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1. 负数

【教学目标】
1.在熟悉的生活情境中初 步认识负数，能正确地读写正数和负数，知道0既不是正数也不是
负数。
2.初步学会用负数表示一些日常生活中的实际问题。
3.能借助数轴初步理解正数、0和负数之间的关系。
【重点难点】
负数的意义和数轴的意义及画法。

【教学指导】
1.通过丰富多彩的生活情境，加深学生对负数的认识。
负数的出现，是生活中表示两种相反 意义的量的需要。教学时，教师应通过丰富多彩的生活
实例，特别是学生感兴趣的一些素材来唤起学生已 有的生活经验，激发学生的学习兴趣，在具体
情境中感受出现负数的必要性，并通过两种相反意义的量的 对比，初步建立负数的概念。在引入
负数以后，教师要鼓励学生举出生活中用正负数表示两种相反意义的 量的实际例子，培养学生用
数学的眼光观察生活，并通过大量的事例加深对负数的认识，感受数学在实际 生活中的广泛应用。
2.把握好教学要求。
对负数的教学要把握好要求，作为中学进一步学 习有理数的过渡，小学阶段只要求学生初步
认识负数，能在具体的情境中理解负数的意义，初步建立负数 的概念。这里不出现正负数的数学
定义，而是描述什么样的数是正数，什么样的数是负数，只要求学生能 辨认正负数。关于数轴的
认识，这里还没有出现严格的数学定义，而是描述性的定义，只是让学生借助已 有的在直线上表
示正数和0的经验，迁移类推到负数，能在数轴上表示出正数、0和负数所对应的点。
3.培养学生多角度观察问题，解决问题的能力。
教材创设了开放性的思维空间，在解决问题 时应着眼于让学生自主地理解数学信息、寻找解
题思路。教师要有意识地引导学生从不同角度寻找答案， 对于学生有道理的阐述，教师要积极鼓
励，激发学生求知的欲望，逐步增强学生学好数学的内驱力。
【课时安排】
建议共分3课时：
负数的初步认识 2课时
在数轴上表示正数、0和负数 1课时
【知识结构】

1

第1课时 负数的初步认识（1）

【教学内容】
负数的初步认识
（1）（教材第2页例1）。
【教学目标】
结合生活实例，引导学生初步理解正、负数可以表示两种相反意义的量。
【重点难点】
体会负数的重要性。
【教学准备】
多媒体课件。

【情景导入】
1.教师利用课件向学生展示教材第2页主题图。（有条件的可播放天气预报视频）
2.引导 学生观察图片，说出图中内容。（教师：观察上图，你能发现什么？0℃代表什么意思？
-3℃和3℃各 代表什么意思？）
引出课题并板书：负数的初步认识（1）
【新课讲授】
教学教材第2页例1。
（1）教师板书关键数据：0℃。
（2）教师讲解0℃的意 思。0℃表示淡水开始结冰的温度。比0℃低的温度叫零下温度，通
常在数字前加“-”（负号）：如- 3℃表示零下3摄氏度，读作负三摄氏度。比0℃高的温度叫零上
温度，在数字前加“+”（正号），一 般情况下可省略不写：如+3℃表示零上3摄氏度，读作正三
摄氏度，也可以写成3℃，读作三摄氏度。
（3）我们来看一下课本上的图，你知道北京的气温吗？最高气温和最低气温都是多少呢？
随机 点同学回答。
（4）刚刚同学回答得很对，读法也很正确。
（5）了解了北京的气温，下面 我想请同学告诉我哈尔滨的气温，它与上海气温比较又怎样
呢？用手势告诉大家好吗？
学生讨论合作，交流反馈。

2

（6）请同学们把图上其它各地的温度都写出来，并读一读。
（7）教师展示学生不同的表示方法。
（8）小结：通过刚才的学习，我们用“+”和“-”就能准确地表示零上温度和零下温度。
【课堂作业】
完成教材第4页的“做一做”第1题。
组织学生独立完成，指名回答。
答案：-18℃温度低。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第1课时 负数的初步认识（1）
0℃
-3℃
3℃（+3℃）







第2课时 负数的初步认识（2）

【教学内容】
负数的初步认识
（2）（教材第3页例2）。
【教学目标】
通过呈现存折上的明确数据，让学生体会负数在生活中的广泛应用，进一步体会负数的含义。
【重点难点】
体会引入负数的必要性，初步理解负数的含义。

【情景导入】
教师：上一节课我们已经一起学习了气温的表示，谁能说一说温度都是怎样读写的？
组织学生讨论回忆上一课内容。

3

师：很好，大家都很棒。今天我们继续学习负数知识。
引出课题并板书：负数的初步认识（2）
【新课讲授】
1.教学例2。
（1）教师出示存折明细示意图。（教材第3页的主题图）教师：同学们能说说“支出（-）
或（+）” 这一栏的数各表示什么意义吗？组织学生分组讨论、交流，然后指名汇报。
（2）引导学生归纳总结： 像2000,500这样的数表示的是存入的钱数;而前面有“-”号的数，
像-500,-132这样 的数表示的是支出的钱数。
（3）教师：上述数据中500和-500意义相同吗？（500和-50 0意义相反，一个是存入，一
个是支出）。你能用刚才的方法快速而又准确地表示出向东走100m和向 西走200m、前进20步
和后退25步吗？说说你是怎么表示的？师把学生的表示结果一一板书在黑板 上。
2.归纳正数和负数。
（1）你能把黑板上板书的这些数进行分类吗?小组讨论交流。
（2）教师展示分类的结果，适时讲解。像+8,+4,+2000，+500,+100,+20这样 的数，我们把它
们叫做正数，前面的+号也可以省略不写。像-8，-4，-500，-20这样的数， 我们把它叫做负数。
（3）那么0应该归为哪一类呢？组织学生讨论，相互发表意见。师设难：“我认 为0应该归
为正数一类。”
归纳：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。
（4）你在什么地方见过负数？教师鼓励学生注意联系实际举出更多的例子。
【课堂作业】
完成教材第4页的“做一做”第2题。
组织学生动手填一填，在小组中交流检查。
答案：
4
正数有：2.5 + +41
5
1
负数有：-7 -5.2


3
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第2课时 负数的初步认识（2）
正数：+8 负数：-8
+4 -4
+2000 -2000
+500 -500

4

+100 -100
+20 -20
0既不是正数也不是负数。







第3课时 在数轴上表示正数、0和负数

【教学内容】
借助数轴理解正数和负数的意义（教材第5页例3）。
【教学目标】
1.借助数轴初步理解正数、0、负数。
2.初步体会数轴上数的顺序，完成对数的结构的初步构建以及正数与负数的比较。
【重点难点】
认识数轴、0。

【情景导入】
教师用CAI课件演示教材第5页的主题图。
教师：如何在一条直线上表示出他们运动后的情况呢？
【新课讲授】
教学例3。
（1）教师：怎样用数来表示这些学生和大树的相对位置关系呢？
组织学生在小组中议一议，然后汇报。
（2）教师结合学生的汇报，用课件出示数轴，在相应点的下方标出对应的数。
（3）让学生 说出直线上其他几个点代表的数，让学生对数轴上的点表示的正负数形成相对
完整的认识。
（4）教师总结：我们可以在直线上表示出正数、0、负数，像这样的直线我们叫做数轴。
（5）引导学生观察数轴
:①从0起往右依次是？从0起往左依次是？你发现什么规律？

5

②在数轴上分别找到
1.5和-1.5对应的点。如果从起点分别到1.5和-1.5处，应如何运动？
师及时小 结，数轴除了可以表示整数，还可以表示小数、分数。每个数都能在数轴上找到它
们相对应的点。
【课堂作业】
1.完成教材第5页的“做一做”。学生独立练习，指名汇报。
2. 完成教材第6页练习一的第4题。第4题组织学生独立完成，并在小组中相互交流、检查。
教师用课件出 示答案、订正。
答案：
1.略
2.第4题：点A表示的数是-7；点B表示的数 是-4；点C表示的数是-1；点D表示的数是3；
点E表示的数是6。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第3课时 在数轴上表示正数、0和负数

上面这样的直线叫做数轴。








2百分数（二）

【教学目标】
1.理解折扣、成数、税率、利率的含义，知道它们在生活中的简单应用，会进行这方面的简

6

单计算。
2.在理解、分析数量关系的基础上，使学生能正确地回答有关百分数的问题。
【重点难点】
利用百分数解决实际问题。

【教学指导】
注意概念之间的联系与区别， 以提高学生解决问题的能力。本单元的概念较多，教学时要突
出重点，帮助学生弄清概念间的联系与区别 。只有理解了百分数的含义，才能正确地运用它解决
百分率、折扣、成数、税率、利率等实际问题。再如 ，百分数和分数虽然在本质上是相同的，但
在意义上还是有一定的区别的：百分数表示两个数之间的关系 ；分数既可以表示一个具体的数、
又可以表示两个数之间的关系。
【课时安排】
建议共分5课时：折扣1课时 成数1课时 税率1课时 利率1课时 解决问题1课
时
【知识结构】




第1课时 折扣

【教学内容】
折扣（教材第8页的内容，练习二第1~3题）。
【教学目标】
1.明确折扣的含义。
2.能熟练地把折扣写成分数、百分数。
3.正确解答有关折扣的实际问题。

7

4.学会合理、灵活地选择方法，锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【重点难点】
1.会解答有关折扣的实际问题。
2.合理、灵活地选择方法，解答有关折扣的实际问题。
【教学准备】
多媒体课件。

【情景导入】
圣诞节期间各商家 搞了哪些促销活动？谁来说说他们是怎样进行促销的？（学生汇报调查情
况。）
【新课讲授】
1.教学折扣的含义，会把折扣改写成百分数。
（1）刚才大家调查到的打折是商家常用的手 段，是一个商业用语，那么你所调查到的打折
是什么意思呢？比如说打“七折”，你怎么理解？
（2）你们举的例子都很好，老师也搜集到某商场打七折的售价标签。（电脑显示）
①大衣，原价：1000元，现价：700元。
②围巾，原价：100元，现价：70元。
③铅笔盒，原价：10元，现价：？
④橡皮，原价：1元，现价：？
（3）动脑筋 想一想：如果原价是10元的铅笔盒，打七折，猜一猜现价会是多少？如果原价
是1元的橡皮，打七折， 现价又是多少？
（4）仔细观察，商品在打七折时，原价与现价有一个什么样的关系？带着这样的问题 ，可
以利用计算器，也可以借助课本，四人小组一起试着找到答案。
（5）讨论，找规律。
A.学生动手操作、计算，并在计算或讨论中发现规律。
B.学生汇报寻找的方法：利用计算 器，原价乘以70%恰好是标签的售价或现价除以原价大约
都是70%；或查书等等。
（6）归纳，得定义。
A.通过小组讨论，谁能说说打七折是什么意思？打八折是什么意思？打八五折呢？
B.概括地讲，打折是什么意思？如果用分母是十的分数，该怎样表示？（ “几折”就是十
分之几，也就是百分之几十）
C.通俗来讲，商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，通称“打折”。几折就是十分之几，

