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第二讲 周期性问题



编写说明


我们已经对规律性问题进行了研究，规律性问题和周 期性问题紧密相连，所以我们在
回忆相关内容时主要以规律性问题为主. 在您用学而思讲义讲解问题时 ，我们主张教师在条
件允许的范围之内，尽量将题目的缘由讲解给学生，这样有利于学生“举一反三”， 逐渐帮
助学生拥有研究问题、发现问题的能力.




内容概述


呵呵! 小朋友们你们还记得春季第十四讲的“规律性问题” 吗？在那一讲中我们其实
已经接触到了周期问题的一些基本概念，规律性问题和周期问题两者相互交融， 紧密联系，
在解答问题时它们常常同时会来帮助你！下面让我们一起先来回忆一下基本概念和几道有关周期性问题的习题，然后一同研究几种新的知识点！


基本概念：周期现象 ：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我
们把连续两次出现所经过的时间叫周期； 解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.

阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为365天，闰年为366天. 在公历纪
年中，平年的二月为28天，闰年的二月为29天. 闰年的2月29日为闰日.

一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰
年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除< br>才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年.






你还记得吗？
< br>【复习1】（福建迎春杯）有一串数列，第一个数是8，以后每个数的规律为：如果前一个
数是奇 数，就将它减去1以后再乘以3；如果前一个数是偶数，就将它除以2以后再加上2，
那么这串数列的第 102个数是多少？

分析：写出这串数的若干项：8、6、5、12、8、6、5、12、…… ，每四个数一循环：102

÷4=25…2，所以第102个数是6 .
【复 习2】有一列数：3、1000、997、3、994、991、…从第三个数起，每一个数都是它前
面 两个数中大数减小数的差，那么在这列数中最小的数是几？它第一次出现在这列数的第
几个？

分析：我们把这个数列延伸一下：3、1000、997、3、994、991、3、988、985、 3、982、
979、… ，3间隔两项出现，大数（非3的数）以3为公差减小，如上下划线所示， 每三
个一组，每组第二个数字差为6，1000÷6=166…4，即在第167组中出现第一个数字为 4，
第二个数字为4-3=1，我们从第167组开始往下写为：3、4、1（第167组）、3、2、 1、1、
0、1、1、0、1、1、…… ，所以最小数为0 .它第一次出现在：167×3+5=506 位 .






数字大排队


【例1】如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列.
（1） 第99行右边第一个数是几？
（2） 2006出现在第几行，第几列？
分数：（1）每 7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第98行中最大的那个数为：（49
×7-1）× 2=684，所以第99行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第99行右边第一
个数是690 .
（2）2006÷2+1=1004，1004÷7=143……3，所以在第287行，第5列.

【前铺】除0外的自然数都按右表排列，问：
（1）21排在第几列的下面?
（2）32排在第几列的下面?
（3）54排在第几列的下面?
分析：我们可以把7个看成一组
（1）21=3×7 ，所以21在7的下面，所以在第二列；
（2）32÷7=4…4，所以32在4的下面，所以在第七列；
（3）54÷7=7…5，所以54在5的下面，所以在第六列。


【例 2】有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25.已知第1个数是3，第6个数是6，第
11个数是7 .问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？

分析：因为第1，2，3，4个 数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个
数相同.进一步可推知，第1，5，9， 13，…个数都相同. 同理，第2，6，10，14，…个数
都相同，第3，7，11，15，…个数 都相同，第4，8，12，16…个数都相同.也就是说，这串
数是按照每四个数为一个周期循环出现的 .所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数
等于第11个数，是7. 前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7）=9.

这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现，第24个数与第4个数相同，是9. 由77÷4
＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478.


【前铺】（小数报数学竞赛初赛）右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘 积
都是891，那么B代表多少？
分析：根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891”，可知任意一个小
圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.
于是：B=891÷(9×9)=11.

