山东大学招生信息网-新教师述职报告

应用题
平均数问题：求若干个数的平均数，就是将个数的总和除以这些数的个数的商，重
要公式有：
1、平均数=若干个数的总和

数的个数
2、若干个数的总和=数的个数

平均数
知
识
概
述
还原问题：有一些应用题的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已
知条件一步 一步倒着推理。逐步靠拢所求，直到解决问题，这种思考问题的方法，
通常我们把他叫做还原法或者倒推 法。
工作问题：三个基本的数量：工作时间、工作效率和工作总量
工作效率的概念：我们把 每小时（每分、每天等）完成的工作量叫做工作效率。可
以得到下面的基本公式：
1、工作效率=工作总量÷工作时间
2、工作时间=工作总量÷工作效率
3、工作总量=工作效率×工作时间

羊村有一个长方体的水槽可容水480吨，水 槽装有一个进水管和一个排水管。单开进水管8小时可以把空
池注满，单开排水管6小时可把满池水排空 ，如果装满一池水后，两管齐开需多少小时把满池水排空？
【解析】
根据公式：工作效率=工作总量÷工作时间
所以，进水的速度：480÷8=60吨小时

名
师
点
题

例1


解决这类 数的平均数的问题的关键在于弄清总和与所对应的个数。而工作问题中对
于复杂的工作效率处理方法：从 已知的条件中寻找出工作效率数量关系，把一个复
杂的工作效率问题分解成几个简单的问题解决，在还原 问题中把最后的结果直接往
前推，记住每次操作一定要用单独的式子进行计算，而不能够利用综合算式。

排水的速度：480÷6=80吨小时
那么排水管在排出进水管进的水的同时，每小时排出80-60=20吨水，所以两管齐开，实际的工作 效率就
是排出水20吨小时。
因为总量是不变的，是480吨，所以工作时间=工作总量÷工作效率=480÷20=24小时。

例2

阿奇参加射击比赛，他一共打了
10
枪，每枪都射中靶子， 位置如图中的“

”所示。图中数字表示击中靶
子各部位能得到的分数。请问：阿奇此次打靶的平均分是多少？
2
4
6
8
10

【解析】
这
1 0
枪的得分分别为
2
、
2
、
4
、
4
、
4
、
6
、
6
、
6
、
8
、
8
，总分为
2243638250
（分）。
份 数为
10
份，所以阿奇此次打靶的平均分是
50105
（分）。


例3

一群蚂蚁搬家，原存一堆食物，第一次运出一半少1 20克，第二次运出剩下的一半多100克，第三次运
出480克，这时窝里还有280克。问窝内有多 少食物？

【解析】还原问题思想中把最后的结果直接往前推，所以得：
第三次没有运时，剩下部分为280＋480＝760(克)
第二次没有运时，剩下部分为(760＋100)×2=1720(克)
第一次没有运时，剩下部分即原有食物为 (1720—120)×2＝3200(克)
窝内原有食物3200克。

【巩固拓展】
1、一水池可以容水120吨 ，水池装有一个进水管和一个排水管，单开进水管12小时可以把空池注满，单
开排水管10小时可把满 池水排空，水池中原来有一些水，如果进水管和排水管两管同时进水和排水，需
要10小时才能把水池排 空，求原来水池中有多少水？
【解析】
工作效率=工作总量÷工作时间
所以进水管的速度是：120÷12=10吨小时

排水管的速度是：120÷10=12吨小时
实际的工作效率就是排出水2吨小时。
10小时排空水，求工作总量=工作效率×工作时间
原来水池中有的水：2×10=20吨。


2、学校三年级有
4
个班，每班有
50
人；四年级有
6
个班，每班有
40
人。学 校三、四年级平均每班有多少
人？
【解析】
三、四年级总人数：
450640440
（人），
班级数：
4610
（个），
平均每班的人数：
4401044
（人）。
3、一根金丝用于制作工艺 品，第一次用去2米，又用去余下的一半；第二次用去2米，又用去余下的一
半。最后还剩2米，求金丝 原有多少？
【解析】
不妨把第一次分作为两次，一次用2米，又一次用余下的一半。第二次也分作为两次。
第二次中没用余下的一半时，有金丝2×2＝4(米)
第二次中没用2米时，有金丝4＋2＝6(米)
第一次中没用余下一半时，有金丝6×2＝ 12(米)
第一次中没用2米时，即原有金丝12＋2＝ 14(米)
金丝原长14米。
.


