清明节短信-数学教研组工作总结

一、钉板与皮筋
所谓钉板，就是把钉按一定的要求钉在木板上，这样带有钉的木板 叫
钉板。钉板与皮筋所讨论的问题是：以钉板上的某些钉为顶点，然后用皮
筋将这些顶点依次连 起来（以后简称去套这些钉），就可以得出一些不同
的多边形来，再计算某种多边形的个数，下面举几个 例题来说明一下做这
类问题的思路和注意事项。
例1 用20枚铁钉按图3－1所示，钉成相 邻的横、竖两排距离都相等的4
×5矩形钉阵，现在给你许许多多的皮筋，以这些钉为顶点，你能套出多
少个正方形来。

分析与解 此题与第一分册中讲到的数正方形个数的问题有些相似 。为方
便起见，我们假定相邻两行、两列钉之间的距离为“1”，用皮筋去套这
些钉，首先可以 得到图3－2那样的图形。在图3－2中，边长为“1”的
正方形有（4×3）12个，边长为“2”的 正方形有（3×2）6个，边长为
“3”的正方形有2个。

除了上面那些正方 形外，还有其它的正方形。如果把图3－1中某些
小正方形相对顶点上的钉用皮筋连起来，便可得图3－ 3。在图3－3中，
因为AB、BC、CD、DA都是边长为“1”的正方形的对角线，所以AB＝BC
＝CD＝DA。另外角A、B、C、D都正好是两个45°角的和，故它们都等于
90°，这一 来四边形ABCD是个正方形。图3－3中和ABCD一样的正方形
有（3×2）＝6个。

另外，如果把某些两个相邻的正方形拼成的长方形相对顶点上的顶点
也用皮 筋连接起来便得图3－4。在图3－4中，因为AB、BC、CD、DA都
是相同长方形的对角线，所以 AB＝BC＝CD＝DA。通过图形的拼补可以算
出角A、B、C、D都等于90°，因此四边形ABC D也是正方形，图2－4中
和ABCD一样的正方形有（2×2）4个
通过仔细观察，边长比图3－4中AB线段还长，位置又不太正规的正
方形不存在。故共可套出正方形：
4×3＋3×2＋2＋3×2＋2×2＝30（个）
通过例1可以发现，解这类所谓 “钉板与皮筋”问题时，分类计算这
种想法是很重要的。值得注意的是，在数图3－3中正方形个数时， 千万
不要把ABCD内的2个正方形那样的小正方形也算进去，因为它们某些顶
点上没有钉。
例2 把12个钉钉成图3－5所示的那样一个矩形钉阵，相邻两钉间的距
离都是1厘米。以这 些钉为顶点，用皮筋去套，可以得到许许多多的三角
形，问这些三角形中，面积为3平方厘米的三角形有 几个？

分析与解 三角形的面积等于它的底乘以高再除以2。而图3－5中的AK
＝EG＝2厘米。如果以2厘米做三角形的高，当它的面积为3平方厘米时，
其底边长应为3厘米。把底 边选在A、B所在的直线上，这时线段AD和
BE的长都是3厘米，以AD为底，K、J、I、H、G为 顶点，可得五个面积
为3平方厘米的三角形。同样以BE为底，K、J、I、H、G为顶点，又可
得到五个面积为3平方厘米的三角形。反过来，因为KH＝JG＝3厘米，所
以，分别以 KH、JG为底，A、B、C、D、E为顶点，又可得出10个面积为
3平方厘米的三角形。
图3－6所示的三角形DHL和BFJ，它们的底都是2厘米，高都是3
厘米，故面积也是3平方厘米。

