全国科普日-大学生心理健康心得

第一讲 方阵问题（一）
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行 数
与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做
方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里
一层，每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）
数。
例1：有一条公路长90 0米，在公路的一侧从头到尾每隔10米
栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
分析：要以两棵 电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分
成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根 数比分成的
段数多1。
解：以10米为一段，公路全长可以分成
900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）

练习与作业
1. 四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的
方阵。这个方阵里有多少同学？
2. 用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚？
3. 有1764棵树苗，准备 在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。
这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？
4. 576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？
5. 棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多
少？棋子最外层有多少？
6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，
四周共装彩灯多少盏？

第二讲 方阵问题（二）
例3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的 人数为60人。
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵 最外层每边人数，那么
整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空 心方阵，最外一层每边有围
棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析：方阵每向 里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面
一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。 知道各层每
边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）
摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）

练习与作业
1. 有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，
如果每边站的人数相等，那么 每边站几个学生？


2. 有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，
四边一共栽多少棵树？


3. 有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个
正方形队。这个 正方形四周站了多少个少先队员？


4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆，四 个角上都竖1根，一
共竖28根，正方形场地每边竖多少根电线杆？


5. 某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安装8灯（包
括四个角上都安装1盏）， 四周一共安装多少盏灯？

第三讲 巧求周长（一）
我们已经会 计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长方
形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢？ 可以把求多边形
的周长转化为求长方形和正方形的周长。
例1：如图13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘米？

分析：要求 这个多边形的周长，也就是求线段AB＋BC＋CD＋DE
＋EF+FA的和是多少，而在这六条线段中 ，只有AB和BC这两条线段
的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边
形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来，如图
13—2所示，这个大正方形是AB CG.把线段EF水平向上移动，移到
CG边上，这样CD＋EF的长度正好与AB的长度相等.同样把 竖直方向
上的DE边向左移动，移到AG边上，这样AF＋DE的长度正好与BC
边的长度相等 .这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道，
但这四条线段的长度和我们可以求出来， 这样求这个多边形的周长就
转化为求一个正方形的周长。

练习与作业
下图的周长与长＿＿厘米，宽＿＿厘米的长方形周长相同，所以它 的
周长为＿＿厘米（单位：厘米）。

1. 下图的周长可以看成一个长由＿＿个1 厘米的小线段组成，
宽由＿＿个1厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是＿＿
＿厘米 。

2. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为＿＿厘米。

②周长为＿＿＿厘米（围成图形的小线段长l厘米）。

第四讲 巧求周长（二）
例2.把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，
摆完第十五 层，这个图形的周长是多少厘米？

分析：先观察图13—3，第一层有一个长方形，第二层 有两个长
方形，第三层有三个长方形……找到规律，第十五层有十五个长方形.
同样，用一个大 长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形的周长
就转化为求一个长为2×15=30（厘米）、宽为 1×15＝15（厘米）的
长方形周长。
解：（2×15＋1×15）×2
=45×2＝90（厘米）
答：这个图形的周长为90厘米。
练习与作业
1. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为多少厘米。

②周长为多少厘米（每条小线段长度都是1厘米）？

2. 用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长为
多少厘米？

3. 街心 公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线段的米数。
在草坪四周从某顶点开始每2米种一棵月季花 ，一共需种＿＿＿棵。

第五讲 逻辑推理初步
在有些问题中， 条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任
何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何 问题。
也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它
们的过程中却很少用到 算术或几何知识。
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关
键所在，找 到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的
判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它 为逻辑推理。
例1.一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受
到讯问。第一个 证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我
只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两 个证词中至少有一个是
真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通
过 调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？
分析与解：题目中条件较多，且四 个人的证词有真有假，在这种
情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题
的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一
个和第二个证人都说了假话。从 而判断出甲和乙都是凶手。
练习与作业

1. 有甲、乙两同学，其中一个人 有奇数根铅笔，一个人有偶数
根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数，再给乙原有铅笔数的2倍，他们
俩共有铅笔数为偶数。那么，甲同学原有铅笔数是＿＿。



2. 有 甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，
比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同 学矮。则最高的同学
是＿＿，最矮的同学是＿＿。



3. 有 四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老
师将照片从1到4编了号，让同学们区分四种树 ，每人说出两个，学
生回答如下；第一个学生：2号是桃树，3号是李树；第二个学生：1
号是 梨树，2号是杏树；第三个学生：2号是桃树，4号是梨树；第
四个学生：4号是梨树d号是李树。老师 发现这四个同学都只说对了
一半，那么，1号是＿＿，2号是＿＿，3号是＿＿，4号是＿＿。
第六讲 枚举问题（一）
电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都< /p>

是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。
问题.小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8
分钱，你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按
照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；
②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；
②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；
③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；
④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。由此可见，共有7种不同的拿法。
在上面用枚举法寻找可能拿法的 过程中，我们对全部拿法作了适
当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。
练习与作业
1. 用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大
的三位数是什么？最小的三位数是什么？

