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第十四届“小机灵杯”数学竞赛

初赛解析
（四年级组）

时间：60 分钟总分：120 分
（第1题
~
第
5
题，每题
6
分.）
20★19
1.我们规定
a★baabb
，那么
3★24★35★4
【答案】396
【考点】定义新运算
【分析】
原式


3322



4433


5544

 

20

20 1919

20201919

.

332244335544
202022
400 4
396

2.将一个等边三角形的三个角分别剪去，剩 余部分是一个正六边形，剩余部分的面积是原
来等边三角形面积的.(得数用分数表示)
2
【答案】
3
【考点】图形分割
【分析】
6 2
如图所示，将剩余部分分割可得，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的 ，即 .
9 3



3.小明去超市买牛奶.若买每盒6元的鲜奶，所带的钱正好用完；若买每盒9元的酸奶，钱
也正好用完，但比鲜奶少买6 盒.小明共带了元.
【答案】108元
【考点】列方程解应用题
【分析】
设小明能买酸奶
x
盒，则能买鲜奶

x 6

盒；由题
意可列得方程：6

x6

9x
，解得x12；

所以小明共带了912108元.

4.用一根长1米的铁丝围成长和宽都是整数厘米的长方形，共有 种不同的围法.其中
长方形面积的最大值是平方厘米.
【答案】25种，625平方厘米
【考点】长方形的周长，最值问题
【分析】
1 米
100
厘米，即为长方形的周长, 因
此长方形的长

宽100250厘米；
不同围法有：50491482473 2525，共25种；由于长与宽的和一定，当它们的差越小时，它们的乘积也就是长方形的面积越大，因此长方形面积
的最大值是25 25625平方厘米.

5.用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图
2
的铺法）.当正方形地面周围铺了80 块白瓷砖是，黑瓷砖需要块.






























图1
【答案】361块
【考点】方阵问题
【分析】
图2
铺有80 块白瓷砖的正方形地面上内部的黑瓷砖每行有

804

419
块；因
此黑瓷砖需要19 19 361块.


（第6题
~
第10题，每题8分.）
6.在下列每个22的方格中，4个数的排列存在着某种规律.根据这样的排列规律，可知
◆
.

2 1
6 9

【答案】
◆5


3 4
2 8


6 4
4 8


5
◆
2 6


【考点】找规律填数
【分析】
观察发现：在表1中：
29

16

3
；在表2中：
38

42

3
；在表
3
中：
68

4 4

3
；所以在
表4中，应该有
56

◆ 2

3
，求得
◆5
.

7.学生们手中有1、2、
3
三种数字卡片，每种数卡都有很多张.老师请 每位学生取出两张
或三张数卡排成一个两位数或三位数，如果其中至少有三名学生排出的数是完全相同的 ，
那么这些学生至少有人.
【答案】73 人
【考点】抽屉原理
【分析】
学生可能排成的不同两位数有339个，可能排成的不同三位数有333 27个，因此
学生可能排成的不同的数一共有9 27 36 个；如果要保证其中至少有三名学生排出的数
完全相同，那么这些学生至少有236173人.

8.已知2014迎2015新2016年，且迎

新

年504，那么迎

新

新

年


.
【答案】128
【考点】分解质因数
【分析】
根据
2014
迎
2015
新
2016
年可知： 迎

新1年2；
由
5042
3
3
2< br>7
可得，只有504987满足条件，即迎9，新8，年7；
迎

新

新

年98877256128.

9.一个正方体的六个面上各自写着一些数，相对面上的两个数的和等于50.如果我们将右图
的正方体先从左往右翻转97次，再从前往后翻转98次，这时这个正方体底面的数是
前面的数是，右面的数是.（翻转一次表示翻转一个面）
，
11
15
13

【答案】底面的数是
37
，前面的数是
35
，右面的数是11
【考点】周期问题
【分析】
根据题意，初始时左面的数是501337，后面 的数是501535，底面的数是501139；
对于一个正方体来说如果连续朝同一个方向翻转4 次就会回到初始方向；
由于97424
1
，98424
2
，
所 以原题中的操作可以简化为先从左往右翻转1次，再从前往后翻转2次；
先从左往右翻转1次后，正方体 的六个面分别为：
左面的数
39
，右面的数11，前面的数
15
， 后面的数
35
，顶面的数
37
，底面的数
13
；
再从前往后翻转2 次后，正方体的六个面分别为：
左面的数
39
，右面的 数11，前面的数
35
，后面的数
15
，顶面的数
13
，底 面的数
37
；
所以按要求操作后，这个正方体底面的数是
37
，前 面的数是
35
，右面的数是11.

