杉达学院-英语教学总结

小升初数学试卷
65

一、填空题（每题
5
分）

1
、

计算
+ + + + + + + +
．

2
、 小鹏同学在一个正方体盒子的每一个面上都写上一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课，正方体
的平 面展开图如右图所示，那么在该正方体盒子中，和
“
我
”
相对的面所写的字是
________
．


3
、
1
至
2008
这
2008
个自然数中，恰好是
3
、
5
、
7
中两个数的倍数的数共有
________
个．
4
、一项机械加工作业，用
4
台
A
型机床，
5
天可以完成；用
4
台
A
型机床和
2
台
B
型 机床
3
天可以完成；
用
3
台
B
型机床和
9
台
C
型机床，
2
天可以完成，若
3
种机床各取一台 工作
5
天后，剩下
A
、
C
型机床继
续工作，还需要
________
天可以完成作业．

二、填空题（每题
6
分）

5
、
2008
年
1
月，我国南方普降大雪，受灾严重．李先生拿出积蓄捐给两个受灾严重的地区，随着事态的
发展，李先生决定追加捐赠资金．如果两地捐赠资金分别增加
10%
和
5%< br>，则总捐资额增加
8%
；如果两地
捐赠资金分别增加
15%
和
10%
，则总捐资额增加
13
万元．李先生第一次捐赠了
_____ ___
万元．

6
、有
5
个连续自然数，它们的和 为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这
5
个数中最小数的最小值
为多少？

7
、从
1
，
2
，
3
，
…
，
n
中，任取
57
个数，使这
57
个数必有两 个数的差为
13
，则
n
的最大值为
________
．
8
、如图边长为
10cm
的正方形，则阴影表示的四边形面积 为
________
平方厘米．


9
、新年联欢会上，共 有
90
人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只
参 加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少
7
人；只参加演奏的比同时参加演奏 、跳舞
但没有参加合唱的人多
4
人；
50
人没有参加演奏；
10
人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；
40
人参
加了合唱；那么，同 时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有
________
人．

三、填空题（每题
6
分）

- 1 - 10

< br>10
、皮皮以每小时
3
千米的速度登山，走到途中
A
点，他将 速度降为每小时
2
千米．在接下来的
1
小时中，
他走到山顶，又立即 下山，并走到
A
点上方
200
米的地方．如果他下山的速度是每小时
4
千米，下山比上
山少用了
42
分钟．那么，他往返共走了
____ ____
千米．

11
、在一个
3×3
的方格表中 填有
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
九个数，每格中只填 一个数，现将每行中放
有最大数的格子染成红色，最小数的格子染成绿色．设
M
是红格 中的最小数，
m
是绿格中的最大数，则
M
﹣
m
可以取到________
个不同的值．

12
、在
1
，
2
，
3
，
…
，
7
，
8
的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有
________
种．
< br>13
、如果自然数
a
的各位数字之和等于
10
，则
a
称为
“
和谐数
”
．将所有的
“
和谐数
”< br>从小到大排成一列，则
2008
排在第
________
个．

14
、由
0
，
0
，
1
，
2
，
3
五个数码可以组成许多不同的五位数，所有这些五位数的平均数为
______ __
．

四、填空题（每题
10
分）

1 5
、一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数
2
，
3
，
4
，
…
，
2007
，
2008
，一名裁判 现在随
意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦 去一个
数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有 必胜策
略？说明理由．

16
、将一张正方形纸片，横着剪
4
刀，竖着剪
6
刀，裁成尽可能大的形状大小一样的
35
张长方形纸 片．再
把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片．如果小正方形边长为
2
厘米，那么长
方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由．

- 2 - 10

答案解析部分

一、

填空题（每题
5
分）

1
、

【答案】解：

=
=
=
（

+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + +
+
+
）
+
（

+ + +
+ + +
+
+ +
+ +
+ +
+

+ +
）
+
（

）


+ +
+ + +
+
）
+
（
+ +
）
+
（

=1+1+1+1+1
，

=5
．

【考点】分数的巧算


【解析】【分析】通过分析式中数据发现：
= +
，

，
= +
，
= + = +
，
所以可将式中的后四个分数拆分后根据加法结合律进行巧算．

2
、

【答案】学

【考点】正方体的展开图

【解析】【解答】解：如图，


折叠成正方体后，
“
我< br>”
与
“
学
”
相对，
“
喜
”
与
“
数
”
相对，
“
欢
”
与
“课
”
相对．

故答案为：学．

“
我
”
与
“
学
”
相对，
“
喜
”
【分析 】如图，根据正方形展开图的
11
种特征，属于
“1
﹣
3
﹣
2”
型，折叠成正方体后，
与
“
数
”
相对，
“
欢
”
与
“
课
”
相对．