2. 用0、l、3、6可以组成多少个四位数？



3. 有四张卡片分别写有数字0.l、2、3，从中取出2张卡片并
排放在一起，可以组成多少个两位数？



4. 用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数，这些
四位数一共有多少个？


5. 在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？

第七讲 枚举问题（二）
问题1.假设有A、B、C三个城市， 从A到C必须经过B．已知从
A到B可以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车
或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？
分析 从A到C（A→C）可分两个阶 段进行：第一阶段，从A到B
（A→B）；第二阶段，从B到C（B→C），按照第一阶段使用的交通工
具不同可以分为两类：
A→B B→C A→

所以，从A到C共有2×3＝6种不同的旅行方式。
上述解法中的图示叫做枝形图（图44—1），在解不太复杂的计
数问题中很有用。

练习与作业
1. 有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子，从
中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多
少种不同的装束？
2. 从甲地到乙地有2条不同的路可走，从乙地到丙地有4条不
同的路可走。问：从甲地到丙 地有几条不同的路可走？
3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到两地可坐
飞 机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地共有几种走法？
4. 小英从家到学校有三条路可走 ，从学校到少年之家有四条路
可走，小英从家经过学校到少年之家共有几种走法？
5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔
为一组，最多可以配成不重复的几组？

第八讲 平均数问题（一）
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典 型应用题，如
“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均
数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间
的关系，根据总数除以它相对应的份数 ，求出一份数，即平均数。
一、算术平均数
例1.用4个同样的杯子装水，水面高度分别是 4厘米、5厘米、
7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？
分析：求4个杯子 水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水
合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高 度。
解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）
答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

练习与作业
1. 机械厂前3天平均每天加工零件1259只，后4天共加工 零
件5379只，这星期内平均每天加工零件多少只？


2. 修路队4天修了两段公路，第一段长430米，第二段长250
米，平均每天修多少米？


3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得114分，乙队
得210分，丙 队得186分，丁队得178分。四个队的平均成绩是多少
分？


4. 东村小学38名少先队员，在校园内和路旁种蓖麻。在路旁
种了190棵，在校园内种的棵数是路旁的3 倍。平均每人种蓖麻多少
棵？

第九讲 平均数问题（二）
二、加权平均数
例3.果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克 奶糖混合成什
锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克
7.2 0元.问：什锦糖每千克多少元？
分析：要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解：①什锦糖的总价：4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）
②什锦糖的总千克数：2＋3＋5＝10（千克）
③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）
答：混合后的什锦糖每千克5.74元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74
元叫做4.40元、4.2 0元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5
千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影 响，有权衡轻重的
作用，所以这样的数叫做“权数”。
练习与作业
1. A、B、 C三人储蓄，A储了1240元，B比A少储70元，C比
B多储50元。求A、B、C三人平均储蓄额 。

2. 甲、乙二数的平均数是72，丙是18。甲、乙、丙三个数的平
均数是多少？


3. 甲、乙的平均数是30，乙、丙的平均数是34，甲、丙的平均
数是32。求甲、乙、而 三个数的平均数。


4. 有A、B、C三个数，A与B的平均数是97，B与C 的平均数
为132，A与C的平均数为125。问：这三个数的平均数是多少？


5. 小刚参加我学考试，前两次的平均分数是85分，后三次的平
均分数是90分。小刚前后 几次考试的平均分数是多少？

第十讲 消去问题（一）
转化法指的是从不 同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量
关系，有的题可以对题中的某些条件进行必要的调整，使这些 条件重
新组合，解答起来，往往容易一些。
例1 学校买了10盒白粉笔和4盘彩粉笔共花了 32元，每盒彩
粉笔的价钱是白粉笔的2.5倍，每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱？
分析：依题 意，用买1盒彩粉笔的钱可以买2.5盒白粉笔，那么，
买4盒彩粉笔的钱就可以买4×2.5=10（ 盒）白粉笔。因此，可以理
解为花32元买了10+4×2.5=20（盒）白粉笔，这样，就可以求出 1
盘白粉笔的价格。
解：（1）4盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？
4×2.5=10（盒）
（2）白粉笔每盒多少元？
32÷（10+10）=32÷20=1.6（元）
（3）彩粉笔每盒多少钱？
1.6×2.5=4（元）
答：白粉笔每盒1.6元，彩粉笔每盒4元。

