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2016年北京市高考数学试卷（理科）



一、选择题共8小题 ，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）

A．0 B．3 C．4 D．5

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）
x
﹣（）
y
＜0 D．lnx+lny＞0

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

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）

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A． B． C． D．1

7．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（ s＞0）
个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）

A．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为
B．t=
D．t=
，s的最小值为
，s的最小值为


8．（5分）袋中装有 偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空
盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个 球放入甲盒，如果这个球是红球，
就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有 球都被放
入盒中，则（ ）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则
a= ．

10．（5分）在（1﹣2x）
6
的展开式中，x
2
的系数为 ．（用数字作答）

11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣
两点，则|AB|= ．

12．（5分）已知{a
n
}为等差数列，S
n
为其前n项和．若a
1
=6，a
3
+a
5
=0，则S
6
= ．

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ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B

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13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OAB C的边OA，
OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则
a= ．

14．（5分）设函数f（x）=．

①若a=0，则f（x）的最大值为 ；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 ．



三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15 ．（13分）在△ABC中，a
2
+c
2
=b
2
+
（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．

ac．

16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻 炼情况，通
过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

A班

B班

C班

6 6.5 7 7.5 8

6 7 8 9 10 11 12

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

（Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生 中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，
C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立 ，求该周甲的锻炼时间
比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随 机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，
9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的 数据构成的新样本的平均数记
为μ
1
，表格中数据的平均数记为μ
0
，试判断μ
0
和μ
1
的大小．（结论不要求证明）

17． （14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，
A B⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

．

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（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求不存在，说明理由．

的值，若

18．（13分）设函数f（x）=x e
a
﹣
x
+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线
方程为y=（e﹣1）x+4，

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0 ）的离心率为，A（a，0），B
（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直 线PB与x轴交于点N．求
证：|AN|•|BM|为定值．

20．（13分）设数 列A：a
1
，a
2
，…，a
N
（N≥2）．如果对小于n （2≤n≤N）的
每个正整数k都有a
k
＜a
n
，则称n是数列A的 一个“G时刻”，记G（A）是数列A
的所有“G时刻”组成的集合．

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（Ⅱ）证明 ：若数列A中存在a
n
使得a
n
＞a
1
，则G（A）≠∅；

（Ⅲ）证明：若数列A满足a
n
﹣a
n
﹣
1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个
数不小于a
N
﹣a
1
．



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2016年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符 合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，

B={﹣1，0，1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，0，1}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集 定义的
合理运用．



2．（5分）若x，y满足
A．0 B．3 C．4 D．5

，则2x+y的最大值为（ ）

【分析】作出 不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，
利用数形结合即可求z的取值范围．< br>
【解答】解：作出不等式组
设z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得，即A（1，2），

对应的平面区域如图：（阴影部分）．

代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．

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即目标函数z=2x+y的最大值为4．

故选：C．


【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何 意义，结合数形结
合的数学思想是解决此类问题的基本方法．



3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据已知的程序框图可得，该 程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：输入的a值为1，则b=1，

第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；

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第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；

第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，

故输出的k值为2，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循 时，可
采用模拟程序法进行解答．



4．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；

若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；

故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||=|| ”与
“|+|=|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．



5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）
x
﹣（）
y
＜0 D．lnx+lny＞0

，sinx与siny的大小关系不确定，【分析】x，y∈R，且 x＞y＞0，可得：
＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．

，sinx与siny的大小关系不确定，【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则
＜
故 选：C．

，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．

【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，
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属于中档题．



6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）


A． B． C． D．1

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视 图为底面的三棱锥，进
而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

棱锥的底面面积S=×1×1=，

高为1，

故棱锥的体积V=
故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体 积和表面积，根据已知的三视图，
判断几何体的形状是解答的关键．


< br>7．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）
=，
个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）

A．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为
【分析】将x=
B．t=
D．t=
，s的最小值为
，s的最小值为


代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．

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【解答】解：将x=
将函数y=sin（2x﹣
得到P′ （
代入得：t=sin=，

）图象上的点P向左平移s个单位，

﹣s，）点，

若P′位于函数y=sin2x的图象上，

则sin（
则2s=
则s=
﹣2s）=cos2s=，

+2kπ，k∈Z，

+kπ，k∈Z，

，

由s＞0得：当k=0时，s的最小值为
故选：A．

【点评】本题考查的知 识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，
难度中档．



8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空
盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，
就将另一个放入 乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放
入盒中，则（ ）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
< br>【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前
提是放入甲中的不 是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．

【解答】解：取两个球共有4种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加1个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；

③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；

④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．

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设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红 球x个，
黑球y个，x+y=a．

