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第一讲 方阵问题（一）
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫 做列.如果行数
与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做
方阵（亦叫 乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里
一层，每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）
数。
例1：有一条公路长90 0米，在公路的一侧从头到尾每隔10米
栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
分析：要以两棵 电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分
成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根 数比分成的
段数多1。
解：以10米为一段，公路全长可以分成
900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）

练习与作业
1. 四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的
方阵。这个方阵里有多少同学？
2. 用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚？
3. 有1764棵树苗，准备 在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。
这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？
4. 576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？
5. 棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多
少？棋子最外层有多少？
6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，
四周共装彩灯多少盏？

第二讲 方阵问题（二）
例3：某校五年级学生排成一个方阵， 最外一层的人数为60人。
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵 最外层每边人数，那么
整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空 心方阵，最外一层每边有围
棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析：方阵每向 里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面
一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。 知道各层每
边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）
摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）

练习与作业
1. 有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，
如果每 边站的人数相等，那么每边站几个学生？


2. 有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，
四边一共栽多少棵树？


3. 有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个
正方形队。这个 正方形四周站了多少个少先队员？


4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆，四 个角上都竖1根，一
共竖28根，正方形场地每边竖多少根电线杆？


5. 某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安装8灯（包
括四个角上都安装1盏）， 四周一共安装多少盏灯？

第三讲 巧求周长（一）
我们已经会计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长方
形、正方形而是多边形的图形，怎样求它 的周长呢？可以把求多边形
的周长转化为求长方形和正方形的周长。
例1：如图13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘米？

分析：要求 这个多边形的周长，也就是求线段AB＋BC＋CD＋DE
＋EF+FA的和是多少，而在这六条线段中 ，只有AB和BC这两条线段
的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边
形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来，如图
13—2所示，这个大正方形是AB CG.把线段EF水平向上移动，移到
CG边上，这样CD＋EF的长度正好与AB的长度相等.同样把 竖直方向
上的DE边向左移动，移到AG边上，这样AF＋DE的长度正好与BC边
的长度相等 .这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道，但
这四条线段的长度和我们可以求出来， 这样求这个多边形的周长就转
化为求一个正方形的周长。

练习与作业
1. 下图的周长与长＿＿厘米，宽＿＿厘米的长方形周长相同，
所以它的周长为＿＿厘米（单位：厘米）。

2. 下图的周长可以看成一个长由＿＿个1厘米的小线段组成，
宽由＿＿个1厘米 的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是＿＿
＿厘米。

3. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为＿＿厘米。

②周长为＿＿＿厘米（围成图形的小线段长l厘米）。

第四讲 巧求周长（二）
例2.把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，
摆完第十五层，这个图形的周长是多少厘米？

分析：先观察图13—3，第一层有 一个长方形，第二层有两个长
方形，第三层有三个长方形„„找到规律，第十五层有十五个长方形.同样，用一个大长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形的周长
就转化为求一个长为2×15= 30（厘米）、宽为1×15＝15（厘米）的
长方形周长。
解：（2×15＋1×15）×2
=45×2＝90（厘米）
答：这个图形的周长为90厘米。

练习与作业
1. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为多少厘米。

②周长为多少厘米（每条小线段长度都是1厘米）？

2. 用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长为
多少厘米？

4. 街心 公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线段的米数。
在草坪四周从某顶点开始每2米种一棵月季花 ，一共需种＿＿＿棵。

第五讲 逻辑推理初步 < br>在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任
何图形，因而，它既不是一个算术 问题，也不是一个几何问题。
也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它
们的过程中却很少用到算术或几何知识。
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析 关
键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的
判断，最终找到问题的答 案。这类问题我们称它为逻辑推理。
例1.一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受< br>到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我
只知道乙是无罪的。”第 三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是
真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是 假的。”通
过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？
分析与解： 题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种
情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的 逐步推理。本题
的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词 是伪证，也就是说
“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一
个和第二 个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。

练习与作业
1. 有甲、乙两同学，其中一个人有奇数根铅笔，一个人有偶数
根铅笔。如果再给甲原有的铅 笔数，再给乙原有铅笔数的2倍，他们
俩共有铅笔数为偶数。那么，甲同学原有铅笔数是＿＿。



2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同学
是＿＿，最矮的同学是＿＿。



3. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老师将照片从1到4编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，学
生回答如下；第一个学生：2号 是桃树，3号是李树；第二个学生：1
号是梨树，2号是杏树；第三个学生：2号是桃树，4号是梨树； 第
四个学生：4号是梨树d号是李树。老师发现这四个同学都只说对了
一半，那么，1号是＿＿ ，2号是＿＿，3号是＿＿，4号是＿＿。

第六讲 枚举问题（一）
电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都
是好的。像这 样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。
问题.小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分
钱，你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按
照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；
②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；
②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；
③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；
④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。由此可见，共有7种不同的拿法。
在上面用枚举法寻找可能拿法的 过程中，我们对全部拿法作了适
当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。

练习与作业
1. 用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大
的三位数是什么？最小的三位数是什么？


