小学三年级数学讲义
好奇心作文-免费师范生最新政策
第一讲
角度认识
经典精讲
角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角（还有动态定义哦！） 表示角的符
号 ：∠
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角这 10 种
锐角：大于 0°，小于 90°的角叫做锐角。
直角：等于 90°的角叫做直角。
钝角：大
于 90°而小于 180°的角叫做钝角。 平角：
等于 180°的角叫做平角。
优角：大于 180°
小于 360°叫优角。
劣角：大于 0°小于
180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
周角：等于 360°的角叫做周角。
负角：按照顺时针方向旋转而
成的角叫做负角。
正角：逆时针旋转的角为正角。
0 角：等于零度的角。
角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的
越大，角就越
大，相反，张开的越小，角则越小。
角的表示方法：
三个大写字母表示法：
∠AOB
顶点字母表示法：∠O
标数字表示法：∠1
常用角度：60°（等边三角形） 90°（直角，正方形） 180°（直线） 360°（整圈）
互余和互补
1
4
模块一：角度的认识
例
1
下列说法中，哪些是正确的？
(1)角是由两条直线组成
的．
(2)40°的余角是
140°． (3)周角是 180°．
(4)
角的两边越长，角就越大．
(5)
25
的角用 10
倍的放大镜看就变成了
250
(6)一个钝角减去一个直
角，得到的角一定是锐角，
(7)一个钝角减去一个锐角，得到的角不可能
还是钝角．
模块二：简单角度计算
例
2
如图所示，∠AOB 是 55°，那么，∠DOE 是多少度？
【练一练 1】如图，∠BCE＝25°，那么，∠DCE 是多少度？
2
4
如图所示，∠1 是∠2 的 2 倍，那么，∠1 的大小是多少度？
2
】如图，在直角
BOC
大
20°
。则 【练一练
AOB
内有一条射线
OC
，并且
AOC
比
BOC
是多少度？
例
4
如图所示，∠BOD＝40°，∠COE＝∠BOE，那么，∠AOE 是多少度？
3
4
【练一练
3】如图所示，∠1＝36°，∠2＝3∠4，那么∠5 是多少度？
例
5（赏析）
如图，∠AOB 的顶点 0 在直线 l 上，已知图中共有 5 个角小于
180°，如果它们 5 个的和是 400 度，
么，∠AOB 是多少度？
模块三：方向的认识
例
6
如图，请说出
OA、OB、OD、OE 的方向。
【练一练
4】接上图，如果∠AOC＝∠AOB，那么 OC 的方向是北偏东多少度？
4
4
那
第二讲
巧算综合
本节主要复习加法速算巧算中的分组法凑整、添数、去数法凑整，利用基准数法凑整．
(一)加减法中的速算与巧算:
⑴凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再
将
各组的结果相加．
①移位凑整法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．
②借数凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
③分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同
尾
数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另
一个
数的“补数”．
⑵找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整
数为“基准数”（要注意把多加的数 减
去，把少加的数加上）
(二)乘除法中的速算与巧算:
⑴乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即：
a b b
a
⑵乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘；或先把后两个数相乘后，再
与前一个数相乘，积不变．即: a b c (a b) c a
(b c)
⑶乘法分配律：两个数之和（或差）与一个数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这
两个积相加（或减）．即: (a b) c a c b c
(a b) c a c b c
⑷乘法分配律的逆运算
----------提取公因数 a c b c (a b) c
a c b c (a b) c
（三）
同头尾合十：如果两个两位数相乘，并且这两个两位数的十位数相同，我们称为同头，这两个两位
数的个位数字之和为
10，我们成为尾合十。那么乘积的结果前部分为头×（头+1），后部分为尾×
尾
例如：
34×36=12 24
3×（3+1）4×6
1
3
选一选
1.
计算 3+4+7 的正确结果是 （ ）
A. 23 B. 12 C.14 D. 16
2. 计算 21+23+25+19+18 的正确结果是 （ ）
A. 102 B.
280 C. 105 D. 106
3. 计算：
17 4 25 125
19 8 12 4 25
正确结果是 （ ）
A. 170
1900 120 B. 1700 1900 120 C.170 190 120 D.1700
19000
4. 利用乘法分配率将 25×（40-2）去括号的正确结果是 （ ）
A. 25×40-2 B. 25×40+2 C. 25×40-25×2 D.
25×40+25×2
5. 你还记得×11 的计算技巧吗？ 32×11 正确结果是 （ ）
A. 343 B. 234 C. 352 D. 253
6.