8

也就是百分之几十。如八五折就是85%，九折就是90%。一 般情况下，不把折扣写成十分之几这
样的分数形式，写成分数时，有时会出现小数（例如八五折就会写成
（7）练习。
①四折是十分之（ ），改写成百分数是（ ）。
②六折是十分之（ ），改写成百分数是（ ）。
③七五折是十分之（ ），改写成百分数是（ ）。
④九二折是十分之（ ），改写成百分数是（ ）。
2.运用折扣含义解决实际问题。
出示问题（1）：爸爸给小雨买了一辆自行车，原价180 元，现在商店打八五折出售。买这辆
车用了多少钱？
① 导学生分析题意：打八五折怎么理解？是以谁为单位“1”？
② 找出数量关系式。
先让学生找出单位“1”，然后再找出数量关系式：
原价×85%=实际售价
③ 学生独立根据数量关系式，列式解答。
④全班交流。根据学生的汇报，板书：180×85%=153（元）
答：买这辆车用了153元。
出示问题（2）：爸爸买了一个随身听，原价160元，现在只 花了九折的钱，比原价便宜了多
少钱？
① 导学生理解题意：只花了九折的钱怎么理解？以谁为单位“1”？
② 学生试算，独立列式。③全班交流。根据学生的汇报，板书：
第一种算法：原价160元，减去现价，就是比原价便宜多少钱。
160-160×90%
=160-144
=16（元）
第二种算法：原价160元，现价比原价便宜了（1-90%）。
160×(1-90%)
=160×10%
=16（元）
重点引导学生理解第二种算法，知道现价比原价便宜了10%。
3.典例讲析。
例 在某商店促销活动时，原价800元的某品牌自行车九折出售，最后剩下的几辆车，商

9
8.5
），不便于计算和理解。
10

家再次打 八折出售，最后的几辆车售价多少元？分析：原价800元，第一次打九折出售，价格是
原价的90%， 再次打八折出售，价格是第一次打九折后的80%。可以先求出第一次打折后的价格，
再求出第二次打折 后的价格，即为现在的售价。
解：800×90%×80%=720×80%=576（元）
答：最后的几辆车售价是576元。
【课堂作业】
1.（1）爸爸买了一个剃须刀，原价240元，现在只花了八折的钱，比原价便宜了多少钱？
A.打八折怎么理解？是以谁为单位“1”？
B.学生试做，讲评。
（2）判断：
①商品打折扣都是以原商品价格为单位“1”，即标准量。（ ）
②一件上衣现在打八折出售，就是说比原价降低10%。（ ）
2.完成教材第8页“做一做”练习题。
3.完成教材第13页练习二第1~3题。
说明：第1题是一道开放题，有多种可能，应注意给学生提供交流自己想法的机会。练习后
可指出“五 折”也可以说成“半价”，丰富学生的生活经验。
第2题，要注意指导学生理解9.6元表示的实际含 义，它与八折有什么关系。使学生明确9.6
元就是打折后比原价少的钱数，它相当于原价的1—80% ，在此基础上让学生列出方程或算式。
答案：1.（1）240-240×80%=48（元）
（2）① √ ② ×
2.第8页“做一做”：52 73.5 30.8
3.练习二第1题：
（1）1.5×50%=0.75（元）
2.4×50%=1.2（元）
1×50%=0.5（元）
3×50%=1.5（元）
（2）（此题答案不唯一）可以买一种面包，也可以两种或两种以 上合买。单独买各种打折后
的面包：
①3÷0.75=4（个）
合买各种打折后的面包：
②3÷0.5=6（个）
3
3÷1.5=2（个） ○

10

④3÷1.2=2（个）……0.6（元），再买1个打折后0.5元的面包。
⑤可以买3个0.5元的面包，买2个0.75元的面包。
可以买1个1.5元的面包，买2 个0.75元的面包……第3题：分析：按原价的八折买，优惠
价占二折，9.6元占原价的20%，求 出原价，用除法计算。解答：9.6÷20%=48（元）
【课堂小结】
通过这节课的学习你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第1课时 折扣
八五折180×85％=153（元）
九折160×（1-90％）=160×10％=16（元）
总结： 解决与折扣有关的实际 问题实质上是求一个数的百分之几是多少和已知一个数的百
分之几是多少求这个数的问题。在分析折扣时 ，不要把打折后的价格当作定价，正确区分定价、
进价和售价是解决折扣问题的关键。






第2课时 成数

【教学内容】
成数（教材第9页内容）。
【教学目标】
1.明确成数的含义。
2.能熟练的把成数写成分数、百分数。
3.正确解答有关成数的实际问题。
【重点难点】
1.成数的理解。
2.成数的计算。
【教学准备】
多媒体课件。

11

【情景导入】
农业收成，经常用“成数”来表示。例如，报纸上写道：“今年我省油菜籽比去年增产二成”……
教师：同学们有留意到类似的新闻报道吗？（学生汇报相关报导）
【新课讲授】
1.介绍成数的含义，会把成数改写成分数，百分数。
（成数:表示一个数是另一个数的十分之几,通称“几成”）
（1）刚才大家都说了很多有成 数的发展变化情况，那么这些“成数”是什么意思呢？比如
说，增产“二成”，你怎么理解？
（学生讨论并回答）
教师板书：
成数 分数 百分数
二成 十分之二 20%
(2)试说说以下成数表示什么？
①出口汽车总量比去年增加三成。这里的“三成”表示什么？
②北京出游人数比去年增加两成。这里的两成表示什么？
引导学生讨论并回答。
2.运用成数的含义解决实际问题。
（1）出示教材第9页例2：某工厂去年用电350万千 瓦时，今年比去年节电二成五，今年
用电多少万千瓦时？
（2）分析题目，理解题意：
①今年比去年节电二成五怎么理解？是以哪个量为单位“1”？
②找出数量关系式。
先让学生找出单位“1”，然后再找出数量关系式：
今年的用电量=去年的用电量×（1-25%）
③学生独立根据关系式，列式解答。
④全班交流。
方法一：350×（1-25%）=350×75%=350×0.75=262.5(万千瓦时)
方法二：350×（1-25%）=350×75%=350×75100=262.5（万千瓦时）
【课堂作业】
完成教材第9页“做一做”。
答案：15000÷（1+20%）=15000÷1.2=12500（人）
【课堂小结】
这节课我们一起学习了有关成数的知识，你们对成数的知识有哪些了解？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

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第2课时 成数








第3课时 税率

【教学内容】
税率（教材第10页有关纳税的内容，练习二第6、7题）。
【教学目标】
1.使 学生知道纳税的含义和重要意义，知道应纳税额和税率的含义，以根据具体的税率计算
税款。
2.在计算税款的过程中，加深学生对社会现象的理解，提高学生解决问题的能力。
3.增强学生的法制意识，使学生知道每个公民都有依法纳税的义务。
【重点难点】
1.税额的计算。
2.税率的理解。
【教学准备】
多媒体课件。

【情景导入】
1.口答算式。
（1）100的5%是多少？
（2）50吨的10%是多少？
（3）1000元的8%是多少？
（4）50万元的20%是多少？

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2.什么是比率？
【新课讲授】
1.阅读教材第10页有关纳税的内容。说说：什么是纳税？
2.税率的认识。
（ 1）说明：纳税的种类很多，应纳税额的计算方法也不一样。应纳税额与各种收入的比率
叫做税率，一般 是由国家根据不同纳税种类定出不同的税率。
（2）试说说以下税率表示什么。A.商店按营业额的5 %缴纳个人所得税。这里的5%表示什
么？B.某人彩票中奖后，按奖金的20%缴纳个人所得税。这里 的20%表示什么?
3.税款计算。
（1）出示例3：一家饭店十月份的营业额约是30万 元。如果按营业额的5%缴纳营业税，
这家饭店十月份应缴纳营业税约多少万元？
（2）分析题目，理解题意。
引导学生理解“按营业额的5%缴纳营业税”的含义，明确这里 的5%是营业税与营业额比较
的结果，也就是缴纳的营业税占营业额的5%，题中“十月份的营业额是3 0万元”，因此十月份
应缴纳的营业税就是30万元的5%。
（3）学生列出算式。
求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。
列式：30×5%
（4）学生尝试计算。
（5）汇报交流。
30×5%这个算式有两种计算方法。
方法1：把百分数化成分数来计算。30×5%=30×
5
=1.5（万元）
100
方法2：把百分数化成小数来计算。30×5%=30×0.05=1.5（万元）
【课堂作业】
1.巩固练习：教材第10页“做一做”。
2.完成教材第14页练习二第6题。
答案：
1.（5000-3500）×3%=45（元）
2.300×3%=9（元）
【课堂小结】
这节课我们一起学习了有关纳税的知识，你们对纳税的知识有哪些了解？
【课后作业】

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1.完成练习册中本课时的练习。
2.教材第14页第7题。

第3课时 税率
应纳税额=收入额×税率收入额=应纳税额÷税率税率=应纳税额÷收入额×100％30×5％
=1.5（万元）
答：10月份应缴纳营业税约
1.5万元。







第4课时 利率

【教学内容】
利率（教材第11页有关利率的内容）。
【教学目标】
1 .通过教学使学生知道储蓄的意义；明确本金、利息和利率的含义；掌握计算利息的方法，
会进行简单计 算。
2.对学生进行勤俭节约，积极参加储蓄以及支援国家、灾区、贫困地区建设的思想品德教育。
【重点难点】
1.掌握利息的计算方法。
2.正确地计算利息，解决利息计算的实际问题。
【教学准备】
多媒体课件。

【情景导入】
随着改革开放，社会经济不断发展，人民收入增加，人们可以把暂时 不用的钱存入银行，储
蓄起来。这样一来可以支援国家建设，二来对个人也有好处，既安全、有计划，同 时又得到利息，
增加收入。那么，怎样计算利息呢？这就是我们今天要学的内容。
【新课讲授】
1.介绍存款的种类、形式。

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存款分为活期、整存整取和零存整取等方式。
2.阅读教材第11 页的内容，自学讨论例4，理解本金、利息、税后利息和利率的含义。（例
如：王奶奶2012年月8月 1日把5000元钱存入银行，整存整取两年，到2013年8月1日，王
奶奶不仅可以取回存入的50 00元，还可以得到银行多付给的150元,共5150元。）（注：这里不
考虑利息税）
本金:存入银行的钱叫做本金。王奶奶存入的5000元就是本金。
利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利率：利息和本金的比值叫做利率。
（1 ）利率由银行规定，根据国家的经济发展情况，利率有时会有所调整，利率有按月计算
的，也有按年计算 的。
（2）阅读教材第11页表格，了解同一时期各银行的利率是一定的。
3.学会填写存款凭条。
把存款凭条画在黑板上，请学生尝试填写。然后评讲。（要填写的项 目：户名、存期、存入
金额、存种、密码、地址等，最后填上日期。）
4.利息的计算。
（1）出示利息的计算公式：
利息=本金×利率×时间
（2）计算方法：
若按照2012年7月的银行利率，如果王奶奶的5000元钱整存整取，两年到期的利息是多少？
学 生计算后交流，教师板书：5000×3.75%×2=375(元)
加上王奶奶存入的本金5000元，到期时她能得到本金和利息，一共5375元。
【课堂作业】
本题是有关“打折”和“纳税”的问题，是百分数的具体应用，在练习时应让学 生说说自己
每一步计算的意义，并进行集体订正。
【课堂小结】
通过本节课的学习，你学会了什么？什么叫本金？什么叫利息？什么叫利率？如何计算利
息？
【课后作业】
1.完成练习册中本课时的练习。
2.教材第14页第9题。

