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七年级数学趣题赏析

有理数及其运算篇
【核心提示】
有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.
通过数轴要尝试使用 “数形结合思想”解：决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简
单，但互为相反数的两个数相加等于0 这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难
点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们 要从七年级把绝对值学好，理解：它的
几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点 往往出现在逆用法则方面.
【核心例题】
例1计算：
1111

......
12233420112012
分析： 此题 共有2012项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，
如能把一些项抵消了，不就 变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成
111

，
1212可利用通项
111

，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解。
n

n1

nn1
11111111
解： 原式=
（）（）（）......()

012
1111111
=
1......


2233420112012
=
1
=
1

2012
2011

2012
例2 已知有理数
a
、
b
、
c
在数轴上的对应点
分别为A、B、C(如右图).化简
aabcb
.
A
a

O
B
b

C
c

分析： 从数轴上可直接得到
a
、
b
、
c
的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断
绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右 边的数总比左边的数大”，大数减小
数是正数，小数减大数是负数，可得到
a
-b<0 、c-b>0.
解： 由数轴知，
a
<0，
a
-b<0，c-b>0
所以，
aabcb
= -
a
-(
a
-b)+(c-b)= -
a
-
a
+b+c-b= -2
a
+c
1

1

1

1

1

例3 计算：

111...

1
< br>1



2012

2011
2010

3

2

分析： 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的奥妙，问
题会变得很简单。
解： 原式=
211

......
=
22
2012
例4 计算：22
2
2
3
2
4
......2
2 010
2
2011
2
2012


1

分析： 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？ 我们
232223423
可先从最简单的情况考虑.2-2+2=2+2（-1+2）=2+2 =6.再考虑2-2-2+2=2-2+2（-1+2）
2322
=2-2+2=2+2（-1 +2）=2+2=6.这又等于6了，显然可以把这种方法应用到原题。
解： 原式＝
22
2
2
3
2
4
......2
20102
2011
(12)

＝
22
2
2
3
2
4
......2
2010
 2
2011

＝
22
2
2
3
24
......2
2009
2
2010
(12)
＝
22
2
2
3
2
4
... ...2
2009
2
2010

＝„„
＝
22
2
2
3
2
4

＝
22
2
2
3

＝6
【核心练习】
1
1
1、已知
ab2
与
b1
互为相反数，试求 ：
1

的值.
......
a2012b2012

ab

a1

b1

2、代数式
abab
的所有可能的值有（ ）个

abab
2013
2、B
2014
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【参考答案】 1、

字母表示数篇
【核心提示】
用字母表示 数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个
数求值是很简单的.如果条件 给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法
或特殊值法.
【典型例题】
例1 已知：
3x6y80
，则
2x4y3
_____
分析： 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化简，然后把要求的代数
式化成能代入的形式，代入就行了。这类问题还可以用“特殊值法”，取
y0
,由
3 x6y80
，可得
x
822
,把
x
、
y< br>的值代入
2x4y3
可得答案.这种方法只适用于选择
．．．
3< br>3
题和填空题，解答题不能用这种方法。
8
解： 由
3x6y80
，得
x2y

3
825
所以
2x4y3
2(x2y)3
=
23
=
33
例2已知代数式
x
n
x
(n1)
2
，其中n为正整数，当
x
=1时，代数式的值是 ，当
x
=-1时，代数式的值是 .
分析： 当
x=1时，可直接代入得到答案.但当
x
=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.
解： 当
x
=1时，

2

x
n
x
(n1)
2< br>=
1
n
1
(n1)
2
=4
当
x
=-1时，
x
n
x
(n1)
 2
=
(1)
n
(1)
(n1)
2
=2
例3 15=225=100×1（1+1）+25， 25=625=100×2（2+1）+25
22
35=1225=100×3（3+1）+25， 45=2025=100×4（4+1）+25„„
22
75=5625= ，85=7225=
（1）找规律，把横线填完整；
（2）请用字母表示规律;
2
（3）请计算2005的值.
分析： 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然。100是不变的，加
25是不变的，括号里的 加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十
位数在变.
22
解： (1)75=100×7（7+1）+25，85=100×8（8+1）+25
2
(2)(10n+5)=100×n（n+1）+25
2
(3) 2005=100×200（200+1）+25=4020025
例4如图①是一个三角形，分别连 接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图
②中间小三角形三边的中点，得到图③。k表示三角形 的个数.
（1）当n=4时，k= 。
（2）请按此规律写出用n表示k的式子。





