直径是三角形的 。
圆的半径是三角形的 。
外圆内方 S
阴影
= S
圆
— S
正

= S
圆
— 2S
三角
= —

=

奥数思维拓展：
用割补法求阴影部分的面积
1.渗透三种数学思想：数形结合、迁移、数学模型。
2.学习三种思维方法：观察法、实验法、割补法。
思维提升：
[例]求图中阴影部分的面积。（单位：cm）


[分析]

[解答]
6×6÷2＝18（平方厘米）
答：阴影部分面积是18平方厘米。

[技巧]
当阴影部分为不规则图形时，有时可以先把图形进行分割、拼接、平移、 翻折或旋转，
转化为规则图形，再求面积，使计算简便。

举一反三：
求图中阴影部分的面积。（单位：cm）

(1)









(2)

(3)

















扇形的面积和组合图形的面积
知识精讲1：扇形的认识

弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。
A、B两点之间的部分读作“弧AB”，写作
»
AB
。
扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。
图中∠AOB就是圆心角。在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。
特殊的扇形：以半圆为弧的扇形圆心角是180度；以

1
圆为弧的扇形的圆心角是90度。
4


扇形的画法：（1）先画一个指定半径的圆，再在圆中任意画一条半径。
（2）以圆心为顶点，以画好的半径为边，画一个指定度数的角，
使角的另一条边与圆相交于一点。
这两条半径与指定度数的圆心角所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。


拓展：
2

rnn
n2

r

r
①弧长计算公式：
L
弧
=

360360180
②扇形的周长计算公式：
C
扇
=L
弧
+2r

r
2
③扇形的面积计算公式：
S
扇
=
r
n
2r

180
n表示
圆心角的度数
nn


r
2

360360
当n=90°时，
S
扇

n901
1

r
2


r
2


r
2
（即
圆的面积）
3603604
4

当n=180°时，S
扇

奥数思维拓展：

复杂图形的面积问题
n18 0
2
1
2

r
2


r

r
（即半圆的面积）
3603602
1.渗透三种数学思想：数形结合、推理、模型。
2.学习三种思维方法：数形结合、观察法、公式法。
思维提升：
[例]小正方形的面积是10平方厘米，求圆的面积。



[分析]
分析条件“小正方形的面积是10平方厘米”并结合图形可以看出，小正方形的边长 也
2
S

r
就是这个圆的半径，小正方形的面积也就是圆半径的平 方，根据圆的面积公式 ，就
可以算出答案。

[解答]

＝3.14×10
＝31.4（平方厘米）
答：圆的面积是31.4平方厘米。
S

r
2

[技巧]
这道题直接利用半径的平方，而不是圆的面积公式中的半径，这一点不要因为做题习惯
而忽略。

举一反三：
1.已知圆内最大的正方形的面积是37平方厘米，求该圆的面积。




2.已知图中阴影部分的面积是90平方厘米，求圆环的面积。



3.阴影部分的面积是36平方厘米，求圆环的面积。

4.求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）




5.手工课上，小红用一张直径是20cm的圆形纸片剪出如图所示的风车图案（空白部分），
则被剪掉的纸片（阴影部分）面积是多少？

6.求下图两圆阴影部分的面积之差。










7.如下图所示，正方形的边长是8cm，求阴影部分的面积。








8.求下列阴影部分的面积。



10cm

百分数的认识和读写

知识精讲1：
1、百分数的意义
（1）像上面这样的数，如14%、65.5%、120%……叫做百分数,也叫百分率或百分比。
（2）百分数表示一个数是另一个数的百分之几，如14%表示一个数占另一个数的14%。
（3）百分数是一种特殊的分数，“%”叫做“百分号”，相当于分数的分母，百分号前面的
数相当于分 数的分子。
（4）百分号前面可以是整数，也可以是小数，但不能是分数；可以比100大，也可以比 100