第4课时 利率
利息=本金×利率×时间
任何一种存款，在计算利息时 ，都要乘以存入的时间，如果存款的利率是年利率，计算时所
乘时间单位应是年，如果存款的利率是月利 率，计算时所乘时间单位应是月，不要一律按年计算。


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第5课时 解决问题

【教学内容】
用百分数解决问题。（教材第12页例5）
【教学目标】
1.熟练地掌握百分数应用题的数量关系，并能解决问题。
2.培养学生良好的学习习惯。
【重点难点】
认真审题，用百分数解决实际问题。
【教学准备】
多媒体课件。

【复习导入】
前面我们已经学习了折扣、成数、税率、利 率等百分数在生活中的具体应用，今天我们一起
来学习它们更多的应用，学习新知识之前，我们来回忆下 之前的内容。
口头列式。
（1）妈妈想买一件原价500元的裙子，五折之后这条裙子多少钱？
（2）爸爸这个月工资由原来的6000元涨了一成五，爸爸现在工资是多少？
（3）爸爸的 月工资是6000，扣除3500个人免税征额后的部分需要按3%的税率缴纳个人所
得税，他应缴个人 所得税多少元？
（4）小云将压岁钱1000元存入银行，存期为3年，年利率为4.25%。到期支 取时，小云一
共能取回多少钱？
师：这几道题分别属于什么类型的应用题？
学生交流，汇报。
【新课讲授】
教学例5。
1.学生读题，明确已知条件及问题，尝试说说自己的解题思路。
2.利用提问，引导学生思考回答，归纳出解题思路。
教师：“满100元减50元”是什么意思？
引导回答：就是在总价中取整百元部分，每个1 00元减去50元。不满100元的零头部分不
优惠。
解题思路：
（1）在A商场买，直接用总价乘以50%就能算出实际花费。
（2）在B商场买，先看总价中有几个100， 230里有两个100，然后从总价里减去2个50
元。
3.学生独立列出算式后，让他们计算并给出结果。
板书：A：230×50%=115（元）
B：230-2×50=130（元）

18

A4.回顾与反思。
提问：通过计算，我们知道了A商场更省钱，在什么时候两个商场价格差不多呢？
反思：看起来满100减50元不如打五折实惠。如果总价能凑成整百多一点就差不多了。
【课堂作业】
完成教材第12页“做一做”。
学生独立完成，教师讲解。
答案：A商场：120-40=80（元）
B：120×60%=72（元）
B商场更省钱。
【课堂小结】
通过这节课，你有什么收获，你将如何运用到生活中呢？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第5课时 解决问题
A商场：230×50%=115（元）
B商场：230-50×2=130（元）
115<130，A商场更省钱。








3圆柱与圆锥

【教学目标】
1.认识圆柱和圆锥 ，掌握它们的基本特征。认识圆柱的底面、侧面和高。认识圆锥的底面和
高。
2.探索并掌握 圆柱的侧面积、表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公
式计算体积，解决相关的简 单实际问题。
3.通过观察、设计和制作圆柱、圆锥模型的活动，了解平面图形与立体图形之间的联系 ，发
展学生的空间观念。使学生经历探索知识的过程，培养学生自主解决问题的能力。

19

【重点难点】
1.认识并掌握圆柱和圆锥的形体特 征，掌握圆柱表面积和体积、圆锥体积的计算方法及推导
过程。
2.利用所学的知识解决实际问题。

【教学指导】
1.加强数学知识与实际生活的联系，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
本单元内 容加强了与生活的联系，也为教师组织教学提供了思路。因此教学时应注意加强与
实际生活的联系，重视 运用所学知识解决实际问题的意识与能力的训练。如，在认识圆柱和圆锥
之前，可以让学生收集、整理生 活中圆柱、圆锥的实例和信息材料，以便在课堂中交流。认识圆
柱、圆锥后，还可以让学生根据需要创设 和制作一个圆柱或圆锥形物品，让大家欣赏或使用，这
样既可激发学生的学习兴趣，又可提高学生运用数 学为生活服务的意识和能力。
2.让学生经历探索知识的过程，培养学生自主解决问题的能力。 本单元加强了对图形特征、计算方法的探究。为此，在教学时，应放手让学生经历探索的过
程，在观 察、操作、推理、想象过程中掌握知识、发展空间观念。如圆锥体积的教学，教材首先
创设了一个问题情 境“如何知道像铅锤这样的物体的体积？”引导学生探索，并给出提示：圆锥
的体积与圆柱的体积有没有 关系。在教学时，教师应大胆放手让学生探究，注意提供给学生积极
思考，充分参与探索活动的时间和空 间。如圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，
应让学生在经历试验探究的过程中获取，以 改变只按教材说明进行演示得出结论的做法。
【课时安排】建议共分10课时：
1．圆柱 6课时
2．圆锥 3课时
整理和复习 1课时
【知识结构】


20

1.圆柱
第1课时 圆柱的认识

【教学内容】
圆柱的认识（教材第17~20页）。
【教学目标】
1.使学生了解圆柱的特征， 认识圆柱的底面及其直径和半径，圆柱的高、侧面及圆柱的展开
图。
2.通过观察，认识圆柱并掌握它的特征，建立空间观念。
3.培养学生的观察能力，增强从实物抽象到几何图形的能力。
【重点难点】
1.理解并掌握圆柱的特征，建立空间观念。
2.明确圆柱沿高展开的侧面展开图是一个长方 形（或正方形），理解长方形（侧面展开图）
的长和宽与圆柱的底面周长和高的关系。

【情景导入】
师：今天我给大家带来一位朋友，你们知道它是谁吗?
（师拿起圆柱体模型，让学生一起说出它的名字。）
师：在一年级我们就看见过它，却没有深刻认识它，想不想进一步认识它？
师：好，那么我们这节课就来认识一下圆柱，一起走近它，看看它究竟有什么奥秘。
（教师板书课题：圆柱的认识。）
【新课讲授】
1.初步感知圆柱。
（1）大家找一找我们生活的周围有哪些圆柱形的物体，谁能说一说？（师指名回答）
（2）教师展示课件中常见的圆柱形物体。
（3）教师:这些物体有哪些共同的特点？大家也 可以拿出自己手中的圆柱形物体看一看，摸
一摸。
（4）教师又拿出几个不是圆柱，接近圆柱 形物体，然后问：它们是圆柱吗？为什么？那么
什么样的物体才是真正的圆柱？
学生回答后,教师强调：圆柱一定是直直的，上下一样粗细。
2.教学例1。
（1）认识圆柱的面。
分组活动，每人拿一个圆柱，摸一摸它的面。学生互相交流自己的感觉 。启发学生自主探究
圆柱的特征。

21

教师 ：圆柱一共有几个面？用手摸上、下底，看一看有什么特点？再摸一摸侧面，有什么感
觉，它是一个什么 面?
学生：3个面；形状相同，都是圆形，面积相等；曲面。
教师小结：圆柱的上下两个面叫做底面，它们是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面。
教师在黑板上画出圆柱图，并把上下底面、侧面标出来。
（2）认识圆柱的高。
①教师出示高、矮不同的圆柱体提问：哪个圆柱高，哪个圆柱矮?
想一想：圆柱的高矮与圆柱的两个底面之间有什么关系？
引导学生思考得出:圆柱的高矮与圆柱的底面无关。
②如何测量圆柱的高？小组讨论，找出测量方法。然后请一名学生展示自己的测量方法。
师问：他的测量方法好吗？有没有需要改进的地方？让学生各抒己见。
教师演示正确的测量方 法。并强调:在测量中一定要注意圆柱要水平放置，刻度尺也要水平
放置。
（3）教师出示准备好的长方形纸片。
教师：同学们和我一起快速转动纸片，看一看转出来的 是什么形状。组织学生操作后，汇报
结果。
3.教学例2。
（1）请同学们摸一摸你们的圆柱体的侧面，猜想一下，如果把侧面展开后会是什么形状?
（2）组织学生分小组操作：剪开侧面，再展开。
（3）教师:你们有什么发现?会有几种情况出现？小组之间可以相互交流。
圆柱的侧面展开 可能是长方形、正方形、平行四边形。教师同时用课件展示三种不同的圆柱
侧面展开图，让学生系统直观 的感受展开图。
（4）大家再认真观察展开图的长和宽并和圆柱相比较，此时的长相当于圆柱的什么？ 宽呢？
学生观察并思考。教师用课件将长方形还原并再打开。
让学生经过比较、分析概括出： 圆柱展开得到的长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆
柱的高。
（5）引导学生思考：什么情况下圆柱的侧面展开图是正方形？
引导学生回答：圆柱的底面周 长与高相等时，圆柱的侧面展开图是正方形。同时教师用课件
展示一遍。
【课堂作业】
1.完成教材第18、19页的“做一做”。
组织学生先独立做一做，再在小组中相互交流。
2.完成教材第20页练习三的第1、2、3题。
第1题要让学生仔细观察并准确地说出图中哪些地方或物体的哪一部分是圆柱。
第2题指名说。
第3题学生判断后，要让学生说理由。还可以让学生想一想，如果把第2、3 个图形围起来，
会出现什么情况?

