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第九讲 统计与概率

【趣题引路】
1991年1月美 国人塞望()女士在《检阅》杂志上刊登了一则趣题,•当时曾引
来了从小学生到大学教授上万封来信讨 论.题目是:主持人指着三扇关闭的门,•说:“其中
两扇门是空的，有一扇门里有１辆车，请你选一扇 门，•如果选中了有车的那一扇，就可
开走这辆车。”同时问约翰：“你是否愿意重选另一扇未被打开的 门？”请你帮助约翰出个
注意。
解析 由概率理论应该换，若不换的话得到车的概 率是
1
；若换的话得到车的概率是
3
2
。
3
【知识延伸】
自从出现了人类社会，就不可避免地产生社会性的生产活动 、经济活动、教育活动和
军事活动，这些活动中处处都有数据存在，于是也就出现了各种统计工作，如人 口统计、
资源统计、经济统计等等。统计学是一门与数据密切相关的学问，研究如何搜集、整理、
计算和分析数据，然后从中找出一些规律。众数、中位数、平均数都是从不同的侧面反映
了一组数据的 集中趋势；方差则是反映一组数据波动大小的量；频率分布表和频率分布直
方图则是从数和形的角度反映 了落在某一范围内数据的大小。
在日常生活中概率也是应用最广的运算。如早晨如上学，要不 要带雨具，就要根据“降
水概率”的大小来决定；又如每个家庭除了日常生活开支之外，都要有点积蓄， 因为对于
一个有学前儿童的家庭来说，儿童从六岁起要进行九年义务教育，需要各种开支，这是必
然事件；家庭成员在某种情况下可能会生病，这是随机事件。不管你是自觉的，还是不自
觉的，概率都 在我们的头脑中起作用。
事件Ａ的概率(Probability)用P(A)来表示，有0 ≤P(A)≤1,若A是必然事件，•则它
的概率是１，即P(A)=1;若A是不可能事件，则它的概 率是０，即P(A)=0。
一般地，在大量重复进行同一试验时，如果事件Ａ发生的频率总是接近于某个常数，
- 1 -

这个常数就叫做事件Ａ的概率，记为P(A).
例1 在桌面上掷 若干枚硬币,回答下列问题:(1)3枚硬币,第1枚出现正面,•第2枚
出现反面,第3枚出现正面的 概率是多少?
(2)3枚硬币,其中2枚出现正面,1枚出现反面的概率是多少?
(3)3枚硬币,第1枚出现正面,第2枚出现反面,问第3枚出现正面的概率是多少?
解析 (1)设“依次掷3枚硬币,第1枚出现正面,第2枚出现反面,第3枚出现正面”
这一事件为A,“第 1枚出现正面”这一事件为A
1
,“第2枚出现反面”这一事件为A
2
,“第 3枚
出现正面”这一事件为A
3
,则事件A的发生过程包含三步:先发生事件A
1
,再发生事件A
2
,最
后发生事件A
3
,P(A
1
)、P(A
2
)、P(A
3
)都是
1
,所以P (A)=P(A
1
)×P(•A
2
)×P(A
3
)=
2
1111
××=.
222
8
(2)因为掷3枚 硬币从其正反面的情况来看共有8种可能:(正,正,正),(正,正,
反),(正,反,正),(正, 反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).其中“2
正1反”的 情况共有3种,所以3枚硬币其中2枚出现正面,1枚出现反面的概率是
3
.
8
(3)因为第3枚出现正面还是反面与前两枚的结果无关,所以第3枚出现正面的概 率仍
为
1
.
2
点评
(1)中首先要求事件A< br>1
出现,在这个条件下有事件A
2
出现,然后再有事件A
3
出 现,这三个
事件全部先后发生才意味着事件A出现,所以是相乘关系.
(2)(3) 两题,虽然3枚硬币的最终情况都是“2正1反”,但题(3)中,由于“第1枚出
现正面第2枚出现反 面”的前提已经存在,因此只要考虑“第3•枚出现正面”的概率.
例2 已知一组数x< br>1
出现f
1
次,x
2
出现f
2
次,…xk
出现f
k
次,且f
1
+f
2
+…+f
k
=n,
求f
1
(x
1
-
x
)+f
2
(x
1
-
x
)+…+f
k
(x< br>k
-
x
)的值,(
x
是这n个数的平均数).
解析:∵
x
=
f
1
x
1
f
2
x
2
f
k
x
k
f
1
x
1
f
2
x
2
f
k
x
k
=
n
f
1
f
2
f
k
- 2 -

∴f
1
x
1
+f
2
x2
+…+f
k
x
k
=n
x
.
∴f
1
(x
1
-
x
)+f
2
(x
2
-
x
)+…+f
k
(x
k
-
x
)
=(f
1
x
1
+f
2
x
2
+…+f
k
x
k
)-(f
1
+f
2+…f
k
)
x

=n
x
-n
x
=0.
点评
这是应用加权平均数公式,在推导过程注意灵活运用公式和法则.

