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2017年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（四年级第2试）


一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）计算：1100÷25×4÷11= ．

2．（5分）有15 个数，他们的平均数是17，加入1个数后，平均数变为20，则
加入的数是 ．

3．（5分）若
= ．

4．（5分）已知a+b=100，若a除 以3，余数是2，b除以7，余数是5，则a×b
的值最大是 ．

5．（5 分）如图所示，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图乙中的
正方形面积为36平方厘米，则 图甲中的正方形面积为 平方厘米．

和是两个三位数，且a=b+1，b=c+2，×3+4=，则

6．（5分）边长为 20的正方形的面积恰好等于边长为a和边长为b的两个正方
形的面积的和，若a和b都是自然数，则a +b= ．

7．（5分）今年是2017年，年份的数字和是10，则本世纪内，数 字和是10的所
有年份的和是 ．

8．（5分）在纸上画2个圆，最多可得 到2个交点，画3个圆，最多可得到6个
交点，那么，如果在纸上画10个圆，最多可得到 个交点．

9．（5分）小红带了面额50元，20元，10元的人民币各5张，6张，7张， 她
买的230元的商品，那么，有 种付款方式．

10．（5分）甲、乙、 丙三个数的和是2017，甲比乙的2倍少3，乙比丙的3倍
多20，则甲是 ．
< br>11．（5分）篮球比赛中，三分线外投中一球可得3分，三分线内投中一球可得2
分，罚蓝投中 一球得1分，某球队在一次比赛中共投进32个球，得65分，
已知二分球的个数比三分球的个数的4倍 多3个，则这个球队在比赛中罚篮
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共投中 球．

12．（5分）在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼 此不
同的一位数，则“FIGAA”表示的五位数是 ．


二、解答题：每小题15分，共60分。每题都要写出推算过程。

13．（15分） 甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟走70米，
乙每分钟走60米，两人在距离中点 80米的地方相遇，求A、B两地之间的距
离．




14．（15分）老师给学生水果，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数
的3倍多3个，每人 分2个苹果，则余下6个苹果；每人分7个橘子，最后
一人只能分得1个橘子，求学生的人数．




15．（15分）两个相同的正方形重合在一起，将上层的 正方形向右移动3厘米，
再向下移动5厘米，得到如图所示的图形，已知阴影部分的面积是57平方厘< br>米，求正方形的边长．


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16．（15分）商店推出某新款手机的分期付款活动，有两种方案供选择．

方案一：第一个月付款800元，以后每月付款200元．

方案二：前一半的时间每月付款350元，后一半的时间每月付款150元．

两种方案付款总数与时间都相同，求这款手机的价格．





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2017年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（四年级第2试）

参考答案与试题解析



一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）计算：1100÷25×4÷11= 16 ．


【分析】先算1100÷11÷25，得4，再算4×4

【解答】解：1100÷25×4÷11

=1100÷11÷25×4

=100÷25×4

=4×4

=16

故答案是：16

【点评】本题考查了乘除的混合运算，本题突破点：交换乘除数的位 置，即可巧
算出结果



2．（5分）有15个数，他们的平均数 是17，加入1个数后，平均数变为20，则
加入的数是 65 ．


【分 析】首先根据题意，可得：原来15个数的和是255（15×17=255），后来16
个数的和是3 20（16×20=320）；然后用后来16个数的和减去原来15个数的
和，求出加入的数是多少即 可．

【解答】解：16×20﹣15×17

=320﹣255

=65

答：加入的数是65．

故答案为：65．
【点评】此题主要考查了平均数问题，要熟练掌握，解答此题的关键是求出原来
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15个数以及后来16个数的和各是多少．



3．（5分）若
= 964 ．


和是两个三位数，且a=b+1 ，b=c+2，×3+4=，则
【分析】显然a比c大3，a最小是3，b最小是2，c最小是0，而< br>d最大为9，只有当a=3时才满足题意，故可以求出．