判断（对的在括号里打√，错误的在括号里打×）
（1）7×14+7×16=7×14+16 （
）
（2）6×3+6×4+6×2+6=6×（3+4+2） （ ）
（3）121÷5-21÷5=（121-21）÷5 （ ）
模块一：加法凑整
例
1
⑴ 63+294+37+54+6 ⑵756－248－352
⑶
19999 1999 199 19
⑷
801
802 805 798 807 808 795
模块二：乘法凑整：拆乘与拆加
例
2
⑴12
99 ⑵12 999
⑶125×792 ⑷ 85 101
【练一练 1】⑴
2999 999 999 ⑵
25 396
2
3
1200
例
3
（1）
16
16 25 125
。
（2）65×44×42= 。
【练一练 2】 5 64 25 125 2009 ．
【练一练 3】
15×14×33×52
模块三：提取公因数
例
4
2016×16－6048＋2016×87
【练一练 4】
255 255
997 510
例
5
32×59
＋78×41＋42×59
【练一练 5】 2460＋123×47－67×23
例
6
（1）
38×44＋62×45
（2）2016×3015－2015×3016
【练一练 6】
13
2012 12 2011
3
3
第三讲
等差数列初步
经典精讲
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列.
基本概念：首项：等差
数列的第一个数，一般用 a
1
表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 a
n
表示；
数列的和：这一数列全部数的和，一般用 s
n
表示.
基本公式：通项公式：a
n
=a
1
+(n－1)×d；
项
数公式：n = (a
n
－a
1
)÷d+1 公差：
d
=（a
n
－a
1
）÷(n－1)
数列和公式：s
n
=(a
1
+a
n
)×n÷2；
中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项
和的一
半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．这个定理就叫中项定理．
基本题型：
1.求项数（n）；2.求总和（s
n
）；3.求单项（a
n
）；4.求公差
（d）；
课前加油站
1. 数列 1
，3 ，5 ，7 ，… ，第 8 项是（
A.12 B.13 C.14 D.15
）。
2. 数列 2 ，4 ，6 ，8 ，… ，14
是这个数列的第（
A.5 B.6 C.7 D.8
）项。
3.
数列 3 ，6 ，9 ，…，18 是这个数列的第（ ）项。
A.4 B.5 C.6
D.7
1
3
5.
计算：5+8+11+14+17 的和是（
A.50 B.53 C.55 D.57
）
6. 计算：1+2+3+4+…+20 的和是（
A.200 B.210
C.220 D.230
）
模块一：等差数列求项数、公差、通项
例
1
（1） 对于数列 4 、
7
、
10
、
13
、
16
、
19
……，第
10
项是多少？
49
是这个数列的第几项？第
100
项与第
50
项的差是多少？
（2） 一个等差数列的首项是 8，第 25 项是 152，那么，这个等差数列的公差是多少？
【练一练 1】已知等差数列 4 、
7
、
10
、
13
、……、
40
、
43
、
46
问：这个数列共有多少项？
【练一练 2】已知等差数列
7，11，15，…。问：这个数列的第 20 项是几？
【练一练
3】已知等差数列首项是 4，第 8 项是 298。那么，这个数列的公差是多少？
模块二：等差数列求和
例
2
65 63 61 5 3 1
【练一练 4】 4 8 12 16 32 36 。
2
3
已知数列 1、3、5、7……
⑴求数列的第二十项.
⑵求数列的前二十项的和
【练一练
5】等差数列 5，9，13，17，…的前 30 项的和是多少？
例
4
求
100
以内除以
3
余
2 的所有数的和。
【练一练 6】求所有除以 4 后余 1
的两位数之和。
模块二：中项定理和综合问题
例
5
把
210
拆成
7
个自然数的和，使这
7
个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是
5
，那么，第1 个数与
第
6
个数分别是多少？
【练一练 7】五个连续自然数的和是 100，这五个自然数各是多少？
例
6
有 7 个连续偶数，最大数是最小数的 3
倍。求这 7 个偶数。
3
3
第四讲
和差倍综合运用
一．
和倍问题： 基本概念：已知几个数的和以及它们的倍数关系，求这几个数的应用题，就是和倍问题．
基本思路：【画图是硬道理哦！】
①假设其中较小的那个数为一份，根据几个数的倍数关系，
可以求出总量所占的份数．然后根据总量（和）
和总份
数即可求出一份是多少，依据倍数关系求出各数.