【前铺】有一个十一位数，已知它的首位 数字为9，末尾数字为8，且三个相邻的数字之和
是24，则第5个数字是几？ 这是数是多少？
9 ? 8
分析：三个相邻的数字之和是24，说明第二、三个数字为24 －9=15，即第四个数字为9，
以此类推：
9
9

8

7
9
9
?
?8

7
9
9

8

7
9
9
8
8
再从后往前，即可完成
也可以增加一个格，从右边开始数，隔2个数就相等，马上就能数出来！






末尾数字的规律


【例3】求28
128
－29
29
的个位数字.

分析：由128÷4＝32知，28
128
的个位数与8
4
的个位数相同，等于6。由29÷2＝14……1
知，29
29
的个位数与9
1
的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所
求个位数字为16－ 9＝7.

【前铺】算式
123123...
4
123
14

442

443
的得数的尾数是几？
2006个1 23
分析：我们只需要看个位就行了,3的个位是3,3×3个位是9,3×3×3个位是7,3×3× 3×3个位是
1,3×3×3×3×3个位是3,我们发现四次一循环,2006÷4=501……2, 所以算式
123×123×123×……×123的得数的尾数是9.
【拓展】a
n
的个位数字的变化规律，如下表：从总体而言，可以总结成：“4个一循环”

【例4】算式（367
367
+762
762
）×123
123
的得数的尾数是几？

分析：这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：
7：7，9，3，1……，3674=91…3，个位数是3 ；
2：2，4，8，6……，7624=190…2，个位数是4 ；
3：3，9，7，1……，1234=30…3，个位数是7 ；
因此个位数：（3+4）×7=49 .







圆圈上的数学游戏


【例5】如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开
始按顺时针方向前进 329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天
又顺时针前进329个位置，第四天 再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至
少经过几天，小球又回到原来的1号位置？

分析：根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置. 156÷8= 19……
4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置. 要使小
球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所
以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置.

【前铺】（迎春杯刊赛）如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16
的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺
时针前进328个 ，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几

号椅子？
分析：这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到 9
号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因 此这个人
到了第15(=9+16-10)号椅子.


【例6】实验室里 有一个计数器，一圈一共24个格，按照顺时针顺序标了0～23
这24个数.每经过8分钟，指针就会 顺时针方向跳一次；每跳一次，就要跳过7
格.今天晚上十一点的时候，指针正好从3跳到10，那么明 天早上9点23分的时
候，指针指着的数是几？

分析：从晚上11点到早上9点23分的时候，共经过了623分钟，623÷8=77…7，
指针跳过：77×7=539（格），539÷24=22…11，所以相当于从10顺时针跳11格，
是21格.



【例7】（明心杯数学挑战赛）如右图，电子跳蚤游戏 盘为△ABC，AB=8，
AC=9，BC=10．如果电子跳蚤开始时在BC边上的P
o点，BP
o
=4．
第一步跳蚤跳到AC边上P
1
点，且CP< br>1
=CP
o
；
第二步跳蚤从P
1
跳到AB边上P< br>2
点，且AP
2
=AP
1
；
第三步跳蚤从P
2
跳回到BC边上P
3
点，且BP
3
=BP
2
；
跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为P
2001
，请计算P
o
与P
2001
之间的
距离．

分析：因为BP
0
=4，所以CP
0
=10-4=6．
< br>第一步：从P
0
→P
1
，CP
1
=CP
0< br>=6，所以AP
1
=9-6=3；
第二步：从P
1
→P
2
，AP
2
=AP
1
=3，所以BP
2
=8-3=5；
第三步：从P
2
→P
3
，BP
3
=BP
2
=5，所以CP
3
=10-5=5；
第四步：从P
3
→P
4
，CP
4
=CP
3
=5，所以AP
4
=9-5=4；
第五步：从P
4
→P
5
，AP5
=AP
4
=4，所以BP
5
=8-4=4；
第六步：从P
5
→P
6
，BP
6
=BP
5
=4．可以看出，P
6
与P
0
点重合，而2001=6×333+ 3，故P
2001
点与P
3
点重合. P
0
与P
2 001
之间的距离就是P
0
与P
3
之间的距离，等于：BP
3
一BP
0
=5-4=1．






我来找找星期几


【例8】（国 家公务员考试题改编）1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元
旦是星期几吗？

分析：00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：3 65×6＋2=2192（天），2192
÷7=313…1，
2005年的元旦是星期六.

