能和创造性能够充分地发挥，数学知识和数学活动经验能够充分地获得，学生的情 感态度和一般能力能够充
分地发展。
2．加强观察、操作活动的教学。有余数的除法的意义是 指导计算的基础知识，为了突出意义的教学，教
材有意识地安排了一些观察和操作活动的内容。教师在教 学中要注重从直观、形象、具体的材料入手，让学
生经历具体问题“数学化”的过程，在观察、猜测、操 作和归纳等活动中，引导学生动手、动脑、动口，调
动各种感官参与学习活动，感知概念的形成，从而为 计算教学做好准备。例如例2的教学，由具体情境引入
后，可以先让学生想一想，再拿学具摆一摆，边摆 边观察，边摆边猜测，这样分层次进行，不断强化学生的
表象，不断增强学生的感性认识，然后通过相互 交流，在比较、吸收的基础上进行思考和归纳，用表象支撑
学生的思维，逐步抽象出数学知识，形成学生 的认知。在观察、操作活动中，要注意训练学生正确的观察方
法和操作规则，做到活泼、有序和高效。
3．重视培养学生的应用意识和解决问题的能力。数学教学应从学生熟悉的现实生活出发，从具体问题到
抽象概念的形成之间，要让学生经历“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的过程，要增强学 生
的应用意识，使学生能够运用所学的知识解决简单的现实问题，感受到数学在日常生活中的作用，培养 学生
解决实际问题的能力。为了实现这一目标，教学中我们应引导学生学会观察，自觉地关注身边的生活 现象，
充分地感知事物后面蕴藏的数学信息，对收集到的各种数据进行合理的加工和提炼，从而发现、提 出和解决
问题，并加以综合运用。在例题和习题的编排上，教材提供了一幅幅图文并茂、生动有趣、联系 生活的情境
材料，这些内容恰当真实地反映了数学与生活的密切联系。在教学中，教师要有目的地启发学 生思考，调动
学生的学习经验，分析和抽象事物的本质属性，运用不同的策略和方式进行探索和解答，使 学生充分地感受
到数学的价值，体验到问题解决的乐趣，体验到数学学习的愉悦情感。
4．这部分内容可用5课时进行教学。

参考教案 教学片断：有余数除法的意义和竖式
教学内容：教科书第51页例2。
教学过程：
一、创设情境，提出问题。（用多媒体课件演示学生布置联欢会会场的画面。）
让学生看情景 图，描述布置联欢会会场的情景，续编布置联欢会会场的故事，并从中提炼出数学问题：
一共有23盆花 ，每组摆5盆，最多可以摆几组？还多几盆？
二、尝试解决问题
教师：算式怎样列？为什么这样列？（板书：23÷4＝）
教师：怎样进行计算呢？请同学们 用23张圆片表示23盆花，按照布置会场的要求分一分。（小组合作的
形式。）
（展示学生分圆片的结果。）
教师：这3盆还能不能再分？为什么？
学生：题目要求每组摆5盆，现在只剩下3盆，给每组再分一盆，不够了，所以不能再分。
教师：23盆花，每组摆5盆，摆了4组，还剩3盆，这里剩下的3盆，就是余数。
教师：这道题的得数怎样写呢？

（让学生先说一说。）
教师：写除法得数时，要先写商4，再在商的后面打6个小圆点，写上余数3。
（板书：23÷5＝4……3）
教师：这里商4表示什么？（4组）（板书单位名称“组”。）
这里余数3表示什么？（3盆）（板书单位名称“盆”。）
教师：这道题的竖式会写吗？请同学们自己在草稿本上试着写一写。
（指名学生演板展示竖式的写法。）
全班交流，教师引导学生重点讨论竖式中各步表示的意思，介绍竖式中的余数。

时、分、秒教材说明和教学建议
教材说明
关于“时、分、秒”这一内容，本套教材 分三个阶段编排。第一阶段是在一年级上册，主要让学生学会
看整时和半时，初步认识钟面上的时针和分 针；第二阶段是在一年级下册，主要让学生会读、写几时几分，
知道1时＝60分；第三阶段就是本册教 材本单元，主要教学时间单位“秒”，以及有关时间的简单计算。具
体内容的编排顺序如下表。
在具体情境中感悟时间单位“秒”
↓
观察钟表，得出1分＝60秒
↓
时间单位之间的简单换算
↓
计算简单的经过时间
时间单位不像长度、重 量单位那样容易用具体的物体表现出来，比较抽象，单位之间的进率也比较复杂。
但是时间又时时伴随着 人们的生活。因此，教材从教学材料的选择到呈现方式，都十分注意结合学生的生活
经验，力求让他们在 实际情境中，体会时、分、秒的实际意义，掌握有关时间的知识。例如，“秒的认识”
主题图就选择了家 喻户晓的春节联欢晚会中新年的钟声即将敲响时的场景，“做一做”让学生在活动中，亲
身感受“1分钟 有多长”和“1分钟能做些什么”，练习中又编入了一系列与学生自己的生活息息相关的内容，
以丰富学 生对时间观念的感性认识。
教学建议
1．关注学生的生活经验，尽可能使数学学习活动与他们的生活实际相联系。
初步建立时、分 、秒的时间观念是本单元教学的重点，也是难点。教材选用了许多贴近学生生活实际的
素材，如练习十五 中让学生估计自己穿衣、刷牙、吃早饭、整理书包等的时间，写出自己每天的作息时间，
了解自己感兴趣 的电视节目开始和结束的时刻，等等。教学时，就要充分运用这些素材，开展丰富多彩的实
践活动，使抽 象的时间概念变成看得见、摸得着的东西。让学生在亲身实践中体会时、分、秒的实际意义，
逐步养成遵 守和爱惜时间的良好习惯和意识。
2．重视直观教学，充分发挥钟表模型等教具、学具的作用。

由于时、分、秒之间的进率是60，而不是以前所学的十进关系，学生往往感到不习惯，这无 疑给时间单
位之间的简单换算带来一定的困难。为此，教学时，应加强对钟表的观察，特别是分针走一圈 ，时针走了多
少；秒针走一圈，分针走了多少；以便让学生积累丰富的表象，掌握时、分、秒之间的关系 。
除了教材上选择的素材和活动形式，教师可以根据实际情况收集更丰富的材料，设计形式多样的活动 ，
让学生在活动中对时间观念获得更充分的体验。
3．本单元内容可以用3课时进行教学。

参考教案 课题：秒的认识
教学内容：教科书第59～61页，练习十五第1、6题。
教学目标：
1．使学生认识时间单位秒，知道1分＝60秒。
2．使学生初步建立1分、1秒的时间观念。
教具、学具准备：主题图课件（或挂图）、各种钟表，钟面模型，口算卡片。
教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：（课件出示主题图，其中的钟面时刻为11：59）这是春节联 欢晚会现场。看墙上的大钟，你能告诉大
家，现在是几时几分吗？新年钟声就要敲响了，让我们一起来倒 计时。
师生一起倒计时：15，14，13，…，1。
师：像这样计量很短的时间，我们就 要用到比分更小的单位──秒。（板书：秒）说一说，在哪些地方还
用到时间单位秒？
学生可能会举例：火箭发射、跑步比赛等。
二、自主探索，学习1分＝60秒
1．探索计量“秒”的工具。
师：像“秒”这样小的单位又该怎样计量呢？这里有一个钟表店 （课件出示），你认为哪些钟表是可以计
量“秒”？把你的想法与小组里的同学说一说。
组织小组讨论，学生广泛发表意见。可能会有以下的发现：
（1）电子表（或钟）。
（2）有秒针的钟表。
（3）秒表。
2．学习1分＝60秒。
师：电子 钟表、秒表以及有秒针的钟表都可以计量用“秒”做单位的时间。现在请大家拨一拨你手上的
钟面，你有 什么发现？（如果学生有困难，教师就提示：分针走1格，秒针走多少？秒针走1圈，分针走多
少？）
学生活动，教师巡视。
在反馈汇报的基础上，教师总结秒针和分针的运行关系，即秒针走1圈 是60秒，分针正好走1小格，由
此得出1分＝60秒。

3．完成练习十五第1题，要求学生填写合适的时间单位。
三、体验1分钟有多长。
1．建立1分钟的观念。
师：1分钟到底有多长呢？我们来仔细地看一看。
教师接通钟面的电源，让学生静静地观看钟面上的秒针走一圈。
师：1分钟我们能做些什么呢 ？现在给你们1分钟时间，要求第1、2、3大组同学从做口算、画画、写一
段话中任意选一件做，第4 组的同学想干什么就干什么。
反馈。
教师强调：尽管1分钟很短，但好好利用它可以做许多事情。
2．联系实际，完成练习十四第10题。
师：你跑50米需要多少时间？请在小组里说一说， 小组长把每个同学的成绩记录下来。比一比，谁跑得
最快？
3．初步了解钟表历史。
师：如果没有这些钟表，我们又有什么办法知道时间在1分、1秒地过去呢？
在学生充分发表意见的基础上，教师播放课件，出示一些古代计时的工具。
师：有兴趣的同学再去找一些资料，下次开一个新闻发布会。
四、课堂小结
小结后，要求学生完成练习十四第6题。
反馈。
师：你估计得怎样？回家后好好验证一下，也可以请爸爸妈妈帮你记录时间。

实践活动：填一填，说一说
教材说明
教材通过让学生设计作息时间表、调查完成家 庭作业的时间、调查睡眠时间等活动，一方面使学生巩固
时间的认识和计算，养成从小珍惜时间、合理安 排时间的好习惯；另一方面，可以加强数学知识与现实生活
的联系，逐渐培养学生从不同渠道获取信息的 意识和能力，教材提供了两个学生生活中经常遇到的应用时间
的例子。
1．制作作息时间表。 由于小学生一天的学习、活动相对比较固定，为了使学生提高学习效率，保证充分
的休息，从小养成良好 的生活习惯，制定一个合理、有效的作息时间表是很有必要的。教材展示了几名学生
制作作息时间表的情 境，其中一名学生正在向其他同学介绍他一天的作息时间，表中第一栏是起床、离家、
到校等项目，第二 栏是这些项目发生的时间，这里的时间都是用12时计时法表示的。在这里，教材只是给出
一个范例，具 体选择哪些项目，可以根据具体情况而定。
通过这个活动，学生可以列出目前生活的作息时间表，并反 思这样的作息时间是否合理。同时，通过与
其他同学的交流，可以了解别的同学是怎样安排生活的，哪些 地方比自己安排得更合理，例如，有的同学除
了把起床、睡觉、学习等日常生活列出来以外，还把课后的 体育锻炼时间也做了合理的计划。通过同学之间
互相借鉴和学习，学生可以为自己再制定一个更为合理的 计划，使学生养成从小合理利用时间、按计划做事

的好习惯。
2．统计完成一 些日常事件所需的时间。教材通过让学生统计小组内同学完成家庭作业的时间和睡眠时间
两个例子，一方 面使学生了解时间在日常生活中的应用，另一方面巩固了学生收集、整理、分析数据的能力。
图中的黑 板上给出了一个小组同学完成家庭作业时间的统计表，从表中可以看出，每个同学完成作业的
时间是不同 的。通过这些数据，可以引导学生来讨论一些问题，例如：现在的家庭作业负担是否过重？为什
么不同的 学生在家庭作业上花的时间相差很多？等等。
教材上没有给出小组内学生睡眠时间的统计表范例，学生 可以仿照统计完成家庭作业时间的方法来进行。
为了了解小学生睡多长时间才算充足，教材上给出了查阅 书籍和上网查询等不同的方式来获取信息，一方面
让学生了解一些常识，另一方面可以培养学生从不同渠 道搜集信息的能力。
教学建议
1．这个实践活动可以用1课时进行教学。
2．在 让学生制作作息时间表之前，可以先让学生说一说每天到校后学校规定的作息时间是怎样的，例如
什么时 候上早自习，什么时候出早操，什么时候上第一节课，使学生理解作息时间指的是比较固定的事件发
生的 时间，一些偶发事件（如某一天上午和妈妈上了一趟街）不能算作这一类型的事件。也可以让学生先看
一 看学校课程表的结构，然后让学生回忆一下自己每天要做哪些固定的事情，一般在什么时间做，并仿照课
程表的设计思路，根据自己的实际情况，制定作息时间表。不同学生的作息时间表中的活动应该是不同的，
例如，有的同学有每天锻炼身体或练习书法的习惯，就应该有相应的栏目。所有的学生都完成以后，要引导他们互相交流、比较一下，看看别人的作息时间表中有哪些比自己合理的地方。例如，是不是自己睡觉太晚< br>了，起床太晚了，是不是有很多时间白白地浪费了，等等。通过同学间的交流，可以进一步修正自己的作息
时间表，督促自己在以后的生活中更加合理、有效地安排和利用时间。在活动中，教师要引导学生认识到 制
定一个合理的作息时间表固然重要，但严格地遵守自己制定的作息时间更为重要。
3．接下 来，可以让学生以小组为单位，统计完成某些共同事件所需的时间。例如，可以像教材上举的例
子一样， 统计一下小组成员完成家庭作业所需的时间。这个时间可以通过让学生自己估计、估算来获得（如
一般从 什么时间到什么时间能完成家庭作业）。列出统计表后，再对表中的数据进一步分析和讨论，如有的同
学 用的时间很少，而有的同学要花很长时间，原因是什么，是不是花较短时间做作业的同学的作业质量也是
最好的呢？可以请作业做得又快又好的同学介绍一下经验。通过这样的讨论，可以使学生逐渐养成按时、认
真完成家庭作业的好习惯。
4．除了统计完成家庭作业的时间以外，还可以像教材上一样，统计一下 每位同学的睡眠时间。在计算睡
眠时间的时候，由于学生还没有正式学习24时计时法，所以要鼓励学生 采用不同的策略来计算，可以用数的
方法，也可以用分段加减的方法计算。例如，某同学晚上9时上床， 早上6时半起床，可以先计算出晚上9
时至12时共是3小时，再加上凌晨的6个半小时，共9个半小时 。最后，根据统计结果看看哪位同学的睡眠
时间最长，哪位同学最短，大家的睡眠时间是否足够。继而引 出一个小学生睡多久才算充足的问题，为了得
到答案，学生可以通过不同的方式去搜集信息，如书上所说 的查阅书籍、上网查询，还可以向家长、老师请
教，使学生从小养成为了解决实际问题而去有目的地搜集 信息的意识和能力。
5．教材上给出的调查完成家庭作业的时间、调查睡眠时间只是两个范例，实际教 学时，教师可以根据本
班的现实情况设计其他的活动。例如，可以统计同学们每天参加体育锻炼的时间和 看电视的时间，等等。重

