人教版四年级数学上册第四单元课时教案

余年寄山水
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2020年08月28日 13:44
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百度文库 - 让每个人平等地提升自我

课题一:垂直与平行的概念
【教学内容】
同一平面内两条直线的位置关系:垂直与平行。(课文第64页的例< br>1,相应的“做一做”,及练习十一的第1~2题。)
【教学目标】
1、让学生结合生活情境,通过自主探究活动,初步认识平行线、
垂线。
2、通过讨论交流,使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。
3、在比较分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。
4、通过观察、操作学习活动,让学生经历认识垂直与平行线的过
程,掌握其特征。
5、培养学生学以致用的习惯,体会数学的应用与美感,激发学生
学习数学的兴趣、增强自信心。
【教学重难点】
重点:通过学生的自主探究活动,初步认识平行线与垂线。
难点:理解永不相交的含义
【教学准备】
铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸、挂图学具准备。
【教学过程】
一、创设情境,引入新课
通过创设情境,联系生活,提出问题:两根铅笔落在地上后可能会
形成哪些图形?
二、探索比较,掌握特征
(一)动手操作,反馈展示。
1、每个同学先独立思考, 把可能出现的图形用铅笔摆一摆,摆完
后,小组长组织大家把可能出现的图形用小棒摆在展示板上。
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2、教师巡视,参与讨论,了解情况。
3、集中显示典型图形,强化图形表征。
(1)展示其中一个小组的展示板。
(2)除了展示板上的这几种情况,其他小组还有补充吗?
(二)小组讨论交流,探索图形特征。
1、整理图形,把其中具有代表性的图形通过电脑课件来展示,并
编上序号。
这些图形,同学们能不能对它们进行分类呢?可以分成几类?为什
么这样分?
2、师 引导根据研究需要,按照“相交”和“不相交”的标准进行
分类。将学生的分类结果画在黑板上。
不相交: 相交:



3、师: 不相交的两条直线画长一些会怎样?量一量两条相交直线
做组成的角分别是多少度?
4、由小组同学在原记录单上动手合作操作,并进行讨论、汇报。
5、师生共同总结:不相交 的两条直线画长一些仍不相交,这两条
直线叫平行线,也可以说它们相互平行;相交的两条直线形成的四 个角,
如果都是90度,就说这两条直线相互垂直,其中一条叫另外一条的垂
线,这两条直线的 焦点叫做垂足。
(三)归纳特征,构建新知
1、通过同学们自己的探索研究,我们发现了在 同一平面内,两条
直线的相互位置关系的两种不同情况:一种是相交,一种是不相交。
2、再次分类,并归纳“平行”与“垂直”的特征,让学生质疑。(揭
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示课题)
3、 其实我们天天都在和垂线与平行线打交道。你们看:书本面相
邻的两边是互相垂直的,相对的两边是互相 平行的。同学们,你们还能
找一找、想一想你的身边还有哪些物体的边是互相垂直的,哪些物体的
边是互相平行的?找到后快快把你的发现告诉同组的同学
4、学生试着说概念
师归纳总结并板书。互相平行和互相垂直、垂线和垂足的概念
三、解释应用,巩固新知
(一)、折纸
1、同学们已经找到了生活中很多的平等线与垂线,那要是给每个
同学 一张这样的不规则纸,你们能动手折一折,折出垂线与平行线吗?
这可有一定难度,愿意接受挑战吗?
2、学生动手折垂线,教师巡视,进行个别指导。
3、大家都折出垂线了吗?哪个小老师愿意向全班同学展示一下你
是怎样折的?
4、 请在刚才折的基础上,再折一折,使两条折痕互相平行。有困
难的,可以和小组同学讨论讨论。
5、学生演示。
(二)、拓展练习:贴挂图69页7题
四、全课总结,完善认知。
同学们,你觉得这节课里你表现怎样?你有什么收获和体会?
五、课后作业:P65 1、2
课题二 :画垂线
【教学内容】
学习画垂线,认识点到垂线的距离。(课文第66页的例2、练习十一
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中的第3、4题的相应小题,第5、6题。)
【教学目标】
1、使学生明确垂线 的重要性质,直线外一点到这条直线间的距离
垂线最短。学会用三角板准确的画垂线。
2、培养学生良好的学习习惯。初步培养学生空间想象能力。
3、通过动手操作活动,使学生经历画垂线的过程,培养学生的作
图能力。
4、通过活动,让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,
从而提高学习的兴趣。
【教学重难点】:
重点:学会用三角板准确的画垂线。
难点:准确的画出垂线。使 学生明确垂线的重要性质,直线外一点
到这条直线间的距离垂线最短。
【教具准备】:三角板、直尺。
【教学过程】:
一、复习导入:
1、回忆一下,你记得什么叫垂直吗?
2、看我们的数学书,每两条边都是怎样的?怎样用三 角板画垂线
呢?这节课我们来学习画垂线。
板书课题:画垂线
二、探究新知 教学垂线的画法。师首先说明画垂线在生活中有广泛的应用,例如
工人师傅做门、窗,经常要画垂线 。他们用角尺在工件上画垂线。最后
说明画垂线主要有两种情况:
(1)通过直线上的一点画 与这条直线垂直的直线。师演示:先横着
画一条直线,在直线上点个点,说明要过直线上的这一点画一条 垂线。
画的方法和步骤:
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第一步:把三角板的一条直角边与直线重合。第二步:沿着直线向
右移动三角板,使直角顶点与直线上的点重合。第三步:沿另一条直角
边画一条直角边画一条直 线。所画直线就是原直线的垂线。
(2)过直线外一点画与这条直线垂直的直线。
边板演, 边讲解。方法和步骤:第一步:把三角板的一条直角边与
直线重合。第二步:沿着直线向右移动三角板, 使另一条直角边与直线
外的点重合。第三步:沿另一条直角边通过直线外的点画一条直线。
所画直线就是原直线的垂线。由学生归纳画垂线的方法。
3、理解垂线的性质,建立距离的概 念。(1)过A点向这条直线画4
条不同长度的线段。(2)测量每条线段的长度。(3)你所画的线段 之中,
哪一条最短?(4)哪条线段是这条直线的垂线?
学生通过用三角板检测得出:从线外一点到这条直线所画的线段
中,垂线最短。
师指 出:从直线外一点到这条直线所画的线段中,垂直线段最短,
它的长度叫做这点到直线的距离。
三、巩固新知
1、68页第4题的第(1)小题画一画。
2、69页5题。我们在测定跳远成绩时,怎样测量比较准确呢?为
什么?
3、69页6题怎样修路最近呢?
你能用一把直尺和一个量角器画一条直线的垂线吗?
四、课堂小结:通过学习画垂线,你有什么体会?
五、作业:练习画垂线。
课题三:画平行线、画长方形。
【教学内容】:学习平行线,画长方形的方法。((课文第6 7页的例3、
练习十一的第3、4(2)(3)题。)
【教学目标】:
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1、用三角尺和直尺熟练准确的画出一组平行线。
2、会利用画垂线的方法准确的画出长方形。
3、通过操作活动,使学生经历画平行线的全过程,培养学生作图
的能力。
4、通过活动,让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,
从而提高学习的兴趣。
【教学重难点】:
重点:巩固对平行线的认识,会用三角尺和直尺准确的画出一组平
行线。
难点:准确的画出垂线和一组平行线。会利用画垂线和画平行线的
方法准确的画出长方形。
【教具准备】:直尺或三角板。
【教学过程】:
一、复习导入
1、回忆一下,什么叫平行线?
2、我们身边哪些物体的边是互相平行的。
我们怎么样才能画出一组平行线呢?这节课我们就来学习画平行
线。
板书课题:画平行线
二、探究新知
1.可以用直尺和三角尺画平行线。
步骤:(1)用左手固定直尺,用右手将三角尺的一条直角边紧贴着
直尺,沿另一条直角边画一条直线。
(2)将三角尺紧贴着直尺移动位置,再画出一条直线,这条直线与
第一步画出的直线平行。
可以用画平行线的方法检验两条直线是不是互相平行。
2、大家用自己手中的直尺和三角板自己画一组平行线,然后小组
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内的同学互相检查,对方画的是否平行。
3、小组活动:在你所画的这组平行线之间画几条与 平行线垂直的
线段,量一量这些线段的长度,你能发现什么?在小组内交流一下全班
汇报。
小结:平行线间的距离是相等的。
4、小组讨论:怎样画一个长3厘米、宽2厘米的长方形?
长方形的对边是互相平行的。相邻的两条边是互相垂直的。可以用
垂线或平行线的方法来画。
三、巩固新知
1、独立画一个边长是4厘米的正方形。
2、利用所学的画平行线和垂线的方法,自己设计一幅图画。
四、课堂小结:通过学习画平行线,你有什么体会
五、作业:68页第4题第(2)、(3)小题。
【教学后记】