【前铺】（美国小学数学奥林匹克）一月份有三十一天，如果某年的1月1日星期一，这年< br>的2月22
日是星期几?
分析：从1月1日到2月22日共经过30+22=52天 （我们在计算经过多少天数时，都统一
算尾不算头，也就是将明天看作“第一天”），52÷7=7…… 3，周一往后数三天就是周四，
所以2月22日是星期四.

【拓展】（美国长岛小学数学竞赛）今天是星期二，从今天算起，第100天是星期几?
分析：100÷7=14……2，因为是从“今天”算做第一天，所以第100天是星期三 .

【巩固】（迎春杯刊赛）元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期_______.
分析：平年元旦到国庆节经过273天.由于273÷7=39，故平年的国庆节是周日；
闰年元旦到国庆节经过274天，由于274÷7=39…1，故闰年的国庆节是星期一.


【例9】某年的10月有5个星期六，4个星期日，问这一年的十月一日是星期几？

分析：星期六后面必有星期日，所以10月31号是星期六，30÷7=4……2，往前数2 天是
周四.

【巩固】（06年华罗庚金杯）奶奶告诉小明：“2006年共有53 个星期日．”聪明的小明立刻
告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期（ ）.
分析：200 6年有365天，而365=7×52+1．又已知2006年有53个星期日，只能元旦是星期
日，且 12月31日也是星期日．所以2007年的元旦是星期一.


【例10】（年华 罗庚金杯）从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九
九．2004年的冬至为12 月21日，2005年的立春是2月4日．问：立春之日是几九的第几
天?；

分析 ：从2004年12月21日到2005年2月4日共计有11+31+4=46(天)，46=5×9+1，所 以
立春之日是六九的第一天．故民间有“春打六九头”之俗语．


【例1 1】(华罗庚学校五年级入学考试试题)甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村
卫生所义诊.甲第 30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊
几次了？

分析：甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数< br>5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、

一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁
在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.






不完全周期问题


【例12】（年希望杯试题）某个早晨,容器中有20 0个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减
少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第 几个白天,容器中的细菌全部死亡！

分析：该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周 期回归.一昼夜细菌减少65－40=25个，
200÷25=8天，该解法有误.第6天的时候剩余细 菌：200-25×6=50，则第7天就可.

【前铺】有一口枯井，井深10米。井底有 一只蜗牛要爬到井口，它每天白天向上爬三米，
夜间又往下滑2米，这只蜗牛第几天才能爬到井口？
分析：一白天和一黑夜蜗牛向上爬1米，10=1×7+3，所以蜗牛在第八天白天才能爬到井口.


【例13】蜗牛从一个枯井往上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米 ，若要第5天
爬到井口，这口井深多少厘米？

分析：一白天和一黑夜蜗牛向上爬7 0厘米，如果蜗牛在第5天白天结束时，爬到井口那么
这个井深为：
70×4+110=39 0（厘米）；如果蜗牛在第5天一开始就爬到井口，那么这个井深只要大于：
70×3+110=320 （厘米）即可，即：320厘米＜井深≤390厘米 .


附加题目


【附1】（05香港圣公会奥林匹克）某月有31天，有4个 星期一和4个星期四，那么这个
月的20日是星期几？
分析：4个星期一和4个星期四，意味 着有4个周一、二、三、四，31－4×4=15，即星期
五、星期六、星期日各有5个，1日、2日、 3日是星期五、星期六、星期日，因此20日是
星期三.


