母亲节英语-今年国庆

数学核心素养和小学数学教学（一）


史宁中（东北师范大学数学系教授，博士生导师）
数学核心素养和小学数学教学，因为你们在 讨论常态的数学教学，后来张老
师让我讲核心素养，我就把这两个放在一起了，“数学核心素养与小学数 学教学”。
我先讲个前言就是小学数学教学和数学核心素养怎么能挂上钩，我的第一个观点
你们 一定不同意，但是我坚持我的想法。教无定法，绝对不能说哪种教学方法是
最好的办法，教育教学是个艺 术，艺术就是在不同的场合、不同的情况下会采取
不同的方式，所以根据你讲课内容的不同，根据听众的 不同，甚至根据你那天讲
的心情的不同，你可以用不同的教学方法，比如一个新概念的引入，你可能会举
一些例子来说明这个概念是怎么回事；如果要是接续以前的概念，你可能就不要
引入很现实的例 子，直接就讲下去了，我认为都可以，教无定法，但是教书得有
一个基本的规则，所以我希望经过新常态 的讨论能定下一个原则，就是说课堂教
学应该遵循的原则是什么，或者说评价一堂课好或不好的标准是什 么，教书是一
门艺术，艺术同科学的最大区别是什么？科学是无论是谁，无论在哪里，无论在
什 么时候得到的结论都是一样的，这就叫做科学。艺术是会随着人的不同、时间
的不同、场合的不同有所改 变，因此艺术的好坏有一个标准，基本标准就叫做价
值观，由你的价值观来判断这个艺术是好或是不好， 有人认为好，有人认为非常
不好。价值观是什么，就是一堂课的评判标准是什么，在此，中国的《义务教 育
法》中，国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量，就
是不管你怎样 教书，采用怎样的办法，一定要启发学生思考，启发式教学，在法
律中只有这句话，因此在修改《普通高 中数学课程标准》明确指出，数学教学活
动的关键是启发学生学会数学思考，启发学生思考是非常重要的 。

现在在讨论核心素养，核心素养就很难讨论特别清楚，但是有一句话是非 常
好的，就是培养一个孩子，这个孩子可能未来不从事数学，那培养的终极目标是
什么呢？终极 目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现
实世界，会用数学的语言表达现实世界 ，眼光、思维、语言，你在讲课的过程当
中，在备课的过程之中，这个是很重要的，我认为是终极目标。 因此在这样一个
终极目标下，我们好的教学质量应该是怎样的呢？就是把握数学内容的本质，创
设合适的教学情境，在教师的启发下，提一个好的情境、好的问题引发学生思考，
学生让他自然而然的学 会思考是很难的，教师的责任之一就是要他学会思考，敢
于思考，善于思考，这是教师的责任，让学生在 情境中掌握知识技能，感悟数学
内容的本质，积累数学思维的经验，这就是课标说的四基：基础知识、基 本技能、
基本思想和基本活动经验。孩子是否会想问题不是老师教会的，是自己领悟出来
的，是 一种经验的积累，所以老师要帮这孩子积累经验，一个是思维的经验：会
想问题；一个是做事的经验：会 做事情，这两个经验是很重要的。最后加上一句
话，形成数学的核心素养。这样的话你们就记住三件事情 ，第一个就是让孩子们
掌握知识，这是必须的；第二个提高能力；第三个发展素养。素养是终极目标，< br>这样我就把常态教学和核心素养结合在一起了，终极目标是最难实现的。下面我
来谈三个问题，一 、什么是数学核心素养；二、如何在小学数学教学活动中体现
数学核心素养；三、如何在小学数学教学评 价中考查数学核心素养。什么是数学
核心素养，原来我不知道这个词，所以在写课标时写的是核心概念， 我们国家在
教育部文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》中提到了
核心 素养，并且要求修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终，“数学素养”
我知道，但是我不知道“数学 核心素养”。学科核心素养的概念在这个文件中体
现出来的，这个标准出来之后，北师大组成专家团队在 研究核心素养，他们是这
样定义的，是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和
关键能力，那么变成数学核心素养就是：具有数学基本特征的、适应个人终身发

