灭火器年检-中秋诗会

“数形结合”在小学数学教学中的应用

数学课程标准提出了“通过数学学习 ，掌握数学的基础知识、基本技能和思
想方法。”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定 上，也指出数
学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想
方 法，以及学习数学和运用数学知识解决问题等。所以在教材编写上注重把数学
思想方法贯穿在知识领域中 ，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有
机的整体。
数学思想方法有许多，我们小 学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极
限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计 概率等思想。在小学
数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、
数学结论的明确性 以及数学的美。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的
应用谈些粗浅的想法。
一、数形结合思想的概念
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们中小学 数学研
究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，
或形数 结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：
1、借助于数的精确性来阐明形 的某些属性，即“以数解形”；2、借助形的几何
直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。 < br>所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来
解决数学问题的思想。 数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体
化的常用的数学思想方法，具体地说就是将抽象 的数学语言与直观图形对应起
来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转 换来
解决数学问题。
二、数形结合的三种应用方式
一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数
形结合。
（1）以数化形
由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形< br>象，直观的优点，能表达较多具体的思维。在低年级教学中，我们常常会把数的
认识与计算通过形 （学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、学习

数的加减乘除法；而高年级 有些数量也较复杂，我们难以把握，于是就可以把“数”
的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题 。画线段图的方法是每一个数学
老师都把它当作学生学习数学的一项基本技能加以训练的，大家都知道， 在教学
应用题时，常可以借助形象的画线段图的方法，将问题迎刃而解。特别是行程问
题的应用 题，老师们总是不忘借助线段图进行讲解；还如我们在教五年级“时间
的计算”这一课，虽然很多同学通 过计算就能解决问题，但知其然还要知其所然，
我们就可以把时间点、时间段通过线段图来表示，学生就 更容易理解，这种把数
量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，< br>就是图形分析法。
（2）以形变数
虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须 借助代数的计算，特别是
对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特 点，
发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成
“数”的形 式，进行分析计算，最典型的就是二年级教材中的“点图与数”，那
正方形点图所表示的就是每行与每列 的圆点个数都相同，写成算式是两个相同的
因数，于是它们的乘积就是平方数；由此在高年级拓展三角形 数时有这么个小故
事：古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们常把数描绘成沙滩上的点子
或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类，如：1、3、6、10、„„
这些数叫做三 角形数（如下图）。
·
· · ·
· · · · · ·
· · · · · · · · · ·
那么，判断一下45、456、1830、5050这四个数中，哪一个不是三角形数。
中高 年级学生通过观察，可以利用等差数列求和的方法可以找出这个数；也
可以发现如果把一个三角形数去乘 2，就可以写成两个相邻自然数的积，那么高
年级的同学就可以利用分解素因数的方法来判断一个数是否 是三角形数了。如此
以形变数，提高了学生的思维能力。
（3）形数互变
形数互变 是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以数变形或以形变数，而是
需要形数互相变换，不但要想到由“形 ”的直观变为“数”的严密，还要由“数”
的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和 结论同时出发，认
真分析找出内在的形数互变。一般方法是看形思数、见数想形。实质就是以数化

