北京市国家税务局-促销方案

两道趣题的多种解法及推广

1
例1：传说很 久很久以前，有位智慧老人，在他临死之前立下遗嘱，将他唯一的家产17头牛分给三个儿子，长子分
2
，
1
1
次子分
3
，老三分
9
，不能杀牛分 肉，也不能伤害兄弟情谊。若无法分，就去找他老朋友黄老头。三兄弟无法分，只好去
1
请教黄 老头，老人略一思索，就把自己的一头牛让他们牵走，参与分配，结果长子分得了9头牛（18×
2＝9），次子分得
1
1
了6头牛（18×
3
＝6），老三分得了 6头牛（18×
9
＝2）。他们刚好把17头牛分完，剩下的一头还给黄老头，三兄弟既高兴又满意。
这就是有名的黄老头分牛问题，它采用了一种奇特的技巧借一法，巧妙地解决了这一数 学问题，令人回味无穷。我们
再看下面的例子。
例2：有一家商店出售啤酒，它有一个规定， 即三个啤酒瓶兑换一瓶啤酒。一位顾客从此店买了12瓶啤酒招待客人，
问此人最多可从这家商店得到多 少瓶啤酒喝？此题的一般解题思路是：喝完12瓶啤酒后，用12个空瓶又可兑换4瓶啤酒，
喝完后，再 用其中3个瓶子兑换一瓶啤酒，最后只剩下2个空瓶，即最多只能喝12＋4＋1＝17瓶啤酒，并且剩下2个瓶 子。
似乎本题的求解到此结束，但是巧妙的方法是再借1个啤酒瓶，合起来共3个啤酒瓶，可兑换一瓶啤 酒，喝完后，归还一个
啤酒瓶，即最多可得到12＋4＋1＋1＝18瓶啤酒喝，本题也巧妙地采用了借 一法的解题方法。
事实上，以上两个例子的求解可归结为无穷递缩等比数列求极限的问题，它们都属于 无限可分的问题。其解答如下：
解法二
（例1）的解答：第一次分配
1
11
长子分17×
2
头，次子分17×
3
头，老三分17×
9
头
1
17
1111
而（1―
2
―
3< br>―
9
）＝
18
；也就是说还剩下总数的
18
没参与分 配，即还剩下
18
头
第二次分配
1
171717
11
长子分
18
×
2
头，次子分
18
×
3
头，老三分
18
×
9
头
17
17
1
同样剩下参与本次分配数目
18
的
18
，本次分配结束就剩下
18
2

头
……
1
这个过程可一直延续下去，直至无穷，这样， 每一次分配结束后，都余下上次分牛剩余数目的
18
没参与分配。
∴长子分得的牛为：
17
17
17
1111
17×
2
＋
18
×
2
＋
18
2

×
2
＋…＋
18
n
×
2
＋…
1
1
17
1
＝
2
（1＋
1 8
＋
18
2
＋…＋
18
n
＋…）
17
＝
2
（
1
1
）
18
＝9（头）
次子分得的牛为：
1
1

17
17
1111
17
17×
3
＋
18
×
3
＋
18
2

×
3
＋…＋
18
n
×
3
＋…
1
1
17
1
＝
3
（1＋
1 8
＋
18
2
＋…＋
18
n
＋…）
17
＝
3
（
1
1
）
18
＝6（头）
老三分得的牛为：
1
17
17
17
1111
17×
9
＋
18
×
9
＋
18
2

×
9
＋…＋
18
n
×
9
＋…
1
1
17
1
＝
9
（1＋
1 8
＋
18
2
＋…＋
18
n
＋…）
17
＝
9
（
1
1
）
18
＝2（头）
（例2）的解答：喝完12瓶啤酒后，用12个瓶子 可兑换12×
3
瓶啤酒，用12×
3
个空瓶子又可兑换12×
32
瓶啤酒，
所以，此过程可一直持续下去，直至无穷。
故最多能得到的啤酒为：
12＋12×
3
＋12×
3< br>2
＋…＋12×
3
n
＋…
＝12（1＋
3
＋
3
2
＋…＋
3
n
＋…）
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
＝12（
1
1
）
3
＝18（瓶）
上面的两个趣题还可用下面的方法来求解。
解法三
1
1< br>1
（例1）的解答：设长子、次子、老三各分得的牛为
2
x、
3
x、
9
x，由题意可得：
1
1
1