展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维品质。必备品质是比
较难理解的，在此我提出 的核心素养供你们参考和理解。我理解的核心素养是后
天形成的，是在特定场合才能表现出来的，是跟人 的行为有关的知识能力和态度。
涉及三方面：人与社会、人与自己、人与工具，这是我脑袋中想的，只供 参考。
不是后天的，怎么还会在学校里？学习时刻东西表现是本能，这不用你教，是特
定场合表 现出来的，是和人的行为有关的，是思维习惯，是智商，说到底是一种
习惯，有点像修养式的一个习惯， 是在特定场合表现人的行为有关的。我估计在
这个课标公布后都会讨论，我是根据经合组织、科教文组织 、欧盟组织等相关资
料，进行总结合并出这几句话，你要是查原文的话，我建议去查经合组织和欧盟，< br>那是我归拢总结出来的。
现在根据这个想法，我们高中阶段的核心素养定了六个方面，最本质的 是数
学抽象、逻辑推理、数学建模，剩余的虽不是本质，但是高中阶段表现的是直观
想象、数学 运算、数据分析，在写义教课标的时候给了八个核心词，正好和义务
教育的数学核心素养刚好相应：数感 和符号意识正好对上数学抽象；数学抽象在
小学阶段主要表现在符号意识和数感，推理能力及逻辑推理， 模型思想及数学建
模，直观想象在义务教育中体现的就是几何直观和空间想象，几何直观比较好建
立，代数直观非常难建立，还有统计直观更难建立。所以义教阶段只提了几何直
观，我在会上提出过任 何学科应该把这个学科的直观作为培养终极目标，但是义
教阶段是不能都建立起来的，把整个数学直观都 建立是很难的一件事情，所以只
强调几何直观，在高中时候就多了一点，在大学时候要都建立起来。数学 的直观
是看出来了的，不是证出来的。小学老师教直观就是教孩子把结论看出来，是培
养这个直 观。
这三个是很重要的：应用意识、创新意识和学会学习。原来十个关键词的时
候有应用意识 和创新意识，在义教阶段我不知道怎么样，反正在高中阶段学会学
习是很重要的。那么为什么定这几个核 心词呢？它的理由同我终极培养目标是有

关的。刚才说会用数学的眼光观察现实世界，数 学的眼光就是学过数学的人看世
界同没学过数学的人看世界有什么差异呢？学过数学的人看世界会抽象， 会一般
地看问题，因此就是抽象，包括直观想象。其实抽象是看出来的，感情色彩很多
是靠直观 想象的，那么引发的数学特征是什么？就是数学具有一般性，我们数学
研究的东西不是个案的，是一般的 。一定记住你反复做题时你培养技巧是不行的，
技巧是个案的，你要培养技能，但是很多老师培养的是技 巧，对这道题好使，数
学培养的是对很多题都好使。小学数学老师经常会碰到这样的问题：3x+2=5 ，直
接就看出X=1，直接就得出结论x=1，我说不行，你必须用解方程的方法一步步
算，通 信通法往往比你解一道题的方法更重要。第二个，数学的思维是什么？学
过数学的人想问题和没学过数学 的人想问题的本质是什么，一般人都认为学过数
学的人想问题有逻辑，这就是数学的逻辑，引发的数学特 征就是数学的严谨性。
数学的语言是什么？数学有直接应用，数学真正应用到化学和物理这些学科是靠< br>模型，义教阶段比较少，因为模型的原因，它引发数学的特征是数学的广泛性。
现在我进入我要 谈的主要内容，在小学数学中如何教核心素养，主要谈三件
事情。第一如何教数学的抽象，我认为义教阶 段的符号意识、数感甚至把几何直
观和空间想象都归到数学抽象；第二讲逻辑推理，小学核心词中提到的 运算能力
和推理能力；第三讲数学模型的模型思想、数据分析观念。
先谈数学抽象。什么是数 学抽象？数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，
得到数学研究的对象，数学研究对象来自两点，一个是 数量与数量关系，一个是
图形与图形关系。你们记住这件事情，光记住概念是不够的，也没有什么意义的 ，
得到概念的同时，要不得到概念的性质，要不得到概念的之间的关系，这是很重
要的，舍去一 切物理属性，说起来容易，做起来并不是很容易。我们在讲课的过
程中经常会忘记这句话，课标上有一个 例子：天安门城门是一个轴对称图形，有
的学生就提出不对，旗帜没有对称。对称是指什么呢，数学要抽 象，主要是教材
有缺陷，其实应该把所有的物理属性都剔除，就剩下轮廓同颜色也没有关系，天