22

答案：
2.第1题：手电筒的筒身、柱子、哑铃的把手和两端都是圆柱。
第2题：长方体 正方体 圆柱
第3题：第一个图 理由：将圆柱展开，长方形的长应等于底面圆的周长。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
组织学生畅谈学习的收获。
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。








第2课时 圆柱的表面积（1）

【教学内容】
圆柱的表面积（1）（教材第21页例3）。
【教学目标】
1.理解圆柱的表面积的意义。
2.探索并掌握圆柱的侧面积和表面积的计算方法，会正确地计算圆柱的侧面积和表面积。
【重点难点】
1.掌握圆柱的侧面积和表面积的计算方法。
2.理解圆柱的底面半径（直径）及圆柱的高和圆柱侧面的长、宽之间的关系。
【教学准备】
多媒体课件和圆柱体模型。

23

【复习导入】
1.复习引入。
指名学生说出圆柱的特征。
2.口头回答下面的问题。
（1）一个圆形花池，直径是5m，周长是多少？
（2）长方形的面积怎样计算？
板书：长方形的面积＝长×宽。
【新课讲授】
1.教师出示圆柱形实物，师生共同研究圆柱的侧面积。
师：圆柱的侧面展开是一个什么图形？
生：长方形。
师：那么圆柱的侧面积与展开 后的长方形的面积是什么关系？待学生回答后，教师板书：圆
柱的侧面积=长方形的面积。
师：长方形的面积=长×宽，长相当于圆柱的什么？宽呢？由此可以得出什么？
教师待学生回 答后接着板书“=圆柱的底面周长×高”，由此我们就找到了计算圆柱侧面积的
方法。
2.教学例3。
（1）圆柱的表面积的含义。
教师：你们知道长方体、正方体的表面积指什么？圆柱的表面积指的又是什么？
通过讨论、交流使学生明确:圆柱的表面积是指圆柱的侧面和两个底面的面积之和。
（2）计算圆柱的表面积。
①师：圆柱的表面展开后是什么样的？
组织学生将制作 的圆柱模型展开，观察展开的面是由哪几部分组成的，并把它们都标出来。
引导学生说出：圆柱的表面是 由两个底面和一个侧面组成。
②组织学生自主探究、交流，该如何计算圆柱的表面积。指名发言，教师 归纳:圆柱的表面
积=圆柱的侧面积+两个底面积。
（3）巩固练习：教材第21页“做一做”。组织学生独立完成，请两名学生板演后集体订正。
答案：628cm
2

【课堂作业】
完成教材第23页练习四的第2～6题。
第2题教师提醒学生用圆柱形的纸筒代替压路机前轮滚动一周，使学生看到所压路面的面积

24

就是前轮的侧面积。
第3、4题是解决问题。先让 学生弄清楚是求圆柱哪部分的面积，然后再计算，必要时，可
通过教具或图形帮助学生直观理解。
第5题，对于有困难或争议大的，可用实物或模型直观演示。
第6题，是实际测量、计算用料的题目，可以分组进行测量和计算。
答案：
第2题：3.14×1.2×2=7.536（m
2
）
第3题：3.14×1.5×2.5=11.775（m
2
）
第4题：3.14×3×2+3.14×(3÷2)2=25.905（m
2
）
第6题：长方体：800cm
2
正方体：216dm
2
圆柱：533.8cm
2

【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第2课时 圆柱的表面积(1)







第3课时 圆柱的表面积（2）

【教学内容】
圆柱的表面积（2）（教材第22页例4）
【教学目标】
能灵活运用求圆柱侧面积、表面积的相关知识，解决生活中的实际问题。

25

【重点难点】
运用圆柱的表面积公式解决问题。
【教学准备】
多媒体课件和圆柱体模型。

【复习导入】
前面我们已经学习了圆柱的表面积计算公式，有同学能说一说么？
指名学生回答。板书：
圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积
圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×高
【新课讲授】
教学例4。
（1）出示例4。学生读题，明确已知条件：已知圆柱的高和底面直径，求表面积。
（2）求厨师帽所用的材料，需要注意：厨师帽没有下底面，说明它只有一个底面。
（3）指 定两名学生板演，其他学生独立进行计算。教师巡视，注意看学生所算最后的得数
是否正确。
指导学生做完后集体订正。指名学生回答自己在计算时，最后的得数是怎样取得的。由此指
出：这道题使 用的材料要比计算得到的结果多一些。因此，这里不能用四舍五入法取近似值。这
道题要保留整十平方厘 米，省略的个位上即使是4或比4小，都要向前一位进1，这种取近似值
的方法叫做进一法。
（4）巩固练习。
①教材第22页“做一做”第1题。组织学生独立完成。
②教材第22页第2题。请三名学生板演，其余同学做在草稿本上。
答案：①第22页“做一 做”第1题：1.12m
2
，100.48dm
2

②第22页“做一做”第2题：376.8cm
2

【课堂作业】
完成教材第23～24页练习四的第7～12题。
第7、8题，学生独立作业，老师巡视，个别不会的加以指导。
第9题，提醒学生注意是上下 底面分别留出了78.5cm
2
的口，应减去的部分是78.5×2=157
（cm< br>2
）。
第10题，先让学生明确计算步骤，再分步列出算式，最后计算水桶的用料。
第11题，教师应先用教具演示，使学生明白圆柱及长方体表面被遮住的部分刚好是圆柱的

26

三个底面积。因此，计算油漆的面积就是计算长方体的表面积 与圆柱的侧面积之和减去圆柱的一
个底面积。提醒学生注意根据要求将计算结果化成以平方米为单位的数 ，并根据实际情况保留近
似数。
第12题，是已知圆柱的侧面积和底面半径，求圆柱的高，部 分学生有困难。教师辅导时可
以提示学生列方程解答。
答案：
第8题：花布：3.14×18×80=4521.6（cm
2
）
黄布：3.14×(18÷2)2×2=508.68（cm
2
）
第9题： 3.14×20×30+3.14×(20÷2)
2
×2-78.5×2=2355（cm2
）
第10题：3.14×（12×
33
）×12+3.14×(12 ×÷2)
2
=402.705(dm
2
)
44
第11题： (1)12×12×2+16×12×4+3.14×12×55-3.14×(12÷2)
2
=3015.36cm
2
≈0.31（m
2
）
(2)50×0.31×30=465（元）
第12题：188.4÷（2×3.14×2）=15（dm）
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第3课时 圆柱的表面积（2）
圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积
实际用料>计算用料
“进一法”→近似数








第4课时 圆柱的体积（1）


27

【教学内容】
圆柱的体积（教材第25页例5）。
【教学目标】
探索并掌握圆柱的体积计算公式，会运用公式计算圆柱的体积，体会转化的思想方法。
【重点难点】
1.掌握圆柱的体积公式，并能运用其解决简单实际问题。
2.理解圆柱体积公式的推导过程。
【教学准备】
推导圆柱体积公式的圆柱教具一套。

【复习导入】
1.口头回答。
（1）什么叫体积？怎样求长方体的体积？
（2）怎样求圆的面积？圆的面积公式是什么？
（3）圆的面积公式是怎样推导的?在学生回忆的基础上，概括出“转化图形——建立联系—
— 推导公式”的方法。
2.引入新课。
我们在推导圆的面积公式时，是把它转化成近似的长方 形，找到这个长方形与圆各部分之间
的联系，由长方形的面积公式推导出了圆的面积公式。今天，我们能 不能也用这个思路研究圆柱
体积的计算问题呢？
教师板书:圆柱的体积（1）。
【新课讲授】
1.教学圆柱体积公式的推导。
（1）教师演示。
把圆柱 的底面分成16个相等的扇形，再按照这些扇形沿着圆柱的高把圆柱切开，这样就得
到了16块体积相等 ，底面是扇形的立体图形。
(2)学生利用学具操作。
(3)启发学生思考、讨论：
①圆柱切开后可以拼成一个什么立体图形？
学生：近似的长方体。
②通过刚才的实验你发现了什么？
教师：拼成的近似长方体和圆柱相比，体积大小变了没有？形状呢？

28

学生：拼成的近似长方体和圆柱相比，底面的形状变了，由圆变成了近似长方 形，而底面的
面积大小没有发生变化。近似长方体的高就是圆柱的高，没有变化。故体积不变。
（4）学生根据圆的面积公式推导过程，进行猜想：
①如果把圆柱的底面平均分成32份，拼成的形状是怎样的？
②如果把圆柱的底面平均分成64份，拼成的形状是怎样的？
③如果把圆柱的底面平均分成128份，拼成的形状是怎样的？
（5）启发学生说出：通过以上的观察，发现了什么？
①平均分的份数越多，拼起来的形状越接近长方体。
②平均分的份数越多，每份扇形的面积就 越小，弧就越短，拼起来的长方体的长就越接近一
条线段，这样整个立体形状就越接近长方体。
(6)推导圆柱的体积公式。
①学生分组讨论:圆柱的体积怎样计算？
②学生汇报讨论结果，并说明理由。
教师：因为长方体的体积等于底面积乘高，而近似长方体 的体积等于圆柱的体积，近似长方
体的底面积等于圆柱的底面积,近似长方体的高等于圆柱的高，所以圆 柱的体积=底面积×高。
教师板书：

2.教学补充例题。
（1）出示 补充例题：一根圆柱形钢材，底面积是50cm
2
，高是2.1m。它的体积是多少？
（2）指名学生分别回答下面的问题：
①这道题已知什么？求什么？
②能不能根据公式直接计算？
③计算之前要注意什么？
学生：计算时既要分析已知条件和问题，还要注意先统一计量单位。
（3）出示下面几种解答方案，让学生判断哪个是正确的。
①50×2.1＝105（cm
3
）答：它的体积是105cm
3
。
②2.1m＝210cm 50×210＝10500（cm
3
）
答：它的体积是10500cm
3
。

29

③50cm
2
＝0.5m
2
0.5×2.1＝1.05（m
3
）
答：它的体积是1.05m
3
。
④50cm
2
＝0.005m
2

0.005×2.1＝0.0105（m
3
）
答：它的体积是0.0105m
3
。
先让学生思考，然后指名学生回答哪个 是正确的解答，并比较一下哪一种解答更简单。对不
正确的第①、③种解答要说说错在什么地方。
（4）引导思考：如果已知圆柱底面半径r和高h，圆柱体积的计算公式是怎样的？
教师板书：V＝πr
2
h。
【课堂作业】
教材第25页“做一做 ”和教材第28页练习五的第1题。学生独立做在练习本上，做完后集
体订正。
答案：“做一做”：1. 6750（cm
3
）
2. 7.85m
3
第1题：（从左往右）
3.14×5
2
×2=157（cm
3
）
3.14×（4÷2）
2
×12=150.72（cm
3
）
3.14×（8÷2）
2
×8=401.92（cm
3
）
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？你有什么感受？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第4课时 圆柱的体积（1）




30

第5课时 圆柱的体积（2）

【教学内容】
圆柱的体积（2）
【教学目标】
能运用圆柱的体积计算公式解决简单的实际问题。
【重点难点】
容积计算和体积计算的异同，体积计算公式的灵活运用。
【教学准备】
教具。

【复习导入】
口头回答。
教师：前面我们已经学习了圆柱体积的计算公 式，有同学能说一说么？指名学生回答。板书：
圆柱的体积=底面积×高V=Sh=πr2h
【新课讲授】
1.教学例6。
（1）出示例6，并让学生思考：要知道杯子能不能 装下这袋牛奶，得先知道什么？学生：
应先知道杯子的容积。
（2）学生尝试完成例6。
①杯子的底面积：
3.14×（8÷2）
2
＝3.14×4
2＝3.14×16＝50.24（cm
2
）
②杯子的容积：50.24×10＝502.4（cm
3
）＝502.4（mL）
（3）比较一下补充例题和例6有哪些相同的地方和不同的地方？
学生：相同的是都要用圆柱 的体积计算公式进行计算；不同的是补充例题已给出底面积，可
直接应用公式计算；例6只知道底面直径 ，要先求底面积，再求体积。