课题四:四边形分类、平行四边形、梯形特征
【教学内容】:四边形分类、关系、平行四边形和梯形的概念(课
文第70页的例1)
【教学目标】:
1、学生理解平行四边形和梯形的概念及特征。
2、使学生了解学过的所有四边形之间的关系,并会用集合图表示。
3、通过操作活动,使学生经历认识平行四边形和梯形的全过程,
掌握它们的特征。
4、通过活动,让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,
从而提高学习的兴趣。
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【教学重难点】:
重点:理解平行四边形和梯形的概念及特征。了解学过的所有四边
形之间的关系,并会用集合图表示。
难点:理解平行四边形和梯形的概念及特征。用集合图表示学过的
所有四边形之间的关系。
【教具准备】:图形、剪子、七巧板。
【教学过程】:
一、创设情景 感知图形
1、出示校园图(70页)在我们美丽的校园中,你能找到哪些四边
形?
2、画出你喜欢的一个四边形。说一说什么样的图形是四边形?
展示学生画出的四边形,请学生标出它们的名称。



长方形 平行四边形


四边形 梯形 正方形
3、小组交流:从四边形的特点来看,四边形可以分成几类?学生
讨论交流。
二、自主探索 理解概念
1.归纳平行四边形和梯形的概念。
有什么特点的图形是平行四边形?(两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形。)
强调说明:只要四边形的每组对边分别平行,就能确定它的每组对
边相等。因此平行四边形的定义是两组 对边分别平行的四边形。
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提问:①生活中你见过这样的图形吗?它们的外形像什么?


②这些图形有几条边?几个角?是什么图形?
③这几个四边形的边有什么特点?
④它是平行四边形吗?
⑤你们在量这些图形时,是否发现它们都有一个共同的特点?如果
有,是什么?
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
2、现在你有什么问题吗?
长方形和正方形是平行四边形吗?为什么?
3、用集合图表示四边形之间的关系。我们学过的 长方形、正方形、
平行四边形、刚刚认识的梯形,你能用这个集合圈来表示他们的关系
吗?
4、.判断:
①长方形、正文形都是特殊的平行四边形。( )
②两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。( )
③有一组对边平行的四边形叫做梯形。( )
三、动手操作 巩固新知。
1、在梯形里画两条线段,把它分割成三个三角形。你有几种画法?
学生展示
2、七巧板拼一拼
①用两块拼一个梯形
②用三块拼一个梯形
③用一套七巧板拼一个平行四边形
1、下面的图形中有( )个大小不同的梯形。

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2、用两个完全一样的梯形,能拼成一个平行四边形吗?