则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；

丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；

黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j

由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．

故选：B．

【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学 生的逻
辑思维能力有一定要求，中档题



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则
a= ﹣1 ．

【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案．

【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，

若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，

则a+1=0，

解得：a=﹣1，

故答案为：﹣1
< br>【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于
基础题．



10．（5分）在（1﹣2x）
6
的展开式中，x
2
的系数为 60 ．（用数字作答）

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．

【解答】解：（1﹣2x）
6
的展开式中，通项公式T
r
+
1
=
令r=2，则x
2
的系数=
故答案为：60．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．

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（﹣2x）
r
=（﹣2）
r
x
r
，

=60．

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11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣
两点，则|AB|= 2 ．

【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得
| AB|．

【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．

ρ sinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B
圆ρ=2cosθ化为ρ
2
=2ρc osθ，∴x
2
+y
2
=2x，配方为（x﹣1）
2
+y< br>2
=1，可得圆心C（1，
0），半径r=1．

则圆心C在直线上，∴|AB|=2．

故答案为：2．

【点评】 本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能
力，属于基础题．



12．（5分）已知{a
n
}为等差数列，S
n
为其前n项和．若a
1
=6，a
3
+a
5
=0，则S6
=
6 ．

【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此 利用等差数列的前n
项和公式能求出S
6
．

【解答】解：∵{a
n
}为等差数列，S
n
为其前n项和．

a
1
=6，a
3
+a
5
=0，

∴a
1
+2d+a
1
+4d=0，

∴12+6d=0，

解得d=﹣2，

∴S
6
=
故答案为：6．

【点评】本题考查等差数列的前 6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，
注意等差数列的性质的合理运用．



13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，=36﹣30=6．

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OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a= 2 ．
< br>【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，
即双曲线是等轴双 曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．

【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，

∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，

即a=b，

∵正方形OABC的边长为2，

∴OB=2，即c=2，

则a
2
+b
2
=c
2
=8，

即2a
2
=8，

则a
2
=4，a=2，

故答案为：2


【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐 近线垂直关系得到双
曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．



14．（5分）设函数f（x）=
①若a=0，则f（x）的最大值为 2 ；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1） ．

【分析】①将 a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=﹣1时，
f（x）的最大值为2；

．

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②若f（x）无最大值，则，或，解得答案．

【解答】解：①若a=0，则f（x）=，

则f′（x）=，

当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，

当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，

故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；

②f′（x）=，

令f′（x）=0，则x=±1，

若f（x）无最大值，则，或，

解得：a∈（﹣∞，﹣1）．

故答案为：2，（﹣∞，﹣1）

【 点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难
度中档．



三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15 ．（13分）在△ABC中，a
2
+c
2
=b
2
+
（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．

，进而得到答案；

cosA+cosC
ac．

【分析】 （Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=
（Ⅱ）由（I）得：C=
的最大值．
< br>【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a
2
+c
2
=b
2+
﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得
ac．

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∴a
2
+c
2
﹣b
2
=
∴cosB=
∴B=

ac．

==，

（Ⅱ）由（I）得：C=
∴
=
=
cosA+cosC=
cosA﹣
cosA+
﹣A，

﹣A）

cosA+cos（
sinA

cosA+
sinA

）．

），

=sin（A+
∵A∈（0，
∴A+
故当A+
即
∈（
=
，π），

时，sin（A+）取最大值1，

cosA+cosC的最大值为1．
< br>【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，
难度中档．


16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育 锻炼情况，通
过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

A班

B班

C班

6 6.5 7 7.5 8

6 7 8 9 10 11 12

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

（Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生 中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，
C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立 ，求该周甲的锻炼时间
比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随 机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，
9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的 数据构成的新样本的平均数记
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为μ
1
，表 格中数据的平均数记为μ
0
，试判断μ
0
和μ
1
的大小．（ 结论不要求证明）

【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；

（Ⅱ）根据古 典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长
的概率；

（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ
0
＞μ
1
．

【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，

故抽样比K==，

故C班有学生8÷=40人，

（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，

共有5×8=40种情况，

而且这些情况是等可能发生的，

当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；

当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；

当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；

当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；

当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；

故周甲的锻炼时 间比乙的锻炼时间长的概率P=
（Ⅲ）μ
0
＞μ
1
．

【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度
中档．



17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， PA⊥PD，PA=PD，
AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=
（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ） 在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
不存在，说明理由．

的值，若
．

=；

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【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB
⊥PD，再 由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO ，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为
坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0 ，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，
0），C（2，0，0），进一步求出向量
向量， 设PB与平面PCD的夹角为θ，由
求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（ Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设
可得M（0，1﹣λ，λ），
，由此列式求得当< br>，M（0，y
1
，z
1
），由
的坐标，再求出平面PCD的法
，由BM∥平面PCD，可得

时，M点即为所求．

【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，

∵CD=AC=，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

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∴PO⊥AD．

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），

则
设
则由
设PB
，得
与平面
，
为平面PCD的法 向量，

，则
PCD的
．

夹角为θ，则
，

=；

（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM ∥平面PCD，设
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），
，