练习与作业
1. 买一块橡皮和4支铅笔一共用去2角7分，买同样的一块橡
皮和2支铅笔的价钱是1角5分，一块橡皮和一支铅笔各多少钱？

2. 甲班用4 元2角钱买了4支铅笔，3支圆珠笔；乙班用10元
2角钱买了4支铅笔和8支圆珠笔。问：铅笔、圆珠 笔的单价各是多
少元？

3. 妈妈买6米白布，8米花布.用去21元3角钱，王 大妈买同
样的白布6米，同样的花布6米，用去18元钱。问：每米白布和每
米花布各多少钱？

4. 妈妈买2千克糖果和1千克饼干，共付7元2角，如果买1
千克糖果和2千克 饼干得付6元，糖果和饼干每千克多少钱？


5. 小明买6本《红岩》、5本《 新华字典》共用7元2角；小刚
买5本《红岩》、6本《新华宇典》共用7元1角。《红岩》和《新华< br>字典》每本售价各多少元？

第十一讲 消去问题（二）
例1.从图2-2中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量？

这样想：根据（1） 、（2），可推出1个梨的重量等于2支香蕉的
重量；然后把（3）中的一个梨替换成2支香蕉，这样， （3）中就相
当于1个菠萝等于2个桃子和3支香蕉的重量，又回想到（2）中1
个菠萝等于4 支香蕉的重量，因此，2个桃子实际上是1支香蕉的重
量，可推得1个菠萝等于8个桃子的重量。 例2.1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹
小马的重量，而1匹小马的重量刚 好与4头小猪的重量相同，那么1
头象的重量等于几头小猪的重量。
这样想：1匹小马刚好是 4头小猪的重量，那么3匹小马等于12
头小猪的重量，又1头牛相当于3匹小马的重量，也就是12头 小猪
的重量，因此4头牛等于48头小猪的重量，也就是1头象的重量等
于48头小猪的重量。

练习与作业
1. 美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，付款4元4角4 分，
第二天又买同样的5盒彩笔和3支毛笔，付款7元9角6分。求每盒
彩笔和每支毛笔的价钱 ？
2. 学校第一次买3只篮球，4只排球用了354元，第二次买2只篮球，
3只排球用了 252元。问：篮球与排球的单价各是多少元？
3. 甲求乙代买5千克酒、3千克酱油，按售价交给 乙6.45元。乙误
买为3千克酒、5千克酱油.结果拿回2.10元，问每千克酒、酱油各
多 少元？
4. 王老师带了30元钱去文具店买钢笔和圆珠笔。他买了3支钢笔和
5支圆珠笔后 ，剩下的钱再买2支圆珠笔还差4角.再买2支钢笔还
差2元。每支钢笔多少元？

第十二讲 行程问题（一）
例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发， 相向而行。如果两
人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时
少走1千 米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？
分析：可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比 原计划每小
时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。
这段路的长度 是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于
以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说， 再行1小时，他们
恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。
解：1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）
这道题属于相遇问题，它的基本关系式是： 速度和×时间=（相
隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”
这样 的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或
“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情 况时，应该通过转化条件，
然后应用上面的关系式。

练习与作业
1. 一列火车平均每小时行用千米，这列火车从甲地到乙地共用
了4小时，问：甲、乙两地相距多少千米？


2. 一辆汽车5小时行了280千米，这辆汽车平均每小时行多少
千米？


3. 小明家到学校1800米，小明早晨上学，平均每分钟走120米，
问：小明从家到学校 一共用多少分钟？


4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行，甲每分钟走 85米，
乙每分钟走90米,18分钟后两人相遇。东西两村相距多少米？


5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行，甲车每小时行55千米，
乙车每小时行60千米， 4小时后两车相遇。两地相距多少千米？

第十三讲 行程问题（二）
例2.小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 5.4千米。
小李骑车的速度为每小 时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地，小
李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇 5分钟后，
小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
分析：为便于分析，画出线段图36-1：

图中C点表示小张与小李相遇地点，D 点表示他们相遇时小王所
在地点。根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，
经 过5分钟相遇。因此，DC的长为
这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时
间为
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）
这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李 行完CB这段路）用
了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。

练习与作业
1. 东西两地相距500千米，甲、乙两车同时从两地相向出发，
甲车每小时行45千米，乙车每小时行55 千米。甲、乙两车几小时后
才能相遇？
2. 甲站到乙站相距1100千米，两列火车同时从 两地相向开
出,10小时相遇，快车每小时行用千米，慢车每小时行多少千米？
3. 甲、乙 两人同时从相距54千米的两地相向而行，甲的速度是
每小时5千米，乙的速度是每小时4千米，几个时 后两人相遇？
4. 甲、乙两工程队合修一条长935米的公路，甲队以每天45米
的速度由 西端往东修，乙队以每天40米的速度由东端往西修，6天
后两队相距多远？此工程共需多少天？

第十四讲 填补不完整的算式
数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数 学竞赛中经常出现.
解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步
简化题 目直至问题完全解决.
问题16.1 在下面这个算式中，不同的文字代表不同的数字，相
同 的文字代表相同的数字.它们各代表什么数字时，算式才能成立？

分析（1）从“ 明”字入手.算式中“明+明=明”是本题的突破口.
因为在0～9这十个数字中，只有0+0=0，所 以：明=0.即
（2）因为两个最大的一位数相加是18，只能向高位进1.因此：
分=1.即

（3）再由“是+是=10”可知：是=5.即
（4）由“1+就=5”可知：就=4.即

（5）由“非+非= 4”可知：非= 2.即

练习与作业