2019年小学数学四年级排列组合习题解答
明尼苏达大学法学院-湖北高考志愿填报系统
2019年小学数学四年级排列组合习题解答
极客数学帮黄加明老师
前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上
，这些问题是相互
联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步
骤完
成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如
果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多，要正确地解
决这些问题
，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的
类型特点.
看下面的例子.
例1 由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？
分析 注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数
这四
类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.
第一类：一位偶数只有0、2，共2个；
第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；
若个位取2，
则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法；
第三类：三位偶数，它包
含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种
取法；若个位取2，则十位和百位只能
在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取
法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个
，三位偶数共有（P23＋2×2）个；
第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取
0，则共有P33个；若个位取 2，
则其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2种取法，百
位和十位在剩下的两个数中取，再
排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2×
P22个.所以，四位偶数
共有（P33＋2×P22）种不同的取法.
解：
由加法原理知，共可以组成
2＋（C13＋C12）＋（P23＋2×2）＋（P33＋2×P22）
＝2＋5＋10＋10
＝27
个不同的偶数.
补充说明：本题也可以将
所有偶数分为两类，即个位为0和个位为2的两类.再考虑到
每一类中分别有一位、两位、三位、四位数
，逐类讨论便可求解.
例2 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个
队，第二组
7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前
两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即
A
、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），
共需比赛多少
场？
分析
比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时
比赛的场次.
①中，第一组中8个队，每两队比赛一场，所以共比赛C28场；第二组中7个队，每
两队比赛一场，所
以共比赛C27场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C24场.
②中，由于是实行主客场制
，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.
另外，还可以用排列的知识来解
决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所
在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛
P28场，第二组共比赛P27场，决赛时共
比赛P24场.
解： 由加法原理：
①
行单循环赛共比赛
②实行主客场制，共需比赛
2×（C28＋C27＋C24）＝110（场）.
或解为：
P28＋P27＋P24
＝8×7＋7×6＋4×3
＝56＋42＋12
＝110（场）.
例3
在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个
① 角形？②四边形？
分析 ①我们知道，不在同一直线上的三个点确定一个三角形，由图可见，半圆弧上的
每三个点均不共线（由于A、B既可看成半圆上的点，又可看成线段上的点，为不重复计算，
可把它们
归在线段上），所以，所有的三角形应有三类：第一类，三角形的三个顶点全在半
圆弧上取（不含A、B
两点）；第二类，三角形的两个顶点取在半圆弧上（不包含A、B），另
一个顶点在线段上取（含A、B
）；第三类，三角形的一个顶点在半圆弧上取，另外两点在线
段上取.
注意到三角形的个数只
与三个顶点的取法有关，而与选取三点的顺序无关，所以，这是
组合问题.
解：三个顶点都在半圆弧上的三角形共有
两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形共有
一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形共有
由加法原理，这12个点共可以组成
C37＋（C27×C15）＋（C17×C25）
＝35＋105＋70＝210（个）
不同的三角形.
也可列式为C312－C35＝220—10＝210（个）.
分析 ②用解①的方法考虑.
将组成四边形时取点的情况分为三类：
第一类：四个点全在圆弧上取.（不包括A、B）有C17种取法.
第二类：两个点取自圆弧.两个点取自直线AB.有取法C27×C25种.
第三类：圆弧上取3个点，直线上取1个点，有C37×C15种取法.
解：
依加法原理，这12个点共可组成：
C47+ C27×C25+C37×C15
＝35＋210＋175＝420
个不同的四边形.
还可直接计算，这12个点共可组成：
C412-C45-C35·C17＝495－5-70＝420
个不同的四边形.
例4 如下图，问
①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？
②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？
分析 ①由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此只要看上左图中水平方向的<
br>所有平行线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平行线中，可以选出几组两条
平行线
？
②由于长方体是由三组分别平行的平面组成的.因此，只要看上页右图中，平行于长方
体上
面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中，
可以选出几组两
个互相平行的两个平面，平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两
个互相平行的平面.
