⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△ DEC为直角三角形，DE
⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
例3（ 补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD
2
=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC
2
=AD
2
+CD
2
，BC
2
=CD
2
+BD
2
∴AC
2
+BC
2
=AD
2
+2CD
2
+ BD
2
=AD
2
+2AD·BD+BD
2
=（AD+BD）
2
=AB
2

第十九章 平行四边形

19.1.1 平行四边形及其性质(一)
一、 教学目标：
1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
二、 重点、难点
1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
三、例题的意图分析
例1是 教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用
平行四边 形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学
生学会运 用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证
能力和逻 辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．

四、课堂引入
1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

B
D
A
C

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
你能总结出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD ∥BC，那么四边形
ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“
“平行四边形ABCD”．
①∵ABDC ,ADBC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴ABDC
，
ADBC（性质）．
ABCD”， 读作

注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共 端点的边，邻角
是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角． （教学时要结合图
形，让学生认识清楚）
2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除 具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什
么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让 学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两
组对边 分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
（1）由定义知道 ，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补
角．
（ 相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相
区别．教学时结合图形使学生分辨清 楚．）
（2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．

已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
分析：作
得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可 以把未知问题转化为已知的关于三角形
的问题．）
证明：连接AC，
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4．
又 AC＝CA，
∴ △ABC≌△CDA （ASA）．
∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．
又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴ ∠BAD＝∠BCD．
由此得到：
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．

五、例习题分析
例1（教材P93例1）
A BCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可

例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD 是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，
AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得B E=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．
证明略．
19.1.1 平行四边形的性质(二)
一、 教学目标：
1． 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2． 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
3． 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
二、 重点、难点
1． 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．
2． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
三、例题的意图分析
本 节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以
根据学 生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得
的对应 线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮
助的．
例2是教材P94的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四< br>边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在
以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．

四、课堂引入
1．复习提问：
（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：
①具有一般四边形的性质（内角和是
360
）．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
边：平行四边形的对边相等．
2．【探究】：
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和 EG、HF，设它们分别交
ABCD绕点O旋转
180
，观察它还于点O．把这两个 平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将
和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四 边形的边、角
关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
（2）平行四边形的对角线互相平分．



五、例习题分析
例1（补充） 已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、
BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在 ABCD中，AB∥CD，
∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴ △AOE≌△COF（ASA）．
∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向
两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

解略

例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，A B
＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及
ABCD的面 积．

分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股 定理可得AC的长．再
由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式 ：平行四边形的面积=
底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学 过，再次强调“底”是对
应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就 随之确定了．）3.平行四边形的
面积计算
解略（参看教材P94）．

19.1.2（一） 平行四边形的判定
一、 教学目标：

1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
二、重点、难点
3． 重点：平行四边形的判定方法及应用．
4． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
三、例题的意图分析
本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四 边形的性质与判定的综合运用，此题最好先
让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例 2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生
能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问 题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动
起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和 学生的思维能
力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一
个如图的大 三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．
四、课堂引入
1．欣赏图片、提出问题．
展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？
2．【 探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你
能帮他 想出一些办法来吗？
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行 四边形的条件，思
考并探讨：
（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
（3）你能说出你的做法及其道理吗？
（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
（5）你还能找出其他方法吗？
从探究中得到：
平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、例习题分析
例1（教材P96例3 ）已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于
点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．
（证明过程参看教材）
问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．

例2（补充） 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．

求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴ 四边形ABCB′是平行四边形．
∴ ∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．
同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．
∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．
∴ B′C＝A′C．
同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B．
∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中
点．
例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六
边形．你能在 图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
解：有6个平行四边形，分别是
DEFO，EFAO．
ABOF，ABCO， BCDO，CDEO，
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形是平
行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．



19.1.2（二） 平行四边形的判定
一、 教学目标：
1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．
二、 重点、难点
1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用
平行 四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使
同学 们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力．

四、课堂引入
1． 平行四边形的性质；
2． 平行四边形的判定方法；
3． 【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根

木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

五、例习题分析
例1（补充）已知：如图，
证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AD=CD．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE=
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
∴ BE=DF．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另 一个四边形是平行四
边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利 用知识较多，因此应
使学生获得清晰的证明思路．

例2（补充）已知：如图，AB CD中，E、F分别是AC上两点，且BE
ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求
1
1
AD，BF=BC．
2
2
⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，
这需要证明△A BE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，且AB∥CD．
∴ ∠BAE=∠DCF．
∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．
∴ △ABE≌△CDF （AAS）．
∴ BE=DF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．