×3+4=，
【解答 】解：根据分析，a=b+1=c+2+1=c+3，又a、b、c均为一位数，

故a的最小值为3，b最小是2，c最小是0，

又∵×3+4=，

=320，

∴d最大为9，此时a=3，b=2，c=0即
则=×3+4= 320×3+4=964；

故答案是：964．

【点评】本题考查了最大 与最小的知识，本题突破点是：根据已知确定a，b，c
的最小值以及d的最大值，从而可以求出结果．



4．（5分）已知a+b=100，若a除以3，余数是2，b除以7 ，余数是5，则a×b
的值最大是 2491 ．


【分析】要求a×b最 大值，则要使a、b的差尽可能小，而两者的和一定，即可
缩小范围，求出最大值．

【解答】解：根据分析，a除以3，余数是2，b除以7，余数是5，可设a=3m+2，
b=7n+5 ，

又∵a+b=100，由于和不变，差小积大，则要求a与不得差尽可能小，

得a=53，b=47，

a×b=53×47=2491，此时a×b的值最大．

故答案是：2491．

【点评】本题考查了最大与最小，本题突破点是：根据最大最 小的特征，和不变，
差小积大，故而可以求得最大值．



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5．（5分）如图所示，两个完全相同的等腰 三角形中各有一个正方形，图乙中的
正方形面积为36平方厘米，则图甲中的正方形面积为 32 平方厘米．



【分析】根据正方形的对角线性质及等腰直角三角形的性质作图如下：


将 乙中的等腰直角三角形平均分成了4份，则三角形的面积是36÷2×4=72平方
厘米，图甲将三角形 平均分成了9个相同的小三角形，正方形占了4个，它
的面积是三角形面积的，据此可求出正方形的面积 是多少，据此解答．

【解答】解：如图：


三角形的面积：

36÷2×4

=18×4

=72（平方厘米）

图甲中正方形的面积：

72×=32（平方厘米）

答：图甲中的正方形面积为32平方厘米．

故答案为：32．

【点评】本题的重点是把等腰直角三角形平均分成若干份，再根据 正方形占的份
数进行解答．



6．（5分）边长为20的正方形 的面积恰好等于边长为a和边长为b的两个正方
形的面积的和，若a和b都是自然数，则a+b= 28 ．


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【分析】按题意，边 长为20的正方形的面积恰好等于边长为a和边长为b的两
个正方形的面积的和，即可列一个关系式，a
2
+b
2
=20，再根据a和b都是自然
数确定a和b的值．

【解答】解：根据分析，可以得到：a
2
+b
2
=20，

∵a和b都是自然数，且3
2
+4
2
=5
2
⇒12
2
+16
2
=20
2
，

∴a=12，b=16∴a+b=28．

故答案是：28．

【点 评】本题考查了完全平方数性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质和
自然数的条件，确定a和b的 值，从而再求和．



7．（5分）今年是2017年，年份的数字和是1 0，则本世纪内，数字和是10的所
有年份的和是 18396 ．


【分 析】按题意，本世纪即：2000～2100之间找出数字和为10的数，然后再加
起来即可，而这些数 百位均为0，可以从十位开始算起．

【解答】解：根据分析，在2000～2100数字中， 由于千位为2，百位为0，十位
与个位数字之和等于8即可，故满足条件的有：

20 08，2017、2026、2035、2044、2053、2062、2071、2080；
和为：2008+2017+2026+2035+2044+2053+2062+2071+2080= 18396．

