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体育比赛中的
数学问题

教学目标

1. 培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口
2. 能够利用所学的数论等知识体育比赛中数学问题

知识点拨

体育比赛中的数学
对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“ 另一队的负、胜、
平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整 体考虑，
通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。

例题精讲

模块一、体育比赛中的数学之计算场次
1
例题1
三年级 四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？
一共要进行多少场比赛？ （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单

循环赛）









【巩固】 市里举行足球 联赛，有
5
个区参加比赛，每个区出
2
个代表队．每个队都要与其他
队赛一场，这些比赛分别在
5
个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行
多少场 比赛？








【巩固】 二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比
赛？









【巩固】
20
名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一 共要比
赛多少场？








【巩固】 三年级二班的六名同学进行乒乓球单单循环赛，一共要进行多少场比赛？

2
例题2
（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）初赛）学校进行乒乓球选拔赛，
每个参 赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了
36
场比赛，有

（ ）人参加了选拔赛．









【巩固】 朝阳区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了
28< br>场，那么有
几个学校参加了比赛？








3
例题3
A
、
B
、< br>C
、
D
、
E
五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到 现在为止，
A
已经赛
4
盘，
B
赛
3
盘，< br>C
赛
2
盘，
D
赛
1
盘．问：此时
E
同学赛了几盘？








【巩固】 八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要< br>赛一场，一个月过后，八一队赛了
4
场，北京队赛了
3
场，江苏队赛了
2
场，山东
队赛了
1
场．那么广东队赛了几场？





【巩固】 A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环 制。现在知道：A、B、C、D、E五
人已经分别赛过5．4、3、2、l盘。问：这时F已赛过 盘。

4
例题4











趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定 男女双方都不能和自
己的原搭档在一起表演．男士用
A
、
B
、
C
表示，女士用甲、乙、丙表示．已知

前面表演过程中
A
和甲一 起滑过，
B
和丙一起滑过，
C
和甲一起滑过，
B
和乙一起滑过，
C
的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？
5
例题5
东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问
另一个人胜 了几场？










【巩固】 东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果
3
人获胜的场 数各不相同．问
第一名胜了几场？









6
例题6






参加世界杯足球赛的国家共有
32
个（称
32
强），每四个国家编入一个小组，在第
一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各 国进行一场比

赛，赛出
16
强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜 负，产生
8
强、
4
强、
2
强，最后决出冠军、亚军、第三名 ，第四名．至此，本届世界杯的所有比赛结
束．根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？

模块二、体育比赛中的数学之分数计算
7
例题7
四个人进行象棋单循环 赛，规定胜者得
2
分，负者得
0
分，和棋双方各得
1
分，比
赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？









【巩固】 五个人进行象棋单循环赛，规定胜者 得
2
分，负者得
0
分，和棋双方各得
1
分，比
赛结 束后统计发现，五个人的得分和加起来一定是多少？
8
例题8













五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得
2
分、
负者得
0
分、打平两队各得
1
分．比赛结果各队得分互不相同． 已知：⑴第
1
名的

队没有平过；⑵第
2
名的队没有负过； ⑶第
4
名的队没有胜过．问全部比赛共打平
了 场．
9
例题9










A
、
B
、
C
、
D
、
E
五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一
盘，规定胜者得
2
分，负者不得分，已知比赛结果如下：

①
A
与
E
并列第一名
②
B
是第三名
③
C
和
D
并列第四名
求
B
得多少分？

【巩固】 班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局． 每局胜者得
2
分，平者各
得
1
分，负者得
0
分．已 知甲、乙、丙三名同学得分分别为
3
分、
4
分、
4
分，且< br>丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？







【巩固】 （走进美妙数学花园少年数学邀请赛）甲、乙、 丙、丁四人进行象棋比赛，每两
个都比赛一场，规定胜者得
2
分，平局各得
1
分，输者得
0
分．结果甲第一，乙、
丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分 ？







10
例题10
（2001年第八届华杯赛决赛二试）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1
分，无平局．其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无

并列情况．请计算出各队的得分．








【巩固】 四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场．规定如下：胜者得
2
分，负
者不得分，平局得
1
分．比赛结果如下：两名同学并列第一 名，两名同学并列第三
名．已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？







11
例题11


（全国小学数学奥林匹克）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得
2
分， 平一局得
1
分，负一局得
0
分．比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不

相同，那么至少有几局平局？

12
例题12








【巩固】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）五个运动队 参加商业足球比赛．原计划每两个队
都要比赛一场，但由于经费不足，取消了其中一些比赛场次，最终发 现各个队所
得的积分各不相同，而且从积分表上看，没有一个队的积分为0.积分的计算办法
是 ：每赢一场得3分，每输一场得0分，每平一场得1分．试问，这次比赛最少
可能有 场．








（2009年迎春杯中年级组决赛）
A
、
B
、
C
、D
、
E
、
F
六个足球队进行单循
环比赛，每两个队之间 都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平

局每队各得1分．比赛结果，各队得 分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3
名的队得了8分，那么这次比赛中共有 场平局．
13
例题13
5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分 ，负方得0
分，平局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得
分．









【巩固】 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者< br>得3分，负者得0分，平者各得1分．比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4
分，丙队共得2分 ，那么丁队共得
分．

【巩固】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3
分，平一场得
1
分，负一场得
0
分，
有一个队没输过 ，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种
情况何时出现，如果不可能，请你说明理 由．









14
例题14
德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛 一场。已知：
（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总进球数是1，

总失球数是2，并且该队恰好胜了一场。按规则：胜一场得2分，平一场得1分，

负一场得0分。问德国队得了______分。








【巩固】 有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进
写出每队比赛的比分。






球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你
15
例题15







第四 届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一
场比赛，每场比赛胜者得3
分，负者得
0
分，平局两队各得
1
分．比赛完成之后各

