数学悖论在中小学数学教学中价值
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数学悖论在中小学数学教学中的价值初探
摘要：本文主要通过举例论证的方式提出：数学悖论
有利于培
养学生思维的发散性、批判性和独创性，可以有效地培养和发展中
小学生的数学创新能
力。
关键词：数学悖论；数学教学；数学创新能力；创新思维
中图分类号：g633.6
文献标识码：b 文章编号：1006-5962
（2013）01-0136-01
传统的
数学教学理论一般都认为，数学教学应该尽可能地避免
出现差异或者谬误，尤其是要避免出现悖论，因此
，在这种”正确
的”教学理论指导下的教学实践就是”正确的”的”数学结论”
（包括事实、命
题、法则、规律、推理和证明等）的展示、表演与
习得、操练与熟悉。但是，即使是算术的教学，在这种
教学理论的
指导下，大多数学生最多也只能获得一些”死”的概念符号和计算
程序，而无法获得
真正的数感。
正因为如此，笔者认为，数学发展史上的诸多悖论，如果能够
结合学校数学课程
，并加以合理的处理，它们就可以成为数学课堂
教学中的”本原性”问题；与此同时，在数学课堂教学实
践中也涌
现出许许多多的”原发性”的数学（悖论），它们也是数学”本原
性”问题，所有这些
悖论，如果能够适当地加以运用和捕捉，都会
起到意想不到的教育教学效果。
1
数学悖论有利于培养中小学生思维的发散性
数学悖论不是初等数学内容的简单叠加，它是对中小学生所掌
握的知识从非逻辑的角度、不同方
面进行非本质的变异，突出本质
特征而形成的新的问题，这种问题及其设立的问题情境与解题者的
认知结构之间存在着一定的距离，这就要求学生思维品质具有很强
的变通性，能够随着问题而不断变化
。要解决数学悖论中的问题，
并不需要学生将命题的条件和结论进行多次分解与组合，也不需要
对已掌握的定理与公式进行正向和逆向的转换运用，更不需要灵活
处理图形中的几何元素和位置关系等信
息，但需要学生运用非常规
的思维方式从不同角度，不同侧面找出悖论的成因并寻求正确的解
决
方案，因此，整个探求问题解决的过程就是思维变通性的训练过
程。记得有一次在数学第二课堂上，笔者
曾举个这样一个例子。商
店处理一批旧磁带，其中一种为30盒，每10元卖2盒。另一种也
是
30盒，每10元卖3盒。（20元可买5盒这两种磁带）。合计收入
是250元。第二天为免去分磁带
的麻烦，把各30盒这两种磁带混
合在一起卖20元5盒，结果结账时只卖了240元，另外10元钱到
哪儿去了？
学生初看这一悖论，觉得有趣，学习的兴致都很高，大家自由
发言，允许
学生自由讨论，答案自然是五花八门，很多答案甚至还
不着边际，但我发现通过这简单的一道数学悖论题
，同学们对数学
真正开始思考了，对数学也不那么进行排斥了。
老师可通过以上的类似的悖论训练，使学生的创新素质得到提
高和锻炼，有助于学生发散性思维的培养，对学生的创造性思维培
养有很大帮助。
2
数学悖论有利于培养中小学生思维的批判性
数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中
善
于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。思维的批判性
来源于学生对思维活动各环
节、各方面的调整、校正，即自我意识。
这种自我意识的”调整”、”校正”又来自学生对问题本质的认
识。只有深刻的认识、周密的思考，才能全面正确地做出判断。因
此，思维的批判性是在深刻性
基础上发展起来的思维品质。而数学
悖论因其特殊的思维方式和非常规的逻辑推理，对培养中小学生思<
br>维的批判性能起到很好的推动作用。为了更好地说明数学悖论对思
维批判性的培养作用，现举一个
简单教学案例：
a把自己的自行车作价100元卖给了b。在骑了几天之后，b觉
