杭州电子科技大学研究生院-年会邀请函范文

第二十一讲 数形结合

【趣题引路】
你曾听说过蚂蚁回家的故 事吗?事情是这样的:如图,D是
三角形ABC•的边AB上一点,其上有一只小蚂蚁,它首先从D点< br>沿平行于BC的方向爬行到AC边上的E点;•再从E点沿平行于
AB方向爬到BC边上的F点; 再从F点沿平行于AC的方向爬行
到AB边上的G点……,这样每从一边爬到另一边算爬一次,•
那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D?如果可经最少
n次回到D点,那么n的值等于多少?• 加上什么条件就可以求
得蚂蚁回家的总路线的长?
解析 (1)若D是AB中点,则n=3;
(2)若D不是AB中点,可证明6次后蚂蚁回到出发点D,
如图,•因蚂蚁行走路线都是与△ABC各边平行的,所以

ADAEBFBGCHCKAM

,
BDECFCGAAHBKBM
ADBDAMBMABAB

∴.即
BDBMBDBM
∴BD=BM,即M与D重合,n=6.
当第( 1)种情况时,蚂蚁回家的总路线长是△ABC各边和的一半,•只要知道△ABC各边
长即可求解;
当第(2)种情况时,只要知道△ABC各边长和AD、DG或AE、EH等即可求解.请读者 计算
一下.
点评
数与形是一个不可分割的整体,数体现形的大小,形状, •而形又是抽象的数量关系形
象化,数形结合能使我们容易把握问题的实质.

【知识延伸】
2
例 求函数y=
x
2
1
+
(4x)4
的最小值.
解析 构造如图所示的两个直角三角形,
即Rt△PAC,Rt△PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,PD=4-x,
求最小值可转化为:
在L上求一点P,使PA+PB最小.
取点A关于L的对称点A′连结A′B,
则A′B与L的交点即为所求P点,
- 1 -

故PA+PB的最小值即是线段A′B在Rt△A′EB中,A′B =
3
2
4
2
,
故函数y的最小值为5.
点评
此题若用代数方法来解很麻烦,通过对函数形式观察,发现:
x
2
 1
可以看成是以x、
2
•1为直角边的三角形的斜边,
(4x)4
可以看成是以(4-x),2为直角边的斜边,•此题
可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值, 于是可构造图形来解决.

【好题妙解】
佳题新题品味
例1 在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,•顶点C在
半圆周上,其他两边 分别为6和8.现在建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中,DE在
AB上,如图21-3 的设计方案是使AC=8,BC=6.
(1)求△ABC中AB边上的高h;
(2)设DN=x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大?
(3)实际施工时,发现AB上距B点 1.85m处有一棵大
树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,
为保护大树, 请设计出另外的方案,使内接于满足条件的
三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树?
解析 (1)运用勾股定理和面积公式可求得h=4.8;
(2)∵△CNF∽△CAB,∴
∴NF=
hDNNF

.
hAB

10(4.8x)
.
4.8
1010
2
则S
DEFN
=x··(4.8-x)=(x-4.8x).
4.84.8
故当x=2.4时,S
DEFN
最大;
(3)当S
DEFN
最大,x=2.4时,F为BC中点,在Rt△FEB中,EF=2.4,BF=3.
∴B E=
BF
2
EF
2
=
9
2
2.42
=1.8.
∵BM=1.85,∴BM>EB.
故大树位于欲修建的水池边上,应重新设计方案.
∵x=2.4时,DE=5,∴AD=3.2.
点评
本例应用二次函数的性质求解 ,并综合了相似三角形,圆等几何知识.•题目设计新颖,
有较强的创新特色.
- 2 -


2
y
2

xxy
3
25,

2

y
例2 正数x,y,z满足


z
2
9,

3

z
2
xzx
2
16.


试求xy+2yz+3xz的值.
解析 如图21-4,构造一直角三角形PQR,
由条 件可知:△PQR内有一点,使OQ=z,OP=
则S
△
PQR
=S
△
OPR
+S
△
OPQ
+S
△
OQR
.
即
y
,OR=x,
3
111
yy
1
×3 ×4=×x×sin150º+·+·z·x·sin120º,
222
33
2
∴6=
xyyz
3xy
++.
4
4323
∴xy+2yz+3xz=24
3
.

点评
此题条件复 杂,若想通过代数方法求解,势必十分困难,通过观察,利用余弦定理构造
图形却使问题变得较容易.
例3 已知方程│x│=ax+1有一负根而没有正根,求实数a的取值范围.
解析 如图21-5,方程│x│=ax+1的根就是函数y
1
=│x│和y
2=ax+1的图象交点的横
坐标.方程只有负根而没有正根,就是过点(0,1)的直线y
1
=x+1只与直线y=-x(•x≤0)相交
而不与直线y=x(x≥0)相交.在同一坐标 系中作出y
1
=│x│与y
2
=ax+1•的图象,观察图象
知,- 1≤-
1
<0,∴a≥1.
a




- 3 -

全能训练
A级
1.函数y=
1
(a>0),无论x取任何实数,函数总有意义的条件是_______. < br>2
axbxc
2.已知边长为a的正方形,内接一个边长为b的正方形,求证:b< a≤
2
b .











3.已知a、b、x、y都是正数,且a
2
+b
2
=x
2
+y
2
=ax+by=1,求证:a
2
+y
2
=b
2
+x
2
=1,且ab=xy.



















- 4 -

A级(答案)
1.b
2
-4ac>0.

xya

2.提示:如图,由题意可得

1
22
xy(ab)

2
构造方程,由△≥0即得结论.

3.构造出以1为直径的圆内接四边形ABCD,
如图,使AB=a,AD=b,BC=y,DC=x,•
由托勒密定理知ax+by=AC·BD=1,而BD=1.
∴AC=1即圆的直径.
∴四边形ABCD为矩形.
故可得a=x,b=y.
∴a
2
+y
2
=b
2< br>+x
2
=1,且ab=xy.




B级
1.已知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B=c+C=10.求证:a ·B+b·C+c·A<100.•








2.已知正数a、b,且a+b=1,求证:(a+2)
2
+( b+2)
2
≥







- 5 -
25
.
2

B级(答案)
1. 提示:构造等边△DEF如图,使DE=a+A,EF=c+C,FD=B+b,
由S
1
+S
2
+S
3
△
DEF
可 得结论.

2.提示:如图,构造点P(-2,-2),Q(a,b),
则不等式左边是PQ
2
,Q是线段AB上的点,AB的中点为C,
则可求得PC=
52
,由PQ≥PC可得结论.
2


- 6 -