里斯本大学-端午节小报图片

第五讲 图形的分割与拼接
卷Ⅰ
教学目标

本章内容比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：
1、理解掌握图形的分割；
2、理解掌握图形的拼合；
3、理解图形的剪拼；
4、利用剪拼图形计算、解决问题.
本章中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本 章知识的学习，让同学们了解不同图形的
分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强 学生的动手操作能力．




想

挑


战

吗


？

有8个相等的直角三角形，你能拼成下图中的空心正八角星吗？
分析：把一个直角三角形的斜 边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重
合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直 角三角形组成如右图所示的空心正八角星．


把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．
反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．
将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．
我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．
如果把一个图 形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先
分少，再分多． < br>图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合
数量来分割图形．
如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼 合在一起，先
拼少的，再拼多的．
如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这 个关键，根据已知条件和图形的特点，
通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．








专题精讲

（一）图形的分割

【例1】 （★★★）把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四块大小、形状都相同的图形
→→

分析：从面积考虑，把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份.正方形， 则可把每个正方形
分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如右上图所示.

[前铺]如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？
→
→

分析：要求把原来三个正方形分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考 虑形状，大小相同也就是
面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份，可以 考虑把每一个正方形的
面积分成四份，再把三个正方形中的每一个小正方形合成要求的图形，如右上图所 示.

[巩固]右图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分?

分析：如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面< br>积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，< br>分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法.


【例2】 （★★★★）怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.
→

分析：（1）分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相 同的三角形，
然后再把每一个三角形分成一半，得到如左上图所示的图形.
（2）分成9块的 方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符

合条件 的图形.

[前铺]把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．


分析：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等 底等高的小三角形，它们
的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条 边四等分，再将各分点
与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如左上图所示的三种分 法．又因为4＝l×4＝2
×2，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么1×4就可以视 为把三角形的面积直接分成4
等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2×2可以视为先把原三角形分 成两等份，再把每一份分别分
成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角 形． 根据上面的分析，又可
以得到如右上图的另两种分法．


【例3】 （★★★★）如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，
并且每一块都含 有学而思奥数五个字.

→
图1 图2



分析：图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从 它们之间切开（图1），因此，首先要在它们之间划
出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大 小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180°
必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转 180°就可得到一些新的切分线（图2）.这就为我们解
决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所 示.

[拓展] 如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那 样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它
切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和 一颗白子.试问如何切割？

分析：首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋 转90°、180°、270°之后，得一些新的切分
线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的 要求，以及每一块面积应该是36÷4=9，即含有9个小
正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中 心旋转90°、180°、270°便得到其他三块，如右上图.


【例4】 如图，甲、乙是两个大小一样的正方形.要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为
八块，使每块 的大小和形状都相同，而且都带一个○.

分析：一个正方形分成大小和形状都相同的四块， 一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要
求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋 转90°、180°、270°就可以得到另外三块.又因
为这个正方形面积为36平方单位，所以分成 的每一块的面积都是9平方单位.即每一块都由9个小正方
格组成.另外，由于两个正方形要切分成一样 大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑.
①将两个正方形重叠在一起，如右图所示，为便于 区别，将其中一组的“○”改写成“×”.按要求
将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并 且每块都有一个“○”和“×”.

②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们 切开，在它们中间划上截线.并将这些截线绕中
心点旋转90°、180°、270°得到另外三段截线 .如右图.利用它们设想出划分线.

③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里 层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，
并作上记号（斜线阴影），然后将它绕中心旋转180° 后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号
（横线阴影），如右图.

对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一< br>个“×”.每一块都有9个方格组成，不能断开.下图是分解了的分块过程示意图.

④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“×”.那么左下角包含“○”的方格就不能再分
到斜 线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分.于是左上角的方格就应该分给横线阴影
部分 .空白部分是另外两块.右图就是最后分得的结果.


