闪闪的红星观后感-保证书怎么写

第六讲 等差数列



编写说明


关于等差数列的求和问题，我们奥数网的课程安排是在三年级 的春季进行了系统的知
识梳理，在整个小学四年级阶段我们没有进行过相关的系统讲解. 我们这节课的 主体以等差
数列的提高和应用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，有些接触过的同学经过较长的时间，遗忘的已经比较多了！所以我们希望教师在相关公式的复习
时能够系统 得讲解一下！





内容概述


许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候， 就利用巧妙的算法迅速
计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细 想一想，高斯
为什么算得这么快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的< br>原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大
1，即 它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我
们回顾加强有关等差 数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.





你还记得吗


【复习1】你能给 大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手，
多多赢得小印章！

分析：以下答案仅供参考！

（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：
定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列
我们称它为 等差数列.
譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a
1
表示；
末项：一个数列的最后一项，通常用a
n
表示，它也可表示数列的第n项. 每个数列都有最
后一项吗？数列分有限数列和无限数列；
项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d来表示；
和 ：一个数列的某些项的和，常用
S
n
来表示 .


（3） 三个重要的公式：

① 通项公式：末项=首项＋(项数-1)×公差
a
n
a
1
(n1)d

回忆讲解这个公式 的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同
学明白末项其实就是首项加上（末项与 首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入
手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：a
n
a
m
(nm)d,(nfm)


② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1（其实此公式是由①推导出来的，教师也可
以 帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）
由通项公式可以得到：
n(a
n
a
1
)d1
（
若a
n
fa
1
）；
n(a
1
a
n
)d1
（
若a
1
fa
n
）.
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5 、6）、
（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48 ），注意等差是3 ，那么
每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第 1位，4到48
有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以
有其他的配组方法.

③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2
s
n
(a
1
a
n
)n2

对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：

（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100

＝101×50=5050

（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：

即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050

（4）中项定理

对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的 平均数，也等于首
相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=180 ，题中的等差数列有9项，
中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；
（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33
项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .

如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其
去掉一项， 变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中.

譬如：计算：124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
分 析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×524.68=2623.4 .

等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.
一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重
点就是让学生 熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，
而应该把原理讲透.


【复习2】小明从1月1日开始写大字. 第一天写了4个，以后每天比前一天多 写相同数量
的大字，结果全月（总共31天）共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写多少个字 ?

分析：数列末项为：589×2÷31－4=34，所以公差为(34－4)÷30=1 ，小明每天比前一天多写1
个大字．


【复习3】建筑工地有一批砖，码 成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，
第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖， 已知最下层2106块砖，
问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道，是一个等差数
列. 2106是第n=（2106-2）÷4+1=527层，中间一层是第 （527+1）÷2=264层，那么中间
一层有：2+（264-1）×4=1054块，这堆砖共有 ：1054×527=555458（块）.

例题精讲


【例1】 计算：（1）61+692+6993+69994+699995+6999996

（2）0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9＋0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99

（3）（04陈省身杯数学邀请赛）
计算：（10-
44444
×1）+（9-×2）+（8-×3）+…+（2-×9）+（1-×10）= .
5555555555

（4）计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；

分析:（1）原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)
=7777770-(9+8+7+6+5+4)
=7777731
（2）分析： 仔细观察发现这串数并不是一个等差数列，但是我们可以分为0.1至0.9和0.10
至0.99两部 分，这样就变成等差数列了，然后再求和.
第一部分：0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9=4.5；
第二部分：0.10＋0.11 ＋…＋0.98＋0.99=（0.1＋0.99）×90÷2=49.05；
因此总和等于：49.05＋4.5=53.55 .
（3）原式=(10+9+8+…+1)-
44
×(1+2+3+…+10)=55-×55=51
5555
（4）可 以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对
他们分别求和：（1+70）×24÷2+（3+69）×23÷2=1680.

【巩固】（1）计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.1l+0.13+0.15+0.17+ …+0.97+0.99；
（2）计算72+793+7994+79995+799996= ；
（3）2+4+8+10+14+16+20+22+…+92+94+98+100.