3
、

【答案】
228
【考点】数的整除特征

【解析】【解答】解：根 据题干分析可得：
1
到
2008
这
2008
个自然数中，< br>3
和
5
的倍数有

3
和
7
的倍数有

个，
个．

所 以恰好是
3
、
5
、
7
中两个数的倍数共有
133< br>﹣
19+95
﹣
19+57
﹣
19=228
（个）< br>
5
和
7
的倍数有

个，
3
、
5
和
7
的倍数有

个，
- 3 - 10

答：恰好是
3
、
5
、
7
中两个数的倍数的数共有
228
个．

故答案为：
228
．

1
到
2008
这< br>2008
个自然数中，
3
和
5
的倍数有

【分析】
个，
5
和
7
的倍数有

个，
3
、
5
和
7
的倍数有

3
和
7
的倍数有

个，
个．所以，恰好是
3
、
5
、
7
中
两个数的倍数共有
133
﹣
19+95
﹣
19+57
﹣
19=228
个．

4
、

【答案】
3
【考点】二元一次方程组的求解，工程问题

【解 析】【解答】解：：设
A
型机床每天能完成
x
，
B
型机床每 天完成
y
，
C
型机床每天完成
z
，则根据题
目条件 有以下等式：


则

，

若
3
种机床各取一台工作
5
天后完成：

（

=
=

）
×5
剩下
A
、
C
型机床继续工作，还需要的天数是：

（
1 -
）
÷
=
=


=3
（天）；

答：还需要
3
天完成任务．故答案为：
3
．

【分 析】把这项任务看作单位
“1”
，根据工作量
÷
工作时间
=
工作效率，分别求出
A
、
B
、
C
三种机床每台每
天 的工作效率，再求出
3
种机床各取一台工作
5
天后，剩下的工作量，然后用剩 下的工作量除以
A
、
C
两
种机床的工作效率和即可．据此解答．
二、

填空题（每题
6
分）

- 4 - 10

5
、

【答案】
100
【考点】百分数的实际应用

【解析】【解答】解：
10%
﹣
5%=5%
15%
﹣
10%=5%
13÷
（
8%+5%
）

=13÷13%
=100
（万元）

答：第一次捐了
100
万元．

故答案为：
100
．

【分析】两地捐赠资金分别增加
10 %
和
5%
，则总捐资额增加
8%
，如果再在这个基础上两地增加第一 次捐
资的
5%
，那么两地捐赠资金分别增加到
15%
和
10 %
，总量增加到
8%+5%=13%
，所以第一次李先生捐资
13÷13%= 100
万．

6
、

【答案】
1123
【考点】最大与最小

【解析】【解答】解：设设 中间数是
a
，五个数分别是
a
﹣
2
，
a
﹣
1
，
a
，
a+1
，
a+2
；
< br>明显可以得到
a
﹣
2+a
﹣
1+a+a+1+a+2=5a< br>，

由于
5a
是平方数，所以平方数的尾数一定是
5
或者
0
，

再由
3a
是立方数，所以
a
﹣
1+a+a+1=3a
，所以立方数一定是
3
的倍数．

23
所以这个数
a
一定是
3×5=1125
，

所以最小数是
1125
﹣
2=1123
．

答：这
5
个数中最小数的最小值为
1123
．

【 分析】设中间数是
a
，则它们的和为
5a
，中间三数的和为
3a．因为
5a
是平方数，所以平方数的尾数一
定是
5
或者
0
；再由中间三数为立方数，所以
a
﹣
1+a+a+1=3a
，所以 立方数一定是
3
的倍数．中间的数至
少是
1125
，那么这五个数中 最小数的最小值为
1123
．

7
、

【答案】
108
【考点】最大与最小

【解析】【解答】解：基于 以上分析，
n
个数分成
13
个序列，每条序列的长度为

或

，两
个长度差为
1
的序列，能够被取得的数的个数也 不会超过
1
，所以能使
57
个数任意两个数都不等于
13
，
则这
57
个数被分配在
13
条序列中，当
n
取最小 值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过
1
，那么
13
个序列有
8
个分配了
4
个数，
5
个分配了
5
个数，这
13
个序列
8
个长度为
8
，
5
个长度为
9
，那么
n=8×8+9×5=109
，所以要使
57
个数必有两个 数的差为
13
，那么
n
的最大值为
108
．

