广西高考分数线公布-初二日记

小学数学趣题集

【一】鸡兔同笼：大约在1500年前，《孙子算经》中记载 ：“今有鸡兔同笼，
上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，数头有35个；数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只？

【二】牛顿问题：英国科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道有
名的、关于牛在牧场上吃草的题 目，人们把它称为“牛顿问题”：“有一牧场，已知
养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草 吃尽。如果养牛21头，几天
能把牧场上的草吃尽？（并且牧场上的草是不断生长的）”
【练一练】有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12
天把草吃尽。如果养15 只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽？

【三】鬼谷算：我 国汉代有位大将 叫韩信，他每次集合部队，只要求部
下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报 数的余数，他就
知道到了多少人。他的这种 巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为
韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概
括了这一算法，他写道 ：“三人 同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，
除百零五便得知。” 这首诗的意思是：用 3除所得的余数乘上70，加上用5除
所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于 105就减去105
的倍数，这样就知 道所求的数了。比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式 是：1×70
＋2×21＋3×15＝157，157－105＝52（个）
【练一 练】四皓小学订《中国少年报》若干张，如果三张三张地数，余
数为1张；五张五张地数，余数为2张； 七张七张地数，余数为2张。四皓小
学订《中国少年报》多少张？

【四】电灯泡问题：“过 道里依次挂着标号是1，2，3, ……100的电灯
泡，开始它们都是灭的 。当第一个人走过时，他将标号为1的倍数的灯泡的开关
拉一下；当第二个人走过时，他将标号为2的倍 数的灯泡的开关拉 一下；当第
三个人走过时，他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下；……如此进 行下去，

当第一百个人走过时，他将标号为100 的倍数的灯泡的开关拉一下。问：当第
一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是多少？”


【五】巧求六位数：“六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少？”
【练一练】：四位数□89□能被89整除，这个四位是多少？答案：（4895）
【六】时钟问题：① “钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。”
分针每分钟旋转的速度： 360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷(12×60)
＝0．5°，在钟面上要么 是分针追赶时针，要么是分针超越 时针。这里的转动角
度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟面 上两针的运动相当于典型的追及
问题。
例1：钟面上3时多少分时，分针与时针恰好重合？

例2：在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？
例3：钟面上12时30分时，时针在分针后面多少度？
例4：钟面上6时到7时之间两针相隔90°时，是几时几分？

【七】最 优化问题：既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获
得在可能范围内的最佳效果，因此，最优 化问题涉及统筹、线性规划——排序不
等式等内容。
例1:货轮上卸下若干只箱子， 总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1
吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重 3吨的汽车？
例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各10 0
根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？
例3: 一个锐角三角形的三条边 的长度分别是两位数，而且是三个连续偶
数，它们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长是多 少厘米？

例4: 把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。
例5: A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每
人最多可携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其
中一个人最远可以深入 沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将
部分食物存放于途中以备返回时取用呢？

例6、今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，
乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质
数）颗棋子， 谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？
例7、有一个80人的旅游团，其中 男50人，女30人，他们住的旅馆有11
人、7人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们 至少要住多少个房
间？

[练习]
1、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的
最大值是多少？（不包括0）
2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直
角边的和为8 ，则三角形的最大面积为多少？
3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水 所需要的时
间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟，如果只有一个水龙头适当
安排 他们的打水顺序，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最
小值是多少分钟？
4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙
管需24小时注满。若要求10 小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可
能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？
5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任
务后应该在该公路的什么地点 集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集
合地点的路程总和最小？

6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑
板上已写过的数的约数，不能完 成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者
必胜？如何取胜？


【八】利润与折扣：工厂和商店有时减价出售商品，通常称为“打折扣”
出售，几折就 是百分之几十。一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商
家在成本价的基础上提高价格出售，所 赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称
之为利润率。期望利润=成本价×期望利润率。
例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送
50元出租车费”的广告， 结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多
少元？
例2：一种服装，甲 店比乙店的进货便宜10%，甲店按20%的利润定价，
乙店按15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价 便宜11.2元，甲店的进货价是多
少元？
例 3、原来将一批水果按10 0%的利润定价出售，由于价格过高，无人
购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的4 0%，此时因害怕剩
余水果会变 质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？
[练习]：
1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出
12个的钱 一样多。这种商品的进货价是每个多少元？
2、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元 。这些货物原计划要销售
3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，
所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多
少元？
3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商
店经理说： “如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了