点是要通过活动，使学生了解时间在实际生活中的应用，并合理 地安排学习、锻炼、娱乐、休息的时间。

多位数乘一位数教材说明和教学建议
教材说明
本单元是在学生已经熟练地掌握了表内乘法，能够正确地口算100以内加减法的基 础上进行教学的，主
要内容包括口算乘法和笔算乘法两部分。
本单元的知识结构如下表：

本单元先出口算乘法，内容包含整十、整百数乘一位数的口算和相应的估算。先出口算，是因 为学生在
表内乘法的基础上继续学习用一位数乘整十、整百数比较容易接受。同时，由于笔算乘法，如1 2×3，在计算
时要算2×3和10×3，这就要用到整十数乘一位数。因此在教学笔算乘法时需要有口 算的基础。此外，乘法
估算也同样需要有一定的口算乘法的基础，所以先出口算有利于学生掌握笔算和学 习估算，在进行笔算和估
算的同时又可以巩固口算，从而有利于培养学生的计算能力。
多位数 乘一位数的笔算是本单元教学的重点，它是多位数乘法的基础。但笔算乘法与笔算加、减法有很
大差异， 在计算过程中，多位数乘一位数不是相同数位上的数相乘，而是要用一位数分别去乘另一个因数的
每一位 ，再把所得的积相加。其中计算步骤较多，要顾及的问题也很多，学生在计算过程中容易出错。因此
教材 在帮助学生理解笔算算理的基础上，采取各个突破的办法来克服笔算乘法的难点。本单元的笔算乘法分
两 个层次编排：（1）通过两位数乘一位数（不进位），引出笔算竖式，帮助学生理解笔算的算理。（2）突破笔< br>算乘法的难点。主要解决两个问题，一是进位问题，二是因数的中间和末尾有0的问题。在进位中，先出不
连续进位的，再出连续进位的，两种情况都以两位数乘一位数为主。这样编排重点突出，分散了难点，便 于
学生在已学知识的基础上，用类推的方法掌握新知识，从而既节省了教学时间，又培养了学生的学习能 力。
本单元加强了“解决问题”的教学。主要体现在两个方面，一是创设了一些问题情境，让学生提出 乘法
计算问题，使学生体会到乘法计算并不是孤立存在的，而是蕴涵在许多现实情境中的一个个问题。二 是将乘
法计算置于现实情境中，增加练习的趣味，同时让学生体会数学知识与现实生活的密切联系。
教学建议
1．让学生在具体生动的情境中学习计算，培养学生对数学的兴趣。计算本身是枯燥 乏味的，机械的训练
更使学生厌烦，这是学生对数学失去兴趣的一个重要原因。因此适当地创设一些具体 生动的学习情境，让学
生在一种愉悦的氛围中来学习多位数乘一位数，使他们感到学习数学是有趣的，这 是我们教学时必须高度注
意的一个问题。
教材在这方面做了很多努力，如，创设丰富、生动有 趣的情境：游园、买书、运动会等让学生倍感亲切；
七仙女摘桃、老寿星散步的神话情境更是使学生印象 深刻。再如，练习中提供一些动物的体重、身长、飞行

速度等数据，既增加了练习的兴趣 ，又扩展学生的知识面。教学中，教师可以充分开发这些素材，同时也可
收集一些有趣味、有新意的素材 ，激发学生的学习欲望，让他们饶有兴趣地学习数学。
2．引导学生独立思考、合作交流，体验探究的 乐趣。根据《标准》精神，小学数学教学应该让学生经历
知识产生和形成的过程，发挥他们在学习上的主 体作用，促进学生的全面发展。本单元的几个重点内容，如
整十数乘一位数的口算，笔算乘法中从不进位 乘法到第一次出现进位的情况，教材都是先让学生自主探索，
探寻解决问题的方法。教学时，教师可以在 学生充分独立思考、合作交流的基础上，再进行必要的引导。学
生的探索可能有多种形式，如画图、列表 、摆学具（如小棒）、应用已有知识迁移类推等，应允许他们用自己
的方法展示思维的过程和结果。 < br>创设学生自主或合作探索的情境和空间是这次教学改革的一个突破口，教师应尽可能以学生为主体，创设让学生自己想一想、试一试、做一做、比一比、找一找、算一算等的探究情境，多给学生一些提问质疑、< br>探究发现的机会和条件，让他们在多种多样的数学活动中来学习数学。
3．抓住重点，突破难点 ，使学生打下扎实的知识基础。本单元的教学重点应放在两位数乘一位数上，因
为它体现了多位数乘法的 基本算理和算法，掌握了它，多位数乘法就可以在此基础上迁移、类推。而且两位
数乘一位数的熟练程度 还会影响到除数是两位数的除法试商的准确率和速度。因此一定要让学生掌握好这部
分知识。
多位数乘一位数中连续进位是个难点，为此教材专门安排了两个例题进行突破。教学时，教师应重视这
部 分内容的教学。
4．注重学生对计算过程和方法的理解。对于多位数乘一位数的计算方法，教材淡化了 对计算法则的文字
表述，没出计算法则或结语。教学中，不必要求学生概括出严密的法则，更不要求学生 记忆或背诵相应的结
论，重在学生对计算方法的正确理解和灵活运用。
5．重视估算的教学， 注意各种算法的结合，加强算法选择的教学，进一步提高学生的计算能力。乘法估
算在日常生活中有广泛 的应用，并且还可以用来检验计算的结果，同时估算意识的建立也有利于数感的培养。
因此估算教学不能 走过场。学好估算的方法并不难，关键在于培养估算的意识和习惯，这要靠教师持之以恒
经常给学生创设 估算的情境和提供估算的机会，让学生多做估算的练习。
在这一单元中，口算、估算、笔算都出齐了， 怎么处理好这三算之间的关系也是教师在教学中必须要注
意的问题。这里要处理好两个方面，一是要做到 三算互相促进，达到共同提高。二是三算各有其适用场合和
范围，教师要引导学生分析判断在什么情况下 需要使用什么样的计算方法，提高学生在实际生活中灵活应用
的能力。

口算乘法
教材说明
本小节是教学口算乘法，是在学生掌握了表内乘法和万以内数的组成的基础上进行教 学的。本小节一共
安排了两个例题。例1是整十数乘一位数，例2是两位数乘一位数的估算。例1又分为 两个小题，第一小题
是从表内乘法的计算2×9扩展到计算2×10，第二小题是任意的整十数乘一位数 。
由于学生是在表内乘法的基础上来学习本小节的口算知识的，所以让他们在9乘几的基础上计算10 乘几，
再由10乘几推出几十、几百的数乘一位数，这样安排学生就能够自己发现和得出整百、整十的数 乘一位数的

计算规律，加深对乘法意义的理解，为后面的学习打好基础。
两、 三位数乘一位数的估算是通过把两、三位数看成整十、整百的数来计算的，把估算放在整百、整十
的数乘 一位数的口算后面，既可以进一步巩固口算，又便于学生理解估算的方法。教材通过创设一个需要估
算的 实际生活情境使学生体会到估算的必要，进而找出可以把这个数看成最接近的整十、整百的数来估算的
方 法。
教学建议
1．引进本小节的教学时，教师应创设一些学生所熟悉的实际生活情境，使学 生体会到乘法在生活中的应
用，培养学生从数学的角度观察周围世界的习惯。
2．教学本小节 的知识时，教师应尽可能给学生提供思考的机会和时间，整百、整十的数乘一位数的口算
和两、三位数乘 一位数的估算方法应尽可能让学生自己想出来，必要时可以辅之于学具。
3．本小节内容可以安排3课时教学。

笔算乘法
教材说明
本 小节是教学多位数乘一位数的笔算乘法，主要是要解决笔算过程中从哪一位乘起、怎么进位和竖式的
书写 格式问题。这部分内容是学生学习笔算乘法的开始，是在学生会做表内乘法，整十、整百的数乘一位数
的 口算、乘加两步混合运算和万以内数的组成的基础上进行教学的。教材一共安排了七个例题。例1教学不
进位的乘法；例2教学两位数乘一位数、个位积满十需向十位进位的题目。例3教学两位数乘一位数、个位
与十位的积都要进位、十位积加进上来的数又要进位，所谓连续进位的题目。例4教学三位数乘一位数、连续进位的题目。例5教学0的乘法。例6教学一个因数中间有0的乘法。例7教学一个因数末尾有0的乘法。
为了分散难点，先解决竖式的格式和竖式中每一步计算的含义问题，教材首先出现了不进位的乘法。在< br>此基础上，例2出现了一次进位的乘法。使学生看到当个位积超过十时，满了几十就须向十位进几。在进位
乘法中，进位叠加的乘法难度最大。学生既要记住进上来的数，又要做两位数加一位数的进位加法，稍有 疏
忽，就会产生错误。例3就是专门解决这个问题的。当学生掌握了一次进位的乘法以后，例4进一步增 加了
计算的复杂程度，出现了三位数乘一位数、需要连续进位的乘法。一个因数中间或末尾有0的乘法是 乘法中
的特殊情形，学生在计算时往往容易算成5×0＝5、或者把积的书写位置对错、或者丢了末尾0 。所以本小节
教材将这部分内容专门作为一段，安排在学生基本掌握了多位数乘一位数的一般方法之后， 以便学生集中学
习在乘的过程中处理0的具体方法。
本小节安排了五个练习。练习十六是不进 位乘法的练习；练习十七是只含一次进位的乘法练习；练习十
八是含有进位叠加的和三位数乘一位数有连 续进位的难度较大的乘法练习；练习十九是一个因数中间有0的
乘法练习；练习二十是一个因数末尾有0 的乘法练习。在这五个练习中，除了基本的乘法竖式计算练习之外，
还配备了不少含有情境图的题目，以 加深学生对多位数乘一位数的乘法在实际中应用的了解。除此之外，还
出现了形式多样的各种题型，如图 文结合的应用问题、表格式问题、改错题、函数式题和找规律的趣味数学
题等。这些题型有利于激发学生 进行计算的兴趣，增长学生的知识，提高他们的数学能力。
教学建议
1．重视创设联系实际 生活的问题情境。教材中每个例题都创设了联系学生生活实际的情境。除此之外，

教师还 可根据本地本校的具体情况创设其他方面的问题情境，使学生深刻地体会多位数乘一位数的应用，提
高学 习的兴趣。
2．组织好学生自主探索和合作交流的学习方式，启发学生探索多样的计算方法，让学生切 实经历学习计
算方法的过程。多位数乘一位数的各种计算方法，尤其是笔算的竖式计算方法，都要让学生 有一个体验、思
考和交流的机会。
3．加强例题之间的联系，以两位数乘一位数为重点，在学 好两位数乘一位数的基础上，再推广到三位数
乘一位数。注意把估算和笔算有机地结合起来，以估算促笔 算，以笔算带估算。
4．练习形式要多样化，练习要有一定的量，加强计算中各种情况的混合练习与比 较练习，注意培养学生
良好的计算习惯，如认真书写、仔细检查的习惯等，以提高学生的计算技能。
5．本小节内容可以安排9课时教学。