得车子已旧
，于是以80元又返卖给了a。a又把车作价90元卖给
了c。问：这几次的交易中，甲赚了多少钱？
这道小小的趣题，总是引起各种争论。在教学实习中，同样引
起了学生们激烈的争论。大多数人
争取一下三种看法中的一种。
看法一：我们不知道自行车的原价，因此我们无法知道在第一
次
卖出后甲是否获利。不过，既然他用80元买回，又以90元卖出，
那么显然赚了10元。
看法二：他把车卖了100元，又以80元买了回来。现在他仍有
这辆车，而且还有他先前没有的20元（100-80=20），因此他赚了
20元。因为我们
不知道自行车的实在价格，无法从第二次卖出中得
出什么结论，所以他就赚了那20元钱。
看
法三：甲买回这辆车之后，获利20元。现在他用比买进价多
10元的价钱把车卖出去，又得到10元。
因此他共赚了30元。
哪一种答案是正确呢？
为了将问题搞清楚，我们设自行车的原价a元
，在第一次交易
中，甲把价值a元的自行车卖了100元，赚了100-a元；在第二次
交易中
，用80元买进，第二次交易中作价90元卖掉，这两次交易
确定赚了10元，故整个交易过程一共赚了
110-a元，具体赚了多
少钱就要看自行车的原价是多少了。
我们再回头看看以上三个看法
，会惊奇的发现以上三个看法都
是对的。通过类似上面例子的训练，学生会慢慢意识到并不是给出
的答案就是正确的，也不是说课本上的就完全没有问题，他们会有
自己的思考和判断，他们不愿盲目接
受现成的结论和方法，喜欢通
过自己的独立思考来搞清楚问题的来龙去脉。这样，他们慢慢地就
会更善于辨别数学结论的真伪性，也更富有批判精神。
3 数学悖论有利于培养中小学生思维的独创性
独创性是指独立思考创造出有社会（或个人）
价值的具有新颖
成分的智力品质。其基本特征是”创造”， 这种特征发生的原因
在于：主体对
知识经验或思维材料高度概括后集中而系统地迁移，
进行新颖的组合分析，找出新异的层次和交结点。概括性越高，知
识系统性越强，伸缩性越大，
迁移性越灵活，注意力越集中，则独
创性就越突出。
在数学教学中，我们可通过简单却又新颖
的悖论来激发学生的
探究精神和求知欲，进而培养学生思维的独创性。如，证明两个不
等的数相
等。教师可先给出如下证明过程，接着让学生自己找出产
生悖论的原因。
证明：已知a，b为
不同的两个数，设c是它们的平均数，即
a+b=2c，用（a-b）乘等式两边，有（a+b）（a-
b）=2c（a-b）
展开，a2-b2=2ac-2bc
移项，a2-2ac=b2-2bc
两边加c2，a2-2ac+c2=b2-2bc+c2
配方，（a-c）2=（b-c）2
开方，a-c=b-c，故a=b
这个明显错
误的结论，现在却证明这一结论了。那么证明的过
程错在哪儿呢？你们还可以想出其他类似的方法证明”
证明两个
不等的数相等” 吗？在教学中，这种看似简单却很有教学意义
的”悖论”，教师运用
得当，并加以正确引导、交流和讨论，将对
学生产生终身的益处或”长效”。
在教学中之所以
能培养出学生的创新思维能力，是这阶段学生
的心理和思维的发展所决定的，正像前苏联著名的教育家苏
霍姆林
斯基说的， “在人的灵魂深处，都有一种根深蒂固的需要，这就
是需要感到自己是研究者、探
索者、发现者，而在少年儿童的精神
世界，这种需要特别强烈。”
参考文献
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术出版社，2006年5月
[2] 韩雪涛. 从惊讶到思考-
数学悖论奇景[m].长沙：湖南科学
技术出版社，2007年5月
[3]
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[4] 王秀芳；
郝素娥.论数学悖论的思维特色[j].太原师范学
院学报（社会科学版），1993