把1张梯形纸剪一次,再拼成一个平行四边形。


拿一张长方行纸,不对折,剪一次,再拼出一个梯形。



四、课堂小结 知情共融
通过这节课的学习,你有何体会和收获?
五、课外延伸 应用新知
1、把一个平行四边形剪成两个图形,然后拼成一个三角形,这个
三角是什么三角形 ?有几种剪拼的方法?
2、把一张平行四边形的纸剪一下,分成两个梯形,有多少种剪法?
【优秀案例】
“平行四边形和梯形”课堂实录
教学内容:
《义务教育课 程标准实验教科书数学(四年级上册)》教科书70-71
页例1,练习十二相关练习题。
知识目标:
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1、认识平行四边形和梯形,掌握平行四边形和梯形的特征;
2、学会四边形分类 ;概括出长方形、正方形是特殊的平行四边形,正
方形是特殊的长方形的关系;
能力目标:培养学生动手操作能力和概括能力,发展空间思维能力。
情感目标:在小组合作中,培养学生团结合作互助精神,在拼图的过程中
感受图形的美。
教学重点:掌握平行四边形和梯形的特征。
教学难点:理解平行四边形、长方形、正方形的关系。
教学准备:
教具:课件,四边形关系图,长方形、正方形、平行四边形、梯形模具
各一个。
学具:三角尺,直尺,量角器。
教学过程:
一、 回顾旧知,引入新课。
师:我们以前已学过很多图形了,请认真观察下面图形它们是由几条边
围成的?(课件出示)
生:四条。
师:你观察得真仔细。由四条边围成的这些图形叫四边形。
师:在这些四边形中,你最熟悉的是什么图形?
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生:长方形,正方形。
师:长方形、正方形的边和角各有什么特点?
生:长方形的对边相等,对边平行,四个角都是直角。(板书)
生:正方形的四条边都相等,对边平行,四个角都是直角。(板书)
师:看来同学们对以前的知识掌握得真牢固!正方形是长方形吗?
生:是。
师:正方形是特殊的长方形,我们也可以说长方形包含正方形。
师: 你知道这两个图形的名称吗?(指课件中的平行四边形和梯形)。
生:平行四边形和梯形。
师:你们认识得真多,这节课我们就一起来探究一下平行四边形和梯形
的有关知识。(板书课题)
二、合作学习,探究新知
(一)动手操作初步感知平行四边形和梯形的特点。
师: 平行四边形和梯形又有什么特点呢?现在我们用学具分别量一量它
们的边、角各有什么特点,把你的发现 像这样写下来。并相互说说你是
怎样发现的?四人小组活动开始。
生:学生活动,教师巡视。
(二)教学平行四边形的特点。
1、汇报发现。
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师:谁来大胆汇报自己的发现?你是怎样知道的?
(指名说说平行四边形的特点)
师:谁还有其它的发现吗?
2、验证结论
师:刚才有的同学找到平行四边形的两组 对边是互想平行的,我们一起
来验证吧,请看大屏幕!(大屏幕展示方法:用直尺、三角尺平移验证)
3、总结概念。
师:(边操作边说)这组对边平行,这组对边也平行,两组对边都平行。
师:你们能用自己的话说说怎样的四边形叫“平行四边形”吗?(指名
回答)
师:请打开课本71页,找找课本是怎么说的,画起来齐读一遍。
揭示概念:[课件展示]两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。(并
板书)
4、引导学生找出关键词。
师:在这定义中,你认为哪些词语比较重点?
生:两组, 平行, 四边形。
师:你真会找。我们把重点词读重音,齐读一遍。
生:学生读。
师:下面我们男女同学比赛,看谁读得好。(男女分别读)
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师反问:要想判断一个图形是不是平行四边形,必须符合什么条件?
5、穿插练习。
(三)认识梯形
1、汇报发现
师:梯形的边又有哪些特点呢?
生:只有一组对边平行。
师:你们都有同样的发现吗?(板书)
生:有。
2、验证结论
师:我们一起来验证一下。
师:(边操作边说)这组对边不平行,这组对边平行,只有一组对边平
行。
3、总结概念。
师:你们能用自己的话说说怎样的四边形叫“梯形”吗?
师:请打开课本71页,找找课本是怎么说的,画起来齐读一遍。
揭示概念:[课件展示]只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
(并板书)
4、 引导学生找出关键词。
师:在这定义中,你又认为哪些词语比较重点?
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生:只有一组, 平行 四边形。
师:你找得真准确,我们把重点词读重音,再读一遍。
师:下面我们来小组比赛,看哪个小组读得好。
师反问:要想判断一个图形是不是梯形,必须要符合什么条件?
5、穿插练习。
6、比较平行四边形与梯形有什么不同。
师:(指练习中的平行四边形)问:它为什么不是梯 形?它其实是个平
行四边形,那平行四边形与梯形有什么不同?
三、 教学四边形之间的关系。
师:我们已经认识了这么多的图形了,这些图形都是四边形。(课件出
示四边形的集合图)
师:我们先看长方形,正方形和平行四边形的边都有什么共同的特点?
生:两组对边都平行。
师:那长方形,正方形是特殊的平行四边形吗?(四人小组讨论)
师:指名汇报。
师总结:长方形,正方形是特殊的平行四边形。它们特殊在哪里?
生:四个角都是直角。
师:梯形有没有两组对边平行?
生:没有。
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师:所以梯形自己为一类。
教师总结:所以在四边形这个大家族中[展示:四边形集合圈], 有
平行四边形、梯形、一般四边形这几个家庭组成[展示:平行四边形、
梯形集合圈],在平行 四边形这个家庭中,包含有长方形这个特殊的小
家庭[展示:长方形集合圈],长方形这个小家庭中又包 含正方形这个
特殊的成员[展示:正方形集合圈]。
师:现在我们对照课本71页的这个集合图,同桌互相说说这些四边形
之间的关系。
生:学生活动。
师:谁来说说它们的关系。(指名说)
四、质疑。
师:请打开课本70--71页,看书有没有要问老师的呢?
五、巩固练习。
1、判断:
(1) 两组对边分别平行的图形是平行四边形。( )
(2) 有一组对边平行的四边形是梯形。( )
(3) 平行四边形的两组对边分别平行并且相等。( )
(4) 长方形、正方形都是特殊的平行四边形。( )
2、找一找生活中的平行四边形和梯形。
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师:你们判断得真准确。其实平行四边形和梯形就在我们的身边, 你们
在哪里看到过平行四边形和梯形呢?(指名说说)
师:好,老师现在带你们去校园找找,看这美丽的校园哪里有平行四边
形和梯形呢?(主题图)
师:谁愿意上来找找?
师:同学们真会找,我们在生活中也要仔细观察身边的事物。老师也找
到了一些生活中的平行四边和梯形。我们一起来欣赏一下。(课件欣赏
生活中的平行四边形和梯 形)
师:我们生活中很多建筑物都要用到我们学过的图形的。你们想不想利
用我们学过的图形 亲手拼一幅美丽的图画呢?
生:想。
3、拼图。
师:拼图要求:用学过的图形,拼出你们喜欢的图画。
(1)找图形 (2)小组拼图画。 (3)展示作品。
生:学生动手拼。
师:同学们真能干,能利用 我们学过的图形拼出这么漂亮的图画,你们
的手真巧。在这些美丽的图画中,你最喜欢哪一幅?它是由哪 些图形拼
成的?
六、总结:谈收获。
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师:同学们,你觉得这节课里你表现怎样?你有什么收获和体会?