分析：（1）原式=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15 +0.17+…+O.97+0.99）
=（0.1+0.9）×5÷2+（0.11+0.99）×45÷2=27.25．
（2） 原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)
=888880-(8+7+6+5+4)=888850
（3）拆分为2+8+14+20 +…+92+98和4+10+16+22+…+94+100：(2+98)×17÷2+(4+100)×< br>17÷2=1734 .


【例2】 （走进美妙数学花园）如右图，25 个同样大小的等边三角形拼成了大等边

三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图 中每条直线上所标的数都顺次成等差数
列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，20 0，800．求所有结点上数的总
和.

分析：如右下图，各结点上放置的数如图 所示．从100到300这条直线上的各数
的平均数是200，平行于这条直线的每条直线上的各数的平 均数都是200．所以
21个数的平均数是200，总和为200×21=4200．


【例3】 （全国华罗庚金杯）如右图，有码放整齐的一堆球，从上往下看，这堆
球共有多少个?

分析：最上层有1个球；第二层有1+2+3+4+5=15(个)；第三层有15+6=21(个)；
第四层有21+7=28(个)；七层共有球1+15+21+28+36+45+55=201(个) ．

【例4】 在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和
是多少?
分析：先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是
此时得到 的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44
整除的数列被计算了 两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.
(4+8+12+…+200)+(11+22+ 33+…+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×50÷2+(11+198)×18
÷2-(44+176)×4÷2=6541．

【前铺】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
分析：我们先 计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9
整除的自然数和了．1+ 2+…+100=(1+100)×100÷2=5050，
9+18+27+…+99=(9+99) ×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456．如
果直接计算不能 被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数
和，再排除掉能被9整除的 自然数和，这样计算过程变得简便多了．

【前铺】100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
分析:考虑能被3整除的各数之和102＋１05＋…＋198
然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.


【例5】 已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……，试问：
（1） 15是这样的数列中的第几个到第几个数？
（2） 这个数列中第100个数是几？
（3） 这个数列前100个数的和是多少？

分析：分析可得下表：
数：1 2 3 4 5 6 7 …14 15 16……
个数：2 4 6 8 10 12 14 … 28 30 32……

（1） 2＋4＋6＋…＋28=210，所以15是第211个到240个
（2） 在这个数列中前9组的个数是：2＋4＋6＋…＋18=90个
这个数列前10组的个数是：2＋4＋6＋…＋20=110
而90〈100〈110，所以第100个数是第10组中数，是10
（3） 这个数列中前100个数的和是：1×2＋2×4＋3×6＋…＋9×18＋10×10=670


【例6】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个 数是多少?
第2003个数是多少?

分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…
偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…
先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个 数在偶数项等差数列中是第2000÷
2=1000个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第（2 003+1）÷2=1002个数 ，所以第2000
个数是3000，第2003个数是2004 .

【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。 分析：前100项的和=（3＋150）×50÷2＋（2+100）×50÷2=255×25=6375 ，
100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项 ；
111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项 ；
同样，120是原数列的第80项和第119项 .


2
【例7】 观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n，那么，第20行最左边的< br>数是几？第20行所有数字的和是多少？

222
分析:第20行最左 边的数等于19＋1=362，该行共有（20-19）个数，（362＋400）×39÷
2=145 59 .

【巩固】观察下面各式并解答：
1+2=3 ，
4+5+6=7+8 ，
9+10+11+12=13+14+15 ，
……
第10个等式左右两边的和是多少？
分析：由题中的式子可知第四个等式左边的第一个数是1 6，发现从第一个等式开始，每个
2222
等式左边第1个数组成数列：1，4，9，16，… ，分别为1，2，3，4，…所以第10个等
2
式左边第1个数为10=100，并且共有11 个数相加．第10个等式左边的和为：
100+101+102+…+110=(100+110)×l 1÷2=1155.

【例8】 学校进行乒乓球选拔赛，每个参 赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行
了78场比赛.问：有多少人参加了选拔赛？

分析: 我们假设有x个选手，根据题目中“每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场”，
第 一个选手要比x-1场；第二个选手，由于第一个选手已经和他比赛过了，所以他只需要同
剩下的x-2 个选手比赛x- 2场，依此类推，总比赛场数就是数列1，2，3，…，x- 1的和．
设有x个选 手，列出方程：（1+x-1)×(x-1)÷2=78，x(x-1)=156，比较求解得x=13．

【巩固】某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每< br>一个人都只握一次手. 参加宴会的一共有多少人？
分析:经试验：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.