n=2, k=5 n=3, k=9
n=1, k=1

② ③
①
分析：当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果 有
时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显
现 出来的.
解： (1)k=13
(2)可列表找规律：

n
k
1
1
2
5
3
9
„
„
n
4(n-1)+1
22
k的变化过程 1 1+4=5 1+4+4=9 „ 1+4+4+„+4=4(n-1)+1

所以k=4(n-1)+1 (或4n-3)
【核心练习】
1、观察下面一列数，探究其中的规律：
—1，
11111
，

，，

，
2
3
4
5
6
①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；
②第2012个数是什么？
③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.

3

2、观察下列各式: 1+1×3 = 2, 1+2×4 = 3, 1+3×5 = 4,„„请将你找出的规律
用公式表示出来:
【参考答案】
1 、①

222
1
11
1
，，

;②;③0 .
2012
131
11
12
2
2、1+n×(n+2) = (n+1)

平面图形及其位置关系篇
【核心提示】
平面图形是简 单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好
过程.所以这部分的核心知识是 写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一
样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清 楚的情况下要尽量简便.
【典型例题】
例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.
分析： 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到
多一步 步找规律.列出表格会更清楚.
解： 找交点最多的规律：
直线条数
交点个数
交点个数变化规律
图形
2
1
1
图1
3
3
4
6
„
„
„
„
n
n(n1)
2


1+2=3 1+2+3=6
图2 图3
1+2+3+„+(n-1)




图3
图1
图2

例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则
一共可以连（ ）条直线.
A．20 B．36 C．34 D．22 分析与解：让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上
直线m上的4 个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D.
例3 如图，OM是∠AOB 的平分线.射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠
AOC=80°，那么∠MON的 大小等于_______。
分析：求∠MON有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MO C+∠CON.也可利用差来求，
方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM= ∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线，想
办法和已知的∠AOC靠拢。解这类问题要敢于 尝试，不动笔是很难解出来的.
A
解：因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，
所以∠MOB=
11
∠AOB，∠NOB=∠COB
22
O
11
所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB
22
111
=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°
222
4
M
C
N
B

A E
例4 如图，已知∠AOB=70°，OC是∠AOB的平分线，
C
OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC。
（1）求∠DOE的大小；
D
（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC
B
O
和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的
答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论。
分析：此题看起来较复杂，OC还要在∠ AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出
第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半， 也就是说要求的∠DOE， 和OC在∠AOB内
的位置无关。
解：(1)∵OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC
11
∴
∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA
22
1111< br>∴
∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB
2222
∵
∠AOB=70°
11
∴
∠DOE =∠AOB= ×70°=35°
22
1
(2)由（1）知∠DOE =∠AOB ，和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和
2
（1）中的答案相同.
【核心练习】
1、A、B、C、D、E、F是同一个圆上的六个点，连接其中任意两点可得到 一条线段，这
样的线段共可连出_______条.
2、在1小时与2小时之间，时针与分针成直角的时刻是1时 分.
【参考答案】
1、15条 2、
21

96
分或
54

1111
一元一次方程篇
【核心提示】
一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出 分母
的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错。解含参数方程或绝对值方程
时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、
易解，也就 是列方程时要选取合适的等量关系。
【典型例题】
例1已知方程
2x32a< br>与
2xa2
的解相同，求
a
的值.
分析： 因为两方程 的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，
即可求解。认真观察可知，本题不需 求出x，可把2x整体代入.
解： 由
2x32a
，得
2x2a3

把
2x2a3
代入
2xa2
得
2a3a2

∴
3a5

5
∴
a

3

5

例2 解方程
x
x1x1
2

23
分析：这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况。
解：去分母，得
6x3(x1)122(x1)