例1

一篇文稿5600个字，懒羊羊和沸羊 羊合作打字，需20分钟完成，两人合打了8分钟后，懒羊羊偷懒说肚
子痛就去睡觉了，剩下的只能有沸 羊羊一个人打完。若这篇文稿由懒羊羊单独打需28分钟完成，问沸羊
羊又打了几分钟才完成？

【解析】
5600字，2只小肥羊合作需要20分钟完成，
所以2人合作的工作效率=工作总量÷工作时间=5600÷20=280字分钟
8分钟的工作量=280×8=2240字
所以剩下的由沸羊羊独立打的工作总量=5600-2240=3360个

因 为这部书由懒羊羊单独打需28分钟完成，所以懒羊羊的工作效率=工作总量÷工作时间=5600÷28=20 0字
分钟
因为2人合作的工作效率是280字分钟，懒羊羊的工作效率是200字分钟，所以 沸羊羊的工作效率
=280-200=80字分钟
所以，沸羊羊之后单独工作的工作时间=工作总量÷工作效率=3360÷80=42分钟


【巩固拓展】
羊村现在有一批青草需要从一个仓库搬运到另一个仓库，一共500箱青草，如 果甲、乙队合作20天可以
搬完，但是在共同搬了8天后，甲队离开了，由乙队继续搬了15天才搬完. 如果这批货单独由甲队或乙队
单独完成，各需要几天？）

【解析】
因为合作20天可以搬完500箱，所以合作的工作效率=500÷20=25箱天
所以乙单独工作的工作总量=500-（25×8）=300箱
所以乙的工作效率=300÷15=20箱天
所以甲的工作效率=25-20=5箱天
所以甲队单独搬运这批青草需要500÷5=100天
所以甲队单独搬运这批青草需要500÷20=25天

（2008年第八届“中环杯”决赛）
例2
A
、
B
、< br>C
、
D
四个数两两配对，可以配成六对，这六对的平均数分别是
12< br>、
13
、
15
、
17
、
19
、20
，
那么原来这四个数的和是多少？
【解析】

这六对分 别为
AB
、
AC
、
AD
、
BC
、
BD
、
CD
，总共
12
个数，这
12
个数的和为< br>2(121315171920)296192
，而这
12
个数中总共出现了
3
组
A
、
B
、
C
、D
，所以原来这
四个数的和为
192364
。


【巩固拓展】
甲、乙、丙、丁四个小队拾松果，甲、乙、丙三队平均每队拾
24千克，乙、丙、丁三队平均每队拾
26
千
克，已知丁队拾
28
千 克，那么甲队拾多少千克？

【解析】
甲、乙、丙三队的总共拾取了
24 372
（千克），乙、丙、丁三队总共拾取了
26378
（千克），那么甲比丁少拾取了
78726
（千克），所以甲队拾取了
28622
（千克）。

例3

甲、乙、丙三位小朋友共有81个 玻璃球，开始甲给了比乙多一倍的球给乙，然后乙给了比丙多一倍
的球给丙，最后丙给了比甲多一倍的球 给甲，这样最后甲、乙、丙三人的小球数正好相等。原来甲有玻璃
球多少个？乙有玻璃球多少个？丙有玻 璃球多少个？

【解析】 多个量问题可利用图标法来帮助解题

最后
第三次变化前
第二次变化前
原来

答：原来甲有玻璃球47个，乙有玻璃球19个，丙有玻璃球15个。


【巩固拓展】
甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的 钱数都比原来增加了
2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2倍 ，结果丙的钱最多；
最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加2倍，结果三人的钱数一样多， 如果他们三人共有81
元，那么三人原来分别有多少钱？

【解析】

最后
第三次变化前
第二次变化前
原来

答：原来甲有61元，乙有19元，丙有7元。

甲
81÷3=27
27÷（1+2）=9
9÷（1+2）=3
9+2×（19+7）=61
乙
81÷3=27
27÷（1+2）=9
9+2×（3+21）=57
57÷（1+2）=19
丙
81÷3=27
27+2×（9+9）=63
63÷（1+2）=21
21÷（1+2）=7
甲
81÷3=27
27÷（1+2）=9
9
9+19×2=47
乙
81÷3=27
27
27+15×2=57
57÷（1+2）=19
丙
81÷3=27
27+9×2=45
45÷（1+2）=15
15