形、以形变数的结合。例如，“近似数”一课中，让学生掌握用“四舍五入法”
求一个 数的近似数是本节课的教学重点。通常我们会直接告诉学生“四舍五入法”
这一概念，然后通过大量的练 习强化求近似数的方法。那么我们不妨反思：学生
做对了是否表明学生已经很好地理解了“四舍五入法” 的含义呢？是否有部分学
生的解题活动完全建立在对概念的机械模仿上呢？事实上，这种机械模仿的情况
是客观存在的。如何帮助学生从本质上理解“四要舍、五要入”的意义呢？我们
可以想到把直观 的数轴引进这节课，在数轴上找最近的路，把四舍五入放到数轴
上展开学习，利用数形结合帮助学生建立 一个形象的数学模型，从而加深了学生
对“四舍五入法”的理解。
又如在解决问题过程中，经 常要用到“数”与“形”互译的数形结合思想，
即把问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形 象化，再根据对图形的
观察、分析、联想，逐步译成算式，以达到问题的解决。最常用的如“鸡兔同笼”
一课：鸡兔同笼，有10个头、28条腿，鸡、兔各几只?本课的解决问题教学策
略书上采用列 表尝试法。如果采用数形互译的画图法解，二年级的学生都能解答，
并且可以从画图法引出数量关系，列 式解答。有几个头就画几个圆（表示动物的
头），然后每个头下加两条腿（表示鸡有两条腿），剩余几条 腿就再添在小动物身
上，每个添2条（原来的鸡就变成了兔）。这样从图上可知兔有4只，鸡有6只。< br>引导学生理解数量关系：首先假设10只全是鸡，每只鸡身上长2条腿，共10×
2＝20（条） 腿，还剩余28-20＝8（条）腿，鸡身上再长2条腿变成兔子，直到
8条腿长完为止。这样就得到兔 子有8÷(4-2)＝4（只），鸡有10-4=6（只）。而
对高年级学生借助于画示意图来分析数量 之间的关系，是我们经常使用的办法。
由此不难看出：“数”“形”互译的过程，既是问题解决的过程， 又是学生的形象
思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思
维作支持，从而使解法变得十分简明扼要且巧妙。
所以，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为 学生提供恰当的形象材
料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生< br>顺利的、高效的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、数学思维的发展、
知识应用能力的 增强，使教学收到事半功倍之效。
三、发挥数形结合思想方法对知识获得的引领作用
1、要善于挖掘教材中含有数形结合思想的内容
教师在教学中要有渗透数形结合思想的意识， 引导学生主动有效地利用课本
中的图形，从图中读懂重要信息并整理信息，提出问题、分析问题、解决问 题，

即让学生通过“形”找出“数”。在小学“数与代数”、“空间与图形”、“统计与
概率”、“实践与综合应用”这四个学习领域中，都能应用数形结合思想进行教学，
我们通过对 教材的分析，初步整理了小学数形结合思想方法在各教学领域的渗透
点：（1）“数与代数”：数的认识 及计算，都能借助小棒图、计数图来理解算理、
法则和方法；（2）“空间与图形”：可以借助数的知识 及数量关系进行各平面图形
的周长和面积的计算；（3）“实践与综合应用”：从所给问题的情境中辨认 出数与
形的一种特定关系或结构，运用画线段图、画分析图、画示意图等方法分析理解；
（4） “统计与概率”：通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。
2、教学时让学生在探索中感受数形结合思想
布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法，能使 数学更易于理解和记忆，领
会基本的数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’。”在教学中，要让 学生
自主探索，感受数形结合思想，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数
学知识形成 的意义。如果教师在教学中教师充分利用学生形象思维的特点，大量
地用“形”解释、演现，经常引导学 生将数与形结合起来，借助形象的图形理解
算理，提炼算法，就能降低学习难度，有效地改善突破教学难 点的方法，提高课
堂教学效率。
3、课后延伸时让学生在解决问题中体验数形结合思想 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，而数形结合思想贯穿于
整个数学领域，我们可以 将复杂的数量关系和抽象的数学概念通过图形、图像变
得形象、直观。同样，复杂的几何形体可以用数量 关系、公式、法则等手段，转
化为简单的数量关系。在课后的知识延伸中，经常引导学生通过数形结合来 解决
生活中的实际问题，从而体验数形结合的好处。
数形结合是小学阶段的一个重要手段，而 这一手段对学生们今后在初、高中
的学习构建空间思维起着关键作用。今天我所讲的只是一些初步的、浅 显的认识，
思维作为一个认知过程，总是与个体的动机、兴趣情感等密切联系并受其制约的，
相 信只要不断激发学生的兴趣，启迪学生的动机，就能够有效地增强学生的逻辑
思维能力和空间想象能力。 巧妙地渗透、应用数形结合思想，既能为小学数学教
学开辟一片广阔的天地，又能为学生的终身学习和可 持续发展奠定扎实的基础。