故答案是：18396．

【点评】本题考查了数字问题，突 破点是：确定千位和百位上的数字，只须确定
十位与个位上的数字和即可．



8．（5分）在纸上画2个圆，最多可得到2个交点，画3个圆，最多可得到6个
交 点，那么，如果在纸上画10个圆，最多可得到 90 个交点．


【分析】当已经 有n个圆时，再画一个圆，圆与其他n个圆的交点最多的情况是：
这个圆与其他每个圆都相交于两点．< br>
【解答】解：递推分析：

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画第1个圆，交点为0个，

画第2个圆，它与第1个圆交于两点，交点有0+2=2个，

画第3个圆，它与前两个圆分别相较于两点，交点有0+2+4=6个，

…

画第10个圆，它与前面9个圆分别交于两点，交点个数：0+2+4+6+…+18=90个；

故本题答案为：90．

【点评】每两个圆之间交点最多的情况是两圆相交，交点 最多为2个，本题也可
以用排列组合来解答：2×


9．（5分）小红带了 面额50元，20元，10元的人民币各5张，6张，7张，她
买的230元的商品，那么，有 11 种付款方式．


=90个．

【分析】要用50，20，10凑成230，用枚举法列举出所有方式．

【解答】解：根据50元面额由大到小的顺序，枚举出所有可能的组合，如下表：

面额

50元

20元

10元

共有11种组合方式．

故本题答案为：11．

【点评】枚举法列举即可，注意避免遗漏，题目较简单．



10 ．（5分）甲、乙、丙三个数的和是2017，甲比乙的2倍少3，乙比丙的3倍
多20，则甲是 1213 ．


张数

4

1

1

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

0

4

3

2

1

6

5

4

3

6

3

0

2

4

6

1

3

5

7

6

【分析】乙比丙的3倍多20，那么乙数可以表示为丙数×3+20，甲比乙的2 倍
少3，那么甲数就是丙数的2×3倍多20×3，那么三数的和就是丙数的1+2
×3+3倍 多（20×3﹣3），用三数的和减去（20×3﹣3）得到丙数的（1+2×3+3）
倍，进而求出丙 数，从而得到乙数和甲数．

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【解答】解：丙数：（2017﹣20×3+3）÷（1+2×3+3）

=（2017﹣57）÷10

=1960÷10

=196，

乙数：196×3+20=608，

甲数：608×2﹣3=1213，

答：甲是1213．

故答案为：1213．

【点评】解决本题关键是通过代换，得出甲数是丙数的几倍多 几，进而得出三数
的和是丙数的几倍多几，从而求出丙数，进而求解．



11．（5分）篮球比赛中，三分线外投中一球可得3分，三分线内投中一球可得2
分，罚蓝投 中一球得1分，某球队在一次比赛中共投进32个球，得65分，
已知二分球的个数比三分球的个数的4 倍多3个，则这个球队在比赛中罚篮
共投中 4 球．


【分析】设三分球 有x个，则两分球有（4x+3）个，一分球有（32﹣4x﹣3﹣x）
个，各种球投中的个数乘对应分 数，表示出各种球的得分，再相加就是全部
的得分65分，由此列出方程求出3分球的个数，进而求出一 分钱（罚篮）的
个数．

【解答】解：设三分球有x个，则二分球有（4x+3）个， 一分球有（32﹣4x﹣3
﹣x）个，则：

3x+（4x+3）×2+（32﹣4x﹣3﹣x）=65

x=5

一分球有：

32﹣4×5﹣3﹣5=4（球）

答：这个球队在比赛中罚篮共投中 4球．

故答案为：4．

【点 评】解决本题先设出三分球的个数，再根据倍数关系表示出两分球的个数，
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再根据投中球的个数表示出一分球的个数，然后根据乘法的意义分别得出3< br>类球的得分数，再相加得到总分65分，由此等量关系列出方程求解．


< br>12．（5分）在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼此不
同的 一位数，则“FIGAA”表示的五位数是 15744 ．



【分析】 首先找到题中的特殊情况，根据第一个乘积是三位数，尾数相同可以枚
举排除，再根据A和C确定B，然 后就可以求解．

【解答】解：依题意可知：

A、B、C、D、E、F、G、H、I共9个数字，题中没有数字0．

再根据结果是 三位数，那么首位字母可以是C=2，A=4或者C=3，A=9不
满足三位数的条件．所以A=4，C =2．

再根据进位B=9，E=8．

根据E+H=A=4那么H=6，A加上进位等于I=5．所以D=3，F=1．

即：49×32=15744．

故答案为：15744．

【点评 】本题考查凑数谜的理解和运用，突破口就是字母C和第一个乘积是三位
数限制了百位数字不能太大，问 题解决．



二、解答题：每小题15分，共60分。每题都要写出推算过程。

13．（15分） 甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟走70米，
乙每分钟走60米，两人在距离中点 80米的地方相遇，求A、B两地之间的距
离．