除了上面那两类三角形之外，还有满足要求的第三类三角形。我们知道：图3－5中矩形AEGK的面积为8平方厘米，如按图3－7所示那样，
将矩形AEGK分成四 个三角形，从图3－7中很容易算出直角三角形ACK、
CEF、FGK的面积分别为2平方厘米、1平 方厘米、2平方厘米，而8－2
－1－2＝3，所以三角形CFK的面积为3平方厘米。图3－7中与三 角形
CFK类似的三角形还有3个，它们分别是CLG、AIF、ELI。故面积为3平
方厘米 的三角形有：
5×2×2＋2＋4＝26（个）
例3 图3－8中的正方形被分成9个 相同的小正方形。它们一共有16个
顶点（共同的顶点算一个），以其中不在同一条直线上的三个点为顶 点，
可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形面积相等的有多少个？
分析与解 为方 便起见，给图3－8的顶点标上字母，得图3－9并假定每
个小正方形的边长为“1”，这样一来，图3 －8中阴影三角形的面积为“3”。

图中面积为“3”的三角形，可分为两大类：一类 底长为“2”，高是
“3”；另一类底长为“3”，高为“2”。
先看底为“2”、高为 “3”的三角形有多少个。如果把底边选在AD
上，而在AD上有AC、BD两条线段的长为“2”。点 J、I、H、G到线段
AD的距离为“3”。所以这时与阴影三角形面积相等的三角形有（4×2）8,I'*FZ牌XK▉FD(%*#YF>,I'*FZ牌
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二、分类计算
上面提到的分类计算的方法，是数图形的重要方法，下面举例加以说
明。
例4 图3－10中到底有多少个三角形？

分析与解 图3－10中到底有多少个三角形，我们采用分类的方法进行计
算。
和三角形AFG一样 的三角形还有4个，它们分别是三角形BGH、CHI、
DIJ、EJF。这一类三角形共有5个。
和三角形ABG一样的三角形还有4个，它们分别是三角形BCH、CDI、
DEJ、EA F。这一类的三角形也共有5个。
和三角形ABF一样的三角形还有9个，它们分别是三角形AE G、BAH、
BCG、CHD、CBI、DIE、CDJ、DEF、AEJ。这一类三角形共有10个。
和三角形ABE一样的三角形还有4个，它们分别是三角形ABC、BCD、
CDE、DE A。这一类三角形共有5个。
和三角形ACD一样的三角形还有4个，它们分别是三角形BDE、 CAE、
DAB、EBC，这一类三角形也共有5个。
和三角形ADH一样的三角形还有 4个，它们分别是三角形ACJ、BDF、
CEG、BEI，这一类三角形还是共有5个。
求出这六类三角形个数的和，便是结果。所以图3－10中共有三角形。
5＋5＋10＋5＋5＋5＝35（个）
例5 图3－11中有多少个三角形？

分析与解 为叙述方便，我们将图3－11添上一些字母和标号得图3－12。
先采用过去提到的有关公式计算三角形ABF、ABE、ACF中所有三角形的个
数。

三角形ABF的底边BF上共有五个点，所以共有三角形（1＋2＋3＋4）
10个。三角 形ABE、ACF的底边BE、FC上各有四个点，所以各共有三角
形（1＋2＋3）6个。
在图3－12下半部五边形BCDEF中，分别用1至10这十个数给每一
单独的小块图形标号，下面按 构成三角形的小块图形的个数进行分类计
算。
由单独一个小块图形构成的三角形有8个，它们分别是三角形1、4、
5、6、7、9、10。
由相邻两个小块图形拼成的三角形有6个，它们分别是由1、2；3、
4；4、5；5、6 ；9、10；10、1拼成的三角形。
由相邻三个小块图形拼成的三角形不存在。
由相邻四个小块图形拼成的三角形有3个，它们分别是由1、2、3、
4；1、2、3、6；2、3、4 、9拼成的三角形。
由相邻五个小块图形拼成的三角形不存在。
由相邻六个小块图 形拼成的三角形有2个，它们分别是由1、2、3、
4、5、6；1、2、3、4、9、10拼成的三角 形。
别的三角形没有了。
再看由图3－12上、下两部分结合起来形成的三角形， 除了上面已讨
论过的三角形ABE、ACF中所包含的三角形外，还有三角形AEF、ABC、AED、
ACD。
把上面各种情况所得三角形的个数相加，便可求出结果。

所以图3－11中共有三角形
10＋6×2＋8＋6＋3＋2＋4＝45（个）。