19.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线
一、 教学目标：
1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关 三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想

方法．
二、 重点、难点
1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
三、例题的意图分析
例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念 与性质的方法，
它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要 把握好度．
建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线 的性质，
然后再讲例2．
例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质 与平行四边形的判定的混合应用
题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根 据学生情况适当的选讲例2．教
学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．
四、课堂引入
1． 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2． 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
（答：平行四边形知识的运用包括三个方面 ：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角
的度数，线段的长度，证明角相等或线段相 等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行
等；三是先判定一个四边形是平行四边形， 然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）
3．创设情境
实验：请同学们思考：将 任意一个三角形分成四个全等的三角形，
你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？

五、例习题分析
例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：
DE∥BC且 DE=
1
BC．
2
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关 系，联想已学过的知识，可以
把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相 等的
性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造
平行四边形 ．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE
≌△ CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四
边形BCFD是平行 四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=
以DE∥BC且DE=
1
DF，所
2
1
BC．
2
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，

又AE= EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，
且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=
且DE=
1
DF，所以DE∥BC
2
1
BC．
2
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条 ；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线
是中点与中点的连线；中线是顶点与对边 中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的
中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）

例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点 E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三
角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系 ．由于四边形的对角线
可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形 中位线”的基本图形后，
此题便可得证．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
1
AC（三角形中位线性质）．
2
1
同理EF∥AC，EF=AC．
2
∴ HG∥AC，HG=
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

19.2.1 矩形(一)
一、教学目标：
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
二、重点、难点
1．重点：矩形的性质．
2．难点：矩形的性质的灵活应用．
三、例题的意图分析

例1是教 材P104的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的
格式也起 了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为
矩形四 个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三
角形中 的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积
公 式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解
决 有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．

四、课堂引入
1．展示生活中一 些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应
用了平行四边形 的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一 个平行四边形吗？
为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程， 当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学
过的长方形）引出本课题及矩形定义 ．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
【探究】在一个 平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动
一对不相邻的顶 点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有 什
么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABC D中，AC、BD相交于点O，由性质2有
AO=BO=CO=DO=
1
1
A C=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角
2
2
三角形斜边上的中线等于斜 边的一半．

五、例习题分析
例1 （教材P104例1）已知：如图， 矩形ABCD的两条对角线相交
于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相

平分的特殊性质 ，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD
边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
分析：（1）因为 矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到
直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直 角三角形中的计算，这
是几何计算题中常用的方法．

略解：设AD=xcm，则对 角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：
x
得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高 的一
个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．


例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝
EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF ＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要
证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的 直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

19.2.1 矩形(二)
一、教学目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
二、重点、难点
1．重点：矩形的判定．
2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课的 三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们
在教学中还可 以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，
三个题目从 不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．
2
8
2
(x4)
2
，解

四、课堂引入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度
相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三 个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时
第四个角一定是直角．）
五、例习题分析
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
指出：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三 个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明
或举反例，才能下结论．
例2 （补充）已知

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB
是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分 的性
质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=
11
AC，BO=BD．
22
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC=
8
2
4
2
43
（cm）．

例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD的四个内角的平 分
线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
分析：要证四边形EFG H是矩形，由于此题目可分解出基本图
形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形” 来证
明．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG=
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
19.2.2 菱形（一）
一、教学目的：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的性质1、2．
2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的 性质；例2是教材P108中的例2，这
是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问 题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还
可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练 、灵活地运用知识．
四、课堂引入
1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入） 我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看
演示：（可将事 先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一
组邻边相等，从 而引出菱形概念．
1
×180°=90°．
2

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．

五、例习题分析
例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE．
例2 （教材P108例2）略

19.2.2 菱形（二）
一、教学目的：
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的两个判定方法．
2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了 两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形
判定方法的直 接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证
和计算．这些 题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一
些的班级，可 以选讲例3．
四、课堂引入
1．复习
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）
2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
3．【 探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动
的 十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．

五、例习题分析
例1 （教材P109的例3）略

例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
又 EF⊥AC，
∴

※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．
求证：四边形CEHF为菱形．
略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BC E中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，
因为∠CBE =∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．
19.2.3 正方形
一、教学目的
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． < br>2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补 充的题目．其中例1与例2是正
方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3 是正方形判定的应用，它是先判
定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方 形．随后可以再做一组判断题，
进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断 题改为下列问题让学生思考：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