31

2.教学补充例题。
（1）出示补充例题：教材第26页“做一做”第1题。
（2 ）指名学生回答下面问题：①这道题已知什么？求什么？②能不能根据公式直接计算？
③计算结果是什么 ？学生：计算时既要分析已知条件和问题，还要注意统一结果单位，方便比较。
（3）教师评讲本题。
【课堂作业】
教材第26页“做一做”第2题，第28页练习五第3、4题。
第3题，其中的0.8m为多余条件，要注意指导学生审题，选择相关的条件解决问题。
第4题，是已知圆柱的体积和底面积，求圆柱的高，可以让学生列方程解答。
答案：“做一做”：
2． 3.14×（0.4÷2）
2
×5÷0.02=31.4≈31（张）
第3题: 3 .14×（3÷2）
2
×0.5×2=7.065（m
3
）=7.065（立 方米）
第4题：80÷16=5（cm）
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获和感受？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第5课时 圆柱的体积（2）
圆柱的体积=底面积×高
V=Sh=πr
2
h


32

第6课时解决问题

【教学内容】
解决问题。（教材第27页内容）
【教学目标】
利用圆柱的相关知识解决问题。
【重点难点】
求不规则圆柱体的体积。
【教学准备】
多媒体课件、矿泉水瓶。
前面我们已经学习了圆柱的体积求法，今天我们来学习它的更多应用。

【情景导入】
我们之前在推导圆柱的体积公式时，是把它转化成近似的长方体，找到这个长方 体与圆柱各
部分的联系，由长方体的体积公式推导出了圆柱的体积公式。那么不规则圆柱的体积要怎么求
呢？
今天老师带来了一个矿泉水瓶，它的标签没有了，要怎么通过计算得出它的容积呢？
【新课讲授】
1.教学例7。
2.学生读题，明确已知条件及问题。
学生：这个瓶子不是一个完整的圆柱，无法直接计算容积。
教师：所以，我们要看看，能不能将这个瓶子转化成圆柱呢？
3.拿出水瓶，装上一部分水，按照例题中的方法做出讲解。引导学生思考。
解题思路：
（1）瓶子里水的体积倒置后没变，水的体积加上18cm高圆柱的体积就是瓶子的容积。
（2）也就是把瓶子的容积转化成了两个圆柱的容积。
【课堂作业】
完成教材第2 7页“做一做”。这类题的解题关键是明确瓶子正放和倒放时空余部分的容积是
相等的。
答案 ：3.14×（6÷2）
2
×10=282.6（cm
3
）=282.6mL 。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？

33

【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第6课时 解决问题
1.转化成圆柱。
2.瓶子容积=圆柱1+圆柱2。









第1课时 圆锥的认识

【教学内容】
圆锥的认识。（教材第31~32页例1及教材第35页练习六的第1、2题）。
【教学目标】
1.认识圆锥，掌握它的各部分名称及特征。
2.认识圆锥的高，掌握测量圆锥的高的方法。
3.通过观察圆锥建立空间观念，培养学生的观察能力，以及从实物抽象到几何的能力。
【重点难点】
认识圆锥的高及高的测量方法。
【教学准备】
圆柱纸筒， 布，圆锥形的实物，圆锥模型，木板，多媒体课件，米（或沙子），三角板，长
方形，半圆形硬纸片。

【情景导入】
“魔术”导入，引出课题。
1.出示一个圆柱，用这个圆柱外壳套住一个圆锥。
教师：这是一个圆柱，谁能说说它有什么特征？
学生回答。

34

2.教师：现在老师用一块布把这个圆柱遮住（边说边演示）。如果这个圆柱 的上底面慢慢的
缩到圆心时，那么圆柱将变成怎样的呢？你能试着描述一下吗？
学生回答。
3.教师：现在看一看，老师能不能把这个圆柱变成你们说的那样。
教师喊一、二、三，揭开遮在圆柱上面的布，露出一个圆锥。
教师：像你们说的一样吗？
学生回答。
4.教师：看到这个课题，你想知道什么呢？
【新课讲授】
1.初步感知。
电脑出示圆锥实物图。
教师：观察上面这些物体的形状有什么共同 点？教师利用课件动画光点的闪烁，闪动实物图
的轮廓，移走实物的模样，剩下图形的轮廓，抽象出圆锥 的几何图形。
教师：这样的图形叫圆锥。在我们生活的周围，你们知道哪些物体是圆锥形的?
2.认识圆锥及各部分的名称。
（1）引导学生认真对照图形和模型观察。
请一名学生上台指出哪是圆锥的底面，哪是圆锥的侧面。
师：我们已经知道了圆锥的底面和侧面，大家围绕下面几个问题同桌之间共同探讨。
①圆锥有几个底面？是什么形状的？
②用手摸一摸圆锥的侧面，你发现了什么?
③用手摸一摸圆锥的顶点，你有什么感觉？组织学生先独立思考，再在小组中相互交流，然
后汇 报。教师根据学生的汇报结果小结：圆锥有一个底面，是圆形的，有一个侧面，它是一个曲
面，有一个顶 点。
（2）怎样画圆锥的平面图呢？
示范：先画一个等腰三角形，它的底边是虚线，然后画 出它的底面，底面要画成椭圆的，最
后标出顶点、底面、圆心、底面半径r。(师在黑板上画出来)
学生试着在自己的练习本上画。
（3）认识圆锥的高。
师：圆锥的高在哪里？圆锥的高有几条？先让学生小组讨论交流汇报，然后全班讨论。
教师:圆锥的高就是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。（师在黑板上画出来）
那么它有几条高一看就知道了。（1条）

35

（4）测量圆锥的高。
教师：由于圆锥的高在圆锥的里面，我们不能直接测量它的长度，怎样测量圆锥的高呢？
组织学生小组合作，交流汇报。
课件演示测量过程，教师叙述：
①把圆锥的底面放平;
②用一块木板水平的放在圆锥的顶点上面；
③竖直地量出平板和底面之间的距离。
同桌相互配合，动手测量手中圆锥的高。
教师：谁来展示一下你的方法，有其它的方法吗?
教师：如果是圆锥形的沙堆和粮堆，又怎样测量它的高呢?(学生合作实验，并相互交流)
（ 5）大家喜欢制作玩具吗？下面我们一起制作一个玩具，好吗？拿出你准备的三角形、长
方形硬纸片，快 速转动，看一看它们是什么形状？（学生操作演示，小组内互相演示）
【课堂作业】
1.完成教材第32页的“做一做”。
2.完成教材第35页练习六第1、2题。
答案：
1.做一做：提示：亲自动手测量出圆锥的底面直径和高。
2.第1题:蒙 古包由圆柱和圆锥组成；墨水瓶由2个长方体和1个圆柱组成；建筑物由圆柱、
圆锥、长方体组成。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？让学生畅所欲言后，教师再加以小结。
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第1课时 圆锥的认识

36

圆锥的底面是个圆，侧面是一个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

第2课时 圆锥的体积（1）

【教学内容】
圆锥的体积（1）（教材第33页例2）。
【教学目标】
1.参与实验，从而推导出圆锥体积的计算公式，会运用圆锥的体积公式计算圆锥的体积。
2 .培养学生初步的空间观念，让学生经历圆锥体积公式的推导过程，体验观察、比较、分析、
总结、归纳 的学习方法。
【重点难点】
圆锥体积公式的推导过程。
【教学准备】
同样的圆柱形容器若干，与圆柱等底等高的圆锥形容器，与圆柱不等底等高的圆锥形容器若
干，沙子和水 。

【情景导入】
1.复习旧知，作出铺垫。
（1）教师用电脑出示一个透明的圆锥。
教师：同学们仔细观察，圆锥有哪些主要特征呢？
（2）复习高的概念。
A.什么叫做圆锥的高？
B.请一名同学上来指出用橡皮泥 制作的圆锥模型的高。（提供刀片、橡皮泥模型等，帮助学
生进行操作）
2.创设情境，引发猜想。

37

（1）电脑呈现出动画情境（伴图配音）。
夏天，森林里闷热极了，小动物们都热得透不过气 来。一只小白兔去“动物超市”购物，它
在冷饮专柜熊伯伯那儿买了一个圆柱形的雪糕。这一切都被躲在 一旁的狐狸看见了，它也去熊伯
伯的专柜里买了一个圆锥形的雪糕。小白兔刚张开嘴，满头大汗的狐狸拿 着一个圆锥形的雪糕一
溜烟跑了过来。（动画中圆柱形和圆锥形的雪糕是等底等高的）
（2）引导学生围绕问题展开讨论。
问题一：狐狸贪婪地问：“小白兔，用我手中的雪糕跟你 换一个怎么样？”（如果这时小白兔
和狐狸换了雪糕，你觉得小白兔有没有上当？）
问题二： （动画演示）狐狸手上又多了一个同样大小的圆锥形雪糕。（小白兔这时和狐狸换雪
糕，你觉得公平吗？ ）
问题三：如果你是森林中的小白兔，狐狸手中的圆锥形雪糕有几个时，你才肯与它交换？（把
你的想法跟小组交流一下，再向全班同学汇报）
过渡：小白兔究竟跟狐狸怎样交换才合理呢?学习了 “圆锥的体积”后，大家就会弄明白这
个问题。
【新课讲授】
自主探究，操作实验
下面，请同学们利用老师提供的实验材料分组操作，自己发现屏幕上的圆柱与圆锥体积之间
的关 系，解决电脑博士给我们提出的问题。
出示思考题：通过实验，你们发现圆柱的体积和圆锥的体积之间 有什么关系？你们的小组是
怎样进行实验的？
（1）小组实验。
A.学生分6组操 作实验，教师巡回指导。（其中4个小组的实验材料：沙子、水、水槽、量
杯、等底等高的圆柱形和圆锥 形容器各一个；另外2个小组的实验材料：沙子，既不等底也不等
高的圆柱形和圆锥形容器各一个，体积 有8倍关系的也有5倍关系的。）
B.同组的学生做完实验后，进行交流，并把实验结果写在黑板上。
（2）全班交流。
①组织收集信息。
学生汇报时可能会出现下面几种情况，教师把这些信息逐一呈现在黑板上：
A.圆柱的体积正好等于圆锥体积的3倍。
B.圆柱的体积不是圆锥体积的3倍。
C.圆柱的体积正好等于圆锥体积的8倍。
D.圆柱的体积正好等于圆锥体积的5倍。