去括号，得
6x3x3122x2


6x3x2x1223


5x7


∴
x
7

5
例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。
分析：这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进 价之间的关系，因销售价=进价
×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方 程.
解：设原进价为
x
元，销售价为
y
元，那么按原进价销售的利润率为
yxy93.6%x
100%
,原进价降低后在销售时的利润率为
1 00%
,由题意得：
x93.6%x
yxy93.6%x
100%< br>+8%=
100%

x93.6%x
解得
y1.17x

故这种商品原来的利润率为
1.17xx
100%
=17%
x
例4解方程
x1
＋
x54

分析：对于含 一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，
道理是一样的.我们可先找出两 个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.
解：由题意可知，当
x1 0
时，
x
=1；当
x50
时，
x
=5 ，1和5两个“零点”把
x
轴分成三部分，可分别进行讨论：
①当
x
<1时，原方程可化为 –(
x
-1)-(
x
-5)=4，解得
x
=1.因
x
<1，所以
x
=1应舍去 。
②当1≤
x
≤5时，原方程可化为 (
x
-1)-(
x
-5)=4，化简得 4=4，所以
x
在1≤
x
≤5
范围内任意取值。
③当
x
>5时，原方程可化为 (
x
-1)+(
x
-5)=4，解得
x
=5.因
x
>5，故应舍去.
所以，原方程的解是： 1≤
x
≤5。
【核心练习】

6

3xa15x
a
1、已知关于
x
的 方程
3[x2(x
3
)]
=4
x
与
12

8
1
有相同的解，那么这个解
是 。
2、某人 以4千米小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米小时的速度从乙地返回
甲地，那么某人往返一次 的平均速度是____千米小时.
【参考答案】
1、
27
28
2、 4.8
数据收集与整理篇
【核心提示】
生活中的数据问题，我们要分清三 种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示
变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会 思考，这类问题相对是比较简单的.
【典型例题】
例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）

研究一下可以用哪些统计图来分析：比较这两支球队，并回答下列问题：
（1）你是怎样设计统计图的？
（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法.
分析： 选择什么样的统 计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式
条形统计图，达到直观、有效地目的.
解： 用复式条形统计图：（如下图）

从复式条形图可知乙队胜了3场输了1场.
例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：

7
1 图

（1）三幅统计图分别表示了什么内容？
（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？
（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？
（4） 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得
到这个结论？
分析： 这类问题可根据三种统计图的特点来解：答.
解：（1）折线统计图表示世界人囗的 变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇
形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.
（2）折线统计图
（3）80亿，折线统计图.
（4）扇形统计图
【核心练习】
1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）哪国金牌数最多？
（2）中国可排第几位？
（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？

【参考答案】
1、（1）美国 （2）第3位 （3）俄罗斯.

相交线与平行线篇
【核心提示】
平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定. 单独使用性质或判定的题目较简单，
当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判 定.我们只要记住因为
是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了.
这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知
道先写什么，后 写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种

8

目的去写就能把过程写好了.
【典型例题】
例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以
作直线（ ）条.
A．7 B．6 C．9 D．8
分析与解： 这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数.也可以设只
有A、B 、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C
三点确定一条 直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线.故选D.
例2已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证：AB∥CD.
分析 ：要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？
A
已知三个角的度数，但这三个角 并不是同位角或内错角.因此可以考虑作
辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明平行.过点E 作AB的平行
F
E
线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD.连接BD，利 用同旁内角互
CO
补也可证明.
解：延长BE交CD于O，
∵∠BED=60°, ∠D=20°，
∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,
∵∠B=40°，
∴∠BOD=∠B，
∴AB∥CD.
其他方法，可自己试试！
A

E
例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ ED，CE是
F
∠ACB的平分线，求证： ∠EDF=∠BDF.
分析： 由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内
B
D
错角和同位 角相等可得到结论.
解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴CE∥DF
∴∠EDF=∠DEC， ∠BDF=∠DCE，
∵AC∥ED，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠EDF=∠ACE.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠DCE=∠ACE，
C
∴∠EDF=∠BDF.
O
例4如图 ，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相
交于O点，求∠AOB的度数.
分析：已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，
A
由 角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数.
解： ∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，
B
G
D
C
B
11
∠CAB，∠OBA=∠CBA，
22
1111
∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA） =（180°-∠C）=45°，
2222
∴∠OAB=

9

∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°.
（注：其实∠ AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-
=90°+
1
（180°- ∠C）
2
1
∠C.
2
D
C
所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住.）
【核心练习】
E
1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α。
2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，
∠C=∠D，求证：∠A=∠F.
【参考答案】
1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线.
2、先证BD∥CE，再证DF∥AC.


10
A
B
D
E
F
2
3
4
1
A
B
C