四、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产 生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：
什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有 一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

五、例习题分析
例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等
腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中， 对角线的交点为O，E是
OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于 正方形的对角线
垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角

的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结 论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．

例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l
1
∥l
2
，作BM⊥l
1
于M，
DN⊥l
1
于N，直线MB、DN分别交l
2
于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，
证出AM=DN，用 同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵ PN⊥l
1
，QM⊥l
1
，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
19．3 梯形（一）
一、教学目标：
1． 探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．
2． 能够运用梯形的有 关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算
能力．
3． 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化
的思 想．

二、重点、难点
1．重点：等腰梯形的性质及其应用．
2．难点 ：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关
知识的 应用．

三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，例1是教材P 118中的例1．它是等腰梯形性质的直接运用．题目比较简单，
在教学中，最好让学生分析、讲解、解 答．同时也要注意引导学生，在证明△EAD是等腰三角形时，要用
到梯形的定义“上下底互相平行（A D∥BC）”这一点．
例2与例3都是补充的题目，例2是一道计算题，例3是一道证明题， 其用意一是为了巩固其概念，
二是辅助线添加方法的练习，这两个题目的辅助线均是“平移一腰”，老师 们在教学或练习中也可以再补充
一些其它辅助线添加方法的题目，让学生多了解多见识．（但由于本教材 在梯形这一部分知识中，并没有添
加辅助线的要求，因此所选的题目不要太难．）通过题目的练习与讲解 应让学生知道：解决梯形问题的基本
思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉 的平行四边形和三角形问题来解决．在
教学时应让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好 梯形内容很有帮助．

四、课堂引入
1．创设问题情境——引出梯形概念．
【观察】（教材P117中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？它们有
什么共同的特点？
2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，
【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？
（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？




梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；② 上、下底的概念是由底的长短来
定义的，而并不是指位置来说的．）
（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．
在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．
【问题一】 图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形
吗？学生画图并通过观察猜想；
【问题二】 这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？
结论： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．
②等腰梯形同一底上的两个角相等．
③等腰梯形的两条对角线相等．

五、例习题分析
例1（教材P118的例1）略．
（延长两腰 梯形辅助线添加方法三）

例2（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的长．
分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解
决问题．其方法是：平移一腰，过点A作 AE∥DC交BC于E，因此
四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形< br>（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
解（略）．

例3 （补充） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB
＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．
分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全 等三角形，其方法是：平移一
腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形， 则DF=AB，由已知可导出
∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可 得出BE=CD．
证明（略）
另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即
可．

19．3 梯形（二）
一、教学目标：
1．通过探究教学，使学生掌握“同一底 上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法
的证明．
2．能够 运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，
会用分析法 寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力．
3．通过添加辅助线，把梯形的问 题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转
化的思想．
二、重点、难点
1．重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用．
2．难点：等腰梯形判定方法的运用．
三、例题的意图分析
本节课安排的例题与练习较多，可供老师们选用．
．．
例1是教材P119的例2， 这是一道计算题，讲解时要让学生注意，已知中并没有给出等腰梯形的条件，
它需要先判定梯形ABCD 为等腰梯形，然后再用其性质得出结论．

例2、例3、例4都是补充的题目． 其中例2是一道文字题，这道题在进行证明时，可采用“平移对角
线”或“作高”两种不同的方法，通过 讲解例2，可以再次给学生介绍解决梯形问题时辅助线的添加方法．
例3是一道证明等腰梯形 的题，它需要先证明其四边形是梯形，即先证出EG∥AB，此时还要由AE，
BG延长交于O，说明E G≠AB，才能得出四边形ABGE是梯形．然后再利用同底上的两角相等得出这个梯
形是等腰梯形．选 讲此题的目的是为了让学生了解和掌握证明一个四边形是等腰梯形的步骤与方法．
例4是一道 作图题，新教材P119的练习4就是一道画梯形图的题，此例4与练习4相同．通过此题的
讲解与练习 ，就是要加强学生对梯形概念的理解，并了解梯形作图的一般方法．让学生知道梯形的画图题，
也常常是 通过分析，找出需要添加的辅助线，先画出三角形或四边形，再根据它们之间的联系画出所要求
的梯形．