安门城楼的轮廓是轴对称图形，所以数学应该是去除一切物理属性的。抽象的对
象，我现 在就干一件事情就是把每件事情说得特别仔细，绝不含糊，我也不跟你
云山雾罩，可能说得不全，容易让 人挑毛病，所以一般人都愿意说得云山雾罩，
让你挑不出毛病，但是对于小学老师则不行，我必须把话说 透，所以我写了书《基
本概念与运算法则30问题》，谈得非常仔细。今天我也采取这块原则，抽象的对
象，一个是数量，一个是图形。抽象之后得到了数学研究的对象，得到了概念、
关系和规律。现 在我提出一个问题，就是在小学教学的过程当中，抽象大概要经
过哪几个必要的步骤？我不是很清楚，这 是你们的事，我就往下具体谈了，义教
阶段先谈数、再谈运算和几何。
不仅小学数学，整个数 学，抽象本质上两种方法，第一个方法是对应的方法，
第二个方法是内涵的方法。对应的方法的方法就是 起个名字，但是这个起名字是
极为重要的，我建议小学一、二年级用对应的方法，有的概念一开始引入得 用对
应的方法，然后用内涵的方法，现在我提第一个问题：数是什么？数的本质是什
么？表示数 的关键是什么？这个问题比较泛，我不知道，曾问过东北师范大学研
究教育的一位老先生，他回答不上， 我就比较着急，因为最根本的问题答不上，
我就开始研究了。数是什么？关于理解它涉及到两个素养，一 个涉及符号意思，
另一个涉及到数感。数是符号，是对数量的抽象，光有概念不很重要，关系很重
要，既然是从数量中抽象出来的，那么数的关系来自于数量的关系。你们仔细想
想数量关系的本质是什 么，数量关系的本质是多少。我讲一个例子：来了一只狼，
一只狗敢对付；来一群狼，狗是不是掉头就跑 。动物知道多还是少，所以动物知
道就是本质的，最根本的。数量的本质是多和少，抽象到数就是大和小 ，数的大
和小是数的本质。你光教数字“2”是没有意义的，你要教2比3小，比1大，
怎么教 呢？你们教科书上都是这样教的：三个苹果，三只鸡对应三个小方块，然
后用一个拐弯的符号表示3，就 是这样抽象出来的，所以3就是个符号，对不对？
记住，这个叫做模式，三只鸡、三个苹果对应三个小方 块这是重要的，这是一个

开始的模式，因为有一个研究数学教育的老师曾经问我为什么有 的孩子老也分不
清楚3和4，我就问他是不是讲3的时候讲3个苹果，讲4的时候讲4个梨呢，
他说是。这就不行了，孩子小，他不知道你讲的3跟苹果无关，你讲的4跟梨无
关，他不知道这件事情。 因此我同师大附小的老师说，基于孩子比较小，在一学
期中你用小方块就老用小方块，别一堂课用小方块 ，下堂课用圆，再下堂课用小
长条，把孩子的脑袋搞乱了，要怎么简洁怎么来，慢慢地就懂得了。关于负 数，
我都呼吁好几次了，负数按我这么讲，你们一般是加完等于0的那个就是负数。
我给你们讲 个故事，以后用这个故事讲负数。在小学课本中是不是这样讲的：负
数最早出现于中国的《九章算术》。 我干什么都比较较真，就把《九章算术》翻
来了，方程篇第八题，它讲这样一个事：一个人卖马卖牛挣的 钱，之后又买羊交
了钱，就出现了这么一个情况。文字形式有收入有支出，收入算正的，支出算负
的，负数就是这么出来的。负数和正数是什么关系：数量相等、意义相反，因此
负数也是对数量的抽象 ，如果你把挣的钱算正，交的钱就算负，往东算正，往西
就算负，往上就算正，往下的就意义相反，数量 相等这个事的意义很重要，因此
绝对值是表示它的数量，这还谈了中国传统文化挺好。还有一个对数的认 识是内
涵的方法，内涵的方法是数，是一个个多起来的这个叫后继数，这个是皮亚诺的
算术工艺 体系，数是一个个多起来的，一个个多起来按+1表示，所以加法同时定
义出来的，这是数学的公理，这 是皮亚诺公理，是自然数公理。那么现在就有一
个问题了，我有一次听课说是讲10000，那么10个 1000是10000，我说十千为
什么是一万呢，后来我问我们附小，我们附小也是这样讲，课本上也 是这样讲的，
10个1000是10000，是乘法，那个时候教乘法了吗？10000是怎么回事？在 千以
内最大的是9999，如果又来一个数，我们怎么叫新的数呢？中国老祖宗出面起个
名字叫 万，西方的老祖宗不是特别聪明就叫它10千，一万是起个名字，数是一
个个多起来的，这就是内涵的方 法理解，所以一开始用对应的方法，然后用内涵
的方法来教这个事情。不管你怎么教符号，表达是一致的 ，所以符号表达很重要。

