北邮自主招生-爱的感悟

第1讲 整数计算综合
内容概述
熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四 则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理
各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问 题，初步体会用字母表示数。
【相关公式】
1、数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用
a
1
表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用
a
n
表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用
S
n
表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：
a
1
,
a
n
, d, n,
S
n
,通项公式中涉及四个量，如果己知
其中三个，就可求出第四个；求 和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
a
n
=
a
1
+（n－1）d； 通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：Sn= (
a
1
+
a
n
)×n÷2； 数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (
a
n
-
a
1
)÷d＋1； 项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（
a
n
－
a
1
））÷（n－1）； 公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
2、定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路： 严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按
照基本运算过程、规律进 行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

【典型问题】

兴趣篇
1. 计算：(1) 121×32÷8;





2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44





3. 计算：(1) 37×47+36×53




4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.




5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.





6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).

(2) 123×76－124×75。
(2) 222×33+889×66.
(2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125

7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.




8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则 是：对一个给定的数，按照由若干个7和
8组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插 入一个数字，使得新生成的数尽量
大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽 量大。例如：给出的数是
1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二 个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”， 问：变换后依次得到的6个数的和是多少？







8. 规定运算“

”为：a

b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8

10; (2) 10

8.







10. 规定运算“
☺
”为：a
☺
b=a×b－(a+b), 请计算：
(1) 5
☺
8;

(2) 8
☺
5; (3) (6
☺
5)
☺
4; (4)6
☺
(5
☺
4)

拓展篇
1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12);





2. 计算：(1) 555×445－556×444;





3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.




4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.



(2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.
(2) 31×121－88×125÷(1000÷121).

5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－ 2×1.





6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和.
A与B的差是多少？







7. 求图1-1中所有数的和.








8. 已知平方差公式：
ab(ab)(ab)
，计算：
22
202
19
2
18
2
17
2
16
2
15
2



2
2
1
2

[来源:Z+xx+]



9. 计算：951×949－52×48.





10. 规定运算“

”为：a

b=a+2b－2, 计算：(1) (8

7)

6;






11. 规定运算“









12. 规定：符号“

”为选择两数中 较大的数的运算，“

”为选择两数中较小的数的运算，例如：
3

5=5，3

5=3请计算：1

2

3

4

5

6

7

…

100.（运算的顺序是从左至右）



”为：ab=(a+1) ×(b－2). 如果6 (□5)=91, 那么方格内应该填入什么数？
(2) 8

(7

6)

超越篇
1. 观察下面算式的规律：
2000+1991－1988－1982+ 1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？







2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把
所有这样的乘积全部加起 来，总和是多少？








3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－……+4950.





[来源学科网]

4. 已知平方差公式：
a
2
b
2
(ab)(ab)
, 计算：
100
2
99
2
98
2
97
2
96
2
95
2
94
2
93
2










4
2
3
2
2
2
1
2

5. a

b表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4
3=4+5+6=15, 5

4=5+6+7+8=26,
请计算：(1) 4

15









6. 定义两种运算：a

b=a－b+1, a

b=a×b+1, 用“

”、“

”和括号填入下面 的式子，使得等
式成立（不能用别的计算符号）：7 3



[来源学科网]
(2) 在算式（□

7）

11=1056中，方框里的数应该是多少？
4 5=2

7. 图1-2是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？







[来源:学科网]











8、.现定义四种操作的规则如下：
①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1， 然后除以
2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.
[来源学§科§网Z§X§X§K]

②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到
50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）
③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字 “7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数
中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。 例如从98707可以得到77908，从802可以得到28.

（不含数字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作）
④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0. 例如从111可以得到110，从905可以得到900.
(个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作)
(1) 请写出对4176依次进行③①③②④操作后的结果：
(2) 从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？
(3) 一个三位数除了“丢三落四”外， 其他三个操作各进行一次之后得到的结果是_________；求
有多少个这样的三位数？