【例9】 （走进美妙数学花园） 黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1，3，5，7， 9，…，
擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是 .

分析：1，3，5，7，…，(2n- 1)，这n个奇数之和等于n
2
，45
2
= 2025，擦去的奇数是2025-2008=17．

【前铺】小明练习打算盘，他按照自 然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，
和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问 ：小明少加了哪个数？
分析：用X 表示小明少加的那个数,1997＋X=（1＋n）×n÷2，（ 1＋n）×n=3994+2x,两个
2
相邻的自然数的积比3994大一些，因为（1＋n） ×n和n比较接近,可以先找3994附近的
平方数,最明显的要数3600=60×60,而后试算两 个相邻自然数的乘积61×62=3782,62×
63=3906,63×64=4032,所以n= 63,正确的和是2016,少加的数为: 2016-1997=19.

【拓展】小明住 在一条胡同里.一天，他算了算这条小胡同的门牌号码.他发现，除掉他自
己家的不算，其余各门牌号码 之和正好是100.请问这条小胡同一共有多少户（即有多少个
门牌号码）？小明家的门牌号码是多少？
分析：这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：
1+ 2+…+10=55，所以和在100附近的应该为1～14、或1～15，
（1）1+2+…+14=105，小明家门牌号为5，共有14户人家；
（2）1+2+… +14+15=120，小明家门牌号为20，不再1～15的范围，所以不符合题意.


【例10】 （数学科普电视赛）小明往一个大池里扔石子，第一次扔1块石子，第二次扔2
块 石子，第三次扔3块石子，第四次扔4块石子……他准备扔到大池里的石子总数被106
除，余数是0为 止，那么小明应至少扔多少次？

分析：106=2×53．设小明应扔n次，则扔的石子总数为
石子总数第一次能被53整除．

(1n)n
，当n+1=53，n= 52时，
2

【例11】 有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37，…，问这列数第1001个数是多少?

分析：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数相差2，第四个数
与第 三个数相差3，……，依此类推，以后每项数与前一项的差都会依次增加1，因此有以
下规律：

第1个数：1=1，
第2个数：2=1+1，
第3个数：4=2+2=1+1+2，
第4个数：7=3+4=1+1+2+3，
第5个数：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4，
第6个数：16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5，
……
第n个数：1+1+2+3+4+5+…+（n-1)．
第1001个数为：1+1+2+3 +4+5+…+（1001-1）=1+1+2+3+4+5+…+l000=l+500 500=5005001


【例12】 9张面积都是9的图形放在面积为45的 桌面上(不能超出桌面)，能否使任何2
个图形相互重叠的面积都小于1？

分析:不能. 如果能，将九个图形依次编为1～9号，1号与2～9号重叠的面积小于8，2号
与3～9号重叠的面积小于7……8号与9号重叠的面积小于1，所以重叠的总面积必然小于
1＋2＋ …＋8＝36，九个图形所占的总面积大于9×9－36＝45，与题意矛盾，所以不能.







附加题目


【附1】计算：2000×l999-l999×l998+1998×l997 -1997×l996+…+4×3-3×2+2×1．

分析：原式=1999×(200 0-1998)+1997×(1998-1996)+…+3×(4-2)+2×l
=1999×2+1997×2+……+3×2+2×1
=2×(1999+1997+…+3+1)
=2000000．

< br>【附2】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球
后放回 盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……
第十次从盒子里拿出十 只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多

少只乒乓球？

分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球… …
第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）


【附3】 李明玩投放石子游戏，从A点出发，走1米放1枚石子；再走4米有放下3枚石子；
再走7米，放下5枚 石子；再走10米放下7枚石子…….照此规律最后走到B处共放下石
子35枚，从A点到B点的路程是 多少米？

分析: N=(35-1)÷2＋1=18，末项=1＋3×（18-1）=52 ，和=（1＋52）×18÷2=477.


