二年级数学 奥数讲座 数与形相映
送老师的贺卡-大唐发电集团招聘
二年级数与形相映
形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了。古希腊人发现的形数就是非常有趣的例
子。
例1 最初的数和最简的图相对应。
这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的。
例2 我国在春秋战国时代就有了“
洛图”（见下图）。图中也是用“圆点”表示数，
而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用
空心点表示。你能把这张图用自然数
写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图。
例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘。比如他把1，3，6，10，15，„
叫做三角
形数。因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图。
毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规
律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自
然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的
个数。
第一个数：1=1
第二个数：3=1+2
第三个数：6=1+2+3
第四个数：10=1+2+3+4
第五个数：15=1+2+3+4+5
„
第n个数：1+2+3+4+5+„+n
指定的三角形数。比如第100个三角形数是：
例4
毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图。因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方
形，因此它们最受
毕达哥拉斯及其弟子推崇。
第一个数：1=12=1
第二个数：4=22=1+3
第三个数：9=32=1+3+5
第四个数：16=42=1+3+5+7
第五个数：25=52=1+3+5+7+9
„
第n个数：n2=1+3+5+9+„+（2n-1）。
四角形数（又叫正方形数）可以表示成自
然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连
续奇数之和。奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数。
例5 类似地，还有四面体数见下图。
仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数。因此四面体数可由几个三
角形数相加得到：
第一个数：1
第二个数：4=1+3
第三个数：10=1+3+6
第四个数：20=1+3+6+10
第五个数：35=1+3+6+10+15。
例6 五面体数，见下图。
仔细观察可以发现，五面体的
每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个
四角形数相加得到：
第一个数：1=1
第二个数：5=1+4
第三个数：14=1+4+9
第四个数：30=1+4+9+16
第五个数：55=1+4+9+16+25。
例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到
一个重要的公式。
由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系。
方法1：先算空心点，再算实心点：
2
2+2×2+1。
方法2：把点图看作一个整体来算32。
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
2+2×2+1=32。
2
方法1：先算空心点，再算实心点：
2
3+2×3+1。
2
方法2：把点图看成一个整体来算：4。
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
2
3+2×3+1=42。
方法1：先算空心点，再算实心点：
2
4+2×4+1。
方法2：把点图看成一个整体来算52。
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
2
4+2×4+1=52。
把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：
2
2+2×2+1=32
2
3+2×3+1=42
4+2×4+1=52
2
„
22
n+2×n+1=（n+1）。
利用这个公式，也可用于速算与巧算。
222
如：9+2×9+1=（9+1）=10=100
22
99+2×99+1=（99+1）
2
=100=10000。