骆马湖-初中教师述职报告

2017年第十五届“走美杯”小数数学竞赛初赛试卷
（四年级B卷）


一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）

1．（8分）计算： 四十二亿九千四百九十六万七千二百九十七除以六百七十万零
四百一十七等于 （用数字作答）．

2．（8分）将一个周角平均分成6000份，其中的一份作为角的度量单 位，则可
以得到一种新的度量角的单位：密位．显然，360°=6000密位，那么45°=
密位，1050密位= °．

3．（8分）两个标准骰子一起投掷1次，点数之和恰好为10的可能性（概率）
为 （用分数表示）．


4．（8分）大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自 身的2倍，则这样
的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6= 12，
6是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题
之一．研究 完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，78的所有因数之
和为 ．

5．（8分）“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52
张扑克牌（不包括大 小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=l，J=11，
Q=12，K=13）通过加减乘除 四则运算得出24，先找到算法者获胜．游戏规定
4张牌扑克都要用到，而且每张牌只能用1次，比如2 ，3，4，Q，则可以由
算法（2×Q）×（4﹣3）得到 24．

如果在一次游戏中恰好抽到了以下两组排，请分别写出你的算法：

（1）5，5，9，9，你的算法是

（2）4，5，8，K，你的算法是 ．

二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）

6．（10分） 用5个边长为单位长度的小正方形（单位正方形）可以构成如图所

示的5﹣联方（在中国 又称为伤脑筋十二块）．在西方国家，人们用形象的拉
丁字母来标记每一个5﹣联方．其中，既不是中心 对称图形也不是轴对称图形
的5﹣联方为 ：既是中心对称图形又是轴对称图形的5﹣联方
为 ．


7．（10分）将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，
则最少需要 种颜色．


8．（10分）在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛 、壬、癸
被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫
作“十二地 支，；十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅．一直
到癸亥，共得到60个组合，称为六十 甲子．如此周而复始用来纪年的方法，
称为甲子纪年法在甲子纪年中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑” 外，还
有 ．

9．（10分）在印度河畔的圣庙前，一块黄铜板上立着3根 金针，针上穿着很多
金盘．据说梵天创世时，在最左边的针上穿了由大到小的64片金盘，他要求
人们按照“每次 只能移动一片，而且小的金盘必须永远在大的金盘上面”的
规则，将所有的64 片 金盘移动到最右边的金盘上面．他预言，当所有64片
金盘都从左边的针移动到右边的时候，宇宙就会湮 （yan）灭．

现在最左边金针（A）上只有6片金盘，如图（1）所示，要按照规则，移动成图
（2）的状态，至少需要移动 步．

10．（1 0分）用3颗红色的珠子，2颗蓝色的珠子，1颗绿色的珠子串成圆形手
链，一共可以串成 种不同的手链．

三、填空题（共5小题，每小题12分，满分60分）

11．（12分）索玛立方体组块是丹麦物理学家皮特•海音（Piet Hein）发明的7
个小立方体组块（如图所示，注意5号与6号组块，这是两个不同的组块）．因
为利用这7个组块可以恰 好组成一个立方体，所以称为索玛立方体组块．一
个索玛立方体组块如果能够被某个平面分割成形状完全 相同的两部分，则称
这个组块是可平面平分的．那么，这些组块中有而且只有1种分割方法的可
平面平分组块为 ，不可平面平分组块为 （填0表示没有）．


12．（12分）在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在
单位正方形的顶点（ 又称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形．最简单
的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外 ，内部或边上不含格点的
格点三角形称为本原格点三角形，如图所示的格点三角形MBN．每一个格点多
边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形．那么，图中的格点四边
形的面积为 ，可以划分为 个本原格点三角形．

13．（12分）如 果一个长方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个
长方形称为完美长方形．已知下面的长方 形是一个完美长方形，分割方法如
图所示，已知其中最小的三个正方形的边长分别为1，2，7，那么， 图中没有
标示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为 ．

14．（12分）如果两个不同自然数的积被5除余1，那么我们称这两个自然数互
为“模5的倒数 ”．比如，3×7=21，被5除余1，则3和7互为“模5的倒
数”．即3与7都是有“模5的倒数” 的数．那么8，9，10，11，12中有“模
5的倒数”的数为 ，最小的“模5的倒数”分别为 ．