一下，若减价5％ ，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：
这种商品的成本是多少元？
4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到
商店的距离是400千米，运 费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及
销售过程中的损耗是10％，商店要想实现25％ 的利润率，零售价应是每千克多
少元？
5、小明到商店买了相同数量的红球和白球， 红球原价2元3个，白球原
价3元5个。新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。问 ：
小明共买了多少个球？
6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付 利息5万元。
甲种贷款年利率为12％,乙种贷款年利率为14％。该厂申请甲、乙两种贷款的金
额各是多少？
7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出< br>15支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？
8、某种蜜瓜大量上市，这几天的 价格每天都是前一天的80％。妈妈第一
天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元 。若这10个蜜
瓜都在第三天买，则能少花多少钱？
9、商店以每双13元购进一批 凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，
除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问：这批凉 鞋共多少双？
10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球< br>加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的
进价是多少元？

【九】找次品问题：例1 有4堆外表一样的球，每堆4个。其中三堆是正
品、一堆 是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称
一次，把是次品的那堆找出来。
例2、有27个外表一样的球，其中有一个次品，重量比正品轻，用天平
只称三次（不 用砝码），把次品球找出来。

【一】鸡兔同笼： ※ ①假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就
变成了“独角鸡”，每只兔就 变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由
94只变成94÷2=47 只；（2）如果笼 子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总
数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的 只数，即47－35
＝12（只）。显 然，鸡的只数是35－12＝23（只）。
【 “砍足法”令古今中外数学家赞叹不已，这种思维方法叫化归法。化归法
就是在解决问题时，先不对问题 采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行
变形，使之转化，最终把它归成某个已经解决的问题。】
②用“假设法”：假设全部是鸡，头有35个，则脚有35×2=70只，相差
94- 70=24只，是兔多出的脚，每只兔多2只脚，兔有24÷2=12只，鸡有35－
12＝23（只） 。
③用“方程”来解：解设兔头X只，则鸡有35-X只，列式为4X+（35-X）
×2=94，X=12，鸡有35－12＝23（只）。
【二】牛顿问题： ※一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1。
（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的
草和6天新长的草。）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的
草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
（5）每天新长的草足够15头牛吃，2 1头牛减去15头，剩下6头吃原
牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧
场上的草吃尽。
【四】电灯泡问题：※ 此题实质是找每个 灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数1，灯亮；
第二个灯泡有两个因数1、2，等灭；由此可以看出因 数的个数是奇数时，灯亮；因数的个
数是 偶数时，灯灭。故当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡 标号是1、4、9、16、

25、36、49、64、81、100。
【五】巧求六位数： ※采用“假设──计算──排错──验证”的方法。
假设六 位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余数大于
9，所以不合题 意。
假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也
不合题意。
假设六位数为743219，则743219÷4321＝172…7，余数小于9，可见符< br>合条件的六位数为743219－7＝743212。
当六位数的首位数分别为6、5 、4、3、2、l时，经计算均不合题意。综
上分析，要求的六位数为743212。
【六】时钟问题：例1： ※ 整3时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔
90°。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在整3时到两针重合的这段时间内，分针要
比时针多 行走360÷12×3=90°，每分钟分针比时针多走6－0．5＝5．5(度)，所用时间为
90÷ 5．5≈16．36(分)。
例2： ※ 在整5时，时针与分针相隔360÷12×5=150° ，然后分针先是追
上时针，分针需比时针多行走150°，然后超越时针180°，共150＋ 180 =330°，
分针每分钟旋转的速度：360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷(1 2×60)
＝0．5°，(150＋ 180)÷(6— 0．5)＝ 60(分) 5时60分即6时正。
例3： ※整12时，分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。到12时
30分钟，分针走180°到达6时的位置上，而时针在30分钟内也在行走。实际
上两针相隔 的度数是在30分钟内分针超越时针的度数：
(6—0．5)×30=55×3=165(度)
例4：※从6时整作为起点，此时两针成180°。当分针在时针后面90°时或
分针超越时针90° 时，就是所求的时刻。
(180—90)÷(6—0．5) ＝90 ÷5．5 ≈16.36(分钟)(180＋ 90)÷(6— 0．5) ＝
270÷5.5 ≈49．09(分钟）
[此题还可采用分率方法来解决]
【七】最优化问题：例1: 【分析】因为每一只箱子的重量不超过1吨，所
以每一辆汽车可运 走的箱子重量不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。所以，