②如果总量和倍数关系不是在同一条件下成立的，那么就假设倍数关系成立，这时将引起总量（和）的变
化，根
据条件求出新的和，依据①进行计算.
关键问题：求出同一条件下的和与倍数．
基本公式：和÷（倍数＋1）
=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数
解题步骤：⑴根据题意画线段图；⑵找“1”份量；⑶找总和所对应的总份数；⑷求一份量及其他量
二．差倍问题：
基本概念：已知几个数的差和几个数的倍数关系，求这几个数的应用题，
就是差倍问题. 基本思路：
1
设其中较小的那个数为一份，根据几个数的倍数关系，求出差所占的份数．然后根据差和它所占份数即
可求出
一份是多少，依据倍数关系求出各数．
2
如果差和倍数关系不是在同一条件下成立的，那么就假设倍数关系成立，这时将引起差的变化，根据条
件求出
新的差，依据①进行计算.
关键问题：求出同一条件下的差和倍数（差的份数）．
解题步骤：⑴根据题意画线段图；⑵找“1”份量；⑶找差
所对应的份数；⑷求一份量及其他量
基本公式：差÷（倍数－1）=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数
三．和差问题：
基本概念：已知几个数的和与差，求这几个数的应用题，
叫和差问题．
基本思路：通常采用假设的方法，就是假设那个较小的数和较大的数相等或者假设那个较大的数和较小的
数相等，
这样就会引起总数（和）的变化（增加或者减少），求出新的和，平均分就可求得其中的一个数
．
关键问题：求出同一条件下的和与差． 基本
公式：
⑴（和－差）÷2=较小数
较小数＋差=较大数 和-较小数=较大数
⑵（和＋差）÷2=较大数 较大数－差=较小数
和-较大数=较小数
1
4
1. 小白有 10
个苹果，小黑的苹果是小白的 3 倍，问：小黑有(
A. 20 B. 30 C. 3 D.
25
)个苹果.
）个苹果. 2. 小白有 10
个苹果，小黑的苹果是小白的 3 倍多 4 个，问：小黑有（
A. 23 B. 34 C.
40 D.32
3. 小白有 10 个苹果，小黑的苹果是小白的 3 倍少 4
个，问：小黑(
A. 41 B. 23 C. 26 D. 24
)个苹果.
)个.
)个.
4. 小白和小黑一共有 30
个苹果，小白比小黑多 2 个，问小白、小黑各有(
A. 14 16 B. 12 18
C. 16 14 D. 15 13
5.
小白和小黑一共有 30
个苹果，小白是小黑的 2 倍，问小白、小黑各有(
A. 10 20 B. 20 10
C.6 18 D. 12 18
小白比小黑多 30 个苹果，小白是小黑的 3 倍，问小白有(
A. 25 B.35 C. 15 D. 45
)个. 6.
模块一
静态和差倍
例
1
一 个 车 间 一 共 有 工 人 83 人 ，其 中 男 工 人 数 比 女 工 人 数
的 3 倍 还 多 3 人 ，男 女 工 人 各 有 多 少 人 ？
例
2
把 324
分为甲乙丙丁四个数，如果甲数加上 2，乙数减去 2，丙数乘以 2，丁数除以 2 后，四个数相等，求
这四个数各是多少？
【练一练
1】有三堆煤，甲堆比乙堆的 3 倍多 30 千克，丙堆比乙堆少 15 千克，三堆煤共 240
千克．那么 甲
堆煤有多少千克？（四川省小学数学奥林匹克模拟试题）
2
4
例
3
羊坡村原来有水田 325 亩，旱田
155 亩，今冬明春计划把一部分旱田改成水田，使全村水田的亩数相当于
旱田的 3
倍．求把多少亩旱田改成水田?