【附2】甲、 乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，
间隔5厘米不涂色，再涂5 厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留
出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间 隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没
有被涂黑色部分的总长度是多少？
分析：此题最 好画图为同学们示意：在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘

米内 的是：4，2
，因此60厘米一个周期：（1+3+5+4+2）×30060=75厘米 .


【附3】（05全国小学奥林匹克）按英国人的记法，2005年1月8日记作1 —8-2005；按美
国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005．那么，2005年全年 中共有多少天会让英、美
两国人在记法上产生误会？
分析：在每个月的前12天中，当月份数不等于日期数时可能产生误会，共有
12×12一1 2=12×11=132(天)．注：也就是说只要日期小于12就可能和月份产生误会！


【附4】（保良局亚洲区城市数学竞赛）每一年至少有一次星期五是某月的13日，但出现的
次 数不会超过三次.1998年正好有三次，分别在二月、三月和十一月．请问：下一次刚好又
有三个月的 13日是星期五的是公元哪一年?
分析：365=52×7+l，则平年52周多1天，闰年52周 多2天．1998～2008年之间有三个闰
年，共多14天(即2周)，所以，2009年2月、3月 、11月的13日又均在星期五．


【附5】（希望杯数学邀请赛决赛）如右图， 是一片刚刚收割过的稻田，
每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，
它跃过水洼，飞到关于A点 对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对
称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关 于A点对
称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号
位和0号位 之间的距离是多少米？
分析：到5号位后回到0号位，因此每六个数为一个周期，所以2004号和0 号在同一位置，
它们的距离是0米.


【附6】（香港圣公会奥林匹克） 一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星
期日的月份最多有几个月?

分析：1月1日是星期日，全年就有53个星期日。每月至少有4个星期日，53-4×12=5，多出5个星期日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．


练习二


1．1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期______.
分析：由已知，1号是星期五，因此1993年1月4日是星期一.


2 ．（小数报数学竞赛初赛）《小学生数学报》每周星期五出版一期.1994年10月份第1期是
10月 7日出版的，1995年1月份第1期应在1月________日出版.

分析：(2 4+30+31)÷7=12……1，7-1=6，于是，应在1月6日出版.


3．2008个数排成一排，其中任意五个相邻数之和都是2008，已知第1个数是1，第9个数
是9 ，第90个数是9，第102个数是3，那么第2008个数是 ；
分析：根据题意可知，5个数一循环，前5个数分别为：1、3、1986、9、9 ，2008÷5=401…3，
所以第2008个数是1986 .


4 ．一口枯井深220厘米，一只蜗牛要从井底爬到井口处。它白天向上爬120厘米，而夜晚
却要向下滑 80厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？
分析：蜗牛一个白天和一个黑夜一共向上爬40厘米，220=40×3+100 ，所以蜗牛在第4个
白天才能爬出井口.


5．（迎春杯刊赛）甲、乙、 丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶.甲第一次取奶是星
期一，那么甲第100次取奶是星期( ).
分析：甲第100次取奶，意味着甲、乙、丙三名学生已经都取过99次，所以甲的第100次，
在总的次数中是第99×3+1=298，过了297次，297÷7=42……3，所以是星期四.


6．1991年2月1日是星期五，那么2000年的2月1日是星期几？ 分析：在92、93、94、95、96、97、98、99、2000年中92、96、2000是闰年， 但2000年
中的闰日并不包含在内，所以从1991年2月1日到2000年2月1日共经过了：36 5×
9+2=3287，3287÷7=469……4，所以2000年的2月1日是星期二.






课外故事

永远看得起自己

有一天某个农夫的一头驴子， 不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，
但几个小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着 .

最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来 ，
不过无论如何，这口井还是得填起来。于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋
了， 以免除它的痛苦.

农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中。当这头驴子了 解到自己的处境
时，刚开始哭得很凄惨。但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了。农夫好奇
地探头往井底一看，出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部

时，驴子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！
< br>就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去。很快地，
这只驴子便得 意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！