小，也可以是100。
（5）在生活中，我们也常用“百分点”这种生 活语言来描述涨幅或降幅，几个百分点就是指
百分之几。如5个百分点就是指5%。


2、百分数和分数的区别与联系

知识精讲2：
百分数的读法和写法
（1）百分数的写法：先写分子，再写%。
（2）百分数的读法：先读%，再读分子。（“%”读作：百分之）
①百分号的圆圈要写小一些，避免与百分号前面的数字混淆。
注意 ②百分数通常不写 成分数形式，只要把原来的分子后面加上百分号来表示，百分数
的分母固定是100，不能约分。




知识精讲3：百分率的意义:
求一个数是另一个数的百分之几与求一个数是另一个数的几分之几方法相同，都用除法计算。

知识精讲5：百分数和小数、分数的互化

(1)小数化成百分数的方法：
①先把小数改写成分母是100、1000等的分数，再化成百分数。


②把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号，位数不够时，用“0”补足。



(2)分数化成百分数的方法：
①先将分数化成分母是100、1000等的分数，然后写成百分数。



②先把分数化成小数，除不尽时，通常保留三位小数，再化成百分数。







奥数思维拓展：
求百分率问题

1.渗透两种数学思想：归化、推理。
2.学习两种思维方法：转化法、公式法。
思维提升：
1
[例]光明小学这次体育达标测试，六（1）班没达标的人数是达标人数的
19
，求六（1）班这
次测试的合格率。

[分析]
（1）题中没有给出具体数量，我们可以把具体数量的倍比关系转化为分数的比或份数的比。
1
1
19
19
（2）没达标的人数是达标人数的 ，达标人数是单位“1”，没达标人数是“ ”，那么


1
20
20
19
19
19
全班人数是“1＋ ＝ ”。求合格率，用达标人数（“1”）除以全班人数（“ ”）。

（3）也可 以用份数表示各种数量关系的多少，达标人数是19份，没达标人数是1份，全班
人数是19＋1＝20 （份）。用两个量的份数相除也可求出合格率。
[解答]
1
19
方法1: 1÷（1＋ ）×100%＝95%
19
119
方法2： ×100%＝95%


答：六（1）班这次测试的合格率是95%。

[技巧]

题中没有给出具体的量，可以把某一个量看作单位“1”或用份数来表示具体数量。

举一反三：
1
39
1.实验小学二（1）班今天没到学校的人数是到校人数的 ，求二（1）班今天的出勤率。













1
2.学校六年级召开会议，出席人数比缺席人数多54人，缺勤人数相当于出勤人数
19
，求会
议的出勤率。

3.45 kg盐水含盐6 kg，如果再加入5 kg盐，使其完全溶解，这时盐水的含盐率是多少？








1
4.生产一批零件，不合格产品是合格产品的
99
，求产品的合格率？

百分数的应用
知识精讲1：求一个数比另一个数多（少）百分之几的方法
（1）方 法一：先求一个数比另一个数多（少）多少，然后除以另一个数（即单位“1”的量）
求出百分之几。
（2）方法二：先求出一个数是另一个数的百分之几，然后减去单位“1”或用单位“1”减
去 求出百分之几。


知识精讲2：求比一个数多（少）百分之几的数是多少的解法
（1）方法一：先求出多（少）的具体数量是多少，再与单位“1”的量相加（减）；
（2） 方法二：先求出多（少）的量占单位“1”的量的百分之几，再用单位“1”的量乘这
个百分数。


知识精讲3：涨幅和降幅问题
解决涨幅（或降幅）问题时，一 定要找准单位“1”，可以假设原来的价格是一个具体的
数，也可以假设为“1”，根据求比一个数多（ 或少）百分之几的数是多少的解答方法，用乘
法计算出结果。