【练一练 2】书架上有书 108
本，分为上下两层，若从上层借走 16 本，那么上层的书正好是下层的 3 倍．那
么，
上层原来有书多少本？
例
4
有两筐苹果，如果从第一筐拿出 9
个放进第二筐，两筐苹果数相等；如果从第二筐拿出 12 个放进第一 筐，第一筐 是
第二筐的 2
倍．原来各有多少苹果？
【练一练 3】甲乙两个书架,甲书架取 30
本放入乙书架,则两书架的本数一样多;如果乙书架取 30 本放到甲书
架,则甲书架上的书是乙书架的 3 倍,那么，甲书架原来有书多少本?
(点睛：当甲给乙一部分后，甲乙相等，原来甲比乙多的是给出去的 2 倍哦！千万不要马虎哦！)
模块三 两种重要思想
例
5
三条船运砖 9800 块，第一只船比其余两只船共运的少 1400 块，第二只船比第三只船多运
200 块，三条船
各运多少块？
【练一练
4】操场上共有 4 个班，共 136 人；已知二、三、四班人数的和刚好是一班的 3 倍，而四班
人数刚好比二、三班的总人数少 26 人；那么，四班有多少人？
3
4
一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖的两倍，每个二等奖的奖金是每个
三
等奖的两倍，如果评一、二、三等奖各两名，那么每个一等奖的奖金是 308
元；如果一个一等奖，两个
二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？
【练一练 5】一次游戏共分 5 组，第一组 1 个人，第二组 2
个人，第三组 3 个人，第四组 4 个人，第 5 组 5
个人；但是，人数越多的组，每人得到的卡片反而越少：第四组的每个人得到的卡片数是第五组
每
个人的 2 倍，以此类推，第三组是第五组的 3 倍，第二组是第五组的 4
倍，第一组是第五组的
5 倍。如果五个组一共得到了 280
张卡片，那么第二组总共得到了多少张卡片？
4
4
第五讲
倒推与图示
本讲要点
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会
运用倒推
法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2.
了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“逆向思考”的思想．
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是 以
新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意
的叙述
顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
倒推问题主要分为两类：
一、 单个变量的还原问题：画出顺序图，再逐步逆推回去
二、 多个变量的还原问题：列表法
课前小故事
从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力
就能发财的窍门．一天，有一位老
人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴，累的
要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气就能得到钱吧！”
老
人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都
会增
长一倍，但是每次回来都要付给我 24
个钱作为报酬．”樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一
数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出
24 个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，
把 24
个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数
把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不
能
算出，樵夫原来有多少钱呢？
1
4
模块一
单个量的还原问题
例
1
俊俊做了这样一道题：某数加上 10，乘以 10，减去 10，除以 10，其结果等于
10，求这个数．小朋友，你
知道答案吗？
【练一练
1】有一个数加上 1，减去 10，乘以 2，除以 3，最后结果等于 4．问这个数是几？
例
2
包包在做一道加法题时，把一个加数个位上的 9
看作 6，十位上的 6 看作 9，结果和是 174，那么正确的结 果
应该是多少呢？
【练一练
2】哪吒是个小马虎，他在做学学出的一道减法题时，把被减数十位上的 6 错写成 9，减数个位上
的 9 错写成 6，最后所得的差是 577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？
例
3
学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多 2
米，第二次用去余下的一半少
10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 9
米，那么这根绳子原来有多少米呢？
【练一练
3】电工组买来一捆电线，工人们第一天用去全长的一半多 5 米，第二天用去余下的一半少 8 米，
第三天用去 14 米，最后还剩 10 米．这捆电线原来有多少米？
2
4
模块二 多个量的还原问题
例
4
3 个笼子里共养了 36 只兔子，如果从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2
个笼子里，再从第 2 个笼子里取出 6
只放到第 3 个笼子里，那么 3
个笼子里的兔子一样多．求 3 个笼子里原来各养了多少只兔子？
【练一练 4】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有 140
只沙袋．如果甲组先给乙组 5 只，
乙组又给甲组 8
只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?