15．（12分）将自然数1到16排成4×4 的方阵，每行每列以及对角线上数的和
相等，这样的方阵称为4阶幻方．幻方起源于中国，在世界上很多 地方也都
有发现．下面的4阶幻方是在印度耆那神庙中发现的，请将其补充完整：

2017年第十五届“走美杯”小数数学竞赛初赛试卷
（四年级B卷）

参考答案与试题解析



一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）

1．（8分）计算：四十二亿九 千四百九十六万七千二百九十七除以六百七十万零
四百一十七等于 641 （用数字作答）．


【分析】首先要把数四十二亿九千四百九十六万七千二百九十七和六百七十万零
四百 一十七写出来，然后计算即可．

【解答】解：四十二亿九千四百九十六万七千二百九十七写作：4294967297

六百七十万零四百一十七写作：6700417

4294967297÷6700417=641

【点评】本题考查的数的读写，正确写出数，进行计算即可．



2．（8分）将一个周角平均分成6000份，其中的一份作为角的度量单位，则可
以得到一种新的度量 角的单位：密位．显然，360°=6000密位，那么45°=
750 密位，1050密位= 63 °．


【分析】根据题意可知1°=
【解答】解：1°=
4 5°=45×
密位，1密位=
密位，1密位=°，

=63°

°，据此解答即可．

=750密位，1050密位=1050×
【点评】本 题考查的是单位换算，根据题意算出1°=
是解答本题的关键．



密位，1密位=°，
3．（8分）两个标准骰子一起投掷1次，点数之和恰好为10的可能性（概率）
为 （用分数表示）．

【分析】每个骰子的 点数分别是1、2、3、4、5、6，所以投掷两个骰子的点数
之和可能有：6×6=36种情况，其中 相加等于10的有（4，6）、（6，4）、（5，
5）这3种情况，据此解答即可．

【解答】解：投掷两个骰子的点数之和可能有：6×6=36种情况，其中相加等于
10的有（4，6 ）、（6，4）、（5，5）这3种情况．

则点数之和恰好为10的可能性（概率）为：3÷36=

【点评】本题考查的是概率 问题，正确得出投掷两个骰子的点数之和可能情况一
共有多少种是关键．



4．（8分）大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样
的数称为完美 数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，
6是最小的完美数．是否 有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题
之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和 开始，78的所有因数之
和为 168 ．


【分析】要想求一个数的所有 因数的和，首先要把这个数分解质因数，然后利用
求一个数的所有的因数之和的公式解答即可．

【解答】解：78=2×3×13

所以78的所有的因数之和是：

（1+2）×（1+3）×（1+13）=168

【点评】本题考查的是如何求一个 数的所有因数的和．把一个自然数M分解质因
数，M=a
b
×c
d
× e
f
××…×m
n
，则自然数M的所有因数的和是（1+a
1
+a
2
+…+a
b
）
×（1+c
1
+c
2
+…+c
d
）×（ ）…×（1+m
1
+m
2
+…+m
n
），据此解答即可．



5．（8分）“24 点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52

张扑克牌（不包括大小王 ）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=l，J=11，
Q=12，K=13）通过加减乘除四则 运算得出24，先找到算法者获胜．游戏规定
4张牌扑克都要用到，而且每张牌只能用1次，比如2，3 ，4，Q，则可以由
算法（2×Q）×（4﹣3）得到 24．

如果在一次游戏中恰好抽到了以下两组排，请分别写出你的算法：

（1）5，5，9，9，你的算法是 5×5﹣9÷9=24

（2）4，5，8，K，你的算法是 4×8+5﹣K=24 ．


【分析】本题考查“24点游戏”，细心解答即可．

【解答】解：（1）因为24=25﹣1，所以5×5﹣9÷9=24

（2）4×8+5﹣K=24

【点评】本题难度较低，细心解答即可．



二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）

6．（ 10分）用5个边长为单位长度的小正方形（单位正方形）可以构成如图所
示的5﹣联方（在中国又称为 伤脑筋十二块）．在西方国家，人们用形象的拉
丁字母来标记每一个5﹣联方．其中，既不是中心对称图 形也不是轴对称图形
的5﹣联方为 F、L、N、P、Y ：既是中心对称图形又是轴对称图形的5﹣
联方为 I、X ．