2. 用0、l、3、6可以组成多少个四位数？



3. 有四张卡片分别写有数字0.l、2、3，从中取出2张卡片并排
放在一起，可以组成多少个两位数？



4. 用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数，这些
四位数一共有多少个？


5. 在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？
第七讲 枚举问题（二）
问题1.假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B．已知从
A到B可 以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车

或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？
分析 从A到C（A→C）可分 两个阶段进行：第一阶段，从A到B
（A→B）；第二阶段，从B到C（B→C），按照第一阶段使用的 交通工
具不同可以分为两类：
A→B B→C A→

所以，从A到C共有2×3＝6种不同的旅行方式。
上述解法中的图示叫做枝形图（图44—1），在解不太复杂的计
数问题中很有用。

练习与作业
1. 有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同 的裤子，从
中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多
少种不同的装束 ？
2. 从甲地到乙地有2条不同的路可走，从乙地到丙地有4条不
同的路可走。问：从甲地 到丙地有几条不同的路可走？
3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到两地可坐
飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地共有几种走法？
4. 小英从家到学校有三条路 可走，从学校到少年之家有四条路
可走，小英从家经过学校到少年之家共有几种走法？
5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔
为一组，最多可以配成不重复的几组？

第八讲 平均数问题（一）
求平均数问题是小学学习 阶段经常接触的一类典型应用题，如
“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数„„”。
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均
数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间
的关系，根据总数除以它相对应的份数 ，求出一份数，即平均数。
一、算术平均数
例1.用4个同样的杯子装水，水面高度分别是 4厘米、5厘米、
7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？
分析：求4个杯子 水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水
合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高 度。
解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）
答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

练习与作业
1. 机械厂前3天平均每天加工零件12 59只，后4天共加工零
件5379只，这星期内平均每天加工零件多少只？


2. 修路队4天修了两段公路，第一段长430米，第二段长250
米，平均每天修多少米？


3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得114分，乙队
得2 10分，丙队得186分，丁队得178分。四个队的平均成绩是多少
分？


4. 东村小学38名少先队员，在校园内和路旁种蓖麻。在路旁
种了190棵，在校园内种的 棵数是路旁的3倍。平均每人种蓖麻多少
棵？

第九讲 平均数问题（二）
二、加权平均数
例3 .果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什
锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖 每千克4.20元，奶糖每千克
7.20元.问：什锦糖每千克多少元？
分析：要求混合后的 什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总
钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解：①什锦糖的总价：4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）
②什锦糖的总千克数：2＋3＋5＝10（千克）
③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）
答：混合后的什锦糖每千克5.74元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74
元叫做4.40元、4.2 0元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5
千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影 响，有权衡轻重的
作用，所以这样的数叫做“权数”。

练习与作业
1. A、B、C三人储蓄，A储了1240元，B比A少储70元，C比B多储50元。求A、B、C三人平均储蓄额。


2. 甲、乙二数的平均数是72，丙是18。甲、乙、丙三个数的平
均数是多少？


3. 甲、乙的平均数是30，乙、丙的平均数是34，甲、丙的平均
数是32。求甲、乙、而 三个数的平均数。


4. 有A、B、C三个数，A与B的平均数是97，B与C 的平均数为
132，A与C的平均数为125。问：这三个数的平均数是多少？


5. 小刚参加我学考试，前两次的平均分数是85分，后三次的平
均分数是90分。小刚前后 几次考试的平均分数是多少？

第十讲 消去问题（一） 转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量
关系，有的题可以对题中的某些条件进 行必要的调整，使这些条件重
新组合，解答起来，往往容易一些。
例1 学校买了10盒白粉 笔和4盘彩粉笔共花了32元，每盒彩
粉笔的价钱是白粉笔的2.5倍，每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱？
分析：依题意，用买1盒彩粉笔的钱可以买2.5盒白粉笔，那么，
买4盒彩粉笔的钱就可以买 4×2.5=10（盒）白粉笔。因此，可以理
解为花32元买了10+4×2.5=20（盒）白粉笔 ，这样，就可以求出1
盘白粉笔的价格。
解：（1）4盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？
4×2.5=10（盒）
（2）白粉笔每盒多少元？
32÷（10+10）=32÷20=1.6（元）
（3）彩粉笔每盒多少钱？
1.6×2.5=4（元）
答：白粉笔每盒1.6元，彩粉笔每盒4元。