38

E.圆柱的体积是等底等高圆锥体积的3倍。
F.圆锥的体积是等底等高圆柱体积的
1
。
3
②引导整理信息 。指导学生仔细观察，把黑板上的信息分类整理。（根据学生反馈的实际情
况灵活进行）
③参 与处理信息。围绕3倍关系情况讨论：请这几个小组同学说出他们是怎样通过实验得出
这一结论的？哪个 小组得出的结论更科学合理一些？
1
圆锥的体积是等底等高圆柱体积的。（突出等底等高，并 请学生拿出实验用的器材，自己
3
比划、验证这个结论）引导学生自主修正另外两个结论。
（3）诱导反思。为什么有两个实验小组的结果不是3倍的关系呢？
1
（4）推导公 式。尝试运用信息推导圆锥的体积公式。这里的Sh表示什么？为什么要乘？
3
要求圆锥体积需 要知道几个条件？
（5）解决问题。童话故事中的小白兔和狐狸怎样交换才公平合理呢?它需要什么前 提条件？
（动画演示：等底等高，之后播放狐狸拿着圆锥形雪糕离去的画面）
【课堂作业】
完成教材第34页“做一做”第1题。
先组织学生在练习本上算一算，然后指名汇报。
答案：13×19×12=76（cm
3
）
【课堂小结】
教师：请你说说知道哪些条件就可以求圆锥的体积？学生自由交流。
【课后作业】
1.完成练习册中本课时的练习。
2.教材第35页第3、4、5题。
答案：第3 题：提示：可以利用直尺、软尺等工具测量出圆锥形实物的底面直径（或者底面
周长）和高，再根据V< br>圆锥
=13Sh计算出该物体的体积。
第4题:（1）25.12 （2）423.9
第5题：（1）× （2）√ （3）×


第2课时 圆锥的体积（1）


39

第3课时 圆锥的体积（2）

【教学内容】
圆锥的体积（教材第34页例3）。
【教学目标】
进一步理解圆锥的体积公式，能运用公式进行计算，能解决简单的实际问题。
【重点难点】
圆锥体积公式的实际应用。
【教学准备】
多媒体课件。

【情景导入】
前面的课程中我们一起经历了圆锥体积公式的推导过程。有同学能说一说么？
指名学生回答。
11
板书：V圆锥=V
圆柱
=Sh
33
【新课讲授】
1.教学例3。
（1）组织学生阅读题目，理解题意。
（2）组织学生独立思考，尝试解答。
（3）组织学生交流反馈，结合学生发言，教师板书：
沙堆底面积：
3.14×（4÷2）
2
=3.14×4=12.56(m
2
) < br>沙堆的体积：13×12.56×1.2=0.4×12.56=5.024≈5.02（m
3< br>）
答：这堆沙子的体积大约是5.02m
3
。
2.教学补充例题。

40

例：在打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆，测 得底面直径是4m，高是1.5m，每立方米
小麦约重735kg，这堆小麦大约有多少千克?
教师先引导学生读题，弄清题意。组织学生在小组中合作完成，并在全班交流。
答案：13×3.14×（
【课堂作业】
完成教材第34页“做一做”第2题。
先组织同学们在练习本上演算，教师集体订正。
答案：
1
3.14×（4÷2）
2
×5××7.8=163.28≈163g
3
4
2
）×1.5×735=4615.8（kg）
2
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第3课时 圆锥的体积（2）
沙堆底面积 ：3.14×（4÷2）
2
=3.14×4=12.56(m
2
)
1
沙堆的体积：×12.56×1.2=0.4×12.56=5.024≈5.02（m
3< br>）
3
答：这堆沙子的体积大约是5.02m
3
。








整理和复习

【教学内容】
整理和复习（教材第37页内容）。
【教学目标】
1.进一步认识圆锥和圆柱的特征，巩固圆柱的侧面积和表面积的计算方法，掌握圆柱和圆锥

41

的体积计算公式。
2.使学生能运用有关知识灵活 地解决一些实际问题，经历知识的回顾整理过程，形成科学的
学习方法。
3.体验掌握数学知识的成功喜悦，激发学习兴趣，培养善于归纳总结、自我激励的良好习惯。
【重点难点】
掌握圆柱和圆锥的体积计算公式。
【教学准备】
把学生每十人分一小组，投影片。

【回顾导入】
教师：同学们，经过这 一段时间的学习，我们认识了两种新的图形——圆柱和圆锥。回忆一
下，我们学习了圆柱和圆锥的哪些知 识呢？
引导学生回顾思考，并在小组中议一议，也可以翻书看一看。每个小组委派一人代表回答。教师引导有次序地归纳。
【复习讲授】
（一）复习圆柱。
1.圆柱的特征。
（1）圆柱的形体特征有哪些？学生归纳，教师板书：圆柱是立体图形，有上、下两个面，
叫做 底面，它们是完全相同的两个圆。两个底面之间的距离叫做高。侧面是一个曲面。
（2）做第37页第 1题：指出几个图形中哪些是圆柱。要求学生在小组中互相说一说每类图
形的名称和特征。
答案：
第1、2、6是圆柱，3、4、5是圆锥。
2.圆柱的侧面积和表面积。
（1）出示画有圆柱的表面展开图的投影片。先让学生观察，指名其中一小组的学生回答：
圆柱 的侧面是指哪一部分？它是什么形状的？（长方形或正方形）圆柱的侧面积怎样计算？（底
面的周长×高 ）为什么要这样计算？（因为：底面的周长＝长方形的长，高＝长方形的宽）
（2）表面积是由哪几部分组成的？

42

学生归纳，教师板书：表面积=圆柱的侧面积＋底面的面积×2。
（3）完成第37页第2题中求圆柱表面积的部分。
先组织学生独立完成，再说说是怎样算的。
答案:
（从上到下）282.6dm
2
10.676m
2
3140cm
2

3.圆柱的体积。
（1）圆柱的体积怎样计算？计算公式是怎样推导出来的？圆柱体积计算的字母公式是什
么？
教师板书：底面积×高；把圆柱切割开，拼成近似的长方体，使圆柱的体积转化为长方体的
体积 。根据长方体的体积＝底面积×高，推出圆柱的体积＝底面积×高，即V＝Sh。
（2）做第37页第2题中关于圆柱体积的部分。
答案:
从上到下依次为：314dm
3
2.198m
3
6280cm
3

4.学生独立完成第37页第3题。
提示：先思考“用多 少布料”是求什么？“装多少水”又是求什么？区分清所求的是圆柱的
表面积或体积后再计算。
教师指名说一说，然后指名板演，集体订正。
答案：
3.14×10×20+3. 14×(10÷2)
2
×2=785（cm
2
）
3.14×(10 ÷2)
2
×20=1570（cm
3
)=1570（ml）=1.57（L）
(二)复习圆锥。
1.圆锥的特征。
圆锥有哪几个部分？有什么特点？（是立体图 形，有一个顶点，底面是一个圆，侧面是一个
曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离，叫做圆锥的高。）
2.圆锥的体积。
（1）怎样计算圆锥的体积？计算圆锥体积的字母公式是什么？这个计算公式是怎样得到
的？
1
教师板书：用底面积×高，再除以3，即V＝Sh;通过实验得到的，圆锥体的体积等于和它
3
等底等高的圆柱体体积的三分之一。

43

（2）做第37页第2题中有关圆锥体积的部分。
答案：从上到下依次为：10.048dm
3
1.1775m
3

【课堂作业】
做练习七的第1题。学生独立判断，小组讨论订正。
答案：12.56×5×4÷3.14×422=20(dm)
【课堂小结】
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。






44

4 比例

【教学目标】
1.理解比例的意义和基本性质，会解比例。
2.理解正比例和反比例的意义，能找出生活中 成正比例和成反比例的实例，能运用比例知识
解决简单的实际问题。
3.认识正比例关系的图 像，能根据给出的正比例关系数据在有坐标的方格纸上画出图像，会
根据其中一个量在图像中找出或估计 出另一个量的值。
4.了解比例尺，会求平面图的比例尺，会根据比例尺求图上距离或实际距离。
5.认识放大与缩小现象，能根据一定的比将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。
6.渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的教育。
【重点难点】
重点：理解比例的意义和基本性质。
难点：判断两个比能否组成比例。
【教学指导】
1.重视基本概念教学。
比例、正比例、反比例是本单元学习的几个 基本概念，十分重要。学习比例的相关知识以及
比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握。如解答含 正反比例关系的实际问题，首先要对两
个量成比例做出判断，然后依据正比例和反比例的数量关系的特点 解答。再如，比例尺的应用及
图形的放大与缩小，都要依据比例的意义进行相关的计算。教学中要通过观 察、比较、判断、归
纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。同时通过应用，不断加深对这 些概念的理
解和掌握。
2.提高学生综合运用知识的能力。
本单元的知识综合性比 较强，如比例的概念与比，除法、分数等相关知识解比例以及用比例
方法解决问题，都要用到方程相关知 识，所以学习既要注意与旧知识的联系，又要注意强化学生
综合运用知识的能力，教材的编写也注意体现 知识的综合应用，例如比例尺的一些练习，不仅限
于计算图上距离和实际距离，而且涉及到测量图形方向 与位置的知识以及根据实际设计比例尺等。
【课时安排】建议共分13课时：
1.比例的意义和基本性质………………………………………………3课时
2.正比例和反比例………………………………………………………3课时
3.比例的应用……………………………………………………………6课时
整理和复习………………………………………………………………1课时

45

【知识结构】


1.比例的意义和基本性质
第1课时 比例的意义

【教学内容】
比例的意义（教材第40页的内容）。
【教学目标】
1.理解比例的意义，会根据比例的意义组成比例。
2.培养学生的分析概括能力，经历引导 学生参与知识的形成过程，发现过程和运用过程，体
验从实践中学习的方法，感受数学知识与日常生活的 密切联系。
3.感受生活中处处有数学，激发学习的兴趣，体会事物间的相对联系，培养探究精神。
【重点难点】
1.认识比例，理解比例的意义。
2.在已有知识的基础上，结合实例引出新的知识。
【教学准备】
情境图、投影仪、多媒体课件。
【复习导入】
1.教师:请同学们回忆一下上学期 我们学过的比的知识，谁能说一说什么叫做比？举例说明
什么叫做比的前项、后项、比值。
教师把学生举的例子板书出来，并注明各部分的名称。
2.求下面各比的比值。

学生独立求出各比的比值。
（1）教师：在求比值的时候你们发现了什么吗？
学生：有两个比的比值相等。
教师：哪两个比的比值相等呢？

46

学生回答后，教师把这两个比画上横线。
师:是啊，生活中确实有 很多像这样的比值相等的例子，这种现象早就引起了人们的重视和
研究。人们把比值相等的两个比用等号 连接起来，写成一种新的式子，如：4.5∶2.7=10∶6。课
件显示:“10∶6”和“4.5∶ 2.7”同时闪烁，接着两个比下面的比值隐去，再用等号连接起来。
（2）前面的两个比能用等号连接起来吗？为什么？
教师将课件后面的两个比隐去。
学生：不能，比值不相等。
教师小结：数学中规定，像这样的一些式子就叫做比例。
教师板书：比例。
【新课讲授】
1.师：今天这节课我们就来一起研究比例，你想研究哪些内容呢？
生：比的意义，学比例有什么用？比例有什么特点？
师：那好，我们就来研究比例的意义吧，到底什么是比例呢？根据下面的问题自学例1。
①找出每面红旗长与宽的比。
②求出每个比的比值。
③哪几个比的比值相等？ < br>2.学生自学完以后，教师逐个问题指名学生回答，并板书在黑板上：2．4∶1.6=
3
；60∶40=
2
2.460
3