课题五:进一步认识平行四边形和梯形。
【教学内容】:认识平行四边 形的不稳定性,认识平行四边形的底和
高,学习画高,梯形的各部分的名称。课文第71的例2、第72 页的“做
一做”及练习十二的第1~3题
【教学目标】:
1、通过动手操作,使 学生经历认识梯形的底和高的意义和画高的
全过程,进一步培养学生的空间观念。
2、使学生感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,从而提高学习
的兴趣。
【教学重难点】:
重点:理解平行四边形的特征以及梯形底和高的意义
难点:会画平行四边形和梯形的高。
【教具准备】:图形,剪子。
【教学过程】:
一、感受新知
1、平行四边形的特性。
同学们已经学过三角形,知道三角形具有稳定性的特性,那么平行
四边形有什么特征呢?
举例:说说哪些物体表面是平行四边形?
(1)教师演示。教师拿出一个用四根木条钉成的长 方形,两手捏住
长方形的两个对角,向相反方向拉,观察两组对边有什么变化?拉成了
什么图形 ?为什么没有变?
(2)动手操作。学生自己把准备长方形框拉成了平行四边形,并动
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手测量一下两线对边是否还平行。
(3)归纳。根据刚才的实验、测量,引导学生概括出:平行四边形
具有不稳定性。
(4)对比。三角形具有稳定性,不容易变形;平行四边形与三角形
不同它容易变形,也就是不稳定性。
你能举出例子日常生活中应用平行四边形容易变形这一性质的应
用吗?
师强调说明: 只要四边形每组对边分别平行就能确定它的两组对边
相等,因此平行四边形的定义是“两组对边分别平行 的四边形”。
二、探究新知
1.学习平行四边形的底和高。
(1)认识平行四边形的底和高。
(2)找出相对应的底和高。
(3)画平行四边形的高。
教师讲解后,学生动手画高,72页“做一做”第2题。73页1题。
2.认识梯形各部分名称。
(1)、结合图说明,说一说梯形个部分的名称。
提问:梯形的高是从哪一边到哪一边的垂线?高能不能画在腰上?
完成72页做一做2,73页第1题 。在梯形中试画高。
再想一想,你怎样区分梯形的底和腰呢?
在学生思考的基础上,再次强调:梯形的底和腰是根据对否平行来
区分的。
(2)认识等腰梯形。
①小组研究:每组一个等腰梯形,研究它的特点。
②小组交流汇报。
③对折后两腰相等,并且重合。用尺子测量后,也同样得到两腰相
等的特征。
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④概括。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
三、巩固练习
1、73页第2题,在点子图上画平行四边形和梯形,分别画出它们
的高。
2、73页第3题。剪一剪。
在平行四边形纸上剪一刀,使剪下的两个图形都是梯形。
在梯形纸上剪一刀,使剪下的两个图形有一个是平行四边形。那么
另一个图形是什么形呢?
四、课堂小结:你对平行四边形和梯形的学习有什么收获和体会?
五、作业:74-76页4、8、10题。
【教学后记】



