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复数中的2008趣题

复数的运算是高考中复数部分的考查重点，也是复数 中的难点内容。在复数的计算过程
中，要灵活利用
i
、

的性质，或 适当变形，创造条件，从而转化为关于
i
、

的计算问题，
并注意以 下结论的灵活应用：
（1）
i
4n
；
1
，
i
4n1
i
，
i
4n2
1
，
i< br>4n3
i
（
nN*
）
2
（2）
( 1i)2i
；
1i1i
i
，
i
；
1i1i
（3）


13
1
i
，则
3
1
，


2


，< br>1



2
0
。
22
下面我们就通过一组2008趣题来研究一下
i
、

的性质的一些运算技 巧。

例1 复数
iii
23
i
2008

（ ）
A．0 B．－1 C．
i
D．
i

解析：∵
iiiiiiii
∴
iii

例2 复数
(
23
2345678
i
2005
i
2006
i
2007
i
2008
0

i
2008
0
，故选A。
1i
2008
)
（ ）
1i
2008
A．－1 B．1 C．
2

解析：
(

例3 对于
z(
D．
2
2008

1i
20082008
)i(i
4
)
502
1
，故选B。
1i
1i
2008
1i
2008
)()
，下列结论成立的是（ ）
22
A．z是零 B．z是纯虚数 C．z是正实数 D．z是负实数 1i
2008
1i
2008

1i
2

解析：
z()()

()

22

2

故选C。

例4 复数
(1)
A．
2008i

1004

1i
2



()


2

1004
i
1004
(i)
1004
2

1
i
2008
的值是（ ）
B．－
2008i

用心 爱心 专心
C．
2
1004
D．
2
1004
i

2
1
2008
i1
2008

(i1)

()

2

解析：
(1 )
ii

i

1004
(2i)
1004< br>2
1004
，故选C。

例5 设复数


13
i
，则

2005


2006< br>

2007


2008

（ ）
22
1313
i
D．
i

2222
A．1 B．－1 C．

解析：

2005


2006


2007


2008


2005
(1



2
)

2008


2008
(

3
)
669





故选C。

例6 若复数

满足
1



0
，则
2
1

2006

2008
2

（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
1

2
3
解析：由
1



0
得：

1(

1)(



1)0
，∴

1

3
∴
1

2006

2008
1(

3
)
668


2
1

2

1

(

3
)
669


故选D。

例7 设非零复数
x，y
满足
xxyy0
，则代数式
(
是（ ）
A． 0 B．1 C．
1
D．
2
2
解析：将
xxyy0
化为
()
22
22
x
2008
y
2008
)()
的值
xyxy
2008

x
y
xx
10
，∴


或

。
yy
（1）当
x
y


时，


，则
y
x
原式
(
1
y
x
)
2008
(
1
)
2008

x
1
y
1
用心 爱心 专心

1
2008
1
2008
()()

1
1

(
1
2008
1
) ()
2008





(

)
2008
(

)
2008

(

)
669


(

3
)
66 9







1

（2）同理可得：
故选B。
3
x
y


时，


时，原式
1
。
y
x
用心 爱心 专心