例
5
有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样
多
的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和
乙堆
同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是 32
个．问甲、乙两堆棋 子
原来各有多少个？
【练一练 5】甲、乙两个油桶各装了 15 千克油，售货员卖了 14
千克．后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒
一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶
油
恰好是乙桶油的 3 倍．问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？
3
4
例
6
一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的
图
书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班
也拿
出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是 48
本．求 三
个班原来各有图书多少本？
【练一练
6】甲、乙、丙三人的钱数各不相同.甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来
增
加了 2 倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了 2
倍，结果丙的钱
最多；最后丙又拿出一些钱分给甲和乙，使他们的钱数各增加 2
倍，结果三人的钱数一样多.如果他们三人
共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？
4
4
第六讲
间隔与方阵
一、植树问题分两种情况：
①
若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多 1.
全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数 段数 1 全长 株距 1
全长
株距 (棵数 1 )
株距 全长 (棵数 1 )
②
如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少 1，即棵数与段数相等.
全长、棵数、株距之间的关系就为：全长 株距 棵数
棵数 段数 全长
株距
株距 全长 棵数
③
如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比段数少 1.
全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数
段数 1 全长 株距 1
株距 全长 (棵数 1 )
全长
株距 (棵数+1)
二、解植树问题的三要素
（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，
只要知道这三个要素中任
意两个要素，就可以求出第三个．
三、方阵问题
（一）实心方阵：（1）总数=边长×边长
（二）空心方阵：（1）奇数层：总人数=中间层总数×层数
（2）偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2
四、
掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律
（1） 每层人数=每边人数×4－4
=（每边人数－1）×4
（2）
相邻两边之间相差 2
（3） 相邻两层之间相差 8
1
3
1. 同学们排成一行做操，从前面数小红是第 6
人，从后面数小红是第11 人，这行一共有(
A. 13 B. 16 C.17 D.
18
)人。
2. 同学们排成一排，李红从左向右排在第 5
个，王亮在她右边和她间隔 3 个人，王亮从右向左数排在第 6 个，
这一排一共有（
）个同学。
A. 14
B. 15 C. 16 D. 17
3. 在体育课上 32 名同学排成一排，从左起往右数，王明是第 8
个；从右起往左数，李霞是第 9 个，王明和
李霞之间有（ ）个同学。
A. 13
B. 14 C.15
）个间隔。
D.16
4.
两端种树，共种 10 棵数，有（
A. 8 B. 9 C.10 D.11
5. 一端种树，一端不种树，共种 10 棵数，有（
A. 8 B. 9 C.10
D.11
）个间隔。
6. 两端都不种树，共种 10 棵数，有（
B. 8 B. 9 C.10 D.11
）个间隔。
模块一 间隔问题
大头儿子的学校旁边的一条路长 400
米，在路的一边从头到尾每隔 4 米种一棵树，一共能种几棵树？
【练一练
1】在一条长 1800 米的公路一旁一共植树 361 棵，每棵树间隔距离是多少？
某人到十层大楼的第八层办事，不巧停电，电梯停止，如从一层楼走到四层楼需要
48 秒，请问以同样的速
度往上走到第八层，还需要多少秒才能到达？（北京市第六届“迎春杯”数学竞赛试题）
【练一练 2】小王第一次从一楼到三楼一共爬了 48 级楼梯，接着爬了 144
级楼梯，他现在在几楼？
2
3
例
3
同学们做广播操排成最外一层是 20
人的实心方阵，做广播操的同学有多少人？
【练一练
3】若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有 14 人．最外层一共有多少人？
例
4
明明用棋子排成一个实心方阵，后来又用 21
个棋子排上去，使横竖各增加一排，仍是实心方阵。求原方阵
共有多少棋子？
【练一练 4】参加运动会团体体操表演的同学组成一个正方形队列，一共有 25 行，25
列，若从该队列中去
掉一行一列，减少了多少学生？还剩多少学生？
模块三 空心方阵
例
5
用若干盆串红摆成一个最外层每边是 16 盆的 5
层中空方阵，那么，串红一共有多少盆？想把这个空心方阵
填满，还需要多少盆串红？
【练一练 5】参加运动会的团体体操表演的同学组成一个四层空心方阵，最外层一共有
48 人。那么，
这个四层空心方阵一共有多少人？
例
6
某小学有 120 名同学，排成一个三层空心方阵．方阵最外层每边有多少人？
【练一练 6】一个五层空心方阵，总共有 200 人。那么，它的最内层有多少人？
3
3
第七讲 多笔画游戏
经典精讲
这节课，探讨一笔画问题，通过学习一笔画的规律．可以判断哪些图形能一笔画，哪些图形不能一笔 画
，
并能将不能一笔画的图形改成一笔画图形，最重要的是培养学生利用一笔画知识解决实际问题的能力，
同时使学
生懂得数学的巨大作用．
一笔画问题是一种有名的数学游戏．所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条
线都只
画一次不准重复．
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．
㈠判断图形能否一笔画的规律：
⑴能一笔画出的图形必须是连通的图形．
⑵凡是只由偶点组成的连通图形，一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这
点．
⑶凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点．以另一个奇点作
为终点．
⑷奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．
㈡我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，
对于任意的连通图来说，如果有 2
n
个奇点(
n
为自然数），那么这个图一定可以用
n
笔画成．公式是：奇点
数÷2=笔画数，即 2
n
÷2=
n
．
例 1
我们研究一笔画的规律，首先我们来观察一下下列各图：
我们把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连
的点叫偶点.请回答：（注：我们把任意两点间都
．．．．
有一条通路的图形叫做连通图.