故答案为：
108
．

【分析】被
13
除的同余序 列当中，如余
1
的同余序列，
1
、
14
、
27、
40
、
53
、
66…
，中只要取到两个相邻
的，这两个数的差为
13
，如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为
13
，不同的同余序列当中不可能
- 5 - 10

有两个数的差为
1 3
，对于任意一条长度为
x
的序列，都最多能取

1
个

基于以上，
n
个数分成
13
个序列，每条序列的长度为

或

个数，即从第
1
个数起隔
1
个取
，两 个长度差为
1
的序列，能够
被取得的数的个数也不会超过
1
，所以能 使
57
个数任意两个数都不等于
13
，则这
57
个数被分配 在
13
条
序列中，当
n
取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不 会超过
1
，那么
13
个序列有
8
个分配了
4
个数，
5
个分配了
5
个数，这
13
个序列
8个长度为
8
，
5
个长度为
9
，那么
n=8×8 +9×5=109
，所以要使
57
个数必
有两个数的差为
13
，那么
n
的最大值为
108
．

8
、

【答案】
48
【考点】长方形、正方形的面积

【解析】【解答 】解：如图所示，设左上角小长方形的长为
a
，右下角小长方形的长为
b
，< br>

四个空白三角形的面积是：

[
（
10
﹣
b
）（
10
﹣
a
）
+
（
6﹣
a
）
b+
（
a+4
）（
b+1
）< br>+
（
9
﹣
b
）
a]÷2
=[100
﹣
10a
﹣
10b+ab+6b
﹣
ab+ab+a+4b+4+9 a
﹣
ab]÷2
=104÷2
=52
（平方厘米）

阴影部分的面积是

10×10
﹣
52
=100
﹣
52
=48
（平方厘米）

答：阴影部分的面积是
48
平方厘米．

故答案为：
48
．

【分析】图中阴影部分的面积是正方形的面积减 去
4
个空白三角形的面积，据此解答．

9
、

【答案】
17
【考点】容斥原理

【解析】【解答】解：只参加 合唱的和只参加跳舞的人数和为：
50
﹣
10=40
（人），
所以只参加合唱的有
10
人，那么只参加跳舞的人数为
30
人，

所以参加了合唱的人中同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有：
40
﹣
1 0
﹣
10
﹣
3=17
（人），

- 6 - 10

答：同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有
17
人．

故答案为：
17
．

【分析】用韦恩图可以清晰的呈现各个集合之间 的数量关系：设只参加合唱的有
x
人，那么只参加跳舞的
人数为
3x
，由
50
人没有参加演奏，
10
人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得 到只参加合唱的和只
参加跳舞的人数和为
50
﹣
10=40
，所以只 参加合唱的有
10
人，那么只参加跳舞的人数为
30
人，又由
“同时
参加三种节目的人比只参加合唱的人少
7
人
”
，得到同时参 加三项的有
3
人，所以参加了合唱的人中同时
参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有：
40
﹣
10
﹣
10
﹣
3=17
人．

三、

填空题（每题
6
分）

10
、

【答案】
11.2
【考点】简单的行程问题

【解析】【解答】解： 设速度降为每小时
2
千米后的
1
小时中，上山时间为
x
小时 ，下山为
1
﹣
x
小时，

所以
2x
﹣4
（
1
﹣
x
）
=0.2
，

6x
﹣
4=0.2
6x
﹣
4+4=0.2+4
6x=4.2
6x÷6=4.2÷6
x=0.7
0.7
小时
=42
分钟，

因为
“
下山比上山少用了
42
分钟
”
，

所以以每小时
4
千米的速度下山的时间和以每小时
3
千米的速度登山 时间相等，

所以下山距离与
A
点以下路程之比为
3
：4
，

所以
A
点以上距离是下山距离的，

所以往返一共走了：

0.7×2÷×2
=1.4 ÷x2
=5.6×2
=11.2
（千米）

答：他往返共走了
11.2
千米．

故答案为：
11.2
．

【分析】首先关注
“
在接 下来的
1
小时中
”
，这一小时中，下山比上山少
200
米， 设上山时间为
x
小时，则
下山的时间为
1
﹣
x
小时 ；然后根据下山比上山少
200
米，可得
2x
﹣
4
（
1
﹣
x
）
=0.2
，解得
x=0.7
小时，即< br>42
分钟，这
42
分钟，行程
1.4
公里；最后根据
“
下山比上山少用了
42
分钟
”
，可得以每小时
4
千米的速度
下山的时间和以每小时
3
千米的速度登山时间相等，所以下山距离与
A
点以下路程之比为
3
：
4
，所以
A
点以上距离 是下山距离的，