笔算乘法具体内容的说明和教学建议 1．例1与“做一做”的说明和教学建议。例1教学不进位的乘法，让学生在掌握了整百、整十的数乘一位数口算的基础上，探讨每一位上的积都不满十的任意两、三位数乘一位数的计算方法，并引出乘法竖式的< br>书写格式。通过计算使学生懂得任意两、三位数乘一位数，都是把这个数每一数位上的数分别乘这个一位数 ，
再把所得的积相加。教材首先创设了一个问题情境，主题图画的是3个小朋友在画画，每人身边都有一 盒彩
笔，由此提出一个数学问题：已知一盒彩笔是12枝，那么3盒彩笔一共有多少枝？由小精灵提出： 怎样算一
共有多少枝彩笔？
教学时，教师可让学生先估一估大约有多少枝彩笔，然后要求每个 学生先自己独立试做，再在小组内交
流各自的算法，最后在全班汇报各小组的代表性算法，共同研讨解决 问题的方案。
教师应鼓励学生想出自己独特的算法，只要学生的算法是对的，教师都应予以肯定。对学 生想出的各种
算法，教师应引导学生把它分分类，在可能的情况下，可对每一类算法作一些分析评价。如 有的学生是用摆
小棒，有的学生是用画图，有的学生是用连加，如12＋12＋12＝36。有的学生是 用数的组成，如10×3＝30，
2×3＝6，30＋6＝36。有的学生是转化成表内乘法，如8×3 ＝24，4×3＝12，24＋12＝36，等等。最后的两种
方法也叫做拆数法，即把一个因数拆成为 若干个小于10的或整十的数的和。教师要让学生体会这些算法的繁
简程度不同，适用范围不同，但教师 这时不要急于去选优，去指定惟一简便的算法。应该让学生在计算过程
中去体会自己算法的优劣，逐步选 择适合于自己的较优算法，给学生一个感受、体验和领悟的过程。
一般来说，这时学生还不会列出乘法 笔算竖式。但笔算竖式是计算的通法，是今后进一步学习多位数乘
法的基础。所以教师应在学生用数的组 成计算的基础上，引导学生据此列出乘法竖式。即：

学生在用竖式计算的时候，刚开始有的 学生可能会从高位算起，这时教师不必急于去纠正，这个问题可
以留待以后学习进位乘法时再加以解决。
练习十六的第2题要求列竖式计算，第3题含有情境，题目里隐含着一个因数2。如果有学生用加法算也

是可以的，但应启发他们用乘法试着做一做。
2．例2与“做一做”的说明和 教学建议。例2是只含有一次进位的笔算乘法。它是在学生初步学会乘法
竖式的基础上进行教学的。由于 学生是初次学习进位，所以这里安排了一道数目较小的两位数乘一位数的例
子，以便学生更容易理解进位 的道理。在例2中，通过王老师买连环画的情境图引出了小精灵提出的问题“王
老师买了多少本连环画？ ”
这道例题出现的是两位数乘一位数、且只有一次进位的乘法。虽然有进位，但可以让学生自己先尝试 着
做一做，然后在小组内和全班进行交流。如果学生有多种算法教师应该表示鼓励，但这时教学的重点应 该放
在竖式计算上。应组织学生着重讨论两个问题：一是先乘是哪一位？再乘哪一位？即乘的顺序。使学 生体会
到应从个位乘起，否则遇到进位就很麻烦。二是遇到个位上的积满十应该怎么办？在竖式中对进到 十位上的
数该怎么处理？这些问题应尽可能由学生自己找出答案，自己解决问题。
在教学中还 可以借助学具操作来帮助学生理解，例如用小棒来摆摆看。每行摆一捆（10根）和8个1根，
摆3行， 看看一共是多少根。因为3个8根是24根，满10根要捆成一捆，共可捆2捆，与前面的3捆合并，
一 共有5捆，所以积是54。
摆小棒的过程也可制成多媒体课件演示给学生看，在演示时要突出提问：单 根的小棒有24根怎么办？为
什么一共有5捆小棒？此外笔算竖式计算的过程也可通过多媒体演示出来， 演示时要突出怎么进位。
由于第一学段学生的年龄特点，以及笔算的过程比较复杂，学生有时在计算中 会顾此失彼，出现错误。
例如，在计算十位上的乘积时，把个位进上来的数记错或忘记，这时可让他们把 这个数暂时先记在竖式十位
的横线上。
在学生做过一些练习之后，教师可以引导学生探寻计算 的规律：什么时候要进位？什么时候不进位？怎
么知道该进几？怎么进位？启发学生得出：哪一位上的积 满几十，就要向前一位进几。
练习十七是一次进位乘法的练习题。第2题1筒羽毛球有12个，求7筒 共有多少个？学生可以直观地看
出是7个12连加，有助于帮助学生理解乘法的含义。第4题，农村的学 生可能不大理解公寓楼房的单元是什
么意思，教师须加以说明。
在与这个例题相关的练习中， 教师还可以补充一些对比题，如：12×3与14×3在计算时有什么不同？计
算14×3时要注意什么 ？怎么避免计算中发生错误？从而认识进位乘法与不进位乘法的区别，以加深学生对
进位乘法的印象。此 外还可以补充一些引申题，如，23×4，123×4，引导学生从两位数乘一位数扩展到三位
数乘一位 数，检查学生是否能正确处理用一个因数百位上的数去乘一位数时积的书写位置。
3．例3与“做一做 ”的说明和教学建议。教材第78页的例3仍然是连续进位的笔算乘法，基本算法和
算理与例2是一样的 ，但出现了进位叠加的情况。教学时，还是要抓住乘的顺序和每一位积的书写位置这两
个问题。例3的主 题图是学校开运动会，一些学生休息时在领取矿泉水的情境图。每箱矿泉水24瓶，地面上
放着9箱，由 小精灵提出问题：“每箱24瓶，9箱一共多少瓶？”这道题虽然仍然还是连续进位的乘法题目，
但进位 的难度增大了。当9乘十位上的2得18再加上个位进上来的3时，又出现了进位现象。突破进位叠加
可 能发生的错误是这个例题教学的重点和难点。
针对进位叠加乘法的难点，教师应有计划地从本单元学习 的开始起，就加强两位数加一位数的进位加法
和形如7×8＋6的乘加两步混合的式题。如果这些口算比 较熟练，将有助于提高多位数乘一位数的速度和正
确率。

教学例3时，可先让 学生进行估算。估算的一种方法是先算10箱是240瓶，再减去24瓶约等于220瓶。
教学笔算时 ，也可以让学生自己先做，再让同桌两个同学互相说说自己是怎么计算的。教师要重点检查
学生计算十位 上2×9得18个十再加个位进上来的3个十时的进位情况和积的书写位置，若发现有的学生有
错，应及 时分析原因，给予必要的帮助。教学中教师还可补充这样一些计算的题目：
7 8 6 7
× 7 或 × 9
□□6 □0 3
引导学生重点观察积的百位发生了什么变化。
另外可以把进位叠加与进位不叠加的题目的计算过程加以对比。
例如 4 9 6 9
× 8 × 8
□9 2 □5 2
组织学生讨论：计算过程中这两题的主要区别在哪里？
教材 第78页的“做一做”，是求4个方阵一共有多少个人？条件“4个方阵”隐含在插图里，如果有的
学生 看不出，教师可以加以说明。
计算进位叠加的乘法错误率往往较高，为了降低难度，可以补充下面形式的练习：
如 6×8＝（ ）
6×8＋3＝（ ）
6 4
× 8
（ ）
如果学生计算有错，也便于教师发现错在哪一步。
练习十八第1题至第4题是一次进位的乘法 笔算练习题，其中有的有进位叠加。第2题是倍数问题，既
介绍科学知识，又牵涉到长度单位问题，并要 与学生比谁跳得远，富有趣味。学生事先应知道自己跳远的成
绩。第4题先要学生提出数学问题，然后进 行解答，给学生一个练习提出问题的机会，培养学生的数学意识。
学生提出的问题可能是乘法的，也可能 是加法或减法的；可能是一步的，也可能是两步或三步的，都应该加
以肯定，即使目前不会算也不要紧。 提问题一般可采用口头形式，不必写在作业本上。这道题的呈现形式是
表格式，数量关系是日常生活中常 见的单价、数量和总价的关系。这种数量关系的题目教师应经常让学生练
一练。
4．例4与“ 做一做”的说明和教学建议。例4仍然是要解决进位问题。前面的例题都是只有一次进位的
题目，而这个 例题出现的是有多次进位，且有连续进位，因此计算更为复杂。学生常常由于没有很好地掌握
进位的方法 或者计算不熟练，造成各种错误。为此，教材专门安排了这个例题，重点教学这种情况，并给予
学生更多 的练习机会。
例4的情境图是体育馆运动场的画面，题中的条件由文字给出。小精灵提问“运动场最多 可以坐多少
人？”其意思是：如果运动场全部坐满的话，可以坐多少人？
计算此类题目，学生 最可能发生的错误是：（1）忘记加后面进上来的数。（2）进位时加错（因为这里又

要 算乘又要算加）。（3）错用进上来的数去乘另一个因数。
针对学生可能发生的错误，教师应引导学生 每计算一步，都看看有没有进位，进的是几，把进上来的数
记在竖式相应位置的横线上。算前一位的积时 ，要想想有没有漏加后面进上来的数。算完以后，再检查一两
遍。
教学本例题时，可让全班学 生自己先算一遍，待学生都算完后，教师再带领全班同学共同来订正。这时
可先请计算正确的学生说一说 计算的过程，再请计算有错的学生说出错在什么地方，是什么原因造成的，今
后计算要注意些什么。必要 时教师可以问一问学生类似下面的问题：十位应向百位进几？为什么积的千位上
是5？等等。
如果班上的学生出错的较多，教师也可要求出错的同学把计算过程中的每一步都写出来，如下式：
2 3 8
× 9
□□□2

──3×9＋7的个位数
──2×9＋3的个位数
在三位数乘一位数的练习中，教师 要注意各种情况的练习，例如有只有一次进位的（或个位进位，或十
位进位，或百位进位），有隔位进位 的（个位和百位进位），有连续进位的（个位与十位进位，十位与百位进
位，个位、十位、百位都有进位 ），有进位不叠加的，有进位要叠加的，等等。练习中应要求学生仔细分辨各
种情况，认真处理好进位问 题。
在练习十八的练习中，第5题至第10题是有连续进位的乘法笔算计算题。其中第5题要求列竖式 计算，
题中进位情况较复杂，应让学生仔细区别。第6题是有情境的题目，渗透速度、时间和路程的数量 关系。这
种数量关系较为抽象，教师可适当举例说明。第7题是连乘计算题，即第1小题的积是第2小题 的一个因数，
第2小题的积是第3小题的一个因数，依此类推。第8小题渗透了函数对应思想，应指导学 生把算出的积填
在相应的位置上。第9题是改错题，先要求学生检查判断每道题有无错误，错在哪里，然 后改正过来。第10
题是用文字叙述的应用问题，也丰富了学生的生活常识。第11题和第12题是两步 计算的应用问题，只要求
学生能分步计算就可以了。这两题都有多种解法，只要方法是对的，教师都应给 予肯定。第13题是趣味数学
题，用以激发学生学习数学的兴趣，培养学生的归纳推理能力。解答时要指 导学生观察各题的因数和积有什
么特点，找出其中的规律，从而不必通过计算就能得出所要求的两道乘法 式题的结果。规律一：第一个因数
都是99，第二个因数逐题增加1，除第一题外，积都是三位数，积的 首位比第二个因数少1，末位与首位的和
都是9，中间一位都是9。规律二：9与第二个因数相乘的积左 右分开，中间插入一个9，即是所求的积。所
以99×6＝594，99×8＝792。
5．例5、例6与“做一做”的说明和教学建议。
例5教学关于0的乘法，说明0和任何数相 乘都得0，为后继教学做好准备。“0和任何数相乘都得0”
这个结论在小学阶段包含0和任一非0自然 数相乘及0乘0两种情况。对于0和非0自然数相乘，可以用乘
法的意义来解释，即表示几个几的和。对 于0乘0，就不能用乘法的意义来解释。这种情况在数学理论上只是
一种补充规定，在教学中只能直接告 诉学生，不宜作其他的解释。

例5首先呈现了一幅极富情趣的主题图：七仙女向王母娘 娘汇报说，仙桃都被孙悟空吃光了，一个大仙
桃也没摘到。由此引出小精灵问：“一共摘了多少个仙桃？ ”的问题。然后通过加法和乘法的计算，由小精
灵归纳得出0和任何数相乘都得0的结论。
教 学时可把摘仙桃的情节编成一个简单的小故事，制成幻灯片，向学生演示。王母娘娘叫七个仙女到蟠
桃园 去摘仙桃回来准备祝寿，仙女们到蟠桃园去只看见孙悟空在吃蟠桃，树上一个蟠桃也没有了，仙女们回
来 ，于是出现了书上的一幕。儿童们最喜欢看孙悟空的故事，这个情节必将大大激发他们的兴趣，给他们留
下深刻的印象。
教学时，可让学生先用加法算一算七个仙女一共摘了多少个仙桃，再根据乘法意义列出 乘法算式，得出
0×7＝0或7×0＝0。然后再补充计算0×3、9×0、0×0，最后由小精灵归纳 出结论。
学生计算0的乘法时往往容易与0的加法相混，因此教学时必须注意与0的加法进行比较，如 ：0＋5＝5，
0×5＝0。可以让学生联系实际举例说明。如一个盘子里有5个梨，另一个盘子里没有 梨，两盘一共就有5个
梨。如果5个盘子都是空的没有梨，那么总共还是1个梨子也没有。第83页“做 一做”的练习就是乘法与加
法对比的题目。
例6教学因数中间有0的乘法。这里教材也呈现出 了一幅有趣的主题画，老寿星因为天天到公园散步所
以才会长寿。他每天都要在环境优美、空气清新的公 园里步行3圈，从而引出了小精灵的问题：你能算出老
寿星每天要步行多少米吗？鼓励学生参加体育锻炼 。教材出示了学生的两种算法，既可互相对照，又体现多
种算法。对于分步计算的方法，因为进位难度降 低，所以还可以鼓励有能力的学生从高位算起，直接进行口
算。
教学时，可先让学生进行估算 ，然后让学生观察这道题的因数有什么特点，再由他们各自独立计算。在
用竖式计算后，可请一些学生说 一说计算的过程，特别是与0相乘时是怎么处理的？积的十位为什么写2？
在计算过程中，要指导学生 特别注意的是，不管因数中间是否有0，都要用这个一位数去乘多位数每一个
数位上的数，即使十位上是 0也要乘。当个位积不满十时，十位上要用0占位。
对于一个因数中间有0的乘法，要加强比较和改错的教学。例如，在教学中可出示下列类型的比较题：
（1） 1 3 8 1 0 8
× 4 × 4

