梁实秋语录-师德师风剖析材料

整数的分拆
小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小 兵共打中6环，小
军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中 的都是
哪几环吗?

解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数， 可将6分拆6=1+5=2+4;同理，
要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：
小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.
例2 某个外星人来到地球上，随身带有本 星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，
如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款?买9分、 10分、13分、14分和15分的商品
呢?他又将如何付款?
解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.
7=1+2+4
9=1+8
10=2+8
13=1+4+8
14=2+4+8
15=1+2+4+8

外星人可按以上方式付款.

有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“ 8”表示才好.现有200块糖要
分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.
解： 可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为
0，这就是说，可以 把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8.
这样由8×5=40及200-40=160，
可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.
最后得到下式：88+88+8+8+8=200.
试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.
解：1=1×1=12=1(特例)
4=2×2=22=1+3
9=3×3=32=1+3+5
16=4×4=42=1+3+5+7
25=5×5=52=1+3+5+7+9
36=6×6=62=1+3+5+7+9+11
49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13
64=8×8=82
=1+3+5+7+9+11+13+15

81=9×9=92
=1+3+5+7+9+11+13+15+17
100=10×10=102
=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
观察上述各式，可得出如下猜想：
一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的
自乘积(平方).
检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.
121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.
例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法?
解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9.
分析 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.
但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.
逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.
可见共有4种不同的写法.

例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们
一一列出.
解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为
1，其次是2，那 么第三个数就应是9得：12=1+2+9.
下面进行变化，如从9中取1加到2上，
又得12=1+3+8.
继续按类似方法变化，可得下列各式：
12=1+4+7=2+3+7，
12=1+5+6=2+4+6.
12=3+4+5.
共有7种不同的分拆方式.
例7 将21分拆成四个不同的自 然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问
共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.
解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-(9+8)=4，所以接着只能选< br>3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，
以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：

21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种

∴ 共有11种不同的分拆方式.
例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和.

26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：
10+10+8+4+1=33种.
总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序
进行.
找规律填数、四位数、填数
1、找规律，在空格里填上合适的数。


解答:第一个三角形周边的三个小三角形中，2、3、5三个数相加的和，与中间小三角形中的数相等，都是10。可知：每个三角形周边三个小三角形里的数相加的和，就是中间
小三角形 里的数，就是10。也就是说，中间小三角形里的数连续减去周边两个三角形里的
数的差，就是第三个小 三角形里的数。根据这一规律，第三个三角形里，右边小三角形里的
数是：10－1－4=5；第四个三 角形里，上面的小三角形里的数是：10－7－3=0。

2、由2，5，0，7四个数字可以组成多少个不同的四位数？

解答：可以采用枚举法：有
2057，2075，2507，2570，2750，2705
3027，3072，3207，3270，3702，3720
7025，7052，7205，7250，7502，7520 共18个

3、根据图中数字的规律，在最上边的空格中填上合适的数。

解答：64，每个数字是下面的两个数字之和


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星期几、单双数】：
1、 昨天是9日，今天是星期三，29日是星期几？
解答：昨天是9日，今天就是10日（星期三），再过1个星期、2个星期、3个星期6
都是星期三。从 10日再过19天就是29日，所以，要看19天中有多少个7天，还余几天。
29－10=19（天） 19=7×2＋5（或19÷7=2……5）星期三再过5天就是星期一，因此29日是
星期一
2、 前十个自然数：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的和是单数还是双数？
解答:由题可知道5个单数1＋3＋5＋7＋9相加，等于单数；5个双数2＋4＋6＋8＋ 10
相加，等于双数。单数＋双数=单数，所以前十个自然数的和是单数。
三位数、轮船航行】：
1、用0、1、2、3能组成多少个不同的三位数？
解答：以数字1开头的有102,103,120,130,123,132有六个不同的三位数。同样，以2开
头，以3开头的也会有6个不同的三位数。所以最后的结果是6×3=18（个）
2、一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？
解答:先求每小时航行多少千米，再求航行270千米需要几小时，最后求出共需多少小时。
每小时航行多少千米：108÷4=27（千米）270千米需航行多少小时：270÷27=10（小 时）共
需多少小时：10+4=14（小时）综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+ 4=10+4=14（小时）。
小兔跳跳、接水】：
1、一只小兔从起点向前跳了5个格， 接着向后跳了4个格；然后又向前跳了6个格，再向
后跳了10个格，最后停下.这时小兔停在起点的前 面还是后面?距起点几个格?

解答:第一步，在前面的第五格。第二步，向后跳 4个格，5-4=1，在前面第一个格。第
三步，又向前跳6个格，1+6=7，在前面第七个格。第四 步，又向后跳10个格，10-7=3，在
后面第三个格。
2、 5个人到水龙头接水，水 龙头注满水瓶的时间分别是5分钟、3分钟、4分钟、2分钟、
1分钟。现在只有一个水龙头可用。问怎 样安排这5个人的接水次序，可使他们总的等候时
间最短？这个最短时间是多少？
解答:可以按1分钟、2分钟、3分钟、4分钟、5分钟的顺序打水，这样每个人排队和打
水时间的总和 最小，最小值是1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35 (分)
火柴、年龄】：
1、下面是用15根火柴棒摆成的4个正方形。请你移动2根火柴棒，变成6个正方形。

解答:答案不唯一

2、一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁 ，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人
各是多少岁？
解答:妈妈的年龄是孩子的4倍， 爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把
孩子的年龄作为1倍数，已知三口人年龄和是72 岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4）=8
（岁），妈妈的年龄是：8×4=32（岁），爸爸 和妈妈同岁为32岁.
火柴算式、填图形】：
1、在下面由火柴棍摆成的算式中，添上或去掉一根火柴棍，使算式成立．

解答:（1）添上一根火柴，把 12 变成 72。（2）去掉“＋”中的一根火柴变为“－”。
2、顺序观察下面图形，并按其变化规律在“？”处填上合适的图形.


解答:每个图逐个加三个圆点，而且是按照加实心三个、空心三个的顺序递加的。