（二）图形的拼合

【例5】 （★★★★）用6个完全一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合．你能 拼出几
种图形?把它们画出来．

分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重 合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角
形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图

[前铺]用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形?

分析： 这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动。一共可以拼成如下图的几种形
状：



【例6】 （★★★★）用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形
孔的图形




分析：图中所示的三角板，
A
是直角，
BC
90°，因为要拼的有内外两个正方形，所以要将
A
作为外正方形的角或者拼内正方形的角两种情况，如果三角板可以重合，则还有第三种情况，三种情况< br>如右上图所示.


卷Ⅱ

（三）图形的剪拼

【例7】
（★★★★）
把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方 形，使这个
正方形和长方形的面积相等.

分析：连接正方形的对角线，把正方 形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们
分成4个小等腰直角三角形和4个等腰 梯形.（如图（1）所示），出于分成正方形、长方形面积相等的
要求考虑：分别取出两个小等腰直角三 角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了（如
图（2）、（3）所示）.

【例8】 （★★★★）将下图分成两块，然后拼成一个正方形．




分析：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1， 那么拼成的正方形的边长应该是4。
因为图形是缺角长方形，长为6，宽为3，应将宽加1，长减去2便 可得一个正方形，所以分割成两块后，
右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移使宽为4），向 左平移2（原来长为6，向左平移使长为
4）。如右上图.

[前铺]试将一个4×9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．


分析：已知长方形格数9×4=36（个），所以正方形的边长应为6个格， 因此可以把长方形上半部分成6
个格、3个格，下半部分成3个格、6个格，分成相等的两块，合起来正 好拼成一个边长为6个格的正方
形，如上图.


（四）计算型图形拼割

【例9】 （★★★）如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长 方形孔，长
为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形.问如何切分，能使划分 的块数最少.

分析：切分前面积为12×90-80×10=10000（ 平方厘米）应与拼成后的正方形面积相等.拼成后正方形的
边长x=100厘米.因为：100=120 -20=90＋1O.假设上页图切成两块如下左图，然后将右块向上平移10厘
米，再向左平移20厘 米，就拼成了一个正方形，切分线不可能是直线，一定是折线段.切分后的两块类
似阶梯形，然后由两个 阶梯互相啮合，组成一个正方形，如下右图.



[巩固] 如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方
形．
→
图d 图e

分析：因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方 形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方
形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形．因为新长 方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少
一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方 形的宽应增加一个小长方形．可以沿对角线的方
向，把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完 全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白
色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形．
具体操作中可按图d中的粗线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如图e所示的长为16
厘米，宽为15厘米的新长方形．


【例10】 （★★★）正六边形A BCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交
于六个点，组成如右图的图形，求这 个图形的面积.


分析：采用分割法，连接正六边形的对角线，会 发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，
原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三 角形组成，所以现在的大图形的面积是：1×2=2（平方米）

[前铺] 正三角形AB C的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六
边形（如右图），求六 边形的面积.

分析：采用分割法，右上图中所有小三角形的面积都相同，所以面积=13平方米.


【例11】 （★★★★）如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成， 试沿
一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的 正
方形.

分析：实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设 十字形面积是5个平方单位，
长方形的长为x长度单位，宽为
x
x
2
22
2
长度单位，那么有
x.5,
x
10
，即
x

3

1
，由勾股定理可
2
2
知：所求 长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边.它恰是两个对角顶点的连线.剪拼
方法如下 图右所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形.


【例12】 （★★★★）如下图两个正方形的边长分别是a和b（a＞b），将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形.

图（1） 图（2） 图（3）
分析：拼成大正方形的面积应是a×a+b×b，设边长c， 则有等式c×c=a×a+b×b，又因为将边长为a
的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正 方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如图（1），
一定有MN×MN=a×a+b×b，而MH =a，则：NH=b，所以AN=CM=BH=(a-b),由此可以确定MN，然后将MN绕
中心O旋 转90°到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块.如图（2）与图（3）.这种分法同时确
保图 （3）的中间部分就是边长为b的小正方形.这是因为：
（1） 中心四边形的角即边长为a的正方形 的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等.因
此中心四边形是正方形.
（2） 中心正方形的边长=[a-(a-b)÷2]-(a-b)÷2＝a-（a-b）＝b.
因此，中间部分是边长为b的正方形.