【好题妙解】
佳题新题品味
例1 (1)五个数3,1,6,3,x的平均数是4,求x;
(2)一组数据x
1
,x
2
,…,x
n
的 方差是a,则x
1
-2,x
2
-2,…,x
n
-2的方差是 多少?
(3)某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.2 8,0.19,•求这
个射手在这次射击中:①射中10环或9环的概率;②不够8环的概率.
解析 (1)由题意知
解得x=7;
(2)设x
1
,x
2
,…,x
n
的平均数为x,则
a=
1
(1+3+3+6+x)=4,
5
1
[( x
1
-
x
)
2
+(x
2
-
x)
2
+…+(x
n
-
x
)
2
].
n
数x
1
-2,x
2
-2,…,x
n
-2的平均数为
11
[(x
1
-2)+(x
2
-2)+…+(x
n
-2)]= (x
1
+x
2
+…+x
n
)-2=
x
-2,
nn
1
∴x
1
-2,x
2-2,…,x
n
-2的方差={[(x
1
-2)-(
x
-2)]
2
+[(x
2
-2)-(
x
-2)]
2< br>+…
n
1
+[(x
n
-2)-(
x
-2)]
2
}= [(x
1
-
x
)
2
+(x
2
-
x
)
2
+…+(x
n
-
x
)
2
]=a;
n

(3)①射中10环或9环的概率=0.24+0.28=0.52,
②不够8环的概率=1-(0.•24+•0.28+0.19)=0.29.
- 3 -

点评
弄清平均数,方差、概率的概念是解题的关键.
例2 已知样本容量为30,样本频率分布直方图如图,各小长方形的高之比为
AE:BF:CG:D H=2:4:3:1.
求:(1)第二组的概率; (2)第二小组的频数.
频率
组距F
G
E
H
A
B
CD
E
数据

解析 (1)∵小长方形的面积表示相应范围的数据的频率.如设
AE=2x,BF =4x,•CG=3x,DH=x.小方形的底长为a,故有从左到右四个范围内的数据频率之比
为2x a:•4xa:3xa:xa=2:4:3:1.
∴第二小组的频率为
点评
(1)在频率分布直方图中小长方形的面积为频率,因而这样的小长方形面积之和为1;
小长方形的高之比为频率之比.
(2)要在给出数据和具体要求下会画频率分布直方图.
例3 对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查,分别抽取5件、10件、•60件、< br>150件、600件、900件、1200件、1800件,检查结果如下表所示:
抽取件数n
合格件数m
合格频率(mn)
5
5
1
10
8
0.8
60
53
150
131
600
542
900
820
1200
1091
1800
1631
4
=0.4,第二组的频数为0.4×30=12.
1234
0.883 0.873 0.913 0.911 0.909 0.906
求该厂产品的合格率.
- 4 -

解析 从上 表的数据可看到,当抽取件数(即重复试验次数)n越大,•“一件产品合格”
事件发生的概率
m
就越接近常数0.9,所以“一件产品合格”的概率约为0.9,•我们通常说
n
该 厂产品的合格率为90%.
点评
事件A发生的频率
可能性的大小.
中考真题欣赏
例1 (2003年福州市中考题)甲,乙两名学生进行射击练习, •两人在相同条件下各射
靶10次,将射击结果作统计分析如下:
命中环数 5 6
4
2
7
2
4
8
1
2
9 10 平均数
1 1
1 0
7