。两面国旗的长和宽的比值相等 。板书：2.4∶1.6=60∶40，也可以写成。
1.640
2
师：像这样的式 子就叫做比例。观察这些式子，你能说出什么叫做比例吗？
根据学生的回答，教师抓住关键点板书：两个比比值相等
教师：同学们说的比例的意义都正确，不过数学中还可以说得更简洁些。
教师用课件显示：表示两个比相等的式子叫做比例。
学生读一读，明确：有两个比，且比值相 等，就能组成比例；反之，如果是比例，就一定有
两个比，且比值相等。
3.找比例。
师：在这四面国旗的尺寸中，你还能找出哪些比可以组成比例？
过程要求：
学生猜想另外两面国旗长、宽的比值。
求出国旗长、宽的比值，并组成比例。
【课堂作业】
1.完成教材第40页“做一做”第1题。
学生独立完成，再在小组中相互交流、订正。
2.完成教材第40页“做一做”第2题。
组织学生议一议，加深对比例意义的理解。

47

答案：
1.（1）能组成比例，6∶10=9∶15。
（2）不能组成比例。
（3）能组成比例，12∶13=6∶4。
（4）能组成比例，0.6∶0.2=34∶14。
2.可以组成8个比例。即
3∶1.5=4∶2 3∶4=1.5∶2 2∶1.5=4∶3 2∶4=1.5∶3
1.5∶3=2∶4 1.5∶2=3∶4 4∶3=2∶1.5 4∶2=3∶1.5
【课堂小结】
通过这节课的学习，你知道“比”和“比例”这两个概念的联系与区别吗？学生 各抒己见，
之后师生共同归纳。
【课后作业】
1.教材第43页练习八第1、2题。
2.完成练习册中本课时的练习。
答案：
1.第1题：（从左往右）不能组成比例；能组成比例，30∶2=120∶8；不能组成比例；能组< br>成比例，100∶5=200∶10。
第2题：（1）可以组成比例
4∶5=12∶15 4∶12=5∶15 15∶5=12∶4 15∶12=5∶4 5∶15=4∶
125∶4=15∶12 12∶15=4∶5 12∶4=15∶5
（2）不能组成比例；（3）不能组成比例；
（4）能组成比例



48

第2课时 比例的基本性质

【教学内容】
比例的基本性质（教材第41页内容）。
【教学目标】
1.使学生理解比例的基本性质。
2.提高学生观察、计算、发现、验证和总结的能力。
3.在总结比例的基本性质的过程中，使学生感受到探索数学问题的乐趣。
【重点难点】
应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例，并正确地组成比例。
【教学准备】
投影仪。

【复习导入】
1.教师提问:什么叫做比例？
2.应用比例的意义，判断哪两个比可以组成比例。
6∶3和8∶5 0.2∶2.5和4∶50
教师：同学们能正确判断两个比能不能组成比例了，那么比例各部分的名称是什么?

49

【新课讲授】
1.教学比例各部分的名称。
引导学生自学教材第41页第1行、第2行的内容。
教师板书：2.4∶1.6=60∶40
指名让学生指出板书的比例的外项、内项。随着学生的回答教师接着板书:

学生认一认,说一说比例中的外项和内项。


2.探究比例的基本性质。
教师：我们知道了比例的各部分的名称，那么比例有什么性质呢？现在我们就来探究一下。
教师板书：比例的基本性质。
组织学生观察组成比例的两个内项和两个外项，并探究它们的关系。
学生小组内交流。指名汇 报，学生可能会说：两个外项的积是2.4×40=96，两个内项的积
是1.6×60=96，两个内 项的积等于两个外项的积。
验证其他的比例有没有这个规律，举例说明，检验发现。如：
的积 是
43
∶0.5=1.2∶，两个外项
54
43
×=0.6，两个内 项的积是0.5×1.2=0.6。外项的积等于内项的积。
54
3
9
如果 把比例改成分数形式呢？如：=，3×15=5×9。等号两边的分子和分母分别交叉相
5
15
乘,所得的积相等。
教师：这个规律叫做比例的基本性质。引导学生说一说，比例的基本性质 是什么？组织学生
小组交流、汇报。教师补充：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积，这叫做比例 的基本性
质。学生齐读两遍。
3.应用比例的基本性质，判断哪两个比可以组成比例。
6∶3和8∶5 0.2∶2.5和4∶50
组织学生在小组中互相交流，然后指名汇报。
4.教师：到现在为止，我们学习了判断两个比能否组成比例有几种方法？

50

学生讨论交流后，指名回答。
教师小结：两种方法：看两个比的比 值是否相等；两个比的两个外项之积是否等于两个比的
内项之积。
【课堂作业】
教材第41页“做一做”。组织学生独立思考，指名说一说，全班集体订正。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课后作业】
1.教材第43页练习八第5题。
2.完成练习册中本课时的练习。
答案：（1）不可以组成比例；（2）可以组成比例；（3）可以组成比例；（4）不可以组成比例

第2课时比例的基本性质

在比例里，两个外项之积等于两个内项之积。这叫做比例的基本性质。







第3课时 解比例

【教学内容】
解比例。（教材第42页例2、例3及练习八的习题）。
【教学目标】
1.使学生学会解比例的方法，进一步理解并掌握比例的基本性质。
2.培养学生运用已学的知识解决问题的能力，在计算过程中使学生养成验算的良好习惯。

51

3.感受数学知识的内在联系，体验应用知识解决问题的乐趣 ，培养灵活的思维能力，激发学
习数学知识的热情。
【重点难点】
1.使学生掌握解比例的方法，学会解比例。
2.引导学生根据比例的基本性质，将带未知数的比例改写成方程。
【教学准备】
多媒体课件。

【情景导入】
上节课我们学习了比例的知识，谁能说一说 什么叫做比例？比例的基本性质是什么？应用比
例的基本性质可以做什么？
学生在小组中议一议，再汇报。
师：这节课，我们还要继续学习有关比例的知识，就是解比例。
板书课题：解比例。
【新课讲授】
1.教师用多媒体课件出示教材第42页第1、2行的内容。引导学生思考：什么叫做解比例？
学生独立思考后，在小组中交流并说出：求比例中的未知项叫做解比例。
师:想一想，怎样才能解出比例中的未知项呢？学生很容易想到比例的基本性质。
2.教学例2。
教师用多媒体课件出示例2。
指名读题，根据题意，描述两个相等的比。
模型的高度
=110或模型高度:实际高度=1∶10。
实际的高度
让学生列出比例，指出这个比例的外项、内项，并说明知道哪三项，求哪一项?
教师板书：x∶320=1∶10，你能试着计算出来吗？
请一名学生板演，其余的学生在练习本上做。
做完后，师问：怎样把比例式转化为方程式？学 生回答：根据比例的基本性质转化。师接着
板书:10x=320×1。
教师说明：这样解比 例就变成解方程了，利用以前学过的解方程的方法就可以把方程解出来。
注意：解方程要写“解”，那么 解比例也要写“解”。
师：怎样解这个方程？
生：根据乘法各部分间的关系，把x看做一个因数，根据一个因数=积÷另一个因数，可以

52

求出x。
小结:从刚才的解比例过程中可以看出， 解比例可以根据比例的基本性质把比例转化为方程，
然后用解方程的方法来求未知项x。
3.教学例3。
解比例：
2.46


1.5x
过程要求：学生独立练习，求出未知项。
同学之间互相交流，发现问题，及时解决。请一位学生上台板演。
解：2.4x=1.5×6
x=
1.56

2.4
x=3.75
提问：还可以用其他的知识解比例吗？
8
学生交流后，可能会说出：根据比例的意义 ，等号左边的比值是，要使等号右边的比值也
5
815
是，x应等于。
5
4
4.总结解比例的方法。
教师：刚才我们学习了解比例，大家回忆一下解比例首先要做什么？转化成方程后再怎么
做？
学生回忆解比例的过程。
教师：从上面的过程可以看出，在解比例的过程中哪一步是新知识？
学生：根据比例的基本性质把比例转化成方程。
【课堂作业】
1.完成教材第42页“做一做”第1题。
学生独立练习，教师指名板演，集体订正。
2.完成教材第43～44页第6、7、8、9、10、11、12、13题。
答案：1.x=7.5 x=
2
x=0.6
3
2. 第6题：判断小红说得是否正确，可以有不同的方法。方法一：计算1分钟（60秒）心
跳的次数，看是 不是72次，因为45秒跳54次，1分钟也是60秒就要跳54÷45×60=72次，由
此判断小红 说得对。方法二：运用比例的知识。计算54∶45与72∶60的比值，看是否相同，相
同说明小红说 得对。因为这两个比的比值相同都是1.2，说明心跳速度没变。
第7题：组织学生独立练习。指名板演，集体订正。
第8题：组织学生在小组中议一议，说一说解题思路，再动手算一算。学生汇报。

53

第9题：组织学生阅读题目，理解题意，并独立练习。
第10题：组织学生小组合作完成，指名汇报。
第11题：组织学生在小组中议一议，怎样列比例式，共同完成后相互交流。
第12题：组织学生根据比例的基本性质改写等式，在小组中交流订正。
第13题：组织学生在小组中讨论，交流，相互验证。此题答案不唯一。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你在哪些方面得到了提高？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。










2.正比例和反比例

54

第1课时 正比例

【教学内容】
正比例。
【教学目标】
使学生理解正比例的意义,会正确判断成正比例的量。
【重点难点】
重点：理解正比例的意义。
难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。
【教学准备】
投影仪。
【复习导入】
1.复习引入。
用投影仪逐一出示下面的题目，让学生回答。
①已知路程和时间，怎样求速度？
板书：
路程
=速度。
时间
②已知总价和数量，怎样求单价？
板书：
总价
=单价。
数量
③已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？
板书：
工作总量
=工作效率。
工作时间
2.引入课题：这是我们过 去学过的一些常见的数量关系。这节课我们进一步来研究这些数量
关系的一些特征，首先来研究这些数量 之间的正比例关系。板书课题：成正比例的量。
【新课讲授】
1. 教学例1。
教师用投影仪出示例1的图和表格。


55

学生观察上表并讨论问题。
（1）铅笔的总价和数量有关系吗？
（2）铅笔的总价是怎样随着数量的变化而变化的？
（3）铅笔的总价和数量的变化有什么规律？组织学生在小组中讨论，然后交流说一说。
根据观察，学生可能会说出：
①铅笔的总价随着数量变化，它们是两种相关联的量。
②数量增加，总价也增加；数量降低，总价也减少。
③铅笔的总价和数量的比值总是一定的，即单价一定。
教师指出：总价和数量有这样的变化关 系，我们就说总价和数量成正比例关系，总价和数量
叫做成正比例的量。
2.教师出示：一列火车行驶的时间和路程如下表。