（2） 1 0 2 1 0 9
× 3 × 3

其中第一组是因数中间有0的乘法与因数中间没有0的乘法的对比，第二组是个位积满十的乘法与个位
积不满十的乘法的对比。除此之外还可以出一些改错题让学生辨析。例如：
2 0 8 9 0 4 7 0 3
× 3 × 2 × 4
6 0 2 4 1 8 8 2 8 5 2
练习十九是因数中间有0的乘法练习。第1题要求列竖式计算。第2题是关于义务植树造林情境 的倍数
应用问题。关于倍数问题，因为课本中出现得较少，必要时教师应结合此题进行一些复习。第3题 实际上也

是一种倍数问题，只不过换了一种说法。一头大象的体重等于（或相当于）8头 牛的体重，就是说一头大象的
体重和8头牛的体重同样多。求出了8头牛的体重，也就知道了一头大象的 体重。第4题练习时教师不必提
出具体要求，待学生得出结论后，让他们说一说自己的想法。有的学生可 能是分步计算的，这也是可以的。
如果有的学生直接通过观察就得出第一个算式的结果不是0，而第二个 算式的结果是0，因而断定第一个算式
的得数比较大，对这些学生应给予表扬。
6．例7与“做一做”的说明和教学建议。
例7教学因数末尾有0的乘法。例题呈现的是学校 阅览室里学生们在借书、读书的情境。题目要求学生
自己试着算一算，然后将两种算法进行对比，由学生 选出自己喜欢的算法。
教学时，可结合插图，让学生谈谈读书有什么好处，了解学生读了多少书，读了 哪些书，鼓励学生多读
书，读好书，多增长见识。
这道题渗透了单价、数量和总价的数量关系 ，这种数量关系是日常生活中经常会遇到的一种数量关系。
教师在教学中要给予适当的指导，并让学生也 举一些这种“买东西”方面的例子。
教学时，教师也可让学生先进行估算，再独立计算。如果学生出现 了课本中的两种算法，就请他们说一
说计算过程，尤其是第二种算法，可以让学生讨论一下，0×3这一 步能不能省略？如果要省略，那么因数3
应该移到什么位置上？这时书写积应该注意些什么？
如果计算过程中没有学生能做出第二种算法，教师可出示下列两组题让学生计算：
（1）40×6 （2）240×6
200×3 1200×3
第（1）题学生能够口算，启发学生想一想：口算时是怎么算的？能否把口算的方法迁移 到笔算竖式中来？
第（2）题能否像第（1）题那样使计算简便？
在用简便方法计算时，教师 应引导学生注意以下两点：一是一位数的书写位置，这个一位数应该与多位
数0前面的那个数字对齐；二 是积末尾0的个数。多位数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
练习二十是因数末尾有0的乘法 练习。其中第1题要求列竖式计算。第2题介绍了蚕吐丝的资料，培养
学生对大自然的爱好和兴趣。第3 题也是单价、数量和总价的数量关系，每台电风扇的价格是140元，括号
下的“？元”表示求4台一共 要多少元。第5题是表格式计算题，是一道因数中间有0和因数末尾有0的比
较练习题。第7题是改错题 ，改正之前应要求学生先说出错误的原因，再进行订正。第8题的连加计算题要
求学生用乘法计算，可先 让学生观察，看出连加题中是几个连续的自然数相加，加数的个数是奇数个，因此，
可以用最中间的那个 数乘加数的个数。

整理和复习2
本单元的“整理和复习”包括两方面的内容。一 是对多位数乘一位数的乘法进行回顾和整理，使学生在
头脑中形成较为系统的数学认知结构，以提升学生 对本单元知识的掌握水平。二是集中安排了一个练习，在
学生回顾整理的基础上对多位数乘一位数乘法的 计算方法及其应用进行复习巩固，进一步培养学生的计算能
力，增强学生应用数学的意识。
这部分内容可以安排1课时进行教学。
具体内容的说明和教学建议

计算多位数乘一位数的乘法，可以用笔算，也可以用估算和口算。过去在教学中只重视学生掌握计算的
知 识和技能，不重视知识和技能的应用，以至于学生虽然会计算，却不懂得怎么应用，遇到具体问题便束手
无策。根据新的教学理念，现在的数学教学不仅要使学生学会计算的技能，更要学会计算技能的应用。所以
实验教材加强了这方面的教学。教材第89页出示了三道实际生活应用问题，由小精灵向学生提出问题：“你< br>会选择合适的算法吗？”这道题可以组织学生讨论，各题应选择什么样的算法？并说明选择的理由。一般来
说，凡是只需要知道大略结果或无法求得准确结果的，可以选择估算。凡是能够口算的题目则尽量用口算 ，
只有自己不会口算、又需要知道准确结果且具备笔算条件的（如要有纸、笔），才用笔算。以后学了计 算器，
还可以考虑用计算器。笔算则主要用于理解计算的过程和算理。
提高学生选择和判断算 法的能力，主要是通过联系实际生活情境来分析思考。因此在教学中教师还应多
向学生举一些各种情况的 例子，也可让学生联系实际生活举一些例子。
由于平时教师在教学中容易偏重于笔算而忽视口算和估算 ，所以如果这时发现学生的口算或估算还比较
薄弱的话，就应适当多做一些口算和估算的练习。
对多位数乘一位数的计算方法，在这个阶段也应该加以回顾和复习。复习时可组织学生围绕以下三个问
题展开讨论，一是从哪一位乘起比较简便？二是每次乘得的积应该写在哪里？三是如果某一位上乘得的积满
几十时怎么办？学生表达时只要求意思正确即可，不要求用非常规范的数学语言，也不要求总结成计算法则，< br>更不要要求他们去读或背法则。
练习二十一的练习题中，第3题由于学生尚未学过多位数的除法 ，所以无法由除法推出第二行的数是第
一行的4倍。解答时可让学生根据前三组数进行猜测或尝试，再用 乘法加以验证，从而找出规律。这里可以
培养学生合情推理的能力。第4*题是找规律的趣味数学题，参 考答案是：
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
123456×9＋7＝1111111
1234567×9＋8＝11111111
12345678×9＋9＝111111111

参考教案 课题一：乘法的估算
教学内容：教科书第70页例2，练习十五第4～7题。
教学目标：引导学生体验估算的过程，初步了解两、三位数乘一位数的估算方法，培养学生的估算意识。
教具、学具准备：多媒体课件幻灯片。
教学过程：
一、提出问题
1．用多媒体幻灯片逐一出示各种图片，创设问题情境，引导学生提出用乘法计算的问题。
图片内容是：
邮局邮票出售处，有的邮票一枚80分，有的邮票一枚60分。
百货商店鞋柜，一双旅游鞋78元，一双皮鞋164元。
电影院售票处，日场一张电影票15元，夜场一张电影票20元。

小袋鼠蹦跳一次约2米，小袋鼠蹦跳33次。
文具商店柜台，每盒图钉120个，每包日记本25本。
2．出示课本第70页例2主题图：三年一班29个同学去参观航天航空展览，门票每张8元。
请学生提出问题。老师在学生提出问题的基础上，补充提出：如果老师这时只带250元钱去，够吗？
二、尝试解决
教师先请学生猜一猜带250元够不够？再请学生思考怎么知道我们猜得对不对 呢？看看小精灵是怎么说
的？
怎么才能知道8×29大约是多少呢？能不能用我们前面学过的计算方法来解决这个问题？
启 发学生想出前面我们已经学过整十数乘一位数的乘法口算，我们可以把29看成最接近的整十数来估算。
因为8×30＝240，所以8×29的积比较接近240，我们可以列成算式8×29≈240。再由小精灵 介绍约等号。
可见带250元够买门票。
三、拓展引申
估计下列几道乘法算式的积大约是多少？
32×6 49×5 218×4 581×2
组织学生小组讨论，然后全班交流，说明各应看成几百或几十。说明因数是三位数时，只要 看成最接近
的整百数即可。
四、巩固练习
1．完成课本第70页“做一做”中的4 道题。先由学生独立计算，然后集体订正答案。结合订正答案的
过程让学生说一说估算的过程。
2．用上课开始时呈现的几个问题情境和学生们提出的问题，让学生估算结果，找出答案。
3．请学生举出几个日常生活中估算的例子。
五、课堂小结
1．这节课开头我们碰到了什么问题？是怎么用数学的方法来解决的？
2．上这堂课，你有什 么感受和体会？（生活中有许多数学问题，我们应尽可能用学过的知识和方法来解
决。）

课题二：笔算乘法（不进位）
教学内容：教科书第74页例1，练习十六第1～4题。 教学目标：使学生经历多位数乘一位数（不进位）的计算过程，初步学会乘法竖式的书写格式，了解竖
式每一步计算的含义。培养学生独立思考和合作交流的学习方法和积极的学习态度，体验计算方法的多样化。
教具、学具准备：有关的多媒体课件，整捆和单根的小棒。
教学过程：
一、提出问 题。课件演示例1的情境图。画外音：元旦到了。小明、小华和小英正在用彩笔画画，准备
布置“迎接元 旦”专刊。他们要用美丽鲜艳的彩色图画歌颂伟大的祖国，迎接新年的到来。从这幅图画中，
你能提出哪 些用乘法计算的数学问题呢？引导学生提出：他们每人都有一盒彩笔，每盒12枝。他们一共有多
少枝彩 笔呢？

先请同学们估算一下，3盒大约有多少枝彩笔？
教师提问：如果我们要知道准确的枝数，该怎么办呢？
小精灵问了：怎样算一共有多少枝彩笔？
二、探讨交流。请同学们说一说：（1）用什么方法 计算？怎么列式？（2）12×3表示什么意思？（3）这
道题与我们以前学过的乘法计算有什么不同？
教师提问：这道题该怎样算呢？
让小组内每个同学先思考3分钟，在纸上算算看，能不能算出 来。也可以摆出小棒（或其他学具）或画
画图等。如果能想出几种算法的，就把几种算法都写出来。
算完以后，在小组里交流，把自己的算法说给同组的其他同学听。
小组长归纳一下本小组一共 想出了哪几种算法。这时教师巡回了解各组的情况，尤其要鼓励学习有困难
的学生积极参与小组的活动。
全班汇报。由各小组的代表向全班同学汇报自己小组的各种算法，教师将其板演在黑板上。
三 、分类评价。教师提出要求：现在同学们想出了这么多种算法，我们能不能把这些算法分分类，看看
一共 有几种思路。
估计学生的算法可能有如下几类：
1．摆学具求得数。引导学生摆。因为一个 因数是12，所以一行摆1捆零2根；因为另一个因数是3，所
以摆3行，一共摆了3捆零6根，也就是 得36。
2．画图求出得数。例如画出如下的图：

3．连加法。
12＋12＋12＝36
4．数的分解组成。
10×3＝30 2×3＝6 30＋6＝36
5．拆数法。（转化成表内乘法）
8×3＝24 或7×3＝21 或6×3＝18
4×3＝12 5×3＝15 18＋18＝36
24＋12＝36 21＋15＝36
评价各种算法，组织学生议论，每一种算法是怎么算的，各有什么适用范围。
1．摆学具和画图也是一种很好的方法，但我们学了数学以后就应尽量使用计算的方法来算。
2．根据乘法的含义用连加的方法也是可以的，但是如果因数的个数比较多，算起来就比较麻烦。 3．把一个因数分解成几个十和几个一，分别与另一个因数相乘，再把几个乘积加起来。这种方法不管因数是几都能算。
4．把一个因数拆成几个一位数，再分别和另一个因数相乘，然后把几个乘积相加 ，这种方法不管因数是

几也都能算，但有时也比较麻烦。如25×6＝9×6＋8×6＋ 5×6＋3×6等。
四、介绍竖式
从刚才议论的结果来看，用数的分解组成方法来算比较简 便。那么我们能不能把这三个算式像加法竖式
那样合并成一个竖式呢？下面就请大家打开课本第74页看 看小英是怎样列出乘法竖式的？
课件一步一步展示竖式的书写过程，突出书写的步骤和书写的位置，边 演示边说明。如果没有电脑设备，
也可板书。
先出示有部分积相加的竖式，再出示简便竖式，并说明为什么可以写成简便竖式。
学生在练习本上完成“做一做”的三题，教师巡视了解情况。如有发现错误，指导订正。
五、巩固练习。
学生完成练习十六的作业。每道题先让学生估算，然后再用竖式计算。
第1题让学生独立完成后，说说为什么是用乘法计算。
第2题让学生独立完成后，同桌互相检查并说说自己是怎么算的。
第3题让学生独立完成后，再交流这道题有哪几种算法。
六、小结（略）

