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《图形中的趣题》活动方案

一、活动目的
人们普遍把数学教学视为 “思维的体操”，这自然是有道理的。但在实际上
又常常仅侧重于逻辑思维，这就偏狭了。针对我国数学 “双基”教学的薄弱环节，
特别强调在培养学生发散思维、创造思维上进行教学设计是适当的。根据现实 的
需要，我们必须适当拓展中学数学习题的观念，构建基础性训练与探索性训练相
结合的习题体 系，通过设计数学问题，培养学生的发散性、创造性思维，有效改
进学生的学习。下面是一个探索性课题 。
二、活动内容
一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线。我们可以看到图1< br>中三角形的三条中位线把这个三角形分成了4个小的三角形，而且这些小的三角
形都是全等的。



图1 图2 图3
把三条边都分成三等分，再按图2将分点连起来，可以看到整个三角形被分
成了9个小的 三角形，而且这些小的三角形也都是全等的。我们还可以把三条边
都分成四等分如图3，再似图1、图2 那样将分点连起来，可以看到整个三角形
被分成了一个个更小的全等三角形。
现在请你和你的同学起参与如下的探索活动：
（一）、收集数据:
1．数一数图1、图2中的点、线段和全等三角形的个数，用一张表记录下来；
2．再把三条 边都分成四等分，似图1、图2、图3那样将分点连起来，数一数这
时的点、线段和全等三角形的个数， 也记录在相应的表格中；
三角形的边的等分数k
点的个数
P
k
线段的个数
L
k
全等三角形的个数
S
k

2
3
4

（二）、数据分析
3．仔细分析所得到的一些数据，相互交流讨论，想一想其中有什么关系；
三角形的边的等分数k
点的个数
P
k
线段的个数
L
k
全等三角形的个数
S
k

2
3
4
6
10
15
9
18
30
4
9
16
猜想1：全等三角形的个数等于等分数的平方 。即
42
2
，
93
2
，
164
2< br> 。
猜想2：线段的条数都是3的倍数。
猜想3：点的个数
6123
，
101234
，
1512345

猜 想4：线段的条数和点的个数的关系：
L
3
3P
2
，
L< br>4
3P
3
，
猜想5：线段的条数
93(12)
，
183(123)
，
303(1234)

猜想 6：
S
k
＝
k
2
，
P
k
12 3

k(k1)
，
L
k

3
P
k1

3(1

2

3

< br>k
)
，
猜想7：┉┉┉┉┉
继续把三条边都分成五、六……等分 、似图1、图2那样将分点连起来，数一数
这时的点、线段和全等三角形的个数，看看与你的猜想是否符 合；



三角形的边的等分数k
点的个数
P
k

2
3
4
5
6
…
n
6
10
15
21
28
…
(n1)(n2)

2
线段的个数
L
k
全等三角形的个数
S
k

9
18
30
45
63
…
3n(n1)

2
4
9
16
25
36
…
n
2

通过对当 k＝2,3,4,5,6时，
P
k
，
L
k
，
Sk
的值的观察，探究它们之间的关系，

S
k
＝
k
2
，
P
k
123

k(k1)< br>，
L
k

3
P
k1

3(1
2

3


k
)
，
下面我们研究
123k
的求和：
不妨设
a123 k
，那么对这一组数进行倒序即
ak(k1)(k2)1
。把 两个数组对齐上下逐逐项累加，

a123

k
得 
ak(k1)(k2)

1

2a(k1 )(k1)(k1)(k1)k(k1)

a
k(k1) (k1)(k2)3k(k1)
所以
S
k
＝
k
2，
P
k

，
L
k
3P
k1


222
（三）、结构分析
以上我们对它们从代数方面进行考虑，通过 找数据的规律得出了点、线段、
小三角形个数与边的等分数k之间的关系。那么由它们的几何结构我们能 否得到
相应的结论呢？
1. 如果我们仅看图形中的点不难发现每一层都比上一层多一点，那 么
等分成k份就有了k+1层的点，这就解释了为什么
P
k
123

k(k1)
所以
P
k

(k1)(k2)

2
2. 如果我们 把图形中的线段也用分层的方法来看，每三
条线段看成是一个三角形的三条边，不难发现每一层都比上一 层多一个三角
形。那么等分成k份就有了k层三角形，所以
3k(k1)

2
3. 对于图中三角形的个数就比较容易一些，把两个相同
的图形拼成一个平行四边 形，按照三角形的等分方
L
k
3693k3(123k)< br>即
L
k

法可以看出平行四边形被等分成
kkk
2
个
小平行四边形，每一个小平行四边形由两个小全等三角形构成。所以一共有
2k< br>2
个小全等三角形。即
2S
k
＝
2k
2
，< br>S
k
＝
k
2
。
（四）、归纳总结
问题解 决思路：一、是通过观察图形搜集数据；二、是运用数据分析发现
事实并进行猜想；三、是通过数据的结 构分析进行严格证明；四、是基于直觉和
图形的几何结构创造性地理解事实。通过数形的结合，最后给出 问题的解答。

活动总结和反思
要培养学生的创造力，这是个较好的例子，可 供学生在自我监控的思路下，
找到不同的解题思路，提出不同的猜想，从不同方面去解决问题。于是，可 以对
它隐含的知识和能力标准作出如下分析：
(1)几何和测量概念(观察平面图形，想象小三角形递增序列的几何模型)；
(2)函数和 代数概念(用公式对给出的情境构建模型，运用和处理变量表达
式，运用函数作结构分析；
(3)数学技能和工作(学生制作和运用粗略的表格和图式，提高理解力)；
(4)数学交流(由学生自行筹划工作，系统、简明、清晰、准确地表示出数
学步骤和结果)。