【分析】按题意，可以根据图形的对称性不难看出来，只有F、L、N、P、Y既不
是中心对称图形也 不是轴对称的图形，I、X既是中心对称图形又是轴对称图
形．

【解答】解：根据分析，可以根据图形的对称性不难看出来，

只有F、L、N、P、Y既不是中心对称图形也不是轴对称的图形，

I、X既是中心对称图形又是轴对称图形．

故答案是：FLNPY，IX

【点评】本题考查了图形的变换和对称性，突破点是： 利用图形的对称性，不难
看出符合题意的图形．



7．（10分）将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，
则最少需要 4 种颜色．



【分析】要保证使用的颜色最少，则两个相邻的圆圈的颜 色要尽可能多的相同，
尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，据此解答即可．

【解答】解：尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，如下图：


【点评】本题考查染色问题．



8．（10分）在中国古代的历 法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸
被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未 、申、酉、戌、亥叫
作“十二地支，；十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅．一直
到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子．如此周而复始用来纪年的方法，
称为甲子纪年法在甲子纪 年中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有
丁丑，己丑，辛丑，癸丑 ．

【分析】首先分析题中的丑经过12年出现一次，共60年出现5次．枚举法即可．
【解答】解：依题意可知：

第一个是乙丑，丑出现时经过12+2=14年． 24+2=26年，36+2=38年，48+2=50
年．

经过14，26，38，50年对应的天干是丁，己，辛，癸．

故答案为：丁丑，己丑，辛丑，癸丑

【点评】本题考查对周期问题的理解和掌握，关键是找到对应的数字．问题解决．



9．（10分）在印度河畔的圣庙前，一块黄铜板上立着3根金针，针上穿着很多
金 盘．据说梵天创世时，在最左边的针上穿了由大到小的64片金盘，他要求
人们按照“每次 只能移动一片，而且小的金盘必须永远在大的金盘上面”的
规则，将所有的64 片金盘移动到最右边的 金盘上面．他预言，当所有64片
金盘都从左边的针移动到右边的时候，宇宙就会湮（yan）灭．
现在最左边金针（A）上只有6片金盘，如图（1）所示，要按照规则，移动成图
（2）的状态，至少需要移动

24 步．



【分析】这是一个汉诺塔的变形问题，根据汉诺塔的推理结果，把n个盘从一个
柱子上全部转移到另一 个柱子上需要的步数是2
n
﹣1，据此解答即可．

【解答】解：设6片金盘 从小到大的编号依次是①、②、③、④、⑤、⑥，由图
可知，图（2）中A上是③和④号金盘，C上是① 、②、⑤、⑥金盘．

第一次：把①、②、③、④4个金盘全部转移到图（2）B上，需要2< br>4
﹣1=15（步）

第二次：把⑤、⑥2个金盘全部转移到图（2）C上，需 要2
2
﹣1=3（步）

第三次：把图（2）B上的①、②2 个金盘全部转移到图（2）C上，需要2
2
﹣1=3
（步）

第四次 ：把图（2）B上的③、④2个金盘全部转移到图（2）A上，需要2
2
﹣1=3
（步 ）

综上所述：需要的步数是：15+3×3=24（步）

【点评】本题考 查的汉诺塔问题，重点是要理解有关汉诺塔的公式：把n个盘从
一个柱子上全部转移到另一个柱子上需要 的步数是2
n
﹣1



10．（10分）用3颗红色的珠 子，2颗蓝色的珠子，1颗绿色的珠子串成圆形手
链，一共可以串成 5 种不同的手链．


【分析】因为是圆形手链，所以旋转和翻转相同的只能算一种，因为红色的珠子
有3 颗，所以可以让3颗红色的珠子相邻，也可以让2个红色的珠子相邻，
也可以让红色的珠子不相邻这三种 情况考虑，据此解答即可．

【解答】解：①3颗红色的珠子相邻，则只有2种；

②只有2颗红色的珠子相邻，有2种；

③3颗红色的珠子都不相邻，有1种；

2+2+1=5（种）

答：一共可以串成5种不同的手链．

【点评】本题考查的排列组合问题．



三、填空题（共5小题，每小题12分，满分60分）

11．（12分）索玛立方体组块是丹麦物理学家皮特•海音（Piet Hein）发明的7
个小立方体组块（如图所示，注意5号与6号组块，这是两个不同的组块）．因
为利用这7个组块可以恰 好组成一个立方体，所以称为索玛立方体组块．一
个索玛立方体组块如果能够被某个平面分割成形状完全 相同的两部分，则称
这个组块是可平面平分的．那么，这些组块中有而且只有1种分割方法的可
平面平分组块为 5、6 ，不可平面平分组块为 7号 （填0表示没有）．