教学片断：一个因数中间有0的乘法
教学内容：教科书第83～84页例5～例6。
教学过程：
1．用课件呈现3幅图。
（1）一天王母娘娘叫七仙女到蟠桃园去摘仙桃为自己祝寿。
（2）七仙女到蟠桃园，只见树上一个仙桃也没有了，孙悟空正坐在桃树上吃桃子。
（3）课本第83页主题图。小精灵问：一共摘了多少个仙桃？
2．教师提问：想一想，用加法怎么列式计算？用乘法怎么列式计算？
板书：0＋0＋0＋0＋0＋0＋0＝0
0×7＝0 7×0＝0
想一想：0×3＝□ 9×0＝□ 0×0＝□
观察上面的算式，你们发现了什么规律？你们想的和小精灵说的一样吗？
3．练习“做一做”中的四组题。
想一想0和一个数相乘与0和一个数相加结果有什么不同？
4．呈现例6的主题图。
教师提问：老寿星为什么会长寿？（生命在于运动）
小精灵问：你能算出老寿星每天步行多少米吗？怎么列式？
教师提问：你能先估算积大约是多少吗？
让学生各自独立计算，全班交流不同的算法。请学生说出计算的过程。
算法一：500×3＝1500
8×3＝24

1500＋24＝1524
算法二： 5 0 8
× 3
1 5 2 4
教师提问：因数十位上的0应该怎么乘？
5．练习。
（1）课本第84页“做一做”中的三道题。
（2）小博士出的思考题：猜一猜，205×4 和502×4两道算式中，积的哪些数位上是0？为什么？
（3）比较下面两组算式有什么不同？并计算出结果。
① 1 3 8 1 0 8
× 4 × 4

② 1 0 2 1 0 9
× 3 × 3

参考资料：乘号的来源
人类很早就掌握了数的乘法运算。在我国 ，远在春秋战国时代之前就已经出现了“九九”乘法表，在西
方也出现过格子乘法。1540年德国数学 家史提非（Stifel，1487—1567）在《整数算术》中，开始用拉丁字母m
和d表示乘法和 除法，它们分别是拉丁语乘法（multi plicntio）和除法（divisio）的第一个字母。用“ ×”号表
示相乘，是由英国数学家奥特雷德（Oughtred，1574—1631）于1631年提 出的。由于“×”号易和拉丁文“X”
相混，十七世纪末，德国数学家莱布尼兹（Leibniz，16 46—1716）提出改用“·”表示相乘。在我国这两种符
号都采用，数字的乘法用“×”，而数字和 字母相乘，或字母之间相乘则用“·”或省略不写。

分数的初步认识
教材说明
本单元主要教学几分之一、几分之几的认识，简单的分数加、减法。
教学内容安排如下表：
这部分教材是在学生掌握了一些整数知识的基础上初步认识分数的含义，从整数到分数是数概念的一次< br>扩展。无论在意义上、读写方法上以及计算方法上，分数和整数都有很大差异。学生初次学习分数会感到困
难。因此，本单元主要是创设一些学生所熟悉并感兴趣的现实情境，并通过动手操作，帮助学生理解一些 简
单的分数的具体含义，给学生建立初步的分数概念，为进一步学习分数和小数打下初步的基础。 考虑到儿童的年龄特点和接受能力，本单元在分数的范围上进行了一定的控制，只出现常见的分母比较
小的分数（分母一般不超过10）。在编排上为了适应儿童的认知规律，先认识几分之一，再认识几分之几。所
有这些措施都是为了便于学生更好地理解分数的含义，本单元安排的分数大小的比较和分数的加减法，其 目
的也是如此。
教学建议

1．创设丰富的数学学习情境，帮助学生学习分数的有关知识。
从整数到分数 ，对学生来说是认知上的突破，为了给学生搭建突破的台阶，教材提供了丰富的贴近学生
实际，学生感兴 趣的现实情境，让学生在熟悉的情境中感悟分数的含义。如单元主题图，通过学生喜爱的“游
乐园”情境 ，出示五个与分数学习有关的小情境，来展示本单元将学习的主要内容，并且后面一些例题的情
境也是从 主题图抽取出来的，使学生在一个比较完整的情境中学习数学，提高学习兴趣。教学时，教师可以
充分利 用教材提供的素材，或者创设一些更加适合儿童的情境，帮助学生理解分数的含义，掌握有关分数的
知识 。
2．加强数学实践活动，让学生主动建构数学知识。
学生对数学知识的学习，不是被动接 受，而是主动建构，而动手操作对学生的建构有着积极的促进作用。
教材提供了充分的动手实践的机会， 让学生在动手、动脑、动口的过程中，体会分数的含义。如，在认识几
分之一时，给出分数的概念后，即 刻让学生折出一张正方形纸的1／4，进一步体会几分之一的含义。教学时，
教师要根据所学知识的特点 ，组织相应的数学活动，让学生通过操作、比较、推理、交流等活动，主动建构
数学知识。
3．本单元可用5课时进行教学。

分数的初步认识
1．主题图。
编写意图：
（1）以“游乐园”的形式，呈现了本单
元的基本学习内容。
（2）体现了在玩中认识数学以及人与生
活、自然的有机联系的思想。
教学建议：
（1）可以用一定的方式展示此情境，通
过观察画面中的情境，引导学生将自己的发现
表达出来。
（2）为便于集中观察与思考，可以把画
面中的小情境逐一呈现，让学生发现其中 的数
学信息进行学习与交流。
（3）此主题图，既可作为引入用，亦可
作为巩固练习 的资源，教师可以根据实际需要
灵活处理。
2．例1。
编写意图：
（1 ）通过两个学生平分月饼的情境，引
入分数，使学生知道：把一块月饼平均分成两块，每块是这块饼的一 半，也就是它的二分之一。写作12。

（2）在此基础上，把月饼平均分成
四 块，让学生通过迁移来推想：每块是
这块月饼的几分之一，该怎样写。
（3）认识了上面分数 后，教材初步
进行抽象、概括，说明像这样的数都是
分数，但不给出分数的定义。
教学建议：
（1）充分利用两个小朋友分月饼图
的情境。使学生理解一人一半也就是 每
人分得月饼的二分之一。
（2）作为分数学习的开始，12的
认识是一个起点，教 学时，在借助月饼
图认识了12后，还可以让学生想一想，
说一说还有什么可以用12来表示， 进一步理解12的含义。
（3）14的认识，也可借助分月饼来进行。让学生根据12的含义来推想： 现在把月饼平均分成四块，
每块是它的几分之一。之后教师再强调说
明：只有平均分，每块才是 月饼的四分之
一。
（4）在写12时，教师要说明：“2”
表示平均分的份数，1表 示其中的一份，
为后面学习分数各部分的名称做好准备。
14的写法则可让学生类推。
3．例2及“做一做”第1题（见右图）。
（1）通过让学生折出一个正方形的
14 ，进一步体会几分之一的含义。折出
一个正方形的14，有多种折法。教材呈现了三个学生各自不同的折 法。小精灵还提出：“还有别的折法吗？”
鼓励学生进行探讨，加深对14的理解，同时培养交流意识和 动手实践的能力。
（2）“做一做”第1题，是配合例1、例2的练习，让学生把每个图中的涂色部分 用分数表示出来，进
一步理解几分之一的含义。使学生直观看到：不论一个图形形状如何，只要是把它平 均分，其中的一份就是
它的几分之一。
教学建议：
（1）可以发给每个学生同样大 小的正方形纸，让学生折出它的14，并涂上颜色，说一说自己折的14
的含义，再选几种不同的折法贴 在黑板上，让学生观察、比较，认识到：它们的折法虽然不同，但都是被平
均分成了四份，所以每份都是 正方形的14。
（2）在折纸活动中，对不同的折法，教师要给予鼓励，与众不同的，还可以用学生的 名字命名为“××
折法”，以调动学生的学习积极性，激发他们的创新动力，同时在折的过程中，还要强 调平均分。

（3）“做一做”第1题，可让学生独立完成，再进行交流。指名一些学生 说一说是怎样想的，强调把谁
平均分，平均分成了几份，每份是它的几分之一。要引导学生有条理地思考 和表达，培养学生的逻辑思维能
力。
4．例3及“做一做”第2题。
编写意图：
（1）教材安排了两组几分之一的分数进
行大小比较，加深对几分之一的理解。第一
组 数是例1、例2中学过的分数，第二组取
材于主题图中鸽子吃食情境。保持前后联系。
（2） 两组分数的大小比较，教材都没给
出比较的结果，让学生在直观图的帮助下进
行比较，填出结果 ，达到“在认识中比较大
小，在比较中巩固对分数的认识”的目的。
（3）小精灵提出：“你 发现了什么？”
让学生观察、比较，体会到：分子是1的分数，分母越大，表示分的份数越多，其中的1 份越小。
（4）“做一做”的第2题，共安排了两组几分之一的分数进行大小比较，类型与例3相同。 分数对应的
直观图比例3抽象，第二组分数对应的直观图上下排列，便于学生观察比较。
教学建议：
（1）教学时，可充分利用例3的直观图，让学生说出比较的过程，也可让学生准 备两个大小相同的圆片，
先用一个圆表示出12，再用另一个圆表示出14，随后进行比较。
（2）通过比较，让学生通过直观观察，体会到：同样大的图形“分的份数越多，每一份反而越小”这样
的规律。
5．例4。
编写意图：
（1）通过折纸、合作交流来认识四分
之几，这是在学生直观认识14的基础上
进行的。通过把相同大小的正方形平均分
成4份，分别 由四个学生引出14、24、
34、44。是前面折纸认识14的继续，更
是发展。
（2）教材只说明：每份是它的14，2
份是它的24。3份、4份是它的几分之几，
则让学生 自己探讨，体现了培养学生归纳推理能力的意图，同时加强了四分之几与14的联系。
（3）情境图的设计体现了合作学习，引导学生善于通过合作参与数学学习活动，来分享学习成果。
教学建议：
（1）安排小组合作，每个学生将一张正方形纸平均分成4份，根据自己的意愿涂 出几份，写出涂色部分

是正方形的几分之几，再在小组内交流。
（2）在学生 说出每份是它的14，2份是它的24的基础上，让学生通过类推得出3份、4份是它的几分
之几。通过 讨论使学生理解：四分之几是由
几个四分之一组成的，它与四分之一比，只
是取的份数不同。
6．例5。
编写意图：
（1）通过把1分米的线段平均分成10
份，来说 明十分之几的含义，一方面进一步
理解几分之几的含义，另一方面为以后小数
的学习做了初步准 备。
（2）小精灵先提示：“每份是它的（ ）
（ ）”，引导学生由此推想出310、 710。
随后指出像24，34，310，710，…这样
的数，也都是分数。
（3）之后，教材以34为例，教学分数各部分的名称。
教学建议：
（1）先引导 学生把1分米的线段平均分成10份。可以指导学生用尺子画出1分米长的线段，再对着尺
子上的刻度1 、2、3……把线段平均分成10份。
（2）在突出每份是它的110基础上，让学生类推出十分之几就是几个十分之一。
（3）学 生认识了24，34，310，710等数之后，教师指出它们也都是分数，再由学生说出一些其他分
数 ，丰富关于分数的表象，教师将学生说出的分数板书出来，为下面认识分数各部分的名称做准备。
（4 ）学习分数各部分的名称时，要注意联系前面所学的分数，使学生认识到：把一个物体或图形平均分
成几 份，分母就是几，表示这样的几份，分子就是几。
7．例6（见下页图）。
编写意图： < br>（1）教材给出两组同分母分数由学
生先涂一涂，再比一比，加深对几分之几
的认识，也 为下面学习同分母分数的简单
加、减法做准备。
（2）通过涂色来比较，降低了难度，
更有助于学生对分数的形象感知，丰富了
表象。
（3）第二组66○56的比较，为后
面学习“1减几分之几”做了铺垫。
（4）“ 做一做”第1题，是几分之几的巩固练习，要求用分数表示涂色部分，加深对几分之几的认识。

< br>第2题，是几分之几分数大小的比较，由于分母增大，教材仍然给出对应的直观图，使学生可以看图比较。
教学建议：
（1）教学时，可以让同桌一组，分别在长方形纸上涂色表示出25和35，再把 它们放在一起进行比较。
（2）比较几分之几的大小，也可以让学生通过联系分数的含义，提问：25 是几个15，35是几个15，
2个15比3个15大还是小，从而得出比较的结果。
（3） 66和56的比较，要让学生初步体验到一个分数的分子与分母相同时，表示把一个东西平均分成
若干份 ，取的份数与分的份数同样多，就是1。为后面学习“1减几分之几”做准备。
8．关于练习二十二中一些习题的教学说明和建议。
（1）1～3题是配合几分之一的认识的习题。
第2题，是判断题，重点检查学生对分数含义 的理解，使学生进一步明确：只有把一个物体或图形平均
分成几份，其中的一份才是它的几分之一。
第3题，看图写分数，比大小，在比较中加深对几分之一的认识。
（2）第4～6题，是配合几分之几的认识的习题。
第4题，用分数表示图中的涂色部分，加深对几分之几的认识。
第5题，让学生根据几分之几的含义，涂色表示所给分数，进一步巩固分数的含义。
第6题， 安排了两组几分之几分数进行大小比较。其中25与12不能直接比较，需要学生借助直观图
观察得出结 论，培养学生的直觉思维。
（3）第7～11题是综合练习。
第7题，以表格形式呈现了四 种不同的图形，要求学生把涂色部分和没涂色的部分分别用分数表示出来，
渗透了单位“1”的组成，为 后面学习分数的简单加减法做一些准备。
第8题，是分数大小的比较综合题，没给分数的直观图，培养 学生抽象思维能力。教学时注意让学生说
出比较的思路。
第9题，通过剪一剪，再比较大小，让学生知道：3个圆的14和1个圆的34是相等的。
第 10题，是综合题。给出了一家三口分吃蛋糕的情境，要求学生对照每人分得的块数写出相应的分数，
并 比较其中三个分数的大小，可以培养学生综合能力。
第11题，是开放题，有多少答案，加深学生对几 分之几的理解，同时为今后学习分数的基本性质和通分
做孕伏。