【附4】 从两位的自然数中，每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数，有多
少种取法？

分析: 要使和为3位数，假设一个数为n，则另一个数必须大于100-n，同时为了防止取重
复(比如已经取了50，51又取51，50)，我们只取比n大的数，按照这个原则，可以写出一
个 数列．
10有90～99 , 10种取法 11有89～99 , 11种取法 ;……; 49有51～99 , 49种取法 50
有51～99 , 49种取法 ;51有52～99 , 48种取法 ……;98有99,1种取
法.(10+11+12+…+4 9)+(49+48+47+…+2+1)=(10+49)×40÷2+(1+49)×49÷2=2405， 对这个
数列求解就可以得到总共有2405种取法．




【附5】（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.

序号 等式
1 1 ＋ 2 ＋ 3= 6
3 3 ＋ 5 ＋ 7= 15
5 5 ＋ 8 ＋ 11= 24
7 7 ＋ 11 ＋ 15= 33
∶ ∶ ∶ ∶ ∶
（ ） （ ）＋（ ）＋7983=（ ）

分析：可以这样想：（1）表中各竖行排列的规律是什么？（等差数列）
（2）表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？
应先填左起第一个 ，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在

的位置，即各自的 项数.
第一个括号：（7983-3）÷4＋1=1996 ，1＋（1996-1）×2=3991 ；第二个括号：1＋（1996-1）
×2=3991 ；
第三个括号：根据等差数列通项公式：2＋（1996-1）×3=5987 或 3991+1996=5987 ；第
四个括号：根据等差数列通项公式：6＋（1996-1）×9=17961 或3991+5987+7983=17961.


【附6】求所有加6以后能被1l整除的三位数的和？

分析: 110-6+12 1-6+…+990-6+1001-6=(110+1001)×82÷2-6×82=45059．
要注意最后一个数1001，虽然是四位数，但是减去6后就是三位数，符合题目要求.









练习六


1. 用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少
个立方体？
分析 ：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8，…，1．所以最底
层立方体数目为：(10 +1)×10÷2=55．要学会正确的读图．


2．（我爱数学夏令营）小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和为多少？
分析：能被3整除的数和为：3+6+9+…+999= (3+999)×333 ÷2=166 833，
即能被3整除，又能被5整除的数的和：15+30+45+…+990= (15+990)×66÷2=33 165，
小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和：166 833-33 165=133 668．


3. 右图是一个堆放铅笔的V型架，如果V型架上一共放有210只铅笔，那么最
上层有多少只铅笔？
分析：每一层的铅笔数从上到下形成一个等差数列，公差为1 ；设最上面一层的
铅笔数为x，那么共有铅笔x (x+1)÷2=210，x (x+1)=420，比较求解可得x=20.


4．木木练习口算，她按照自然 数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但
她重复计算了其中一个数字.问：木木重复 计算了哪个数字？
分析: 用X 表示小明多加的那个数,888－X=（1＋n）×n÷2，（1＋n）×n=1776-2x ,
两 个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数,1600=40×

40=1600,试算:
40×41=1640,41×42=1722,42×43= 1806,所以n=41,所以X=（1776－41×42）÷2=27 .


5．求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、
百位三个数码 都相同.
分析:设前n个自然数的和等于111a，其中a是不大于9的自然数，则有

当a＝6时，上式化为n（n＋1）＝36×37，比较知n＝36.







课外故事


分割目标


有人立志要在加州造座大教堂。预算造价为700万。他在张纸上写下了实现目标的奇
特计画： 寻找1笔700万的捐款；寻找7笔100万的捐款；寻找14笔50万的捐款；寻找
28笔25万的捐 款；寻找70笔10万的捐款；寻找100笔7万的捐款；寻找140笔5万的捐
款；寻找280笔2. 5万的捐款；寻找700笔1万的捐款。 他把700万这个大目标,一次又一
次地分割成更小的目标, 最终分割到1万。每次募捐1万,实现起来就容易多了。他一万一万
地募捐，历时12年，教堂竣工了。 教堂成为世界建筑史上的奇迹与经典。大目标看似难以
实现，但把它分割成无数个小目标，实现起来就不 再是什麼难事了。