练习与作业
1. 买一块橡皮和4支铅笔一共用去2角7分，买同 样的一块橡
皮和2支铅笔的价钱是1角5分，一块橡皮和一支铅笔各多少钱？

2. 甲班用4元2角钱买了4支铅笔，3支圆珠笔；乙班用10元
2角钱买了4支铅笔和8支圆珠笔。问：铅 笔、圆珠笔的单价各是多
少元？

3. 妈妈买6米白布，8米花布.用去21元3 角钱，王大妈买同样
的白布6米，同样的花布6米，用去18元钱。问：每米白布和每米
花布各 多少钱？

4. 妈妈买2千克糖果和1千克饼干，共付7元2角，如果买1
千克糖 果和2千克饼干得付6元，糖果和饼干每千克多少钱？


5. 小明买6本《红岩 》、5本《新华字典》共用7元2角；小刚
买5本《红岩》、6本《新华宇典》共用7元1角。《红岩》 和《新华
字典》每本售价各多少元？

第十一讲 消去问题（二）
例1.从图2-2中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量？

这 样想：根据（1）、（2），可推出1个梨的重量等于2支香蕉的
重量；然后把（3）中的一个梨替换成 2支香蕉，这样，（3）中就相
当于1个菠萝等于2个桃子和3支香蕉的重量，又回想到（2）中1个菠萝等于4支香蕉的重量，因此，2个桃子实际上是1支香蕉的重
量，可推得1个菠萝等于8个桃 子的重量。
例2.1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹
小马的重量，而 1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同，那么1
头象的重量等于几头小猪的重量。
这样想 ：1匹小马刚好是4头小猪的重量，那么3匹小马等于12
头小猪的重量，又1头牛相当于3匹小马的重 量，也就是12头小猪
的重量，因此4头牛等于48头小猪的重量，也就是1头象的重量等
于4 8头小猪的重量。

练习与作业
1. 美术小组第一天 买了3盒彩笔和1支毛笔，付款4元4角4分，
第二天又买同样的5盒彩笔和3支毛笔，付款7元9角6 分。求每盒
彩笔和每支毛笔的价钱？
2. 学校第一次买3只篮球，4只排球用了354元， 第二次买2只篮球，
3只排球用了252元。问：篮球与排球的单价各是多少元？
3. 甲求 乙代买5千克酒、3千克酱油，按售价交给乙6.45元。乙误
买为3千克酒、5千克酱油.结果拿回2 .10元，问每千克酒、酱油各
多少元？
4. 王老师带了30元钱去文具店买钢笔和圆珠笔 。他买了3支钢笔和
5支圆珠笔后，剩下的钱再买2支圆珠笔还差4角.再买2支钢笔还
差2元 。每支钢笔多少元？
第十二讲 行程问题（一）
例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两

人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时
少走1千米，那么5小时相 遇。A、B两地相距多少千米？
分析：可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小
时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。
这段路的长度是多少呢？就是两 人4小时一共比原来少行的路。由于
以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们
恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。
解：1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）
这道题属于相遇问题，它的基本关系式是： 速度和×时间=（相
隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”
这样 的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或
“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情 况时，应该通过转化条件，
然后应用上面的关系式。

练习与作业
1. 一列火车平均每小时行用千米，这列火车从甲地到乙地共用
了4小时，问：甲、乙两地相距多少千米？


2. 一辆汽车5小时行了280千米，这辆汽车平均每小时行多少
千米？


3. 小明家到学校1800米，小明早晨上学，平均每分钟走120米，
问：小明从家到学校 一共用多少分钟？


4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行，甲每分钟走 85米，
乙每分钟走90米,18分钟后两人相遇。东西两村相距多少米？


5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行，甲车每小时行55千米，
乙车每小时行60千米， 4小时后两车相遇。两地相距多少千米？

第十三讲 行程问题（二）
例2.小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 5.4千米。
小李 骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地，小
李从乙地到甲地，他们三人同时出发， 在小张与小李相遇5分钟后，
小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
分析：为便于分析，画出线段图36-1：

图中C点表示小张与小李相遇地点，D 点表示他们相遇时小王所
在地点。根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，
经 过5分钟相遇。因此，DC的长为
这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时
间为
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）
这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李 行完CB这段路）用
了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。

练习与作业
1. 东西两地相距500千米，甲、乙两车同时从两地相向出发，
甲车 每小时行45千米，乙车每小时行55千米。甲、乙两车几小时后
才能相遇？
2. 甲站到乙 站相距1100千米，两列火车同时从两地相向开出,10
小时相遇，快车每小时行用千米，慢车每小时 行多少千米？
3. 甲、乙两人同时从相距54千米的两地相向而行，甲的速度是
每小时5千 米，乙的速度是每小时4千米，几个时后两人相遇？
4. 甲、乙两工程队合修一条长935米的公路 ，甲队以每天45米
的速度由西端往东修，乙队以每天40米的速度由东端往西修，6天
后两队 相距多远？此工程共需多少天？

第十四讲 填补不完整的算式
数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.
解这类问题必须认真审题，根 据题目的特点，找出突破口，从而逐步
简化题目直至问题完全解决.
问题16.1 在下面这 个算式中，不同的文字代表不同的数字，相
同的文字代表相同的数字.它们各代表什么数字时，算式才能 成立？

分析（1）从“明”字入手.算式中“明+明=明”是本题的突破口.因为在0～9这十个数字中，只有0+0=0，所以：明=0.即
（2）因为两个最大的一位数相加是18，只能向高位进1.因此：
分=1.即

（3）再由“是+是=10”可知：是=5.即
（4）由“1+就=5”可知：就=4.即

（5）由“非+非= 4”可知：非= 2.即

练习与作业