四、课堂引入
1．复习提问：（1）什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？
（2）等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？
（3）在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？
我们已经掌握了 等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来
研究这个问题．
2．【提出问题】：前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题．等
腰梯形 同一底上两个角相等的逆命题是什么？
命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证．
启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证．
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．
求证：AB=CD．
分析 ：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相
等．”因此，我们只要能将等腰梯形 同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个
底角，命题就容易证明了．
证明方法1：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．
∵AB∥DE， ∴∠B=∠1，
∵∠B=∠C， ∴∠1=∠C． ∴DE＝DC．
又∵AD∥BC， ∴DE＝AB=DC．
证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE．

证明方法二：用常见的梯形辅助线方法：过
点A作AE⊥BC， 过D作DF⊥BC，垂足分别
为E、F（见图一）．

证明方法三： 延长BA、CD相交于点E（见
图二）． 图一 图二

通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：等腰梯形判定方法
等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．
【注意】等腰梯形的判定 方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来
判定它是等腰梯形．

五、例、习题分析
例1（教材P119的例2）

例2（补充） 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等
腰三角形．在ΔABC和ΔD CB中，已有两边对应相等，要能证∠1=
∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．
证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，
又 AD∥BC，∴ 四边形ACED为平行四边形， ∴ DE=AC ．
∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E
∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2
又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC≌ΔDCB． ∴ AB=CD．
∴ 梯形ABCD是等腰梯形．
说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，
即等腰梯形对角线 相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽
不能直接引用，但可以为以后解题提供思路 ．
问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，
可证 RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．




例3（补充） 已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交
BD于G，F是垂足 ．求证：四边形ABGE是等腰梯形．
分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得 出EG∥AB，由AE，BG
延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上 的两角相等
得出它为等腰梯形．

例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底 长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周
长和面积．

分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，
再 根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．
如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成 AECD的画图．

画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．

②延长BE到C使EC=4cm.
③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D．
四边形ABCD就是所求的等腰梯形．
解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．
.
S
梯形ABCD

1

（412）324cm
2
．
2
2
答：梯形周长为26cm，面积为24
cm
．

第二十章数据的分析
20.1数据的代表
20.1.1平均数（第一课时）
一、教学目标：
1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念
2、使学生掌握加权平均数的计算方法
3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。
二、重点、难点和难点突破的方法：
1、重点：会求加权平均数
2、难点：对“权”的理解
三、例习题意图分析
1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。
（1）、这个问题的设计和讨论栏 目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念和加权平均数
的计算公式。
（2）、这 个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式，也是已学者易犯的错误。在这里安排讨
论很得当，起 揭示思维误区，警示学生、加深认识的作用。
（3）、客观上，教材P136的问题是一个实际问题， 它照应了本节的前言——将在实际问题情境中，进
一步探讨它们的统计意义，体会它们在解决实际问题中 的作用，揭示了统计知识在解决实际问题中的重要
作用。
（4）、P137的云朵其实是复习平均数定义，小方块则强调了权意义。
2、教材P137例1的作用如下：
（1）、解决例1要用到加权平均数公式，所以说它最直 接、最重要的目的是及时复习巩固公式，并且
举例说明了公式用法和解题书写格式，给学生以示范和模仿 。
（2）、这里的权没有直接给出数量，而是以比的形式出现，为加深学生对权的意义的理解。 （3）、两个问题中的权数各不相同，直接导致结果有所不同，这既体现了权数在求加权平均数的作用，

又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。
3、教材P138例2的作用如下：
（1）、这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固，让学生熟悉公式的使用和书写步骤。 < br>（2）、例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化，以百分数的形式出现，升华了学生对权的意义的理解。
（3）、它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。
四、课堂引入：
1、若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。
某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：
班级
参考人数
平均成绩
1班
40
80
2班
42
81
3班
45
82
4班
32
79
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？下述计算方法是否合理？为什么？
x
=