队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是__________
分．

16
例题16












（ 2006年实验中学考题）1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分
在同一小组．在小 组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据

规定：每场比赛获胜的队可得3 分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得
1分．已知：⑴这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇 数；⑵乙队总得分排在
第一；⑶丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的．根据以上条件< br>可以推断：总得分排在第四的是 队．
17
例题17







（2004年走美）12个队参加一 次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，
胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分．比赛完毕 后，获得第3名和第4名

的两个队的得分最多可以相差 分．
18
例题18







< br>（2003年迎春杯）世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一
场，胜一场得 3分，负一场得0分，平局各得1分．每个小组总分最多的两支球

队出线．如果在第一小组比 赛中出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至
少得多少分，一定能够出线？
19
例题19







（2 003年《小学生数学报》数学邀请赛）在一次“
25
分制”的女子排球比赛中，
中国 队以
3:0
战胜俄罗斯队．中国队
3
局的总分为
77
分，俄 罗斯队
3
局的总分为

68
分，且每一局的比分差不超过
4
分．则
3
局的比分分别是
____:____
、
____: ____
、
____:____
．(不考虑这3局比分之间的顺序)

20
例题20








由
A
，
B
，
C
三 个班中各出3名学生比赛长跑．规定第一名得9分，第二名得8
分，第三名得7分，……，第八名得2分 ，第九名得1分．比赛结果是三个班总

分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个 班的学生获得相连名次
的．如果第一名是
C
班的，第二名是
B
班的． 那么最后一名是哪个班的？
21
例题21
（2008年南京市第四届青少年“科 学小博士”思维训练系列活动）甲、乙、丙三人
用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1 人当裁判．每一局的输

方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共

打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局．那么整个训练中的第3局当裁

判的是 ．







【巩固】 （走进美妙数学花园少年数学邀请赛）三人打乒乓球，每场两人，输者退下换另< br>一人，这样继续下去，在甲打了
9
场，乙打了
6
场时，丙最多打几场？







22
例题22








三名学生进行 了若干科目的考试，以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多，
其次是第二名，第三名得分最少。各 科都是如此记分.已知甲最后得
22
分，乙最

分，丙也是得
9
分.并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？ 后得
9
模块四、计算中的逻辑推理
23
例题23
学校组织了一 次投篮比赛，规定投进一球得
3
分，投不进倒扣
1
分，如果大明得
3 0
分，且知他有
6
个球没有投进，那么大明共投了几个球？

24
例题24










小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，
售货员叔叔找给他5角5分．小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说：“叔叔，

您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？
25
例题25










张 红因病在家休息了几天，这期间的气候是：⑴下了8次雨，时间是上午或下午；
⑵当下午下雨时，当天上 午是晴天；⑶有9个下午是晴天；⑷有13个上午是晴天。

问她一共在家休息了几天？
26
例题26








五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的
10
岁，最 小的
4
岁，
最大的女孩比最小的男孩大
4
岁，最大的男孩比最小的女 孩也大
4
岁，求最大的

男孩的岁数．

27
例题27











四对夫妇坐在一起闲谈．四个女人中，
A
吃了
3
个梨，
B
吃了
2
个，
C
吃了
4
个，
D
吃了
1
个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的
2
倍，丙

吃的是妻子的
3
倍，丁吃的是妻子的
4
倍．四对夫妇共吃了
32
个梨．问：丙的妻
子是谁？
家庭作业


1
练习1




< br>有
8
个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几
局？

2
练习2






四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得
2
分，
平一局得
1
分，负一局得
0
分．如果每个人最后得的总分都不 相同，且第一名不是

全胜，那么最多有几局平局？
3
练习3

（1997年“我爱数学”夏令营）
A
、
B
、
C
、
D
四个队举行足球循环赛（即每两
个队都要赛一场），胜一场得3分，平一场得1分， 负一场得0分．已知：⑴比赛

结束后四个队的得分都是奇数；⑵
A
队总分第 一；⑶
B
队恰有两场平局，并且其
中一场是与
C
队平局．那么，D
队得 分．

4
练习4








在世界杯小组赛上，每四个队进行单 循环比赛，每场比赛胜队得
3
分，负队得
0
分，
平局则两队各得1
分．小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，

如果总积分相同 ，还要按进一步的规则排序．那么一个队至少要积几分才能保证
本队必然出线？若有一个队总积分是5
分，则这个队可能出线吗？
5
练习5








振华小学组织了一次投篮比赛，规定投进一球得
3
分，投不进倒扣
1
分．小亮投了
5
个球，投进了
3
个．那么，他应该得多少分？

月测备选

1
备选1



8
只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？

2
备选2










1
备选3









4
备选4










一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手< br>都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得
0.5分．结果， 甲队选手平均得

4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得
9分．那么， 甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？
三（一）班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢
1
局得
3
分，输
1
局倒扣
1
分，平
1局各得
1
分．小晴共参加了
6
局比赛，结果胜了
3
局， 平了
1
局，那么小晴的最后
得分是多少？


（2006年 浙江省小学数学活动课夏令营）足球世界杯小组赛的每个小组有四个
队参加单循环（每两个队之间都踢一 场）比赛，每组的前两名可以出线.其积分
方法为：每胜一场得

3
分，平一 场得
1
分，负一场得
0
分．当两个组的积分相同
时，以净胜球数（总 进球数减去总失球数的差）的多少来定名次，净胜球多的队
排名靠前.已知某队以最低的积分出线了，那 么这个队在小组赛中的积分是
分．