解： ①C25×C27＝210（个）
因此，上页左图中共有210个长方形.
②C25×C26×C24＝900（个）、
因此，上页右图中共有900个长方体.
例5 甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起，4人每人随便拿了一本，问：
②
拿到自己作业本的拿法有多少种？
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
分析 ①甲拿到自己的作业本，这时只要考虑剩
下的三个人拿到其他三本作业本的情况.
由于其他三人可以拿到自己的作业本，也可以不拿到自己的作业
本.所以，共有P33种情况.
②恰有一人拿到自己的作业本.这时，一人拿到了自己的作业本，而其
他三人都没能拿
到自己的作业本.拿到自己作业本的可以是甲、乙、丙、丁中的一人，共4种情况.另外
三人
全拿错了作业本的拿法有2种.故恰有一人拿到自己作业本的情况有4×2种情况.
③至
少有一人没有拿到自己的作业本.这时只要在所有拿法中减去四人全拿到自己作业
本的拿法即可.由于4
人拿作业本的所有拿法是P44，而4人全拿到自己作业本只有1种情
况.所以，至少有一人没拿到自己
作业本的拿法有P44－1种情况.
④谁也没拿到自己的作业本.可分步考虑（假设四个人一个一个地
拿作业本，考虑四人
都拿错的情况即可）.第一个拿作业本的人除自己的作业本外有3种拿法.被他拿走
作业本的
人也有3种拿法.这时，剩下的两人只能从剩下的两本中拿，要每人都拿错，只有一种拿法.<
br>所以，由乘法原理，共有3×3×1种不同的情况.
解： ①甲拿到自己作业本的拿法有
P33＝3×2×1＝ 6
种情况；
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有
4×2＝8
种情况；
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有
P44－1＝4×3×2×1－1＝23
种情况；
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有
3×3×1＝9
种情况.
由前面的各例题可以看到，有关排列组合的问题多种多样，思考问题的方法灵活多变，入手
的角
度也是多方面的.所以，除掌握有关的原理和结论，还必须学习灵活多样的分析问题、
解决问题的方法.
附送：
2019年小学数学四年级期末测试题
60分钟
一、谨慎填写
1. 5和30两个数，（
）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）
的因数。
24的因数有（
）。
2．1、2、28、31、57和86这些数可以填入下面的哪些圈里？填
一填。
奇数 素数
合数
3．如右图，一块三角形纸片被撕去了一个角。
这个角是（ ）度，原来这块纸片的形状
是（ ）三角形，也是（
）三角形。
4．在括号里填上“升”或“毫升”。
①一瓶椰子汁约有240（
）。
②一个电热水器能盛水60（ ）。
7
c
m
5．右边梯形的上底与下底长度的和是
（ ）厘米，高是（ ）厘米。
6．在 里填“×”或“÷”，在 里填数。
156÷12
=（156×3）÷（12 ）
=（156÷3）÷（12
）
10cm
1
0
c
m
9cm
7．如图:小红从家出发，经过学校去超市,有( )条路可以选
择。
学校
小红家〇────〇 〇超市
8．一张长
方形纸，长a厘米，宽b厘米。从这张纸上剪出一个最
大的正方形，这个正方形的周长是（
）厘米，面积是（ ）
平方厘米。当a=15,
b=10时，原来长方形纸的周长是（ ）厘米，面积是（ ）
平方厘米。
二、准确判断 （对的在括号内打“√”，错的打“×”）
1．18×500，积的末尾有两个0。……………………………………
（ ）
2．梯形不可能是轴对称图
形。…………………………………………（ ）
3．（12＋K）×5＝60＋5K。……………………………………………
（ ）
4．一个自然数越大，它的因数个数就越
多。……………………………（ ）
