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“柳卡问题”趣题新解

在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一 天，正当
来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国
数学家柳卡向在场的数学家 提出困扰他很久、自认“最困难”
的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽
约 ，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮
船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是 匀速航行在
同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约
的航行过程中，将会遇到 几艘同一公司的轮船从对面开来?”
问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。尽管为此问
题大家进行过广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟
还没有人真正解决这个问题。这个有趣的数学 问题，被数学
界称为“柳卡问题”。

其实，“柳卡问题”的解决并不困难， 运用小学的数学
知识就可以解决它，而且解法还十分新奇有趣。下面，就对
这些趣解作一介绍。
一、游戏法
你可以组织班级中的同学和你一起来做个“解题”游戏。
你扮 成从哈佛开出的那艘轮船，其他同学扮成从纽约开往哈
佛的轮船，让他们站在学校操场的一边，而你站在 他们的对

面。中间用六张小凳均匀分成七等份(相邻两张小凳间的距离
约两步长 )，用来表示一个昼夜的航程(白天一步，夜晚一步)。
在你的口令声中，他们一个接一个地用相同的步 幅，较均匀
地向你这边走过来。前一个同学刚走到小凳处，后一位同学
就开始出发，就犹如每天 中午从纽约开出的轮船。当第一位
同学走到你这边，你就立刻均匀地向对面走去，并记下迎面
碰 到的同学数。当你走到对面的时候，结果就出来了，一共
遇到了15位同学。这就是说，将会遇到15艘 同一公司的轮
船从对面开来。不仅如此，如果你注意记录下与每一位同学
相遇的地点的话，你会 发现每到小凳处就会遇到一位同学，
每到两张相邻小凳之间处也会遇到一位同学，加上出发时遇
到的那位同学，一算便知在途中遇到15位同学。同学们，
你们说这样的“解题”游戏是不是很有趣?
二、图表法
通过对“解题”游戏中相遇地点的记录，我们发现了一
昼夜会 遇到两艘从迎面开来的轮船。如果我们假设每半天的
航程为“1”的话，那么从哈佛到纽约的全程就为1 ×2×7=14，
这样可以列出每隔半天相遇两船的航程，如下表：
从表格中，可以一目了然地知道从哈佛出发的轮船，沿
途将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。
三、算术法
你在做“解题”游戏的过程中，可能已经看到“柳卡问

题”也是一类相遇问题。如果设每艘轮船的速度是x海里／
昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船 相遇时，同下一艘即将
相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么)，即
为x海里。 因此，同下一轮船相遇的时间应是x÷(x+x)=0．5(昼
夜)，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇 到两艘从迎面驶来的
轮船。那么，七昼夜一共可以遇到7×2=14(艘)从对面开来的
轮船， 加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。同学们，
你们说这样的算术解法是不是既简单又有趣呢?
四、图像法
如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城
市，O点 代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(假设是十五号)，
O点的右侧数代表出发后的日期，O点的左侧数 代表出发前
的日期。过点。作一条垂轴OS垂直于这两条平行线，设OS
与代表纽约的平行线交 于A，A点就代表从哈佛出发的轮船
出发的那一天(也是十五号)。我们将每艘轮船的出发日期与
它到达日期之间用线段相连，这些线段都是长度相同的平行
线段，表示它们各自的航行路程图线。最后 我们将这艘从哈
佛出发的轮船的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不
难发现这根线段的长 度与上面的平行线段是等长的，这与条
件“轮船都在同一航线上航行”相吻合。看!奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船的路程图线产生了15个交点，
这15个交点的位置就是它们相遇的具体 地点，因此“柳卡

问题”的解应为15艘轮船。
五、转化法
我们先来考虑一个非柳卡问题：“如果该轮船公司要维
持“柳卡问题”中提到的哈佛与纽约 之间的正常航行。至少
需要配备多少艘轮船?”要解决这一问题，可设一艘轮船第
一天中午从哈 佛出发，经过七天，第八天中午到达纽约，第
九天中午从纽约出发，再过七天，第十六天又回到了哈佛，
开始准备下一个来回的航行。这十六天中，每天中午需从哈
佛发出一艘轮船，所以要想维持正常 航行至少需要16艘轮
船。
现在我们再来看“柳卡问题”。如果该轮船公司的16艘< br>轮船都在航线上，其中一艘从哈佛出发时，它后面一艘正好
回到哈佛，它们之间没有其他的轮船； 这艘轮船到达纽约时，
它前面一艘船正好从纽约出发，它们之间也没有其他的轮船。
这样，在从 哈佛到纽约的航程中，该轮船与本公司的其他15
艘轮船都要相遇一次。因此，从哈佛出发的轮船沿途将 会遇
到15艘同一公司的轮船从对面开来。
以上五种解决“柳卡问题”的方法是不是很巧妙?同学
们，想想看，你能想出其他更有趣的解法吗?
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF
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