四年级数学A班奥数专题-“最大与最小”问题
我心中的老师-抽奖串词
四年级数学A班奥数专题
->“最大与最小”问题
在应用数学知识解决日常生
活中的一些实际问题时，经常会出现解决
方案不止一种，有时还会有无数种的情况。在这种情况下，我们
往往
需要找最大量或最小量。
例1 试求乘积为36，和为最小的两个自然数。
分析与解 不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情
况：1×36、2×18、
3×12、4×9、6×6。相应的两个乘数的和是：
1+36=37、2+18=20、3+12=1
5、4+9=13、6+6=12。显然，乘积是36，
和为最小的两个自然数是6与6。
例2 试求乘积是80，和为最小的三个自然数。
分析与解 不考虑因数顺序，乘积是80的
三个自然数有以下八种情
况：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×2
0、2×4×10、
2×5×8、4×4×5。经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的
三个自然数是4、4、5。
结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m
个乘数相等或最相近时，其和最小。
例3 试求和为8，积为最大的两个自然数。
分析与解 不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：
1+7、2
+6、3+5、4+4。相对应的两个加数的积是：1×7=7、2×6=12、
3×5=15、4×4
=16。显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。
例4
试求和为13，积为最大的两个自然数。
分析与解 不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六
种情况：
1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。经过计算，不难发现，和为13，
积为最大的两个
结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个
数相等或最相近时，其积最大。
例5 砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一
个
矩形晒谷场的围墙。如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是
多少米时，晒的谷最多？
分析与解 根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）
56米，即长
方形晒谷场的周长为56米。要使晒谷场晒的谷最多，实
际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。
而长方形的周长56
米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽
相
等（都是14米）时，面积才最大。所以，晒谷场的长和宽都是14
米时，晒的谷最多。这时晒谷场的面
积是：
14×14=196（平方米）
例6 要用竹篱笆围一个面积为
6400平方米的矩形养鸡场。如果每米
篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？
分析与解 要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场
的面积6400平方米一定
，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽
相等（都是80米）时，周长才最小。所以，只有当养鸡场的
长和宽
都为80米时，所用毛竹最省。这时所需毛竹是：
30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克）
例7
用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的
乘积最大。
分析与解 用2、3
、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，
使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数的千
位数，7和6应分别
作百位数，但7和6分别放在9和8谁的后面呢？
因为：97+86=183，96+87=183，它们的和相等。又有：
97-86=11，96-87=9
显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。
所以，
96与87的乘积一定大于97与86的乘积。
所以，7应放在8后面，6应放在9后面。
同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是9642和8753。
它们的积是
9642×8753=84396426
例8 试比较下列两数的大小：
a=8753689×7963845
b=8753688×7963846
分析与解
此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过
程复杂。仔细观察两数会发现，a中两个因数的
和与b中两个因数的
和相等。因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个
因数之
间相隔更少，更相近。很容易看出8753688与7963846之间比
8753689与79638
45之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。
专题训练（十二）
1、用四张纸片：1、9、9和5，可组成的四位数中，则最小的数与最大的数
之和是
。
2、把47个苹果分放在盘内，要求每个盘子都有苹果，且个数不相同，这
些苹果最多可放多少盘？
3、七人参加数学竞赛，共得110分，但每人得分都不相等，最高分是20
分，得分最低的
至少是多少分？
4、小明看一本90页的童话故事，每天看的页数不同，而且一天中最少看
3次，那么小明看完这本书最多需要几天？
5、把自然数1、2、3、4、……、3
9、40依次排列，11……3940，
划去65个数字得到的多位数最大是多少？
6、a、b是两个自然数，a+b=16，那么a×b最大是多少？
7、a、b是两个自然数，a×b=49，那么a+b最小是多少？
8、用40厘米长的铁丝围成的长方形中，最大一个面积是多少？
9、教室一个窗户的面积是225平方分米，怎样设计窗户的形状和尺寸最省
材料？
10把16拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的积尽量大，应如何拆？
50呢？
11、在下面的一排数字之间添上五个加号，组成一个连加算式，求这个连
加算式的结果的最小值。
1 2 3 4 5 6 7
8 9
12、三个两位的连续偶数，它们的个位数字的和是7的倍数，这三个数的和
最少是多
少？
“抽屉原理”教学设计
【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第68页。
【教学目标】
1.经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问
题。
2. 通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。
3. 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重点】
经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】
理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教具、学具准备】
每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。
【教学过程】
一、课前游戏引入。
师:同学们在我们上课之前,先做个小游戏:老师这里准备了4把椅子
,请5个同学上来,谁
愿来?(学生上来后)
师:听清要求 ,老师说开始以后,
请你们5个都坐在椅子上,每个人必须都坐下,好吗?(好)。
这时教师面向全体,背对那5个人。
师:开始。
师:都坐下了吗?
生:坐下了。
师:我没有看到他们坐的情况,但是我敢肯定地说:“不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两<
br>个同学”我说得对吗?
生:对!
师:老师为什么能做出准确的
判断呢?道理是什么?这其中蕴含着一个有趣的数学原理,这
节课我们就一起来研究这个原理。下面我们
开始上课,可以吗?
二、通过操作,探究新知
(一)教学例1
1.出示题目:有3枝铅笔,2个盒子,把3枝铅笔放进2个盒子里,怎么放?有几种不同的放
法?
师:请同学们实际放放看,谁来展示一下你摆放的情况?(指名摆)根据学生摆的情况,师板书
各种情况
(3,0) (2,1)
师:5个人坐在4把椅子上,不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学。3支笔放进2
个盒子里呢?