（
2008
年第六届“小机灵杯”复赛）
一个旅游团租车出游，平均每人应 付车费
40
元，后来又增加
8
人，这样每人应付车费
35
元 ，租车费是多少
元？
例4

【解析】
根据题意两个阴影部 分面积相等，所以旅游团原来有
358(4035)56
（人），
租车费总共
56402240
（元）。

40元
35元
？人
8人


【巩固拓展】
四年级一班有
6
名女学生，她们的平均身高是
140
厘米，如果她们当中有
1
人离开，剩下
5
人的平均身高就
变成
135
厘米 ，请问：离开的那个女生身高是多少厘米？

【解析】
（方法一）这
6< br>名女学生总身高为
1406840
（厘米），剩下
5
人的总身高为
1355675
（厘米），所以
离开的那个女生的身高为
840675 165
（厘米）。
（方法二）根据题意画矩形图，可知阴影部分面积等于四边形
A BCD
的面积，
(140135)(51)30
，所
以离开的那个女 生的身高为
135301165
（厘米）。
A
D
140厘米
135厘米
B
C
？厘米
5
1



例1

村长要加工3000件儿童玩具，所以将所有的小羊分成了3个队伍，如果 3个队伍都单独工作，甲队需10
天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲 队中途撤走了，结果一共用了6天完
成这一工程。问：甲队实际工作了几天？

【解析】
要求甲队实际工作了几天，就是求甲队的工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率 ，所以要先求出甲队的
工作效率和工作总量。

甲队的工作效率=3000÷10=300件天
甲队的工作总量=3000-乙队的工作总量-丙队的工作总量
乙队的工作效率=工作总量÷工作时间=3000÷15=200件天
丙队的工作效率=工作总量÷工作时间=3000÷20=150件天
乙队的工作总量=200×6=1200
丙队的工作总量=150×6=900件
所以甲队的工作总量=3000-1200-900=900件
所以甲的工作时间=工作总量÷工作效率=900÷300=3天

例2

（第11届中环杯初赛）
有5个大小不同的数，由小到大排列，依次为A、B、C、D、E。 这5个数的平均数是62，较小的4个数的平
均数是60，较大的4个数的平均数是66，中间数C是3 的倍数，D是偶数。求A、B、C、D、E各是多少？
【解析】
平均数问题。5个数的总和 为62×5=310，前4个数的和为60×4=240，所以E为310-240=70；后四个数的和为66×4=264，所以A为310-264=46；中间三个数为264-70=194，平均为194÷ 3=64…2，D要比64大，只能为66
或者68.D为66的话，C至少为63，则B=194-6 6-63=65比C大。所以D只能为68，C为66的话，B=194-68-66=60
符合题意， C为63的话，B也为63，与C相同，不符合题意。所以，A=46，B=60，C=66，D=68，E=7 0。

例3

兄弟三人分
24
个桔子，每人所得个数分 别等于他们各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给
老大与老二，接着老二把现有的桔子的一 半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二
与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问 ：兄弟三人的年龄各多少岁？

【解析】
3
＝
8
（个）桔 子。由此列表由于总共有
24
个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有
24÷
逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老 三原来分别有桔子
13
，
7
，
4
个，现在的年龄依次为13
，
7
，
4
岁。

(
逆推时注意， 拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以
2
；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半。
)



例4

（第十二届中环杯）
甲、乙两个油桶中各装了15千克油。售货员在售出14千克 油后对两个油桶中的油进行了重新分配。他先
把甲桶中的一部分油倒入乙桶中，使乙桶中的油增加了5千克。然后又把乙桶中的一部分油倒回甲桶中，
使甲桶中的油增加了一倍。这时，甲桶中的油恰好是乙桶中的油的7倍。问原来两个桶中各售出了多少千
克油？

【解析】
由题意，售出14千克，还剩余16千克。而最终甲桶是乙桶的7倍，和倍问题，
可知乙桶有16÷（7＋1）＝2（千克），甲桶有2×7＝14（千克）。列表还原如下：
甲桶（千克） 乙桶（千克）
14
7
12
2
9
4
计算过程（千克）