读数怎么读，我也是听一堂课。一开始我看孩子们上课前眼睛 发光，听完这
堂课眼睛就迷离了，我说终于把孩子们讲糊涂了。读数有0不好读，是不是？后
面 有一个0怎么办？后面有两个0怎么办？中间有一个0怎么办？中间有2个0
怎么办？一堂课下来孩子们 都弄糊涂了。下课我就问老师你读数就这么读啊。老
师回答说我不这么读，我说你不这么读你为什么让孩 子们这么读，我说读数的关
键是什么，他说不知道，我说你们这么教书不行。我认为读数的关键就两条， 一
个是符号，0-9；第二个是数位，个位的2和十位的2是不一样的。那么怎么读
呢？就用它 的符号读它的数位就完了，2002（2000零百零10，2个）就是这样读，
你不嫌麻烦就这么读， 你要嫌麻烦就读2002，这堂课就讲完了，还用讲一堂课吗？
五分钟肯定讲完了。还有一件事情就是数 位和数没有分出来“十”个个是“十”，
“十”个十是“百”，“十”个百是“千”，“十”个千是“万 ”，是指数位，为什
么是“十”呢？因为是十进制，数不是，数是一个个多起来的，所以万是计数单位。
运算也有两个方法，我这边讲两个最基础的，再往下你们自己想去。加法怎
么讲？加 法的本质怎么讲？加法是最重要的，你们都这样讲的有3个小方块再加
上1个小方块，4个小方块，所以 3+1+4，对不对？我说为什么等于4，他也说不
出来，我说是不是4=3+1，所以3+1=4。是 的，但是这里有两个事情没有说出来，
什么叫加？什么叫等？他问我怎么讲，我说你这么讲，我们附小老 师现在按我说
的讲：这头有3个小方块，这头有4个小方块，问小孩哪头多，小孩说那头多，
这 头再加上一个小方块，问哪头多，说一样多，所以3+1=4。什么叫加得清楚？
什么叫等要清楚？什么 叫等？等有两个概念，一个是运算的结果，还有一个表示
量相等。等号有这么一个功能，就是等号在讲两 个故事，两个故事量相等，这就
是建立方程。什么是方程呢？就是方程必须讲两个故事，讲一个故事怎么 来列出
方程呢，讲两个故事，两个故事量相等，所以就这样讲。我后来对小学老师佩服
得五体投 地，我讲课讲得干巴巴的，而我们附小老师这样讲：猴哥哥同猴妹妹去

摘桃，猴哥哥摘了 4个，猴妹妹摘了3个，谁摘的多，猴哥哥摘的多，那么我在
猴妹妹这加上一个，一样多，所以3+1= 4。你看人家讲的比我好多了，就是所有
的符号，你跟孩子讲可能讲的不是很清楚，但是你给孩子创设一 个情境，让孩子
去悟。所以这块就涉及到这样一个事了，方程。
什么是方程？含有未知数的等式是方程，这句话对吗？我就问编书的，
2x-x=x是方程吗 ？那是运算，怎么叫方程呢？等号有两个功能，一个是运算，
一个是量相等。那么什么是方程？方程应该 是讲两个故事，两个故事量相乘，因
此应该是含有未知数的表示量相等的等式是方程，不把本质体现出来 ，纠结表面
也没用，含有2的等式是方程，你怎么不说含有加法的等式是方程呢，所以小学
老师 不好当就在这里。这些概念是最基本的概念，这些概念是没法用其他的词无
法形容的概念，这些概念你得 让孩子们悟出来，这就难了，所以我说教大学好教，
教研究生好教，这个概念他都不懂，你都可以批评他 了，你批评小孩子怎么批评
呢？