法学专业描述-大理一中

《数学广角──数与形》教材分析
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合 起来解决问题，可以使复杂的问题变得更
简单，使抽象的问题变得更直观。
数与形相结合的例 子在小学数学教材与教学中随处可见。有些情况下，是图形中隐含着数的规
律，可利用数的规律来解决图 形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。例如，第
109页第2题（如下图），使学生通 过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比
第2个图增加3个小圆，第4个图比第3个 图增加4个小圆……这样依次下去，各个图形中的小圆
个数分别是1，3，6，10，…，即1，1+2 ，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第个图，小圆的个数是
。等学生将来学习了等差数列的有关知 识，就知道第个图形中小圆的个数是
。

而有些情况下，是利用图形来直观地解释一 些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤
其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需 要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长
方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解 分数除法的算理，利用面积模型来解
释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。

还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形 ”来解决“数”
的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。 小学中的
正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。

本单元教材以“”“”为例，
引导学生认识利用数和形的结合解决一些有趣的数学问题。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别
新教材把 《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》上册的“鸡兔同笼”问题移至四年级下
册，新编“数形结合 ”的内容。本册的数学广角，编排了一个新的内容──数与形。
二、教材例题分析
例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。
本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和 。在计算时，即使不借助图形，也可以通过
，
，
…发现规律：从1开始，连续个奇数之 和，就是的平方。但
把图形与算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显 而易见（每个
图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正 方
形的总数是）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形的个数分
别是1，3，5，7，…)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是
。从图形的角度 直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，
使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点 得到关于数的规律。
例2：等比数列之和等于1。
本例让学生计算的得数。学生在计算的过程中发现
，，，…

加数有 规律，即后一个加数是前一个加数的
去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1。
；和也 有规律，每次相加所得的和都等于1减
这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。但这个无限接近 于1的数到底是多少呢？教
材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些 加数，使学生借助图
理解：无限加下去，最终的得数为1。由此，教材借助图形解决了比较抽象的、复杂 的、不好解决
的问题。
但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为1 这一事实不能理解，这
也是非常正常的。可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为，教师可以 追问：如
果再加上一项呢？加上，和就变成了。不管找到一个多么接近1的数，总还能再加一项，
得到一个比它更接近1的和，这恰恰是极限思想的精髓所在。第二种，可以利用反推的方法来使学
生明 白其中的道理：

……
本单元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的数的规律，会 利用图形来解决一些有关数的问
题，并学会应用所发现的规律。教学难点是体会和掌握数形结合、归纳推 理、极限等基本数学思想。
基于上述内容和要求，教师在实际教学时需注意以下方面问题：
（一）引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力
“形”的问题 中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决。教
师教学时，通过学生的自主探究、 合作交流，既要让学生充分利用图形的直观、形象
特点，用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简捷 性；同时，又要让学生寻找图

形中所包含的数的规律，用数（或代数式）来表示图形，建 立模式，感受用数或者代
数式表示的概括性。总之，要让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合 ，并
逐步培养学生的抽象概括能力。
（二）引导学生从多角度探索数与形的通用模式，培养学生的数学思想
小学阶段，虽然不要求 写出一个数列的通项公式，但可以通过数形结合的方式，利用
图形的规律，从不同角度用自己的语言描述 出数列的通用表达式，进而达到渗透数形
结合、抽象概括等数学思想的教学目的。

《数学广角──数与形》重难点突破
一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来 解决一些有关数的问题，并学会应用
所发现的规律
突破建议：
1．引导学生数形结 合，从不同角度寻找规律。形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以
用形来帮助解决，教学时，要让 学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角
度出发，让学生看看可以怎样用图形来 表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。
通过数与形的对应关系，互相印证结果，感 受数学的魅力。例如，教学例1时，可从形引入，先让
学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是 怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小
正方形数为1，2，3，…的结论；也可以使学生看到三 个图中的小正方形数还可以分别表示成1，
1+3，1+3+5，…的结论。也可以从数引入，让学生通 过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，…有的学生
可能很快发现4=2，9=3，…此时老师可以 引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形
的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方 ，平方数代表的又是图形中的什么。从而对规律
形成更为直观的认识。
2．充分发挥教师的指 导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。例2
中，“无限”的概念非常抽象，学 生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导
作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师 可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根
据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看 到最终的结果是“1”。从而进一步感受到“化数
为形”的直观、形象、简捷特点。当然，如果学生还是 有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学
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生理解。
二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想
突破建议：

1．在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归纳推理等数学思想。本单元教
学通过 数与形的比照，引导学生从不同角度探索规律。例如，通过观察与计算1，1+3，1+3+5，
1+3 +5+7，…既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽
象，形 成模式，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。显然，这样的一个教学过程，既
是学生自主探 究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化的过程体
会与领悟推理和数形 结合的思想。
2．在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培养基本的数学思想。例如 ，在
例2教学中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一< br>穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽”类推，使学生在这一过程中体会推理
和极限的思想。