课题六:综合练习课
【教学内容】:本单元知识的综合练习。(课文第74-76页的内容)
【教学目标】:
1、使学生通过实际测量充分感知四边形内角和为360度这一规律。
2、提高学生综合运用知识解决问题的能力。。
3、通过动手测量,使学生经历充分感知四边 形内角和为360度这
一规律的全过程,并渗透归纳、猜想和验证的数学思想。
4、使学生感悟到数学的神奇和奥妙,增强学好数学的信心。
【教学重难点】:感知四边形内角和是360度这一规律。
【教具准备】:量角器。
【教学过程】:
一、引发探究
师:这节课我们继续来研究四边形。
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板书课题:平行四边形和梯形。
二、探究新知
展示一个平行四边形,请学生用量角 器测量一下每个角的度数。再
把四个角的度数相加,是多少度呢?这是一个四边形,其他的四边形是什么情况呢?
小组研究,总结规律:
1、组内分工测量75页8题中的每个四边形的各个角的度数。
2、汇总填表75页9题。
3、共同讨论总结规律,全班汇报交流。
出示图形,小组内可再任意画一个四边形试一试。
小结:任意一个四边形四个角的度数之和都是360度。
三、巩固新知
1、判断。(对的画“√”,错的画“×”)
(1)、梯形是特殊的平行四边形。( )
(2)、两个梯形一定可以拼成一个平行四边形。( )
(3)平行四边形的对角线相等。( )
(4)四边形的内角和是180度。( )
2、在图中填写合适的四边形名称。并说说它们的内角和各是多少
度?