【分析】甲乙在距中点8 0米处相遇，也就是甲比乙多行了80×2=160（米），两
人的速度差是70﹣60=10（米分） ，那么用路程差除以速度差，求出相遇时间，
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再求出速度和，用相遇时间乘速度和即可求出求A、B两地之间的距离．

【解答】解：（80×2）÷（70﹣60）

=160÷10

=16（分钟）

（70+60）×16

=130×16

=2080（米）

答：A、B两地之间的距离是2080米．

【 点评】先根据两人的路程差与速度差求出相遇时间，再根据关系式“速度和×
相遇时间=路程”解决问题 ；注意两人的路程差是2个80米．



14．（15分）老师给学生水果 ，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数
的3倍多3个，每人分2个苹果，则余下6个苹果；每 人分7个橘子，最后
一人只能分得1个橘子，求学生的人数．


【分析】本题可采用方程的方法进行解题．表示出题中的数量关系即可列出等式．

【解答】解：依题意可知：

设学生的人数为x人．则苹果的个数为2x+6个．橘子个数为7（x﹣1）+1个．

则可得：

（2x+6）×3+3=7（x﹣1）+1

6x+21=7x﹣6

x=27

答：共有27个学生．

【点评】本题考查对盈亏问题的理解和运用，关键问题是列出等量关系，问题解
决．



15．（15分）两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动3厘米 ，
再向下移动5厘米，得到如图所示的图形，已知阴影部分的面积是57平方厘
米，求正方形的 边长．

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【 分析】如图把阴影部分分成两个长方形，一个长方形的长是正方形的边长，宽
是3厘米，另一个长方形的 长是正方形的边长减去3厘米，宽是5厘米，根
据设正方形的边长是a，根据长方形的面积公式分别表示 出两个长方形的面积，
再相加就是阴影部分的面积57，由此列出方程求出正方形的边长．


【解答】解：设正方形的边长是a厘米，则：

3a+（a﹣3）×5=57

3a+5a﹣15=57

8a=72

a=9

答：正方形的边长是9厘米．

【点评】本题也可以这样求解：


将原正方形分成4块，先看第①、第④块的面积和与第③、第④块的面积和，因
为正方形四条边 长相等，其关系只与5厘米、3厘米的两条边长相关．所以设
第①、第④块的面积和是5份，则第③、第 ④块的面积和则是3份，且得知
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（①+④） +（③+④）=阴影部分面积+④=57+3×5=72平方厘米，总共是有5+3=8
份占72平方厘 米，所以一份是72÷8=9平方厘米，①+④=5×9=45平方厘米，
所以正方形边长是45÷5= 9厘米．



16．（15分）商店推出某新款手机的分期付款活动，有两种方案供选择．

方案一：第一个月付款800元，以后每月付款200元．

方案二：前一半的时间每月付款350元，后一半的时间每月付款150元．

两种方案付款总数与时间都相同，求这款手机的价格．


【分析】显然两个 方案中手机的价格相同，可以设付款的总时间为x，分别列出
关系式，解得再求手机的价格．

【解答】解：根据分析，设时间为x个月，则方案一中手机的费用为：800+（x
﹣1）×2 00=200x+600（元）；

方案二中手机的费用为：350×x+150×x=250 x（元），因两种方案中手机的
价格是一样的，故有：

200x+600=250x ，解得：x=12，故付款总价格为：250×12=3000元．

故答案是：3000．

【点评】本题考查了利润利息和纳税的问题，本题的突破点是 ：利用两个方案中
的价格相同，求出手机的价格．

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