所以往返一共走了

千米，据此解答即可．

- 7 - 10

11
、

【答案】
8
【考点】染色问题，排列组合

【解析】【解答】 解：三个红色方格中所填的数都是它们所在行中最大的数，因此它们不可能是
1
和
2< br>．

又因为
M
是红格中的最小数，所以它们不可能是
8
和
9
，即
M
不可能是
1
、
2
、
8
、
9
．

同理，
m
也不可能是
1
、
2
、
8
、
9
．

这样
M与
m
都介于
3
与
7
之间．因此
M
﹣< br>m
的差就介于
3
﹣
7
与
7
﹣
3之间（包括﹣
4
与
4
）．

因此，考虑正负可以取到： ﹣
4
、﹣
3
、﹣
2
、﹣
1
、
1< br>、
2
、
3
、
4
．

所以，共有
8
种不同的值．

答：
M
﹣
m
可以取到
8
个不同的值．

故答案为：
8
．

【分析】共有三行，三个红色方格中所填的数都是 它们所在行中最大的数，因此它们不可能是
1
和
2
．又
因为
M
是红格中的最小数，所以它们不可能是
8
和
9
，即
M不可能是
1
、
2
、
8
、
9
同理，m
也不可能是
1
、
2
、
8
、
9
．这样
M
与
m
都介于
3
与
7
之间．因此
M
﹣
m
的差就介于
3
﹣
7
与
7< br>﹣
3
之间（包括﹣
4
与
4
）．据
此解答即可 ．

12
、

【答案】
1728
【考点】排列组合

【解析】【解答】解：这8
个数之间如果有公因数，那么无非是
2
或
3
．
8
个数中的
4
个偶数一定不能相邻，考虑使用
“
插入法
”
，

即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时， 还要考虑
3
和
6
相邻的情
况．

奇数的排列一共有：
4
！
=24
（种），

对任意 一种排列
4
个数形成
5
个空位，将
6
插入，可以有符合条件 的
3
个位置可以插，再在剩下的四个位
置中插入
2
、
4、
8
，一共有
4×3×2=24
（种），

综上所述，一共有：
24×3×24=1728
（种）．

答：使得相邻两数互质的排列方式共有
1728
种．

故答案为：
1728
．

【分析】这
8
个数之间如 果有公因数，那么无非是
2
或
3
．

8
个数中的< br>4
个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用
“
插入 法
”
，即首先忽
略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时， 还要考虑
3
和
6
相邻的情况．

奇数的排列一共有
4
！
=24
种，对任意一种排列
4
个数形成
5
个空 位，将
6
插入，可以有符合条件的
3
个
位置可以插，再在剩下的四个 位置中插入
2
、
4
、
8
，一共有
4×3×2=24
种，一共有
24×3×24=1728
种．

13
、

【答案】
119
【考点】加法和减法的关系

【解析】【解答】解：一位数的和谐数个数为
0
，

三位数和谐数共有：
10+9+8+…+2=54
个．

- 8 - 10

1000
至
2000
，和谐数共有
10+9+ 8…+1=55
个．

综上共
9+54+55=118
个．

2008
是
2
开头的第一个，因此是第
119
个．

故答案为：
119
．

一位数的和谐数个数为
0
，

二位数的和谐数有：
19、
28
、
…91
，共
9
个．

三位数的和谐数有：

（以
1
开头，以
0
、
1
、
2…9
作十位的，分别有且仅有一个和谐数，共
10
个）
以
1
开头的有
109
、
118
、
1 27
、
136
、
…
、
190
，共
10个．

同理，以
2
开头的
9
个：
208
，
217
，
…271
．

…
以
9
开头的
2
个．

则三位数和谐数共有：
10+9+8+…+2=54
个．

四位和谐数：

同理，以
1
为千位：分别讨论，对以
0、
1…9
为百位的有
10+9+8…+1=55
个．

综上共
9+54+55=118
个．

2008
是
2
开头的第一个，因此是第
119
个．

14
、

【答案】
21111
【考点】平均数问题

【解析】【解答】解：以< br>1
为开头的
5
位数，后
4
位数一共有
4×3=12< br>种方法，其中在每一位上，
2
和
3
各出现
3
次，所以
1
为开头的
5
位数的和为
10000×12+
（
2 +3
）
×3333=136665
，