14÷2＝7；2＋7＝9
9－5＝4；7＋5＝12
由此，甲桶售出了：15－12＝3（千克）；乙桶售出了：15－4＝11（千克）。


例5

（第七届“走进美妙数学花园”初赛）
柯南家
2008
年一年用电
10200
千瓦时，上半年的月平均用电比下半年的月平均用电少
100
千瓦时，柯南家
下半年月平均用电为多少千瓦时。
【解析】
（方法一）上半年比下半年少用电
1006600
千瓦时，根据和差问题的公式可知，下 半年用电量为
，所以下半年月平均用电
54006900
（千瓦时）。
(10200600)25400
（千瓦时）
（方法二）这
12
个月的 平均用电为
1020012850
（千瓦时）。根据矩形图可知四边形
ABCD< br>的面积等于
阴影部分面积，为
1006600
，所以阴影部分的宽为
6001250
（千瓦时），所以下半年月平均用电为
。
85050100900
（千瓦时）

A
B< br>100千瓦时
D
850千瓦时
C
6个月6个月

例6

甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增 加1倍。经
过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖。请问：两个人原来分别有多少块 糖？

【解析】 根据题意，画出表格，逆推如下：

最后
2005次操作前
2004次操作前
2003次操作前
2002次操作前
2001次操作前
2000次操作前
甲
10
14
16
8
4
2
10
……
利用周期求出第一次操作前。
2005÷6=334……1
所以甲为14块，乙为4块
答：甲原来有14块，乙原来有4块。

乙
8
4
2
10
14
16
8



1、现在有280个零件需要加工，需要在4小时内加工好，现在有若干个工人， 每个工人每小时可以加工
10个零件，请问，需要多少个工人，才能完成工作。

【解析】
因为有280个零件，要在4小时内加工好，所以每小时需要加工完 的零件数为280÷4=70个，因为每个工
人每小时可以加工10个零件，所以需要的工人数是70÷ 10=7人


2、有3个小朋友去测体重，小生和大新的平均体重是40千克；小 生、大新和小玲三人的平均体重是38
千克。小玲体重多少千克？又知大新比小生重4千克，他们两人各 重多少千克？
【解析】
这里要应用已知的平均数来求总数，是平均数的反问题。由两人的总 数与三人总数的差别求出多出来的第
三者的体重。为解第二个问题要请小朋友一起来重温一遍和差问题的 解法，即
解 三人总重量： 38×3＝114(千克)
其中两人总体重： 40× 2＝ 80(千克)
小玲的体重： 114－80＝34(千克)
大新的体重： 40×2＋4)÷2=42(千克)
小生的体重： (40×2-4)÷2=38(千克)


3
、甲、乙、丙三组共有图书
90
本，乙组向甲组借
3< br>本后，又送给丙组
5
本，结果三个组拥有相等数目的
图书。问：甲、乙、丙三个 组原来各有多少本图书？

【解析】
尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但 图书的总数
90
本没有变，由最后三个组拥有相同数目的
3
＝
30< br>（本）。根据题目条件，原来各组的图书为

图书知道，每个组都有图书
90÷
甲组有
30
＋
3
＝
33
（本），

乙组有
30—3
＋
5
＝
32
（本），

丙组有
30—5
＝
25
（本）。




4、修一条120米的路，甲队单独修8天完成，丙队单独修10天完成，丙队单独修15天完成，若要 在6
天完成，应该怎么办？

【解析】甲队每天修的路=120÷8=15米
丙队每天修的路=120÷10=12米
丙队每天修的路=120÷15=8米
因为要6天完成，所以每天要修的路=120÷6=20米
因为20=12+8，所以只要让丙队和丙队一起去修路就可以了

5、悦在商场买了
3
斤水果糖、
1
斤花生糖和
2
斤奶糖。已知水果糖每斤
8
元，花生糖每斤
7
元，奶糖每斤
10
元，问：小悦买的糖果平均每斤多少钱？
【解析】
总钱数为
38172102472051
（元），
共
3126
（斤），
平均每斤
5168.5
（元）。
6、运一批货一共480箱，甲队每天 搬8小时，5天搬完；丙队每天搬10小时，6天搬完。两队合作，每
天工作6小时，几天可以完成？

【解析】甲队每天搬8小时，5天搬完，一共工作了40小时
丙队每天搬10小时，6天搬完，一共工作了60小时
甲队的工作效率=480÷40=12箱小时
丙队的工作效率=480÷60=8箱小时
甲丙两队合作的工作效率=12+8=20箱小时
工作时间=工作总量÷工作效率=480÷20=24小时
因为每天工作6小时，所以需要24÷6=4天