3、补充练习:从河里连接一条水管通往水厂,怎样铺水管最近?
请画出示意图,并说明理由。
四、课堂小结:这节课有什么收获?
五、作业:76页 10~12。
【教学后记】

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【相关链接】
神奇的莫比乌斯带
公元185 8年,德国数学家莫比乌斯(Mobius,1790~1868)
发现:把一个扭转180°后再两头 粘接起来的纸条,具有魔术般的性质。
因为,普通纸带具有两个面(即双侧曲面),一个正面,一个 反面,
两个面可以涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面),
一只小虫可以爬 遍整个曲面而不必跨过它的边缘!
我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带,称为“莫比乌斯
带”。
拿一张白的长纸条, 把一面涂成黑色,然后把其中一端翻一个身,
如同书上页图那样粘成一个莫比乌斯带。现在像图中那样用 剪刀沿纸带
的中央把它剪开。你就会惊奇地发现,纸带不仅没有一分为二,反而像
图中那样剪出 一个两倍长的纸圈!
有趣的是:新得到的这个较长的纸圈,本身却是一个双侧曲面,
它的两 条边界自身虽不打结,但却相互套在一起!为了让读者直观地看
到这一不太容易想象出来的事实,我们可 以把上述纸圈,再一次沿中线
剪开,这回可真的一分为二了!得到的是两条互相套着的纸圈,而原先的两条边界,则分别包含于两条纸圈之中,只是每条纸圈本身并不打结
罢了。
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莫比乌斯带还有更为奇异 的特性。一些在平面上无法解决的问题,
却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决!
比如 在普通空间无法实现的“手套易位问题:人左右两手的手套
虽然极为相像,但却有着本质的不同。我们不 可能把左手的手套贴切地
戴到右手上去;也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么
扭来转去,左手套永远是左手套,右手套也永远是右手套!不过,倘若
你把它搬到莫比乌斯带上来,那么 解决起来就易如反掌了。
在自然界有许多物体也类似于手套那样,它们本身具备完全相像
的 对称部分,但一个是左手系的,另一个是右手系的,它们之间有着极
大的不同。
试画一只“ 扁平的猫”,规定这只猫只能在纸面上紧贴着纸行走。
现在这只猫的头朝右。读者不难想象,只要这只猫 紧贴着纸面,那么无
论它怎么走动,它的头只能朝右。所以我们可以把这只猫称为“右侧扁
平猫 ”。 再看一看,在单侧的莫比乌斯带上,扁平猫的遭遇究竟如何呢?
画一只“左侧扁平猫”,它紧贴着 莫比乌斯带,走呀走,走呀走,最后
竟走成一只“右侧扁平猫”!
扁平猫的故事告诉我们: 堵塞在一个扭曲了的面上,左、右手系的
物体是可以通过扭曲时实现转换的!让我们展开想象的翅膀,设 想我们
的空间在宇宙的某个边缘,呈现出莫比乌斯带式的弯曲。那么,有朝一
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日,我们的星际宇航员会 带着左胸腔的心脏出发,却带着右胸腔的心脏
返回地球呢!瞧,莫比乌斯带是多么的神奇!想必读者已经 注意到,莫
比乌斯带具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元1882
年,另一 位德国数学家克莱茵(Klein,1849~1925),终于找到了一
种自我封闭而没有明显边界的 模型,称为“克莱茵瓶”。这种怪瓶实际
上可以看作是由一对莫比乌斯带,沿边界粘合而成。因而克莱茵 瓶比莫
比乌斯带更具一般性。
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