同样的，以
2
为开头的
5
位数的和为
20000×12+
（
1+3
）< br>×3333=253332
，

以
3
为开头的
5位数的和为
30000×12+
（
2+1
）
×3333=369 999
，

（
136665+253332+369999
）
÷
（
4×3×3
）

=759996÷36
=21111
．

答：所有这些五位数的平均数为
21111
；

故答案为：
21111
．

【分析 】以
1
为开头的
5
位数，后
4
位数一共有
4×3= 12
种方法，其中在每一位上，
2
和
3
各出现
3
次 ，所
×3333=136665
，以
1
为开头的
5
位数的和 为
10000×12+
（
2+3
）同样的，以
2
为开头的< br>5
位数的和为
20000×12+
（
1+3
）
×33 33=253332
，以
3
为开头的
5
位数的和为
3000 0×12+
（
2+1
）
×3333=369999
，它们的和为759996
，
进而求出平均数．

四、

填空题（每题
10
分）

15
、

【答案】解：（
1
）小聪采用如下策略：先擦去< br>2008
，然后将剩下的
2006
个自然数分为
1003
组， （
2
，
3
）
（
4
，
5
），
…
（
2006
，
2007
），

小明擦去哪个组 的一个数，小聪接着就擦去同一组的另个数，这样最后剩下的两个数是相邻的两个数，而
- 9 - 10

相邻的两个数是互质的，

所以小聪必胜；（
2
）小明必胜的策略：

①
当小聪始终擦 去偶数时，小明留下一对不互质的奇数，例如，
3
和
9
，而擦去其余的奇数；

②
当小聪从某一步开始擦去奇数时，小明可以跟着擦去奇数，

这 样最后给小明留下的三个数有两种情况，一种是剩下一个偶数和两个奇数
3
和
9
，此时小明擦掉那个偶
数，另一种是至少两个偶数，此时小明留下两个偶数就可以了。

【考点】最佳对策问题

【解析】【分析】（1
）小聪采用如下策略：先擦去
2008
，然后将剩下的
2006
个自然数分为
1003
组，（
2
，
3
）（
4，
5
），
…
（
2006
，
2007
） ，小明擦去哪个组的一个数，小聪接着就擦去同一组的另个数，这样最后
剩下的两个数是相邻的两个数， 而相邻的两个数是互质的，所以小聪必胜（
2
）小明必胜的策略：
①
当小聪始终擦去偶数时，小明留下一对不互质的奇数，例如，
3
和
9
，而擦去 其余的奇数；
②
当小聪从某一步
开始擦去奇数时，乙可以跟着擦去奇数，这样最后给乙 留下的三个数有两种情况，一种是剩下一个偶数和
两个奇数
3
和
9
， 此时乙擦掉那个偶数，另一种是至少两个偶数，此时已留下两个偶数就可以了．

16
、

【答案】解：根据题意可知：裁成的长方形纸片的长宽比为
7
：
5
，则正方形纸块的边长应该为长、宽的公
约数，

而
5
，
7
的公约数是
1
，

所以长方形纸片的宽是小正方形纸块的边长的
5
倍，

则长方形纸片的宽为：
2×5=10
（厘米）

又因为长方形纸片的长宽比为
7
：
5
，

所以长方形纸片的长是：
10×7÷5=14
（厘米）

所以长方形纸片的面积是
14×5=70
（平方厘米）

答：长方形纸片的面积应是
70
平方厘米
.
【考点】图形划分

【解析】【分析】大正方形纸 片被横着剪四刀，坚着剪六刀，所以横着裁成
5
份，坚着裁成
7
份，所以裁< br>成的长方形纸片的长宽比为
7
：
5
，把这样的一张长方形纸片裁成尽< br>
可能大的面积相等的小正方形纸块，
则正方形纸块的边长应该为长、宽的公约数，而< br>5
，
7
的公约数是
1
，所以长方形纸片的宽是小正方形纸块< br>的边长的
5
倍，
2×5=10
厘米，所以长方形纸片的宽是
10
厘米，依此可求长方形纸片的长，再根据长方形
的面积公式：
s=
长×
宽，即可求出长方形纸片的面积．

- 10 - 10