5辆汽车本是足够的，但是 4辆汽车 并不一定能把箱子全部运走。例如，设有
13只箱子，，所以每辆汽车只能运走3只箱子，1 3只箱子用4辆汽车一次运不
走。因此，为了保证能一次把箱子全部运 走，至少需要5辆汽车。
例2:【分析】 一个10尺长的竹竿应有三种截法：（1）3尺两根和4尺
一根，最省； （2）3尺三根，余一尺；（3）4尺两根，余2尺。为了省材料，
尽量使用方法（1），这样50根原 材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4
尺的竹竿，还 差50根4尺的，最好选择方法（3），这 样所需原材料最少，只
需25根即可，这样，至少需用去原材料75根。
例3:【分析】三角 形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，
2，4，6，8，且它们的和也是偶数，又它们 的个位数字的和是7的倍数，只能
是14，三角形三条边最大可能是86，88，90，周长最长为86 +88+90=264厘
米。
例4:【分析】先从较小数形开始实验，发现其规律：
把6拆成3+3，其积为3×3=9最大；
把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大；
把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大；
把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大；……
这就是说，要想分拆后的数的乘积 最大，应尽可能多的出现3，而当某一
自然数可表示为若干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一 起再分拆成
两个2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8 748为最
大。
例5:【分析】设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转 给B，此时B
共有（48-3X）天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8，剩 下的24 天食物，
B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙漠深处走16天，因为每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠 320千米。
如 果改变条件，则问题 关键为A返回时留给B24天的食物，由于24天
的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程，而另外2 4天的食物要供A、B两
人往返一段 路，这段路为24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天 的路
程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠360千米。

例6： 【想】 因为1400=7×200，所以原题可以转化为：有围棋子200颗，
甲、乙两人轮流每次取 P颗，谁最后取完谁获胜。乙有必胜的策略。由于
200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k +1或4k+3的形式（k为零或正整数）。
乙采取的策略为：若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙 取 2，3，1颗，使得余下的
棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时 甲总不
能取完，而乙可全部取完而获胜。
[说明] （1）此题中，乙是“后发制人” ，故先取者不一定存在必胜的策略，
关键是看他们所面临的“情形”（2）我们可以这样来分析这个问题 的解法，将所
有的情形 --剩余棋子的颗数分成两类，第一类是4的倍数，第二类是其它。若
某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第
一类情形，若 取棋时面 临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类
情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在 绝大部分双人比赛问题中，都
可采用这种方法。
例7： [分析] 为了使得所住房间数 最少，安排时应尽量先安排11人房间，这样50人男的
应安排3个11人间，2个5人间和1个7人间 ；30个女人应安排1个11人间，2个7人
间和1个5人间，共有10个房间。



[习题参考答案及思路分析]
1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13为公约数,这样这十个正整数可以
是 ,91×2，它们的最大公约数为91。
2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况 下，等腰直角三角形
的面积最大。若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为 ×4×4=8。
3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：（1）排队
的人尽量少； （2）每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水，才能
保证开始排队人多的时候，每个人等待 的时间要少，故共需
5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分钟）。
4、由 于甲、乙单独开放都不可能在10小时注满水池，因此必须有时间
甲、乙全放。为了使它们合放的时间最 少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲

开10小时注满水池的，余下 只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少需要4
小时。
5、此问题我们可以从最简单问题入手，寻找规律，从而解决复杂问题，
最后集合地点应在中间地点。
6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写6，乙仅可写4，5，7，8，9，
10中的 一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙写数
对中的某个数，甲就写数对 中的另一个数，则甲必胜。
【八】利润与折扣：例1： ※定价是进价的1+35%=135% ，打九折后，
实际售价是进价的135%×90%=121.5%，每台DVD的实际盈利：208+5 0=258
（元），每台DVD的进价258÷（121.5%-1）=1200（元）
例 3： ※要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第
二次是按百分之几的利润定价。 解：设第二次降价是按x%的利润定价的。
38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2%，X% =25%，（1+25%）÷（1+100%）=62.5%
例2：※ 设乙店的成本价为1，乙 店的定价是（1+15%），甲店的定价（1-10%）
×（1+20%），甲店比乙店的出厂价便宜 11.2元的对应分率是（1+15%）-
（1-10%）×（1+20%）=7%，11.2÷7%= 160（元）160×（1-10%）=144（元）

【九】找次品问题：例1 ※依次从 第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、
4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100 克多几克，第几堆就是
次品球。
例2： ※第一次：把27个球分为三堆，每堆9个， 取其中两堆分别放在
天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分三堆 ，每堆3个球，按上法称
其中两堆，可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第 二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平
不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩 下一个未称的就是次品。