则有
∴
∵BM∥平面PCD，
∴，即
，可得M（0，1﹣λ，λ），

，

，M（0，y
1
，z
1
），

，B（1，1，0），
为平面PCD的法向量，

，解得．

综上，存在点M，即当时，M点即为所求．


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【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存 在性
问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．



18．（13分）设函数f（x）=xe
a
﹣
x
+bx， 曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线
方程为y=（e﹣1）x+4，

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

【分析】 （Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f
（2），建立方程组关系即可求a ，b的值；

（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区
间．

【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，

同时f′（2）=e﹣1，

∵f（x）=xe
a
﹣
x
+bx，

∴f′（x） =e
a
﹣
x
﹣xe
a
﹣
x
+b，

则
即a=2，b=e；

（Ⅱ）∵a=2，b=e；

∴f（x）=xe
2
﹣
x
+ex，

∴f′（x） =e
2
﹣
x
﹣xe
2
﹣
x
+e=（1﹣x ）e
2
﹣
x
+e=（1﹣x+e
x
﹣
1
） e
2
﹣
x
，

∵e
2
﹣
x
＞0，

∴1﹣x+e
x
﹣
1
，

与f′（x）同号，

令g（x）=1﹣x+e
x
﹣
1
，

则g′（x）=﹣1+e
x
﹣
1
，

由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数，

由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数，

则当x=1时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）=1，

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则g（x）≥g（1）=1＞0，

故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间．

【点评 】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方
程关系以及利用函数单调性和导 数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．



19．（14分）已知 椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B
（0，b），O（0，0），△OAB的 面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求
证：|AN|•|BM|为定值．

【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关
系，解方程可得a=2 ，b=1，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x
0
，y< br>0
），可得x
0
2
+4y
0
2
=4，求出直 线PA的方程，
令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化 简整理，
即可得到|AN|•|BM|为定值4．

方法二、设P（2cosθ，si nθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得
y，|BM|；求出直线PB的方程 ，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，
化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值 4．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==
又△OAB的面积为1，可得ab=1，

且a
2
﹣b
2
=c
2
，

解得a=2，b=1，c=
可得椭圆C的方程为
，

+y
2
=1；

，

（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x
0
，y
0
），

可得x
0
2
+4y
0
2
=4，

直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，

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则|BM|=|1+|；

直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，

则|AN|=|2+|．

可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|

=||=||

=||=4，

即有|AN|•|BM|为定值4．

证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），

直线PA：y=则|BM|=|
直线PB：y=
则|AN|=|
即有|AN|•|BM|=|=2|
=2|
则|AN|•|BM|为定值4．

【点评】本题考查椭圆 的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，
考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和 点满足椭圆方程，考查化解在合
理的运算能力，属于中档题．



20．（13分）设数列A：a
1
，a
2
，…，a
N
（N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的
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（x﹣2），令x=0，可得y=﹣
|；

x+1，令y=0，可得x=﹣
|．

|•|
|

|=4．

|

，

，

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每个正整数k都有a
k
＜a
n
，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A
的所有“ G时刻”组成的集合．

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（Ⅱ）证明 ：若数列A中存在a
n
使得a
n
＞a
1
，则G（A）≠∅；

（Ⅲ）证明：若数列A满足a
n
﹣a
n
﹣
1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个
数不小于a
N
﹣a
1
．

【分析】（Ⅰ）结合“G时刻”的定义进行分析；

（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；

（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．

【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a< br>1
=﹣2，a
2
=2，a
3
=﹣1，a
4
= 1，a
5
=3，a
1
＜a
2
满足条件，2满足条件，a2
＞a
3
不满足条件，3不满足条件，

a
2
＞a
4
不满足条件，4不满足条件，a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，均小于a
5
，因此5满足条件，
因此G（A） ={2，5}．

（Ⅱ）因为存在a
n
＞a
1
，设数列A中 第一个大于a
1
的项为a
k
，则a
k
＞a
1
≥a
i
，其
中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；
（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i
1
＜i
2
＜…＜i
k，

对于第一个“G时刻”i
1
，有
﹣a
1
≤﹣≤1．

＞≥a
i
（i=2，3，…，i
1
﹣1），则

＞ a
1
≥a
i
（i=2，3，…，i
1
﹣1），则

对于第二个“G时刻”i
1
，有
﹣
类似的
≤
﹣﹣≤1．

﹣
﹣
≤1．

）+…+（﹣）+（﹣a1
）=
≤1，…，
﹣）+（于是，k≥（
﹣a
1
．
对于a
N
，若N∈G（A），则
若N∉G（A），则a
N≤
=a
N
．

，，…，a
N
，中存在“G时刻 ”，否则由（2）知
与只有k个“G时刻”矛盾．

从而k≥﹣a
1
≥a
N
﹣a
1
．

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【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大．



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