分数的简单计算
1．例1（见下页图）。
编写意图：
教材从分吃西瓜的情境引入同分母分数的加法 。图中将一个西瓜平均分成了8份，一个男孩吃了2块，
一个女孩吃了1块，要求一共吃了多少块，即计 算28＋18是多少，教材通过小精灵提示思路和答案。
教学建议：
（1）展示此情境，让 学生观察并寻找其中的数学信息，引导他们提出数学问题，由此引出分数的简单计
算。

（2）受整数加法的影响，学生很可能将
28＋18写成316。这是由于学生对几分之几的含义不理解所致。教学时应允许学生试错，
在交流探讨中理解分数加法的算理。
（3） 为了突破算理理解上的难点，教学前，
教师可以设计一些填空练习，加强对几分之几
里有几个几 分之一的练习。如49里有（ ）
个19等。
2．例2（见右图）。
编写意图：
教学同分母分数的减法。通过一个女孩从
56中拿出26，来展示计算过程，形象直观，
便于学生理解算理。接着让学生通过填（ ），
来呈现思考的过程。这样逐级展现算理，符合
儿童的认知特点，有助于学生对分数减法
算理的理解。
教学建议：
教学时，可以将减的过程，动态地展
示出来，引导学生说出算理，再填（ ），
这样 有助于加深对分数含义的理解，并使
学生初步体会到只有分母相同的分数才能
直接相加减。
3．例3。
编写意图：
（1）教学“1减几分之几”。有了前面例6的基础，学生 很容易理解1可以改写分子分母相同的分数，
再减就不会有困难了。不过教材为了帮助
学生理解 这一点仍然安排了直观图。
（2）“做一做”的第1题，加减法各
安排一题，并配有图示，以 便学生借助图
来思考。第2题，是分数加减法式题，不
再出图，让学生根据分数的意义进行计算 。
教学建议：
教学例3时，可先出示一圆片，提问
学生：整个圆可以用几表示？用 分数表示
是几分之几？如果制成课件，可随机生成
若干份。随后出示1－14，由学生说，这< /p>

里的1应看成几分之几？为什么？也可组织学生议一议。然后用课件展示减的过程。为了让 学生获得正确的
印象，整个计算过程可让学生写出，学生熟练后就不再作统一要求。教学中还要注意多让 学生进行说理训练，
培养学生数学语言的表达能力和逻辑推理能力。
4．关于练习二十三中一些习题的教学说明和建议。
（1）第1～4题，是配合例1～例3的 习题。习题的编排体现了训练的过程，逐步提高要求。如第1题是
单项训练，第2题是混合练习。编写做 到了要求、题量、题型的整体协调，同时又做到了练习形式的多样性。
习题中的素材贴近学生的生活实际 ，具有现实性。教学时应做到根据要求有序进行，不要任意拔高要求，选
择有代表性的习题让学生讲一讲 算理。
（2）第5～10题，是本节的综合练习。素材选取体现了多样性。如第5题，用分数表示钟面 上的阴影部
分，第7题选用种植蔬菜情况的素材等。思考题的安排具有开放性，体现了培养学生的实践能 力和创新精神
的要求，使不同的学生都在原有基础上得到应有的发展。教学综合题时，确保基本题的落实 ，同时也应尊重
学生的个体差异，因材施教。

参考教案 课题：认识几分之一
教学内容：教材第91～93页，练习二十二的第1～3题。
教学目标：
1．使学生初步认识几分之一，会读会写几分之一，能比较分子是1的分数的大小。
2．通过小组合作学习活动，培养学生合作意识、数学思考与语言表达能力。
3．在动手操作 、观察比较中，培养学生勇于探索和自主学习的精神，使之获得运用知识解决问题的成功
体验。
教具、学具准备：教师准备多媒体课件或实物投影仪，含有4块月饼的图片。师生都准备圆片一张，相
同大小的正方形纸若干张。
教学过程：
一、创设情境，引入课题。动态演示关于主题图内容多媒体课件，接着出示含有4块月饼的图片。
1．把这4块月饼分给小强和小芳，可以怎样分？如果分得比较公平，每人分几块？
学生说出想法后，教师板书：平均分。
2．把2块月饼平均分给2个同学，每人分几块？板书：1。
3．把1块月饼平均分给2个同 学，每人分几块？让学生想一想、猜一猜，也可用圆形纸片代替月饼进行
对折、重合等操作。根据学生回 答，教师引入并板书课题：分数。
二、动手操作，探索交流，获取新知
（一）认识12。
1．多媒体课件演示例1分月饼的情境图。指出：把一个月饼平均分成两块，每块是一半，也就是它的二
分之一。
2．指导学生读、写12。
3．学生活动：用图片折出它的12，并写上12。
4．实物投影出示判断题。

下面哪些图形的阴影部分是原图的12？哪些不是？说出理由。

（二）认识14。
1．要得到一块月饼的14应该怎样分？这个14怎么表示出来？怎么写？
（1）组织学生活动。拿出图片通过折、涂、看、说等活动感知14。
（2）电脑课件动态演示，把一块月饼平均分成四块，每块是它的四分之一。
（3）小结：像12、14这样的数都是分数。
2．教学例2。
（1）想一想：如何折出一个正方形的14？
（2）组织小组合作学习。学生独立折纸，然后在小组里交流。
（3）全班集中汇报。学生自愿将小组成果展示在实物投影仪上（或贴在黑板上），说一说各自的折法。
3．完成第93页“做一做”第1题。
（三）比较分子是1的分数大小。
1．出示例1第一组图12和14。
（1）猜想：哪个分数大一些？
（2）引导学生讨论并交流讨论信息。
（3）电脑课件演示12和14比较重叠过程、闪现，让学生直观感受。
2．独立探究、完成例2第二组图片，14和13的比较，再跟小组的同学说一说是怎样比较的？ 3．让学生讨论合作。通过上面两组数的比较，你发现了什么？师生共同小结几分之一的分数比较大小的基本方法。
4．完成第93页“做一做”第2题。
三、课堂作业。完成练习二十二的第1～3题。

可能性教材说明和教学建议
教材说明
在现实世界中，严格确定性的现象十分有限，不确定现象却是大量存在的，而概率 论正是研究不确定现
象的规律性的数学分支。《标准》将“概率”作为义务教育阶段数学课程的四个学习 领域之一“统计与概率”
中的一部分，从第一学段起就安排了有关的学习内容。
本单元主要是 教学事件发生的不确定性和可能性，使学生初步体验现实世界中存在着的不确定现象，并
知道事件发生的 可能性是有大小的。本单元教材在编排上有下面几个特点。
1．选取学生熟悉的生活情境及感兴趣的游 戏活动作为教学素材，帮助学生理解数学知识。根据学生的年
龄特点和生活经验，教科书中选取了学生非 常熟悉的“新年联欢会上抽签表演节目”的现实情境，引入本单
元的学习内容，还通过大量生活实例丰富 学生对不确定现象的体验，目的是使学生积极地参与到数学学习活

动中，并感受到数学就 在自己的身边，体会数学学习与现实的联系。
教科书中还设计了有趣的摸棋子试验等活动，激发学生的 学习兴趣，使学生愉快地投入到数学学习活动
中去。
2．设计丰富的活动，为学生提供探索与 交流的时间和空间。不确定现象是这部分内容的一个重要研究对
象，从不确定现象中去寻找规律，这对学 生来说是一种全新的观念。如果缺乏对随机现象的丰富体验，学生
较难建立这一观念。
因此， 教科书中设计了多种不同层次的、有趣的活动和游戏，如摸棋子试验、涂色活动、抽签游戏等。
通过创设 这些具有启发性的问题情境，使学生在大量观察、猜测、试验与交流的数学活动过程中，经历知识
的形成 过程，逐步丰富对不确定现象和可能性大小的体验。
教学建议
1．注意创设问题情境，引导 学生在数学活动中体验不确定现象和可能性。在教学中，教师应注意创设各
种问题情境，充分调动学生的 主动性和积极性，让学生在具体的操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自
己的意见，并与同伴交换自 己的想法。引导学生在观察、猜测、试验与交流等数学活动中，充分感受和体验
不确定现象和事件发生的 可能性。
2．把握好教学要求。教师在引导学生感受“确定事件”“不确定事件”以及“事件发生的可 能性大小”
时，只要让学生能够结合具体的问题情境，用“一定”“不可能”“可能”“经常”“偶尔” 等词语来描述
事件发生的可能性就可以了，不必要求学生使用有关术语进行解释，也不必要求学生求出可 能性的具体大小。
3．这部分内容可以用4课时进行教学。

可能性具体内容的说明和教学建议
本单元共安排了5个例题。
主题图、例1、例2 体验事件发生的确定性和不确定性。
例3、例4、例5及相关内容 能够列出简单试验所有可能发生的结果，知道事件发生的可能性是有大小的。
1．体验事件发生的确定 性和不确定性。对于纷繁的自然现象与社会现象，如果从结果能否预知的角度出
发去划分，可以分为两大 类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知
的，这类现象称为确定 现象。例如，抛一个石块，可预知它必然要下落；在标准大气压下且温度低于0℃时，
可预知冰不可能融 化。另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法事先确定
的，这类现象称 为随机现象或不确定现象。例如，掷一枚硬币，我们无法事先确定它将出现正面，还是出现
反面。 教科书通过主题图及例1、例2的教学，使学生初步体验在现实世界中有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。

（1）主题图的教学（见下页图）。
教科书第104页呈现了学生熟悉的
“新年联欢会上抽签表演节目”的场景，
引入本单元的学 习。目的是从学生已有的
生活经验出发，使学生体验在现实生活中
存在着不确定现象，感受数学 与日常生活
的密切联系。
教学时，教师可以先让学生观察图
意，描述图意，调动学生 学习的主动性和
积极性，再引导学生说一说自己在“抽签
表演节目”时的实际感受。使学生在观
察、描述和交流的活动过程中充分感受
到，在用抽签来决定表演的节目的活动
中，“表 演某种节目”这样的事件的发生
是不确定性的。教师还可以引导学生结合
自己周围熟悉的情境， 说一说在生活中还
有什么事情的发生是不确定的。
需要注意的是，只要学生能够结合具
体的问题情境，用“可能”等词语来描述
就可以了，如“我可能要表演唱歌”。不
必要求学生 一定要说出“我表演唱歌这
件事情的发生是不确定的”。
（2）例1的教学。
教科 书呈现了学生摸棋子的试验，使
学生在猜测、试验与交流的活动中初步体
验有些事件的发生是确 定的，有些事件的
发生则是不确定的。
教科书中给出了两个盒子装有不同情
况的棋子 ，是想通过两个简单试验的对比，
让学生更好地体会确定事件和不确定事
件。教师可以依照教科 书中的图示分别在
两个盒子里放进各种颜色的棋子（也可选
用乒乓球等），注意这些棋子除了颜 色外应
完全相同，并将放棋子的过程完整地展现
给学生，而且在每次摸棋子之前都应将盒
中的棋子摇匀。