三、慎重选择 （把正确答案的序号填在括号里）
1．下面三组小棒，不能围成三角形的是（ ）。
3厘米 4厘米 3厘米
3厘米
4厘米
3
厘米
5厘米 4厘米 6厘米
① ②
③
2．把1升的水倒入容量为200毫升的纸杯中，可以倒（ ）
杯。
①1 ②5
③200
3．小猴要给一块地围上篱笆，（ ）的围法更牢固些。
① ② ③
4．a×b的一个乘数乘10，另一个乘数也乘10，得到的积等于
（ ）。
①原来的积乘100 ②原来的积乘20
③原来
的积乘10
四、细心计算
1． 直接写出得数。（8分）
12×300= 200×34= 50×110=
800×
0=
600×50= 400÷50=
26×30＝ 150×
40=
2．用竖式计算。
28×307= 760×50=
400÷30=
3．计算下面各题，能简便计算的要用简便方法计算。
60÷15＋15×60
206×（39÷13×4）
125×54—46×125
（730－80÷2）÷23
400×[（270＋80）÷7] 99＋99×99
五、画画量量
1
．画出下面图形的对称轴。
（能画几条就画几条）
底（ ）毫米，高（ ）
毫米
3．
底
2．先画出平行四边形底边上的高，
再分别量出底和高的长度。
①
小鱼图从右下方移至左上方，先向（ ）平移（ ）格，
再向（ ）
平移（ ）格。
② 把梯形绕A点顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。
六、解决问题
1．
2．
每个茶杯
6
元
,茶壶的价钱是
1个茶杯
价钱的5倍。买右图这样一套茶具，
一共要用多少钱？
沪宁路
128km
A
3小时后两车相距
每小时73千米
每小时87千米
3．中国代表团在亚洲运动会上金牌数已经连续七届高居榜首，下
面是中国代表团第7—
15届亚运会获得金牌情况统计图。
中国代表团第7—15届获得金牌情况统计图
单位：块
XX年1月制
200
183
180
160
140
120
100
80
60
40
20
137
150
129
94
51
32
61
0
七 八 九 十 十一
十二 十三 十四 十五
① 从上图中看出（ ）月份西红柿售价最高，是
（ ）元。
①第十五届多哈亚运会中国代表团的金牌数比第十四届增加了15
块。把上面的统计图画完整。
②（ ）届亚运会中国代表团获得的金牌数最多，（ ）
最少。
③金牌数上升最快的是（ ）届到（ ）届，下降最快的
是（
）届到（ ）届。
④看了这幅统计图，你有什么想法？
4．买中国象棋和围棋一共用
去了
96元，平均每副围棋多少
元？
中国象棋
围 棋
3副
4副
平均每副12元
平均每副？元
七、探索规律
先数一数，再填一填，你能发现什么规律？
三角形个数
小棒根数
1
3
2
5
3
4
5
6
…
…
①摆20个这样的三角形，需要多少根小棒？
②有59根小棒，能摆出多少个这样的三角形？
小学数学四年级下册期末测试题
参 考 答 案
一、谨慎填写20分（1小题前四空0.5分，6小题每空0.5分，
其余各1分）
1．30、5，5、30，1、2、3、4、6、8、12、24
2．奇数：1、31、57
素数：2、31 合数：28、57、86
3．67，锐角，等腰
4．①毫升 ②升
5．17，9
6．×3，÷3
7．6
8．4b，b
2
，50，150
二、准确判断（每题1分）
1．× 2.× ３.√ ４.×
三、慎重选择（每题1分）
1.③
2.② 3.② 4.①
四、细心计算（1题每题1分，2题每题3分，3题每题3分）
1.3600,6800,5500,0,30000,8,780,6000
2.8596,38000,13……10
3.904,2472,1000,30,XX0,9900
五、画画量量（1、2题各二分，3题四分）
1．
2.
高
底（ 23或24 ）毫米，高（ 32或
33 ）毫米
3.①上、5，左、7或左、7，上、5
②略
六、解决问题（每题6分）
1．480千米 2. 36元 3.①略 ②第十一，第七
③第十、第十一，
第十一、第十二 ④略 4．15元
七、探索规律5分
填表略①41根 ②59个