橘片爽-写老师的诗歌

生活中的许多事都蕴含着数学思想；我们先看一个猜数游戏。甲心中想一个32以内
的数 ；乙只许问“比某数大吗？”甲只回答“是”或“不”；那么乙最多5次必可猜中。比
如甲想的是23； 下面是5次提问与回答：

（1）“比16大吗？”；“是”；

（2）“比24大吗？”；“不”；

（3）“比20大吗？”；“是”；

（4）“比22大吗？”；“是”；

（5）“比23大吗？”；“不”。于是乙猜中甲想的23。


这里乙用的是对分法。32的一半是16；第1次问话后；乙知道甲想的数在17～32之
间； 17～32中间的数是24；第二次问话后；乙知道甲想的数在17～24之间。依此
类推；因为32= 25；经5次对分；必猜中。


对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。


例1：
有1000箱外形完全相同的产品；其中999箱重量相同；有1箱次品重量较轻。现有
一个称（一 次可称量500箱）；怎样才能尽快找出这箱次品？


分析与解：因为称量一次只有 两种结果：等于规定重量或轻于规定重量；所以可用对
分法。先取500箱称；若等于规定重量；则次品 在另500箱中；若轻于规定重量；则
次品在这500箱中。然后对有次品的500箱再对分；取其中的 250箱称……因为1000
＜1024=210；所以经过10次称必可查出次品。


若一次试验可以有三种不同的结果；则可用三分法。


例2：

现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量较轻的假珍珠 ；怎样
才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？


分析与解：因为天平 称重有三种结果；①两边一样重；②左边重；③右边重；所以
可以用三分法。

先将81粒珍珠三等分；在天平两边各放27粒珍珠；天平下还有27粒。若两边< br>一样重；则假珍珠在天平下的27粒中；若左边重；则假珍珠在天平右边的27粒中；
若右边重； 则假珍珠在天平左边的27粒中。


然后再将有假珍珠的一堆三等份；继续上面 的做法。因为81=34；所以只需要称
4次就可将假珍珠挑出来。


我们再看看“空瓶换酒问题”。


例3：某商店出售啤酒；规定每5个空啤 酒瓶能换1瓶啤酒。张叔叔家买了80瓶啤
酒；喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒；那么他们家前后共 能喝到多少瓶啤酒？


分析与解：

我们按照实际换酒过程分析：

喝掉80瓶啤酒；用80个空瓶换回16瓶啤酒；

喝掉16瓶啤酒；用16个空瓶换回3瓶啤酒余1个空瓶；

喝掉3瓶啤酒；连上次余 下的1个空瓶还剩4个空瓶。此时；再借1个空瓶；与剩下
的4个空瓶一起又可换回1瓶啤酒；喝完后将 空瓶还了。

所以；他们家前后共喝到啤酒80+16+3+1=100（瓶）。
< br>解例3的关键是：正确运用“5个空瓶可换1瓶啤酒”这个条件；特别是最后一次换瓶
的技巧；你 不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始酒的瓶数很多；那么这个换酒的
过程就会很长。

有没有简便的算法呢？

注意到“每5个空瓶可换一瓶啤酒”（连酒带瓶）这个条件； 可知每4个空瓶就能换到
一瓶啤酒（不带瓶）；

那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶啤酒；

所以张叔叔家前后共能喝到80+20=100（瓶）啤酒。

综合式是80+80÷（5-1）=100（瓶）。

有了上面的简捷思路；求解类似的问题就简单多了。


例4 ：一块钢锭可以铸成25个机器零件的毛坯；每加工5个机器零件的毛坯所剩
的脚料又可以铸成一个机器 零件的毛坯。现在有这种钢锭10块；最多可以加工多
少个机器零件？


分 析与解：这类“铸坯加工零件”问题显然也属于“空瓶换酒”问题。由“每加工5个
机器零件的毛坯所剩 的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯”可知；实际每加工5个
机器零件只需要4个机器零件的毛坯（没有 脚料）；即每


（个）机器零件。注意；此处不能使用四舍五入；只能使用去尾法。综合式是


也可以这样想：因为每加工5个机器零件只需要4个机器零件毛坯（没有脚料）。


10≈312（个）机器零件。综合式是



例5：
< br>5个空瓶可以换一瓶汽水；某班同学喝了189瓶汽水；其中有一些是用喝剩下来的
空瓶换的；那 么他们至少要买多少瓶？

分析与解：本题告诉了按空瓶换汽水的原则和共能喝到的汽水；反过 来求原先至
少要买的汽水瓶数。根据“5个空瓶可以换1瓶汽水”（连汽水带瓶）



能喝到189瓶汽水呢？

显然至少应买汽水：

注意；此处不能使用四舍五入；只能使用收尾法。

综合式是


下面；我们讲讲如何利用对称的思想来分析解决问题。


例6：甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规则是：每人每次只能
放一枚；硬币不许 重叠；谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放；谁就获胜。
如果甲先放；那么他怎样放才能取胜？< br>


分析与解：这道题初看太抽象；既不知道圆桌的大小；又不知道硬币的大 小；谁
知道该怎样放呀！我们用对称的思想来分析一下。圆是关于圆心对称的图形；若A
是圆内 除圆心外的任意一点；则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图；
其中AO=OB）。所以；圆内 除圆心外；任意一点都有一个（关于圆心的）对称点。
由此可以想到；只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的 圆心处；以后无论乙将硬币放
在何处；甲一定能找到与之对称的点放置硬币。也就是说；只要乙能放；甲 就一
定能放。最后无处可放硬币的必是乙。


甲的获胜策略是：把第一枚硬 币放到圆桌面的圆心处；以后总在乙上次放的硬币
的对称点放置硬币。


这种利用对称思想的获胜策略体现出了一种机智；而这种机智来源于数学思
想。同学们经常进行这种锻炼 ；就会变得越来越聪明。比如；有两堆火柴；第一
堆20根；第二堆25根；甲、乙二人轮流从中取火柴 ；每次可以从任一堆中取走
任意数量的火柴；取走最后一根火柴者胜。甲先取；怎样才能保证获胜？利用 对
称的思想分析；只要甲先从第二堆中取走5根；此时两堆火柴的数量相等（也是
一种对称）； 以后无论乙从哪一堆取多少根火柴；甲都对称地从另一堆取相同数
量的火柴；只要乙能取；甲就能取；所 以最后一根必被甲取走；甲胜。