1
4
（79+80+81+82）=80.5
五、例习题分析：
例1和例2均为计算数据加权平均数型问题，因为是初学尤其之前与平均数 计算公式已经作过比较，
所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数，即是选择普通的平均数计算还是 加权平均数计算，其次若
用加权平均数计算，权数又分别是多少？例2的题意理解很重要，一定要让学生 体会好这里的几个百分数
在总成绩中的作用，它们的作用与权的意义相符，实际上这几个百分数分别表示 几项成绩的权。
六、随堂练习：
1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占1 00%、测验占30%、期中占35%、期末考试占35%，
小关和小兵的成绩如下表：
学生
小关
小兵
作业
80
76
测验
75
80
期中考试
71
68
期末考试
88
90
2、为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：（单位：小时）
寿命
只数
450
20
550
10
600
30
650
15
700
25
求这些灯泡的平均使用寿命？
答案：1.
x
小关
=79.05
x
小兵
=80 2.
x
=597.5小时
20.1数据的代表
20.1.1平均数（第二课时）
一、教学目标：
1、加深对加权平均数的理解
2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题
3、会用计算器求加权平均数的值
二、重点、难点和难点的突破方法：
1、重点：根据频数分布表求加权平均数
2、难点：根据频数分布表求加权平均数

三、例习题的意图分析
1、教材P140探究栏目的意图。
（1）、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。
（2）、加深了对“ 权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时，频数恰好反映这
组数据的轻重程度， 即权。
这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容，比如组、组 中值及
频数在表中的具体意义。
2、教材P140的思考的意图。
（1）、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题
（2）、帮助学生理解表中所表达出来的信息，培养学生分析数据的能力。
3、P141利用计算器计算平均值
这部分篇幅较小，与传统教材那种详细介绍计算器使用方 法产生明显对比。一则由于学校中学生使用
计算器不同，其操作过程有差别亦不同，再者，各种计算器的 使用说明书都有详尽介绍，同时也说明在今
后中考趋势仍是不允许使用计算器。所以本节课的重点内容不 是利用计算器求加权平均数，但是掌握其使
用方法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较大、较多的 计算也变得容易些了。
四、 课堂引入
采用教材原有的引入问题，设计的几个问题如下：
（1）、请同学读P140探究问题，依据统计表可以读出哪些信息
（2）、这里的组中值指什么，它是怎样确定的？
（3）、第二组数据的频数5指什么呢？
（4）、如果每组数据在本组中分布较为均匀，比组数据的平均值和组中值有什么关系。
五、随堂练习
1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况，对学生作课外作业所用时间 进行调查，下表是该校初二
某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表
（1）、第二组数据的组中值是多少？
（2）、求该班学生平均每天做数学作业所用时间

2、某班40名学生身高情况如下图，
请计算该班学生平均身高


所用时间t(分钟)
0＜t≤10
0＜≤
20＜t≤20
30＜t≤40
40＜t≤50
50＜t≤60
人数
4
6
14
13
9
4
答案1.（1）.15. （2）28. 2. 165

七、课后练习：
1、某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年
利润如下表
该公司每人所创年利润的平均数是多少万元？

2、下表是截至到2002年费尔兹 奖得主获奖时的年龄，根据表
格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄？

3、为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的50个居民区进行了噪音（单 位：分贝）水平的调查，结果
如下图，求每个小区噪音的平均分贝数。









频数
20
15
12
10
5 4
E
2
1.5
F
2
G
5
18
10
6
部门
人数
每人创得利润
年龄
28≤X＜30
30≤X＜32
32≤X＜34
34≤X＜36
36≤X＜38
38≤X＜40
40≤X＜42
20.1 数据的代表
A
1
20
B
1
5
频数
4
3
8
7
9
11
2
C
2
2.5




D
4
2
40
1.5
50 60 70
1.2
80 90
噪音分贝
答案：1.约2.95万元 2.约29岁 3.60.54分贝




20.1.2 中位数和众数（第一课时）
一、教学目标
1、认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数。
2、理解中位数和众数的意义 和作用。它们也是数据代表，可以反映一定的数据信息，帮助人们在实际问题
中分析并做出决策。
3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。
二、重点、难点和难点的突破方法：
1、重点：认识中位数、众数这两种数据代表
2、难点：利用中位数、众数分析数据信息做出决策。
三、例习题的意图分析
1、教材P143的例4的意图
（1）、这个问题的研究对象是一个样本，主要是反映了统计 学中常用到一种解决问题的方法：对于数
据较多的研究对象，我们可以考察总体中的一个样本，然后由样 本的研究结论去估计总体的情况。
（2）、这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时，中位数 的求法和解题步骤。（因为在前面
有介绍中位数求法，这里不再重述）
（3）、问题2显然反 映学习中位数的意义：它可以估计一个数据占总体的相对位置，说明中位数是统
计学中的一个重要的数据 代表。
（4）、这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的，所以应鼓励学生学好这部分知识。