教科书中一共提出了三个问题，提示教学的过程、反映不同方面的要求。
①教 学第一个问题“哪个盒子里肯定能摸出红棋子”。教师可以先提问“左边的盒子里肯定能摸出红棋
子吗？ ”让学生进行猜测，再让学生实际摸摸看。通过试验，验证自己的猜测，认识到在左边的盒子里装的
都是 红棋子，所以一定能摸出红棋子，“在左边的盒子里摸出红棋子”这个事件的发生是确定的。教师再提
问 “在右边的盒子里肯定能摸出红棋子吗？”让学生进行猜测，再让学生实际摸摸看。通过试验，使学生发
现在右边的盒子里有红棋子，所以可能摸出红棋子，但不一定能摸出红棋子，“在右边的盒子摸出红棋子”
这个事件的发生是不确定的。
②第二个问题“哪个盒子里不可能摸出绿棋子”和第三个问题“哪个盒 子里可能摸出绿棋子”可一同教
学。教师可以先引导学生猜测“左边的盒子里可能摸出绿棋子吗？”“右 边的盒子里可能摸出绿棋子吗？肯
定能摸出绿棋子吗？”，同样再让学生讨论交流，并通过试验，验证自 己的猜测，认识到因为左边的盒子里
没有绿棋子，所以不可能摸出绿棋子，“在左边的盒子里不能摸出绿 棋子”这个事件的发生是确定的；在右
边的盒子里有绿棋子，可能摸出绿棋子，但不一定能摸出绿棋子， “在右边的盒子里摸出绿棋子”这个事件
的发生是不确定的。
教学中，教师应充分地为学生提 供猜测、试验与交流的机会，有条件的地方宜采取小组合作学习的方式。
教师可以依照教科书中的图示， 事先为每个小组准备两个盒子和两袋棋子，为了交流方便，可以给盒子标上
序号1和2。在教学时，先指 导学生分别将两袋棋子放入两个盒子，然后逐一提出教科书中的问题。教师还要
提醒学生，在每次摸棋子 前应将盒中的棋子摇匀。提出一个问题后，先让学生在小组内充分讨论、试验，然
后再全班交流。使学生 充分经历猜测、试验与交流的活动过程，丰富学生对确定现象和不确定现象的体验。
另外，在汇报时只 要学生能够结合具体的问题情境，用“在左边的盒子里一定能摸出红棋子”“在右边
的盒子里可能摸出红 棋子”等描述进行表达就可以了，不必要求学生一定要说出“在左边的盒子里摸出红棋
子这个事件的发生 是确定的”，“在右边的盒子摸出红棋子这个事件的发生是不确定的”。
（3）例2的教学。
教科书呈现了六幅与现实世界的自
然现象和社会现象紧密相关的画面，通
过生活实例丰富学生 对确定和不确定事
件的认识，让学生根据已有的知识和生
活经验学会判断哪些事件的发生是确定
的，哪些事件的发生是不确定的。
教学时，教师可以先让学生观察图
意，独立思考， 根据自己已有的知识经
验做出判断，再引导学生讨论。使学生
在描述、思考和讨论交流的活动过 程中
充分感受确定和不确定现象。需要注意
的是，在让学生判断事件发生的确定性
和不 确定性时，只要学生能够结合具体
的问题情境，用“一定”“不可能”“可能”等词语来表述就可以了， 如“地球一定每天都在转动”“三天

后可能下雨”“太阳不可能从西边升起”等。不必要 求学生一定要说出“我从出生到现在没吃过一点东西这
件事的发生是确定的”“吃饭时，人用左手拿筷子 这件事情的发生是不确定的”“每天都有人出生这件事情
的发生是确定的”。
教师还可以引导 学生结合自己周围熟悉的情境，说一说在生活中还有什么事情的发生是确定的，什么事
情的发生是不确定 的。另外，教师还应有意识地寻找一些带有感情色彩的事件让学生来判断其发生的确定性
和不确定性，如 “明天的拔河比赛我们班会赢”。让学生认识到对于某一客观事件来说，其发生的确定性和
不确定性与个 人的愿望无关。
2．能够列出简单试验所有可能发生的结果，知道事件发生的可能性是有大小的。 < br>随机现象虽然对于个别试验来说无法预知其结果，但在相同条件下进行大量重复试验时，却又呈现出一种规律性，我们称它为随机现象的统计规律性。概率论正是揭示这种规律性的一个数学分支。
为了 叙述的方便，把条件每实现一次，叫做进行一次试验。例如对“掷一枚硬币，出现正面”这个事件
来说， 做一次试验就是将硬币抛掷一次。如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果
多于 一个，在一次试验中结果无法事先确定，这种试验就叫做随机试验。把随机试验中，可能发生也可能不
发 生的事情，称为随机事件。
一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来说），又存在着统计规律性 （对大量重复试验来说）。随
机事件的统计规律性表现在：随机事件的频率──即此事件发生的次数与试 验总次数的比值具有稳定性，即
总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越 来越小。我们给这个常数取一个名
字，叫做这个随机事件的概率。概率可以看作频率在理论上的期望值， 它从数量上反映了随机事件发生的可
能性的大小。上述关于概率的定义，通常称为概率的统计定义。 < br>由于学生的年龄和思维特点，他们一般只能在感性的层面理解概率的知识。因此，教科书通过例3、例4< br>和例5的教学，使学生在试验活动中，认识简单试验所有可能发生的结果，初步感受随机现象的统计规律性 ，
并知道事件发生的可能性是有大小的。
（1）例3及相应“做一做”的教学。
① 首先，教科书呈现了一个装有两
种颜色棋子的盒子，并提出一个问题
“摸出一个棋子，可能是什 么颜色？”
目的是让学生通过摸棋子的试验，能够
列出简单试验所有可能发生的结果。
教学时，教师应注意为学生提供动手试验、合作交流的机会。使学生在观察、试验的活动中，发现从盒
子里可能摸出红棋子，也可能摸出蓝棋子。进而明确，盒子里有红色和蓝色两种棋子，它们都有被摸出的可
能，所以这个简单试验所有可能发生的结果，一种是摸出红棋子，一种是摸出蓝棋子。
教师还可以提 问“可能摸出白棋子吗？”。通过对这个问题的讨论，帮助学生进一步明确，因为盒子里
只有红棋和蓝棋 两种棋子，这一试验中所有可能出现的结果也只能有两种：一种是摸出红棋子、一种是摸出
蓝棋子，不可 能摸出白棋子。
为了帮助学生接下来更好地理解“事件发生的可能性有大小”，教师还可以提问“是不 是每一个棋子都
有被摸出的可能”。引导学生发现，由于每一个棋子的形状与大小都相同，摸棋子时又不 能偷看，所以摸到

每个棋子的可能性是一样的。
②接着，教科书呈现了两组学 生重复进行摸棋子试验并交流统计结果的场景。目的是使学生在试验、收
集和分析试验数据以及讨论交流 各小组统计结果的活动过程中，初步感受随机事件发生的统计规律性，并知
道事件发生的可能性是有大小 的。
此部分内容的学习宜采取小组合作学习
的方式，教学中有以下两个方面需要注意。 第一个方面，如何组织学生进行试验。教
师可以依照教科书中的图示，事先在各小组的
盒子 里放进两种颜色的棋子。在做试验前，教
师首先要使学生明确试验的过程，“摸出一个
棋子，记 录下它的颜色，再放回去，重复20
次”。然后还要使学生明确组内成员的分工，
应有人负责摸 出棋子，有人负责记录下它的颜
色，并应提醒学生在试验前要选择好统计试验
数据的方法。而且 还要向学生说明在试验的过
程中，应注意保证试验的随机性，如：每次摸
棋子前应将盒中的棋子 摇匀；摸棋子时不要偷
看等。在各小组进行试验的过程中，教师应关注每一个小组，及时给予指导，保证 试验的随机性。
第二个方面，如何引导学生进行讨论。
首先，教师可引导学生交流对随机现 象的不确定性的体验。如，让学生说一说每次摸到棋子的情况。在
每次摸的时候，每个棋子都有被摸出的 可能；每次摸到的棋子的颜色是不确定的，可能摸出红棋子，也可能
摸出蓝棋子。
然后，再通 过讨论使学生初步感受随机事件发生的统计规律性。教师应引导学生不只关注本小组的统计
结果，还要分 析所有小组的统计结果有什么共性。如提问“每一个小组的统计结果都一样吗？”“所有小组
的统计结果 有什么相同的地方？”，引导学生发现，虽然每次摸到棋子的结果不确定，但当大量重复试验时，
试验结 果就呈现了一种规律性，都是摸出蓝棋子的次数比红棋子少。教师还可以将全班各小组的试验结果进
行汇 总，以加深学生对随机试验统计结果规律性的直观感受。
最后，教师再引导学生发现事件发生的可能性 是有大小的。如提问“摸出哪种棋子的次数多”“盒子中
红棋与蓝棋的数量相等吗”，使学生认识到，在 这个摸棋子的随机试验中，每一个棋子被摸到的可能性是相
等的，红棋子与蓝棋子的数量不等，那么摸出 红棋子的可能性与蓝棋子的可能性是不一样的。红棋子的数量
多，摸出红棋子的可能性就大。
③最后，教科书提出了一个问题“再摸一次，摸出哪种颜色的棋子可能性大”，让学生根据试验的统计
结 果对下一次试验的结果作出推测。
在学生进行推测后，教师可以再让学生实际摸摸看。学生很可能摸出 红棋子，但也有可能摸出蓝棋子。
通过试验使学生认识到，虽然我们知道了摸出红棋子的可能性大，但在 单次试验中我们并不能确定会摸出红
棋子。进一步感受不确定现象的特点，体会概率虽然能够帮助我们了 解这些不确定现象的规律，但概率并不

提供确定无误的结论，这是由不确定现象的本质造 成的。
④“做一做”的教学。
教科书中设计了一个简单的转盘游戏，
使学生在生活 经验和试验的基础上，体会指
针停在哪种颜色的区域内的可能性大。
教师可以事先仿照教科书 上的转盘，为
每个小组做两个指针可以自由转动的转盘。
在教学中，教师可先让学生说一说这个 简单游戏中可能发生的结果有哪些，并让每一个学生预先猜测指针会
停在哪种颜色的区域内，然后动手旋 转指针，提醒学生记录每次试验的结果。让学生在亲自旋转指针的过程
中体会，当指针没有停下来以前， 指针停在哪个区域内是不确定的，通过多次旋转后学生逐渐体会指针停在
两个区域内的次数不一样。以左 题为例，停在黄色区域内的次数比停在红色区域内的次数要多，即指针停在
黄色区域的可能性比停在红色 区域内的可能性大。在学生动手操作的基础上，教师可以引导学生开展讨论，
交流自己的感受。使学生认 识到在左题中，黄色区域的面积大，红色区域的面积小，因此指针停在黄色区域
的可能性大。在右题中， 蓝色区域的面积大，黄色区域的面积小，因此指针停在黄色区域的可能性小。
（2）例4及相应“做一做”的教学。
教科书中在这里设计了另一个摸棋子
的试验， 使学生进一步体会不确定现象的
特点及事件发生的可能性的大小。
①首先，让学生列出简单试 验所有可
能发生的结果。与例3相比，增加了一种
颜色的棋子，这个简单试验可能发生的结果增加到了三个：摸出红棋子、摸出蓝棋
子、摸出绿棋子。
需要注意的是，通过例3的教 学，学
生已经借助试验能够列出简单试验所有可
能发生的结果。这里，教师应引导学生根据盒子 里棋子的颜色种类列出这个简单试验所有可能发生的结果。
如果学生有困难，教师再通过试验帮助学生理 解。
②接下来，让学生判断摸出各种颜色棋子的可能性大小。将三种可能出现的结果的可能性进行比较 ，要
让学生能够判断出摸出哪种颜色的可能性最大，摸出哪种颜色的可能性最小。
通过例3的 教学，学生已经在试验、收集和分析试验数据以及讨论交流的活动过程中，获知了判断事件
发生的可能性 大小的方法。教学时，教师可以先让学生猜测摸出各种颜色棋子的可能性大小，再让学生小组
合作，设计 一个简单的实验来验证自己的猜测。由于学生已经在前一部分内容的学习中获得了一些进行实验
的经验， 教师只需引导学生说一说设计这个实验时需要注意什么，如“实验的次数要足够多”“每次摸棋子
前要将 盒子里的棋子摇匀”等，然后放手让学生去实验。在各小组进行实验的过程中，教师应关注每一个小
组， 有针对性地进行指导。最后，各小组汇报交流，使学生进一步体会不确定现象的特点及事件发生的可能
性 的大小。

（3）例5的教学。
教科书通过让学生根据摸棋子试验
的 统计结果来推测袋中何种颜色的球多，
并实际验证，进一步体会随机事件发生的
统计规律性。
教师可以为每个小组准备一袋棋子，
注意两种颜色的棋子的数量相差要大一
些。然后让 学生仿照例3进行试验，再根据试验的统计结果进行推测“哪种颜色的棋子多”，最后再打开袋
子看一看 ，验证自己的猜测，获得成功的体验。在学生动手操作的基础上，教师可以让各小组进行汇报，引
导学生 开展讨论，交流自己的感受。重点让学生说一说统计的结果是什么，自己的猜测是什么，为什么这样
猜。
（4）第107页的“做一做”。与教科书第106页的“做一做”相似，设计了一个简单的转盘游戏， 使学
生在试验的基础上，判断指针停在哪种颜色的可能性最大，停在哪种颜色的可能性最小。教师可以仿 照教科
书第106页的“做一做”进行教学。由于将颜色增加到了三种，学生可能不易直观看出哪种颜色 区域的面积
大，教师可引导学生用已有的分数知识说一说各种颜色区域占总面积的几分之几，并比较它们 的大小。
3．有关练习二十五中一些习题的说明和教学建议。
第1题，通过实际例子，让学生体会客观世界不但存在着确定事件，也存在着不确定事件。
第 2题，让学生涂色使结果符合要求，帮助学生更加深刻地理解确定和不确定现象。第（1）题，只能有
一 种涂法。第（2）（3）题是两道开放题，学生会有很多种涂法。可以先让学生独立思考、设计涂色方案，并动手实践，然后在全班展示。在学生展示自己的涂色结果时，重点要让学生说一说自己的想法。
第 3题，让学生根据自己已有的知识和生活经验，用“一定”“不可能”“可能”进行表述，使学生进
一步 感受生活中有些事情的发生是确定的，有些则是不确定的。可采用灵活的练习方式，如可以让学生用“一
定”“不可能”“可能”描述一件事情，也可以让学生说一个事件，其他同学用“一定”“不可能”“可能”进行判断；可以在小组内进行，也可以全班一起完成。
第4题，让学生涂色使结果符合要求，帮助 学生更加深刻地理解事件发生的可能性的大小。这是一道开
放题，学生会有多种涂法，只要圆盘中两种颜 色区域的面积大小有差别就可以了。可以先让学生独立完成，
再在全班展示，并让学生说一说自己的想法 。
第5题，让学生用简单的实验来验证自己的猜测，进一步理解事件发生的可能性的大小。由于学生已 经
有了一些进行实验的经验，可以先让学生独立完成，再在小组内交流。
第6题，是一个掷硬 币的游戏。我们设计这道题目，是想通过掷硬币试验，使学生初步感受事件发生的
等可能性。教师可先让 学生说一说掷出后可能出现的结果有哪些，再让学生猜测实验后的结果（即正面、反
面出现的次数）会有 什么特点。让全班一起掷一次，是为了使试验次数足够多，以减少误差。由于实验结果
与理论概率存在的 差异，也可能得不到预期的结果，可以再让学生掷几次，增加试验的总次数，尽量使实验
结果接近理论概 率。然后，再引导学生讨论正面、反面出现的次数的特点。让学生根据试验的结果初步感受
到硬币是均匀 的，两种结果出现的可能性是相等的就可以了，不必要求学生用概率术语进行表述。
第7题，通过两个 简单试验的对比，让学生更好地体会事件发生可能性的大小。教师应引导学生根据两