10.学校用一笔钱来买球，如果只买排球正好能买
15
个，如果只买篮球正好能买12个.现
在用这些钱买来排球与篮球共14 只，买来的排球与篮球相差只.
【答案】6 只
【考点】鸡兔同笼
【分析】
由于

15,12

60
，因此可以假设这笔钱是60，
那么一只排球的价格是60 15  4 ，一只篮球的价格是60 12  5 ；现在用这 些钱买来的14
只球中篮球有

60414


54

4
只，排球有
14410
只，所以买来的排球与 篮球相差10 
4  6只.

（第11题
~
第
15
题，每题
10
分.）
11.小明骑车，小明爸爸步行，他们分别从A、B两地相向而行，相遇后小明又经过了
18
分
钟到达了B 地.已知小明骑车的速度是爸爸步行速度的倍，小4明爸爸从相遇地点步行到A
地还需要分钟.
【答案】288分钟
【考点】行程问题
【分析】




4S
小明
？min
S
18min
小明爸爸

如图所示，当小明与爸爸相遇时，由于小明的速度是爸爸的4 倍且二人 运动时间相同，
因此小明的路程应该是爸爸的4倍（图中的
4S
与
S
）；
而相遇后小明又经过
18
分钟前进了
S
的路程才到达了B 地；因为小明的速度是爸爸的
4倍，所以爸爸步行
S
的路程需要
1847 2
分钟；又因为爸爸从相遇地点步行到A 地
还需要再走
4S
的路程，所以小明爸爸从相遇地点步行到A地还需要
724288
分钟.

12.如图所示，两个正方形的周长相差12 厘米，面积相差
69
平方厘米，大、小两个正方形
的面积分别是平方厘米，平方厘米.

【答案】169 平方厘米，100平方厘米
【考点】正方形的周长与面积，平方差公式
【分析】
设大正方形的边长是
a
厘米，小正方形的边长是b厘米，由题意得：

b3
 
a

ab3

，整理得，即为；



4

a4b 12
ab23
b 69

ab

ab

69
2 2


 
a




a 13


解得

，所以大正方形面积是
13
2
169
平方厘米，小正方形面积是
10
2
100
平方厘 米.


b 10
13.甲、乙两人用同样多的钱去买同一种糖果，甲买 的是铁盒装的，乙买的是纸盒装的.两
人都尽可能多地购买，结果甲比乙少买了4盒且余下
6
元，而乙用完了所带的钱.如果甲用
元原来3倍的钱去购买铁盒装的糖果，就会比乙多买31盒 ，而且仍余下6元.那么铁盒装
的糖果售价为每盒元，纸盒装的糖果售价为每盒元.
【答案】12 元，
10
元
【考点】约数与倍数，列方程解应用题
【分析】
甲用原有的钱去买铁盒余下6元，那么用3倍的钱去买铁盒理论上应余下6318元，
然而仍余下
6
元，说明
18  6 12
元刚好又可买若干个铁盒，即铁盒的单价应为12 的约数；
有根据余下
6
元可知铁盒的单价必定大于
6
元，所以铁盒的单价只能是每盒12元；
设乙买了
x
盒纸盒，由甲两次所用的钱数关系可列得方程:
3

12

x4

6

12

x31

6
，解得
x21
；

所以两人原有的钱数为
1 2

214

6210
元，纸盒的单价是每盒21021 10元.


个
小正方形组成的形放入右边的14.如下图所示，将一个 由3L格子中，共有几种放法.（图形可
旋转）L



【答案】48 种
【考点】对应法计数
【分析】





首先，右图中共有
9
个



















，每个田字格中L形有4种放法，分别为：





，共4936种；

其次，还有一些L形不包含于图中的某个田字格，例如下图中的L形1号：

1

观察发现这些L 形分别对应了图中方格外部的一个凹拐角，
而这样的凹拐角共有12 个（如图所示）,因此不包含于图中的某个田字格的L 形也有12 种；
综上所述，图中的L形共有
361248
种放法.

15.一棵生命力极强的树苗，第一周在树干上长出2条树枝（如图1），第二周在原先长出
，第三周又在第二周新长出的每条树枝上再长
的每条树枝上又长出2 条新的树枝（如图2
2
）
出条新2枝（如图3）这棵树苗按此规律生长，到第十周新的树枝长出来后，共有

条树枝.


图1
图2
图3

【答案】2046 条
【考点】等比数列求和
【分析】
第一周树上新长出12条树枝，共有2条树枝；
第二周树上新长出
2222
条树枝，共有
22
2
条树枝；
第三周树上新长出
2
2
22
3
条树枝，共有
22
2
2
3
条树枝；依次类推
第十周树上新长出
2
10
条树枝，共有
22
2
2
3

条树枝；
因为
2  2
2
 2
3

2
10

2
11
 2  2046
，

2
10
所以第十周新的树枝长出来后共有2046 条树枝.