生:不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝笔?
是:是这样吗?谁还有这样的发现,再说一说。
师:那么,把4枝铅笔放进3个盒子里,怎
么放?有几种不同的放法?请同学们实际放放看。
(师巡视,了解情况,个别指导)
师:谁来展示一下你摆放的情况?(指名摆)根据学生摆的情况,师板书各种情况。
(4,0,0)
(3,1,0)
(2,2,0)
(2,1,1),
师:还有不同的放法吗?
生:没有了。
师:你能发现什么?
生:不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:“总有”是什么意思?
生:一定有
师:“至少”有2枝什么意思?
生:不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝?
师:就是不能少于2枝。(通过操作让学生充分体验感受)
师:把3枝笔
放进2个盒子里,和把4枝笔饭放进3个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子
里至少有2枝铅笔。这是我
们通过实际操作现了这个结论。那么,我们能不能找到一种更为
直接的方法,只摆一种情况,也能得到这
个结论呢?
学生思考——组内交流——汇报
师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
组1生:我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔,
最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒
子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)
师:同学们自己说说看,同位之间边演示边说一说好吗?
师:这种分法,实际就是先怎么分的?
生众:平均分
师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)
生1:要想发现存在着“总有一个盒子里一定至
少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在那
个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝
”。
生2:这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?
师:同意吗?那么把5枝笔放进4个盒子里呢?(可以结合操作,说一说)
师:哪位同学能把你的想法汇报一下,
生:(一边演示一边说)5枝铅笔放在4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝
铅笔。
师:把6枝笔放进5个盒子里呢?还用摆吗?
生:6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:把7枝笔放进6个盒子里呢?
把8枝笔放进7个盒子里呢?
把9枝笔放进8个盒子里呢?……
:
你发现什么?
生1:笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:你的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。
2.解决问题。
(1)课件出示:5只鸽子飞回4个鸽笼,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里,为什么?
(学生活动—独立思考 自主探究)
(2)交流、说理活动。
师:谁能说说为什么?
生1:如果一个鸽笼里飞进一只鸽子,最多飞进4
只鸽子,还剩一只,要飞进其中的一个鸽笼
里。不管怎么飞,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。
生2:我们也是这样想的。
生3:把5只鸽子平均分到4个笼子里,每个
笼子1只,剩下1只,放到任何一个笼子里,就
能保证至少有2只鸽子飞进同一个笼里。
生4:可以用5÷4=1……1,余下的1只,飞到任何一个鸽笼里都能保证至少有2只鸽子飞
进一个个
笼里,所以,“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的。
师:许多同学没有再摆学具,证明这个结论是正确的,用的什么方法?
生:用平均分的方法,就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个个笼里”。
师:同意吗?(生:同意)老师把这位同学说的算式写下来,(板书:5÷4=1……1)
师:同位之间再说一说,对这种方法的理解。
师:现在谁能说说你对“总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子的理解”
生:我们发现这是必然存在的一个现象,不管鸽子怎样飞回鸽笼,一定会有一个鸽笼里至少
有2只鸽子。
师:同学们都有这个发现吗?
生众:发现了。
师:
同学们非常了不起,善于运用观察、分析、思考、推理、证明的方法研究问题,得出结
论。同学们的思维
也在不知不觉中提升了许多,那么让我们再来看这样一组问题。
(二)教学例2
1.出示题目:把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把7本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把9本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
(留给学生思考的空间,师巡视了解各种情况)
2.学生汇报。
生1
:把5本书放进2个抽屉里,如果每个抽屉里先放2本,还剩1本,这本书不管放到哪
个抽屉里,总有一
个抽屉里至少有3本书。
板书:5本 2个 2本…… 余1本
(总有一个抽屉里至有3本书)
7本 2个 3本……
余1本(总有一个抽屉里至有4本书)
9本 2个 4本……
余1本(总有一个抽屉里至有5本书)
师:2本、3本、4本是怎么得到的?生答完成除法算式。
5÷2=2本……1本(商加1)
7÷2=3本……1本(商加1)
9÷2=4本……1本(商加1)
师:观察板书你能发现什么?
生1:“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用 “商+ 1”就可以得到。
师:如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
生:“总有一个抽屉里的至少有3本”只要用5÷3=1本……2本,用“商+ 2”就可以了。
生:不同意!先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2本,这2本书
再平均分,
不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行研究、讨论。
交流、说理活动:
生1:我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
生2:把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉
里再各放1本
,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。
生3∶我们组的结论是5本书平均分放到3个
抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用
“商加1”就可以了,不是“商加2”。
师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?
生4:
如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一
个抽屉里至少有商
加1本书”了。
师:同学们同意吧?
师:同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的
德
国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。这一原理在解
<
br>决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的
问题
,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。
3.解决问题。71页第3题。(独立完成,交流反馈)
小结:经过刚才的探索研究,我们
经历了一个很不简单的思维过程,我们获得了解决这类问
题的好办法,下面让我们轻松一下做个小游戏。
三、应用原理解决问题
师:我这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩
52张,我请五位同学每人任意抽1张,听清
要求,不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下,
同种花色的至少有几张?为什么?
生:2张因为5÷4=1…1
师:先验证一下你们的猜测:举牌验证。
师:如有3张同花色的,符合你们的猜测吗?
师:如果9个人每一个人抽一张呢?
生:至少有3张牌是同一花色,因为9÷4=2…1
四、全课小结