个盒 子里绿色球的数量判断哪个盒子里摸出绿球的可能性大，要注意提醒学生这两个盒子里球的个数是相等
的 。如果学生有困难，可以通过试验帮助学生理解。还可以改变两个盒子里球的数量，如在第1个盒子里放
10个球，第2个盒子里放30个球，两个盒子里都有5个绿球，让学生判断哪个盒子里摸出绿球的可能性大。< br>需要注意的是，只要学生能够借助直观感受和试验，用“很可能”“不太可能”等词语来描述可能性的大小
就可以了，并不要求学生求出可能性的具体大小。
第8题，是一个掷骰子的游戏，使学生进一步感受事件发生的等可能性。教学建议与第6题相同。 第9题，通过有趣的抽签游戏，让学生体会不确定事件发生的可能性的大小。还可以让学生用“最不可
能”和“很有可能”说一说其他两个事件发生的可能性。
第10题，是一个猜一猜的游戏，让学生进 一步感受不确定现象的特点和事件发生的可能性的大小。教师
可先让学生猜测硬币可能在哪个盒子里，让 学生体会这四个盒子都有可能。在统计猜测结果的时候，注意要
求每个学生只能选择一次，不能重复选。 然后，再让学生讨论统计结果有什么特点，引导学生发现，硬币只
能在四个盒子中的一个，有三个盒子中 没有，所以猜错的人数多，猜错的可能性大。教师还可以重新放置硬
币再让学生猜几次，并让学生说一说 自己几次猜测的情况，引导学生体会，虽然我们知道了猜错的可能性大，
但在单次试验中我们也有可能猜 对，进一步感受不确定现象的特点。
第11题，让学生涂色使结果符合要求，帮助学生更加深刻地理解 事件发生的可能性的大小。这是一道开
放题，学生会有多种涂法，只要涂色后正方体的红色面比蓝色面的 数量多就可以了。教师应先教学生用硬纸
板做一个立方体，可以让学生独立设计涂色方案，再用实验证明 自己的设计符合要求，并在小组内进行展示，
重点让学生说一说自己的想法和实验的情况。也可以让学生 小组合作完成，并在全班交流。
第12题，让学生设计一个方案使结果符合要求，帮助学生更加深刻地 理解事件发生的可能性的大小。这
是一道开放题，学生会有多种方案，只要写有数字“1”的卡片数量最 多，写有数字“5”的卡片数量最少就
可以了。教学建议与第11题相同。

数学广角
教材说明
在二年级上册教材中，学生已经接触了一点排列与组合知识，学 生通过观察、猜测以及实验的方法可以
找出最简单的事物的排列数和组合数。如用两个数字卡片组成两位 数的排列数，三个小朋友两两握手的组合
数等。《标准》中指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐步深 入。”本套教材注重体现这一要求，在三年级
上册教材中继续学习排列与组合的内容。本册教材就是在学 生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观
察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。与二 年级上册教材相比，本册教材的内容更加系统和全
面，分别介绍了排列以及组合。教材重在向学生渗透这 些数学思想，并初步培养学生有顺序地、全面地思考
问题的意识，这也是《标准》中提出的要求：“在解 决问题的过程中，使学生能进行简单的、有条理的思考。”
排列与组合不仅是组合数学的最初步知识和 学习概率统计的基础，而且也是日常生活中应用比较广泛的
数学知识。比如人们出行可选择的路线，邮政 编码、电话号码、身份证号码等各种编号，体育比赛中比赛场
次的设定等，这些都需要用到排列组合知识 。本单元安排的都是学生身边的事例和一些生动有趣的活动。如
在例1中安排的是有关衣服的搭配问题， 让学生找出不同的穿法，在“做一做”中安排了用活动数字卡片找
出不同的两位数的活动；在例2中安排 了学生用数字卡片摆三位数的情景，在“做一做”中安排了照相时的

不同站位的活动；在 例3中安排的是有关中国队参加世界杯足球赛时小组比赛的场次问题，在“做一做”中
安排了三个小朋友 抢占两把椅子的游戏。
教学建议
这部分内容的活动性和操作性比较强，可以采取学生动手实 践、小组合作学习的方式教学。教师要把握
好教学要求，这里只要求学生能根据实际问题采用罗列、连线 等方式，找出简单事物的排列数和组合数，并
能感受到有的与顺序有关，有的与顺序无关，不要提高要求 。教师教学语言中尽量避免出现排列、组合这些
术语，也不要跟学生解释。
这部分内容可以用3课时进行教学。

参考资料：分类计数原理与分步计数原理 < br>分类计数原理与分步计数原理是排列、组合的两个基本原理。为了让教师更好的理解教材，我们在这里做一简要的介绍。
我们先来看下面的问题：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车 。在一天中，火车有2班，汽车有3班。那么一天中，乘坐
这些交流工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法？
因为一天中乘火车有2种走法，乘汽车有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 ：3＋2
＝5种不同的走法，如下图所示：
一般的，有如下原理：
分类计数原理（ 也称加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类
办法中有m
1
种不同的方法，在第 2类办法中有m
2
种不同的方法……在第n
类办法中有m
n
种不同的 方法。那么完成这件事共有
N＝m
1
＋m
2
＋…＋m
n

种不同的方法。
再看下面的问题：
从甲地到乙地，要先从甲地乘火车到丙地，再于 次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有2班，汽车
有3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不 同的走法？（如下图。）
这个问题与前面的问题不同。在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一 种方式，都可以从甲地到
乙地，而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到 乙地。
这里，因为乘火车有2种走法，乘汽车有3种走法，所以乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到 乙地，
共有2×3＝6种不同的走法。
所有走法
火车1──汽车1
火车1──汽车2
火车1──汽车3
火车2──汽车1
火车2──汽车2

火车2──汽车3
一般的，有如下原理：
分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有m
1
种不同的方法，做第2
步有m
2
种不同的方法……做第n 步有m
n
种不同的方法。那么完成这件事共有
N＝m
1
×m
2
×…×m
n

种不同的方法。
例书架的第1层放有4本不同的科技书，第2层放有3本不同的漫画书，第3层放有2本不同的文学书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取 1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本科技书，有4种方法；第2
类办法是从第2层取1本 漫画书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本文学书，有2种方法。根据分
类计数原理，不同取法 的种数是
N＝m
1
＋m
2
＋m
3
＝4＋3＋2＝9
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书， 可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本科技书，有4
种方法；第2步从第2层取1本漫画书，有 3种方法；第3步从第3层取1本文学书，有2种方法。根据分
步计数原理，从书架的第1、2、3层各 取1本书，不同取法的种数是
N＝m
1
×m
2
×m
3
＝4×3×2＝24
答：从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。
分类计数原理与分步计数原 理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于：分类计数
原理针对的是“分类”问题， 其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原
理针对的是“分步”问题， 各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。

实践活动：掷一掷
教材说明
教材在学生学完了“可能性”这一单元后，设计了这个以游戏形式探讨可能性大小的 实践活动。通过本
活动，可以使学生通过猜想、实验、验证的过程，巩固“组合”的有关知识，探讨事件 发生的可能性大小。
通过与老师比赛的形式，还可以提高学生的动手实践能力和学习数学的兴趣。
教材以连环画的形式来展示活动的过程。从知识内容上看，整个活动分为以下三个层次：
1．组合。
教材通过让学生同时掷两个相同的骰子（六个面上分别写着数字1～6），把两个 朝上的数字相加，看和可
能有哪些情况，这是一个“组合”问题。根据前面所学的“组合”知识，学生可 以把两个数字相加的和的所
有情况列出来。
2．事件的确定性与可能性。
在上面的 所有“组合”中，最小的和是1＋1＝2，最大的和是6＋6＝12，所以，两个数的和是2，3，4，…，12都是可能发生的事件，但不可能是1和13，这是一个确定事件。

3．可能性的大小。
虽然掷出的两个数的和可能是2，3，4，…，12中的 任一个数，但发生的可能性大小是不同的。教材通
过游戏的方式，让学生探索、比较掷出各种和的可能性 大小，由于学生还不会求掷出每个和的确切“概率”，
所以只是通过实验粗略地比较一下。
第一步，教师和学生示范游戏。
首先，教师提出规则，学生猜想结果。可能掷出的结果共有1 1个，教师选择了其中的5个，而学生可选
的有6个，所以学生认为自己赢的可能性比老师大。这里，教 材设置了一个悬念，为学生进行猜想提供了充
分的空间。
接下来，开始游戏。通过对游戏结果 的统计，学生发现与自己原先的猜想并不一致，从而产生认知冲突，
为学生进一步自主探索提供了可能。 在这里，教材使用了画“正”字的方法收集数据，可以使学生进一步认
识统计在解决问题中的应用。
第二步，学生小组内游戏，进一步验证。
通过示范游戏，学生已经掌握了游戏的规则和数据收 集的方法。接下来，学生两人一组，轮流掷，并直
接根据掷出的结果画出条形统计图。从图中可以更加直 观地看出掷出的和在2至12中间位置的可能性比较大，
而在两边的可能性比较小。
第三步，理论验证。
以上都是用实验的方法来看掷出哪些和的可能性大，哪些和的可能性小， 这种实验的方法是否能反映客
观情况呢？还需要经过理论的论证。教材把这个问题提出来，启发学生利用 “组合”的知识来探讨掷出各种
和的可能性大小。
由上可以看出，本活动通过让学生猜想、实 验、验证等过程，让学生在问题情境中自主探索，解决问题，
既发展了学生的动手实践能力，又充分调动 了学生的学习兴趣。
教学建议
1．这个实践活动可以用1课时进行教学。
2．教 学时，可以参考教材上的活动顺序，先由老师示范游戏，然后让学生自主活动。也可以由教师提出
一个问 题“同时掷两个骰子，得到的两个数的和有哪些，哪些和出现的可能性大，哪些和出现的可能性小？”
放 手让学生去探索。可以启发学生先采用实验的方法试一试，再用“组合”的知识来验证。还可以用讲故事
来揭穿骗术的方式开始：社会上经常有这样一些赌博游戏，拿两个骰子，掷一次，看掷出的点数，如果是5、6、7、8、9，就算庄家赢，否则就是别人赢，结果往往是庄家赢得多。实际上这只是一个小小的骗术，只 要
有一点数学知识，就能揭开这个骗局了，然后引导学生去探索其中的奥秘。总之，可以根据班里的实际 情况，
选择适当的方式开展游戏。
3．活动过程中，要让学生充分经历猜想、实验、验证的过 程。要让学生先通过有限次的实验，对结果有
一个初步的猜想，然后通过相对严密的“数学化”的过程， 自己得出正确的结论。例如，让学生思考掷出的
和有多少种可能性之前，可以先让学生掷一掷，看看能掷 出哪些和，然后，引导学生利用“组合”的知识，
说说可能得到哪些和，为什么不可能是1和13。当学 生通过统计有限次数的实验结果（条形统计图），看到掷
出的和在2至12的中间位置的可能性比较大， 而在两端的可能性比较小时，教师就要引导学生从“组合”的
角度去思考原因，使学生理解这种结果的出 现不是一种偶然现象，而是由各种组合的多少决定的。学生利用

“组合”知识来验证实验 结果时，也可以采用不同的方式来进行。例如，可以列出以下表格：
骰子1
骰子2
和
骰子1
骰子2
和
骰子1
骰子2
和
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 6 5 4 3
7
4 5 6 5 6
6 5 4 6 5
10 11
6
6
12
8 9
上表中列出了所有的可能性，从表中可以直观地看出掷出 的和是5、6、7、8、9的次数相对较多，而和
是2、3、4、10、11、12的次数较少。这就是 为什么老师只选择了五个数但赢的机会更多的原因。教师也可以
进一步启发学生采用更简便、更直观的方 式来呈现以上结果（如下页表）。
这样，学生通过动手实践、自主探索，对“可能性”的理解不仅仅停 留在有限次实验的结果上，而达到
了一个更高的水平。