2、教材P145例5的意图
（1）、通过例5应使学生明白通常对待销售问 题我们要研究的是众数，它代表该型号的产品销售最好，
以便给商家合理的建议。
（2）、例5也交待了众数的求法和解题步骤（由于求法在前面已介绍，这里不再重述）
（3）、例5也反映了众数是数据代表的一种。
四、课堂引入
严格的讲教材本节课 没有引入的问题，而是在复习和延伸中位数的定义过程中拉开序幕的，本人很同
意这种处理方式，教师可 以一句话引入新课：前面已经和同学们研究过了平均数的这个数据代表。它在分
析数据过程中担当了重要 的角色，今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数，看
看它们在分析数据过程中 又起到怎样的作用。
五、例习题的分析
教材P144例4，从所给的数据可以看到并没有按 照从小到大（或从大到小）的顺序排列。因此，首先
应将数据重新排列，通过观察会发现共有12个数据 ，偶数个可以取中间的两个数据146、148，求其平均
值，便可得这组数据的中位数。
教 材P145例5，由表中第二行可以查到23.5号鞋的频数最大，因此这组数据的众数可以得到，所提的
建议应围绕利于商家获得较大利润提出。
20.1.2 中位数和众数（第二课时）
一、教学目标：
1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。
2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。
3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。
二、重点、难点和突破难点的方法
1、重点：了解平均数、中位数、众数之间的差异。
2、难点：灵活运用这三个数据代表解决问题。
较多的一种量。另外要注意：
平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大.
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这
是它 的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响.
平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动. < br>中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中
也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势.
三、例习题的意图分析：
教材P146例6的意图
（1）、这是在学习过数据的收 集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的一个例题，从分析和解
答过程来看它交待了该如何完整的 进行这几个过程，为该怎样综合运用已学的统计知识解决实际问题作了
一个标准范例。教师在授课过程中 也应注意，对已学知识的巩固复习。
（2）、从分析和解答过程来看，此例题的一个主要意图是区分平 均数、众数和中位数这三个数据代表
的异同。
（3）、由例题中（2）问和（3）问的不同， 导致结果的不同，其目的是告诉学生应该根据题目具体要
求来灵活运用三个数据代表解决问题。
（4）、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义，也体现了统计知识与生活实
践是紧密联系的。
四、课堂引入：
本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定 义开始，为完成重点、突破难点作好铺垫，没

有必要牵强的加入一个生活实例作为引入问 题。
五、例习题的分析：
例题6中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数的定义。 可以引导学生从问题中词语特点分
析它们分别指哪个数据代表，教师也可以顺便加一个发散性问题，一般 地哪些词语是指平均数、中位数和
众数呢？
例题6中的第二问学生一般不易想到，教师要将“ 较高目标”衡量标准引向三个数据代表身上，这样学生
就不难回答了。
第三问要抓住一半左右 应与哪个数据代表的意义相符这个问题。即要很好的回答第三问，学生头脑必须很
清楚平均数、中位数、 众数的特点。
20.2
20.3

数据的波动
20.2.1极差
一、教学目标：
1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量
2、会求一组数据的极差
二、重点、难点和难点的突破方法
1、重点：会求一组数据的极差
2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。
三、例习题的意图分析
教材P151引例的意图
（1）、主要目的是用来引入极差概念的
（2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量
（3）、交待了求一组数据极差的方法。
四、课堂引入：
引入问题可以仍然采用教 材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意
义，可以画出温度折线图，这 样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。
五、例习题分析
本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析
问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题2 涉
及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一，合理即可。
20.2.2 方差（第一课时）
一. 教学目标：
1. 了解方差的定义和计算公式。
2. 理解方差概念的产生和形成的过程。
3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
二. 重点、难点和难点的突破方法：
1. 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。
2. 难点：理解方差公式
三. 例习题的意图分析：
1. 教材P125的讨论问题的意图：
（1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。
（2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。
（3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。
（4）.客观上反映 了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会到学习方差

的 意义和目的。
2. 教材P154例1的设计意图：
（1）.例1放在方差计算公式和利用 方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目的是及时复习，
巩固对方差公式的掌握。
（2）.例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题。
四.课堂引入：
除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例 如，通过学生观看2004
年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩 选择参赛队员这样的实际问题
上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。
五. 例题的分析：
教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点：
1. 题目中“整齐”的含 义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出
整齐即波动小，所以要研 究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。
2. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也 可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这
个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。
3. 方差怎样去体现波动大小？
这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。