奇点个数有可能为奇数吗？为什么？）
．．．
（1） 有 0
个奇点（即全都是偶点）的图形有哪些？
（2） 有 2 个奇点的图形有哪些？
（3）
有 4 个或 4 个以上奇点的图形有哪些？
（4） 连通图形有哪些？不连通图形有哪些？
（5） 如果笔在纸上连续不断，又不重复的一笔画成的图形叫做一笔画.自己动笔画画看，上面 11
个图形
中，哪些可以一笔画成？哪些不能？
例
2
把例 1 中的各问题联系起来看，进行归纳，找出规律：
（1）
判断正误：
A． 能一笔画出的图形必定是连通图；（）
B．
不是连通图的肯定不能一笔画出；（）
C． 连通图一定能一笔画出. （）
（2） 有 0 个奇点的连通图一定可以一笔画出来，这句话对吗？
（3）
只有两个奇点的连通图也能一笔画出来，这句话对吗？
（4） 奇点个数超过 2
个的图形能否一笔画出来？
至此，我们就可以总结出一笔画的规律了，那就是著名的欧拉定理（这个定理的证明需要用到更深的数学
知识，我
们在这里只是能够发现它，并会使用它）.
欧拉定理：
．．．．
（1）
只有连通图才可能一笔画出；但如果是连通图，未必能一笔画出，还需要满足下面的条件；
（2）
凡是只由偶点组成的连通图，一定可以一笔画出；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点
为
终点画完此图；
（3）
凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画出；画时必须以一个奇点为起点，
另
一个奇点为终点；
（4） 其他情况的图，都不能一笔画出.
【练一练 1】下面 4 个图形中，有几个可以一笔画成？观察他们
① ②
③
【练一练
2】判断下列各图中，有几个图形可以一笔画出？能一笔画出的，请用一笔把它们画出来．
(1) (2)
(3)
(5)
(6)
例 3
在下列的各个图中，加一条线或去一条线后，一笔画出每个图形．
【练一练 3】如果要将下图改为一笔画，至少还需要添加几条线？
模块二生活中的多笔画
例 4
18
世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在
城市中心汇合，汇合处有一座小岛 A 和一座半岛 D
，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸 和
两个岛连接起来(如图
a
)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？
这个有趣的问题引起了著
名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考 虑如下
两个问题：
⑴如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥？若能，这座桥应架在何处？若不能，请说明理由．
⑵架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地？
图中是某花房的平面图，它由 6
间展室组成，每相邻两室有一门相通．请设计一个出口，使参观者能够从
入口 A
进去，一次不重复地经过所有的门，最后由出口走出花房．
G
F
E
B
C
A
D
【练一练
4】如图是一个超市的平面图，超市共有六个门，张明想一次走遍所有通道而又不走重复路线，
那么，
它的入口和出口应该设在哪两个门？
模块三用一笔画解决最短路线问题
例 6
一个邮递员投递信件要走的街道如下图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍
各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？
【练一练
5】下图的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的千米数．邮车从邮局出发，要走
遍各条
街道，最后回到邮局．问：邮车走的路线最短是多少千米?
3
1
5
20
邮局
1
4