2
x＋
3
x＋
9
x＝17 解之得 x＝18
1
∴长子分得的牛为：
2
×18＝9（头）
次子分得的牛为：
3
×18＝6（头）
1
1
老三分得的牛为：
9
×18＝2（头）
（例2）的解答：由题意，三个瓶子可兑换一瓶啤酒
即：三个瓶子的价值＝一个瓶子的价值＋一瓶纯啤酒的价值
∴2个瓶子的价值＝1瓶纯啤酒的价值
∴12个啤酒瓶可兑换（12÷2＝）6瓶纯啤酒
2

故此人最多可得到的啤酒为12＋
2
＝18（瓶）
12
111
实际 上，例1可归结为这样的数学问题：有x－1（x为正整数）件物品，三个人按
a
,
b
,
c
(a、b、c为正整数)来分
xx
xxxx
配，这种分 法满足：
a
＋
b
＋
c
＝x－1(
a
、b
、
c
均为正整数)。由此可知：a、b、c为x的正约数，分得的数目l
xx
xxxxx
＝
a
，
m
＝
b
，n＝< br>c
也是x的正约数。我们可把此式推广为：
a
＋
b
＋
c
＋
d
＋…＝x－1(,a、b、c、d……为x的
正约数，x为正整数)。 此类题型的构造就是按照上面的讨论，找出符合条件的正整数x。即先找出一个正整数x，并求出其
x< br>x
x
正约数，其中的三个正约数（也可以是四个、五个等）l、m、n满足l＋m＋n＝ x－1，并且a＝
l
，b＝
m
，c＝
n
(a、b、
x
xx
c就是x的正约数)，所以必有
a
＋
b
＋
c
＝x－1，据此来构造出此类题型。如24、12就符合讨论的条件。24的正约数
2424< br>2424
为1、2、3、4、6、8、12、24。且2＋3＋6＋12＝24－1，
2
＝12，
3
＝8，
6
＝4，
12
＝2。12的正约 数为1、2、3、
121212
4、6、12。且2＋3＋6＝12－1，
2
＝6，
3
＝4，
6
＝2 。为此我们可以设计以下两个习题：
1< br>11
1
习题1：有23个碟子，四个人来分。甲分
2
，乙分
4
，丙分
8
，丁为
12
，问甲、乙、丙、丁各分得多少个碟子？ 习题2：某班举行了一个别开生面的知识竞赛：决出一、二、三名各1人，他们的奖品为11只精美的玻璃杯 ，一、二、
111
三名的奖品按
2
、
4
、
6
分配，问一、二、三名的获奖者各得多少只精美的玻璃杯？
例2可归结为某物品的包 装兑换此物品的问题。为叙述方便，仍采用啤酒瓶兑换啤酒的说法。此问题为：a个啤酒瓶可
兑换1瓶啤 酒，现有x瓶啤酒，问x个空啤酒瓶可兑换多少瓶纯啤酒？由题意知：
a个啤酒瓶的价值＝1瓶纯啤酒的价值＋1个啤酒瓶的价值
即 （a－1）个啤酒瓶的价值＝1瓶纯啤酒的价值
故x个空瓶可兑换的纯啤酒为
a1
瓶。
a1
的值必为整数，这是设计此类题型的必须条件。
按一般的解题思路，到最后总会出现差1个瓶子才能兑换1瓶啤酒的情况，而借一法的奇妙之处就在于提前把最后 得
xx
x
30
到的1个瓶子借出，因而出现借一还一的巧妙解法。据此我们可 找出满足上面讨论条件的数组如：x＝30,a＝6,
a1
＝
61
＝5，又如x＝24,a＝4,
a1
＝
41
＝8。进而设计出以下两个习题。
习题3：某单位 从批发部购月饼24盒，此批发部规定每4盒月饼的包装可兑换1盒月饼，问24盒月饼的包装可兑换多
少盒不含包装的此种月饼？
习题4：某校从榨菜厂购榨菜30坛，此榨菜厂规定每6个榨菜坛子可兑换 1坛榨菜，问照此规定，此学校实际可得到多
少坛榨菜？
亲爱的读者，读完本文后，你能分别用不同三种方法求出以上四个问题的答案吗？
x
24
3