[巩固]把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形.

分析：不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面 积与图中两块面积和相等，甲面积=10×5=50（平方厘
米）；乙面积=10×7-（7-2）×4 =70-20=50（平方厘米）.
所以甲面积+乙面积=50+50=100（平方厘米），也就是 最后拼得正方形的边长为10厘米.甲、乙两图
形各有一边是10厘米，可视为正方形的一条边，然后把 乙剪成三块（如右上图所示）拼成的正方形，即
可.



本章内 容我们主要学习了一些常见图形的分割、拼合和剪拼，这为我们进一步学习几何有很大的帮
助，我们在四 年级秋季班中还要继续学习复杂图形的分割与拼接，希望同学们再接再厉！

专题展望
练习五


1.（例2）把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形， 有许多种分法．请你画出4种不同的分法．


分析：根据等底等高的三角形面积相 等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们
的面积必定相等．而要得到这2个等底 等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对
的顶点连接起来就行了.根据上面的分析 ，可得如下图所示的三种分法．


2.（例3）请把下面这个长方形沿方格线剪成 形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”
这四个字中的一个，该怎么剪?
→→

分析：图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它 们中间分割，因此，首先在它
们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块， 因为长方形是6×4的，所以

分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成 相同的两部分，再把每一部分分成相同的两
部分，对称分成如右上图.


3.（例5）将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种自身可以拼成面
积是16的正方形?




分析：面 积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左上图所
示 )．用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右上图所示)．
通过观察与试验， 无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，
共可以拼成5 种面积是16的正方形．


4.（例8）有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现 在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出
一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的 地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁
的块数尽可能地少，应怎样剪拼?


分析：地毯的面积为(8×3)＝24平方米，新房间的面积为(6×4)＝24平方米，两 者虽然长、宽不相等，
但面积相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的 宽多1米，因此，我
们可以把地毯看做由12个2×1(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左上图 所示，要达到题目的要
求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增 加1米，我们可以沿
对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图 ，然后把它们错位
互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动2米，即得右上图 .


5.（例9）长方形长24厘米，宽15厘米.把它剪成两块，使它们拼成一 个长20厘米，宽18厘米的长方
形.

分析：长方 形面积=24×15=360（平方厘米），拼成的长方形面积=20×18=360（平方厘米），面积相等，
只是长、宽不等，但它们都可以分成30个4×3的小长方形，拼成的长方形的一半应有15个4×3的 小
长方形，即5＋4+3+2＋l=15.所以才有如上图的剪切方法.







数学知识

逛市场

今天是星期天，妈妈要带小勇去逛自由市场，小勇很高兴，紧张地学习了一周也该轻松一下了 。自
由市场可热闹了，商品齐全，价格灵活，摊主们的经营之道可多了，买主中也不乏精明之人。 在鲜
果市场的一个西瓜摊前，小勇遇到一件新鲜事： 西瓜摊前的广告牌上写道：保熟、保甜大西瓜， 价
格便宜，8斤以下每斤2角，8斤以上每斤2角5分。一位小伙子挑了一个西瓜，请摊主过秤算钱。摊 主
一边过秤，一边喝道：“一元八角五分，五分抹掉，一元八角。”买瓜的小伙子稍稍迟疑，立即说：“ 你
的帐算错了。”聪明的摊主自觉理亏，假装又算了一遍，便客气地说道：“对不起。”小勇在一旁看得
清楚，听得明白，这小伙子没有看秤，怎么知道卖瓜的人把帐算了呢？爱动脑筋的小勇，一边跟妈妈走，
一边琢磨。噢！原来如此。你想起来了吗？