【分析】对1～7号组块进行逐一分析，看每一个组块有几种方法 分割成两个完
全相同的部分．

【解答】解：1号有如下两种分割方法：


2号有如下两种分割方法：


3号有如下两种分割方法：


4号有如下两种分割方法：


5号只有如下一种分割方法：

6号只有如下一种分割方法：


7号不能分割成完全相同的两部分．

故答案为：5、6；7号．

【点评】对各个组块进行分析，易错点是7号不能分割成两个完全相同的部分．



12．（12分）在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在
单位正方形的顶点（又称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形．最简单
的格点多边形是格点三角形， 而除去三个顶点之外，内部或边上不含格点的
格点三角形称为本原格点三角形，如图所示的格点三角形M BN．每一个格点多
边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形．那么，图中的格点四边
形的面积为 7.5 ，可以划分为 15 个本原格点三角形．



【分 析】根据皮克公式：设格点多边形的面积是S，该多边形各边上的格点个数
为a个，内部格点个数为b个 ，则S=a+b﹣1，即可求出图中的格点四边形
的面积．

【解答】解：皮克公式：S=a+b﹣1

图中的格点四边形中，各边上的格点数a= 5，内部的格点数b=6，所以格点四边
形的面积是：

×5+6﹣1=7.5

根据题意，本原格点三角形内部没有格点，那 么S=×3+0﹣1=0.5，所以7.5
÷0.5=15（个），

故答案为7.5，15．

【点评】本题考查皮克公式的灵活运用．



13．（12分）如果一个长方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这 个
长方形称为完美长方形．已知下面的长方形是一个完美长方形，分割方法如
图所示，已知其中 最小的三个正方形的边长分别为1，2，7，那么，图中没有
标示边长的小正方形的边长按照从小到大的 顺序分别为 9、11、13、21、22、
24、36、37、44 ．



【分析】本题考察平面图形的计算．

【解答】解：剩下的小正方形的编号分别是从①到⑨，如下图：


正方形①的边长是：2+7=9

正方形②的边长是：9+2=11

正方形③的边长是：11+2=13

正方形④的边长是：9+11+1=21

正方形⑤的边长是：21+1=22

正方形⑥的边长是：22+1=23

正方形⑦的边长是：23+13=36

正方形⑧的边长是：9+21+7=37

正方形⑨的边长是：37+7=44．

故填：9、11、13、21、22、24、36、37、44．

【点评】本题较为繁琐，可操作性低，难度也低．



14．（1 2分）如果两个不同自然数的积被5除余1，那么我们称这两个自然数互
为“模5的倒数”．比如，3× 7=21，被5除余1，则3和7互为“模5的倒
数”．即3与7都是有“模5的倒数”的数．那么8， 9，10，11，12中有“模
5的倒数”的数为 8和12 ，最小的“模5的倒数”分别为 2和3或1和
6 ．


【分析】因为5的倍数的末尾是0或5，所以被5除 余1的数的末尾是1或6，
据此解答即可．

【解答】解：因为5的倍数的末尾是0或5，所以被5除余1的数的末尾是1或
6

在8，9，10，11，12这四个数中，只有8×12=96符合要求．

因为1×6=6，2×3=6，所以最小的“模5的倒数”分别是2和3或1和6．

【点评】本题关键要理解因为5的倍数的末尾是0或5，所以被5除余1的数的
末尾是1或6，据此解答 即可．



15．（12分）将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每 列以及对角线上数的和
相等，这样的方阵称为4阶幻方．幻方起源于中国，在世界上很多地方也都
有发现．下面的4阶幻方是在印度耆那神庙中发现的，请将其补充完整：

【分析】首先算出1+2+3+4+…+16的和，从而求出每行、每列以及对角线上4个数的和，然后再根据幻方的“模块特性”求出空缺的数，据此解答即可．

【解答】解：（1+2+3+4+…+16）÷4=34

幻方的“模块特性”取出任意一个2×2的小正方形，4个数之和也是34，则有：


【点评】本题考查的是幻方以及幻方的一些性质．