奥数思维拓展：
（一）抓不变量解决问题
1.渗透两种数学思想：转化、推理。

2.学习一种思维方法：变中抓不变法。
思维提升：
[例]有含盐量10%的盐水400g,要想稀释成含盐8%的盐水，需要加入多少克水？

[分析]
（1）抓不变的量：在10%的盐水中加水就改变了原来盐水的浓度，水的质量增加 了，但是
盐的质量没有改变。
（2）求不变的量：盐的质量是400×10%＝40（g）
（3）稀释后，40g盐占稀释后盐水的8%，这是单位“1”是现在的盐水的质量，可以求出
稀释后盐水的质量。
（4）增加的水的质量＝稀释后盐水的质量－原来盐水的质量

[解答]
400×10%＝40（g） 40÷8%＝500（g） 500－400＝100（g）
答：需要加入100克水。

[技巧]
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，
也可以分步解 答，有的可以用找不变量的方法解决。

举一反三：
1.浓度为40%的果汁溶液80g,需要加多少水能得到浓度为32%的果汁？

2.把40g糖加水调成浓度为20%的糖水，需要多少克的水？





3.现有浓度为20%的糖水60g,要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？





（二）用假设法解决增幅减幅问题
1.渗透两种数学思想：假设、推理。
2.学习两种思维方法：设数法、分析法。
思维提升：
[例]某品牌的电冰箱，每台提价10%后，又降价10%，现在每台电冰箱的价 钱是原价的百分
之几？

[分析]
电冰箱的原价未知，可 以设一个具体数（0除外）来解答。假设每台电冰箱的原价是“1”，
根据原价和变化幅度，先求出提价 后的价钱，在求出降价后的价钱，最后求出现价是原价的
百分之几。

[解答]
假设每台电冰箱的原价是“1”。
1×（1＋10%）＝1.1 1.1×（1－10%）＝0.99 0.99÷1＝99%
答：现在每台电冰箱的价钱是原价的99%。

[技巧]
为了使数量关系 变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数，以利
于解决问题。这种方法就是设数法 。设数法是假设法的一种特例。

举一反三：
1.一件商品，先提价15%后，又降价10%，现在这个商品的价钱是原价的百分之几？






2.在一个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是圆面积的百分之几？

3.一件商品按20%的利润定价，现在这件商 品的进价降低了20%，若按原来的定价销售，利
润率是百分之几？




统计图
知识精讲：
1.统计表： 统计表能清楚地看出数量的多少，条形图能直观地反映出数量的差异，便于比较。

2.条形 统计图：条形图是统计数据的一种方法，条形图是用直条的长短来代表数据的大小，
从条形统计图中能很 容易地看出各种数据的大小，便于比较。

3.折线统计图的特点：既可以反映出数量的多少，又能表示出数量的增减变化。

4.扇形统计图的特点与作用

（1）特点：扇形统计图，是用整个圆表示总数 量，用圆内大小不同的扇形表示各部分数量占
总数的百分比。
（2）作用：扇形统计图不仅可 以直观地比较出各个扇形的相对大小，而且能清楚地看出各部
分与整体之间的关系。

5.选择合适的统计图
（1）要表示出各种数量的多少时，选用条形统计图；
（2）既要表示出各种数量的多少，又要表示出数量的增减变 化情况时，选用折线统计图；
（3）要表示出各部分数量与总量之间的关系时，选用扇形统计图。












数学广角---数与形

1.如下图，第20行第2个数是（ ）。






2. 如下图，第一个图形中有1个正方形，第二个图形中有5个正方形，第三个图形中有14
个正方形，第四个图形中有30个正方形，第五个图形中有（ ）个正方形。






3.




2＝（ ）×（ ） 2＋4＝（ ）×（ ） 2＋4＋6＝（ ）×（ ）
你能根据规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图。
2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ）
2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝（ ）×（ ）

＝10×11

4. 看图数角。




（1）把算式补充完整。
（2）对照图形和算式，你发现了什么规律？



（3）你能算出右图中一共有多少个角吗？







5. 用小棒按下面的方法摆图形。

三角形个数： （ ） （ ） （ ） （ ）

小棒根数： （ ） （ ） （ ） （ ）
（1）完成上面的填空。
（2）拼成的三角形个数与所用小棒根数之间有什么关系？