众数
6

方差
2.2

m
接近某个常数,这个常 数就是事件A的概率,反映了事件A发生的
n
甲命中环数的次数 1
乙命中环数的次数 1
(1)请你填上表中乙学生的相关数据;
(2)根据你所学的统计学知识,利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平.
解析 (1)平均数是7,众数是7,方差是1.2;
(2)根据甲、乙两学生的射击环数、平均数、众数、方差,用一种数据或多种数据进行
合理评价.
点评
本题综合运用统计学知识来解决实际问题,因未说明从何种角度来考虑,所以这是一
道开放性试题.
例2 (2002年江苏省徐州市中考题)为了了解高中学生的体能情况,对100•名学生进
行了引体向上次数测试,将所得的数据整理后,画出频率分布直方图如图,图中从左到右依
次为第1, 2,3,4,5组.
- 5 -

频率
组距
0.1750.125
0.05
0.52.5
4.5
6.5
8.5
10.5
次数

(1)第1组的频率为多少?频数为多少?
(2)若次数在5次(含5次)以上为达标,求达标率;
(3)这100个数据的众数和中位数一定落在第3组吗?
解析 (1)∵对于第一小组而言,
频率
=0.05,而组距为2,
组距
∴频率=0.05×2=0.1,•又 ∵
频数
=0.1,∴频数=0.1×100=10(人);
数据总数
(2)次数在5次或5次以上的频率为(0.175+0.125+0.05)×2=0.65,•达标率为65 %;
(3)显然,次数出现最多的数不能确定在哪一组,故众数不一定在第三组.又因为引体
向上次数由小到大排列,第一组有10个数据,第二组有25个数据,•第三小组有35个数据,
前三组共计有70个数据,∴可以断定,中位数一定在第三组内.
点评
要真正弄清频率与频数的关系,•再弄清频率分布直方图的意义和其中小长方形的意
义.
竞赛样题展示
例1 (2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)已知数 据x
1
,x
2
,x
3
•的平均数为
a;y
1
、y
2
、y
3
的平均数为b,则数据2x
1
+3 y
1
+2x
2
+3y
2
,•2x
3
+•3 y
3
•的平均数为________.
解析 ∵x
1
,x
2
,x
3
的平均数为a,
∴ 3a=x
1
+x
2
+x
3
.y
1
,y2
,y
3
的平均数为b,
∴3b=y
1
+y
2
+y
3
.∴2x
1
+3y
1
,2x2
+3y
2
,
- 6 -

2x
3
+3y
3
的平均数
(2x
1
3y
1
)(2x
2
3y
2
)(2x
3
3y< br>3
)

3
2(x
1
x
2
x3
)3(y
1
y
2
y
3
)
2 3a33b
===2a+3b.
33
x
=
点评
弄清研究的对象,了解平均数的概念是关键.
例2 (第16届江苏省竞 赛题)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B
中,15号弹珠在篮子A中,把这个弹珠从 篮子A移至篮子B中,这时篮子A•中的弹珠号码数
的平均等于原平均数加
11
,篮子 B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加,•问原来在
44
篮子A中有多少个弹珠?
解析 设原来篮子A中有弹珠x个,则篮子B中有弹珠(25-x)个,又设原来A中弹珠号
码数的平均数为a,B中弹珠号码数的平均数为b,由题意,得


ax (25x)b1225325,

1

ax15



a,
x14

1

b(25 x)
b.

26x4

x5934x
, ④ 由③,得b=. ⑤
44
1125
将④⑤代入①得(x+59)x- (x+34)x+(x+34)=325,解得x=9,即原来篮子A•中有
444
由②,得a=
9个弹珠.
点评
用字母分别表示篮子A、B弹珠数及相应的平均数,运用方程、方程组来求解.



全能训练
- 7 -

A卷
1.为了检查库存的500箱 袜子的质量,从每箱的100双袜子中抽取2%进行检查,在这个问题
中总体、个体、样本、样本容量分 别是什么?




2.数据a、4、2、5、3的平均数是b, 且a、b是方程x
2
-4x+3=0的两根,求a、b•的值.




3.已知样本方差S
2
=
1
222
[
x
1
-160] ,则这个样本的平均数
x
=______. x
2
x
10
10
4.下列事件中哪些是随机事件?哪些是 必然事件?
(1)在标准大气压下水在0℃时开始结成冰;
(2)计划中“神舟8号”太空飞行器能进入预定轨道;
(3)把10g白糖放入1kg纯净水中能够全部溶化.




5.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,•那么从中任取
1个是次品的概率约为多少?

A卷答案
1.500箱袜子的质量,5 00箱袜子中每双袜子质量,被抽取的1000双袜子的质量,1,000.
- 8 -