引导学生观察、思考：路程和 时间有关系吗?路程怎样随着时间的变化而变化？路程和时间
的变化有什么规律？
组织学生分 析、讨论、汇报：路程和时间是两种相关联的量，路程扩大，时间也跟着扩大；
路程缩小，时间也跟着缩 小；但是路程和时间的比值一定，写成关系式是
路程
=速度（一定）。
时间
教师小结：所以说路程和时间成正比例关系，路程和时间叫做成正比例的量。
3.归纳概括正比例关系。
①组织学生分小组讨论，上面两个例子有什么共同规律？
②教师引导学生归纳总结：都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；如果
这两种量中 相对应的两个数的比值也就是商一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就
叫做成正比例关系。
学生说一说是怎么理解正比例关系的。
要求学生把握三个要素：
第一：两种相关联的量。
第二：其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。
第三：两个量的比值一定。
4.用字母表示正比例的关系。
教师：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），比例关系可

56

以用这样的式子表示：
y
k
(一定)
x
5.教师：想一想，生活中还有哪些成正比例的量？
学生举例说明并说 出理由如：长方形的宽一定，面积和长成正比例；每袋牛奶质量一定，牛
奶袋数和总质量成正比例；衣服 的单价一定，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。地砖的面积
一定，教室地板面积和地砖块数成正比例 ；
【课堂作业】
完成教材第46页的“做一做”（1）～（3）。
答案：
（1）
160320

。
24
（2）比值表示每小时行驶多少km。
（3）成正比例。理由：路程随着时间的变化而变化。
①时间增加，路程也增加，时间减少，路程也随着减少；②路程和时间的比值（速度）一定。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。


第1课时 正比例
路程
=速度（一定）
事件
总价
=单价（一定）
数量
工作总量
=工作效率（一定）
工作时间
y
k
(一定)
x
成正比例的量的三要素：
第一：两种相关联的量。
第二：其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。
第三：两个量的比值一定。

57

第2课时 正比例图象

【教学内容】
正比例图象。
【教学目标】
1.使学生了解表示成正比例的量的图象特征，并能根据图象解决相关简单问题。
2.通过练习，巩固对正比例意义的认识。
3.初步渗透函数思想。
【重点难点】
能根据数量关系式或图象判断两种量是否成正比例。
【教学准备】
投影仪。
【新课讲授】
教学第46页内容。
教师出示表格（见书），依据表中的数据描点。（见书）
师：从图中你发现了什么？
生：这些点都在同一条直线上。
看图回答问题：
①如果铅笔的数量是7支，那么铅 笔的总价是多少？②总价是4.0的铅笔，数量是多少？③
铅笔的数量是3支，那么铅笔的总价是多少？ 描出这一对应的点，它们是否在同一直线上？
你还能提出什么问题？有什么体会？
组织学生分小组汇报，学生汇报时可能会说出：
①正比例关系的图象是一条经过原点的直线。
②利用正比例图象不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值。
【练习讲授】
1.基本练习。
（1）投影出示教材第49页第1题。
教师引导学生回顾正比例的意义及判断是否成正比例的方法。学生独立完成练习。
教师要求学生从两个方面说明为什么成正比例。a.电是随着用电量的增加而增加；b.电费与

58

用电量的比值总是相等的。
师生共同订正。 （2）投影出示：一列火车1小时行驶90km，2小时行驶180km，3小时行驶270km，4小时< br>行驶360km，5小时行驶450km，6小时行驶540km，7小时行驶630km，8小时行驶7 20km……
①出示下表，填表。
一列火车行驶的时间和路程

②填表并思考发现了什么？
③教师点拨：随着时间的变化，路程也在变化，我们就说时间和路 程是两种相关联的量。（板
书：两种相关联的量）
④教师：根据计算你们发现了什么？指出： 相对应的两个数的比值固定不变，在数学上叫做
一定。
⑤用式子表示它们的关系：
路程
=速度（一定）。
时间
教师：上节课，我们学习了成正比例的量，下面我们继续学习和练习。
2.指导练习。
（1）完成教材第49页第2题。
（2）完成教材第49页第3题 ，先由学生独立做，后由老师抽查。在抽查第（1）小题时，
多让不同的学生回答。做第（2）小题时应 多让学生们交流。第（3）小题汇报时要求说出，你是
怎样估计的，上台在投影仪上展示估计的思维过程 。
（3）解决教材49页第4题：①投影出示书中的表格，引导学生观察表中的数据。
②组 织学生在小组中合作探究。a.动手画一画，指名汇报图象特点。b.组织学生说一说，相
互交流。 < br>提示：判断两种量是否成正比例，先要判断它们是不是相关联的量，再判断它们的比值是否
一定。
【课堂作业】
1.根据x和y成正比例关系，填写表中的空格。

2.看图回答问题。

59

（1）在这一过程中，哪个量没变？
（2）路程和时间有什么关系？
（3）不计算，从图中看出4小时行驶多少千米？
（4）7小时行驶多少千米？
【课堂小结】
教师：判断两个相关联的量成正比例的三个要素是什么？
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。




60

第3课时 反比例

【教学内容】
反比例。（教材第47页例2）。
【教学目标】
1.使学生理解反比例的意义，能正确地判断两种相关联的量是不是成反比例的量。
2.让学生经历反比例意义的探究过程，体验观察比较、推理、归纳的学习方法。
【重点难点】
引导学生总结出成反比例的量的特点，进而抽象概括出反比例的关系式。利用反 比例的意义，
正确判断两个量是否成反比例。
【教学准备】
投影仪。

【复习导入】
1.让学生说说什么是正比例，然后用投影出示下面的题。
下面各题中哪两种量成正比例？为什么？
（1）每公顷产量一定，总产量和公顷数。
（2）一袋大米的重量一定，吃了的和剩下的。
（3）修房屋时，粉刷的面积和所需涂料的数量。
2.说出每小时加工零件数、加工零件总数 和加工时间三者之间的关系。在什么条件下，其中
两种量成正比例？
教师：如果加工零件总数 一定，每小时加工数和加工时间会成什么变化？关系怎样？这就是
我们这节课要学习的内容。
【新课讲授】
1.教学例2。
创设情境。
教师：把相同体积的水倒入底面积不同的杯子，高度会怎样变化？
出示教材第47页例2的情境图和表格。
请学生认真观察表中数据的变化情况，组织学生分小组讨论：
（1）水的高度和底面积变化有关系吗？
（2）水的高度是怎样随着底面积变化的?

61

（3）水的高度和底面积的变化有什么规律？ < br>学生不难发现：底面积越大，水的高度越低；底面积越小，水的高度越高，而且高度和底面
积的乘 积（水的体积）一定。
教师板书配合说明这一规律：
30×10=20×15=15×20=……=300
教师根据学生的汇报说明：高度和底面 积有这样的变化关系，我们就说高度和底面积成反比
例的关系，高度和底面积叫做成反比例的量。
2.归纳反比例的意义。
组织学生小组内讨论：反比例的意义是什么?
学生小组内交流，指名汇报。
教师总结：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也 随着变化，如果这两种量中
相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反 比例关系。
3.用字母表示。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积 （一定），反比例关系的式子
怎么表示？
学生探讨后得出结果。
x×y=k（一定）
4.师：生活中还有哪些成反比例的量？
在教师的引导下，学生举例说明。如：
（1）大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
（2）教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
（3）长方形的面积一定，长和宽成反比例。
5.组织学生将例1与例2进行比较，小组内讨论：
正比例与反比例的相同点和不同点有哪些？
学生交流、汇报后，引导学生归纳：
相同点：都表示两种相关联的量，且一种量变化，另一种量也随着变化。
不同点：正比例关系中比值一定，反比例关系中乘积一定。
6.你还有什么疑问
？ 如果学生提出表示反比例关系的图像有什么特征，教师应该引导学生观察教材第48页“你
知道吗？”中 的图像。
反比例关系也可以用图像来表示，表示两个量的点不在同一条直线上，点所连接起来的图像< br>是一条曲线，图像特征不要求掌握。

62

【课堂作业】
1.教材第48页的“做一做”。
2.教材第51页第9、10题。
答案：1.（1）每天运的吨数和所需的天数两种量，它们是相关联的量。
（2）300×1 =150×2=100×3=300（答案不唯一），积都是300。积表示货物的总量。
（3）成反比例，因为每天运的吨数变化，需要的天数也随着变化，且它们的积一定。
2.第9题：成反比例，因为每瓶的容量与瓶数的乘积一定。
第10题：50 100
【课堂小结】
说一说成反比例关系的量的变化特征。
【课后作业】
1.完成练习册中本课时的练习。
2.教材51～52页第8、14题。
答案：
2.第8题：成反比例，因为教室的面积一定，而每块地砖的面积与所需数量的乘积都等于教
室 的面积54m
2
。
第14题：（1）斑马和长颈鹿的奔跑路程和奔跑时间成正比例。
（2）分析：可以通过图像直接估计，先在横轴上找到18分的位置，然后在两个图像中找到
相 应的点，再分别在竖轴上找到与这个点对应的数值；也可以通过计算找到。
解答：从图像中可以知道斑 马10min跑12km，那么1min跑1.2km，18min跑1.2×18=21.6
（km） 。
从图像中可以知道长颈鹿5min跑4km，1min跑0.8km，18min跑0.8×18= 14.4（km）。
（3）斑马跑得快。

第3课时 反比例
两种相 关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积
一定，这两种量就叫 做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用x和y表示两种相关联的量，x和y成反比例关系用字母表示为：x×y=k（一定）
正比例与反比例的相同点和不同点：
相同点：都表示两种相关联的量，且一种量变化，另一种量也随着变化。
不同点：正比例关系中比值一定，反比例关系中乘积一定。

63
1
12
4

3.比例的应用
第1课时 比例尺（1）

【教学内容】
比例尺（1）(教材第53页内容）。
【教学目标】
1.从学生的生活实际出发认识比例尺，理解比例尺的含义，使学生会求一幅图的比例尺。
2 .让学生经历比例尺的探究过程，体验从实践中学习的方法，感受数学知识与日常生活的密
切联系，培养 学生的探究意识和创新意识。
【重点难点】
理解比例尺的含义。
【教学准备】
投影仪，比例尺不同的地图，机器零件纸，北京的平面图。

【情景导入】
教师：前面我们学习了比例的知识，比例的知识在实际生活中有什么用途呢？请同学们看
一看 我们的教室有多大，它的长和宽大约多少米？如果我们要绘制教室的平面图，若是按实际尺
寸来绘制，需 要多大的图纸？可能吗？如果要画中国地图呢?于是人们就想出了一个聪明的办法：
在绘制地图和其它平 面图的时候，把实际距离按一定的比例缩小，再画在纸上，有时也把一些尺
寸小的物体（如机器零件）的 实际距离扩大一定的倍数，再画在纸上。不管哪种情况，都需要确
定图上距离和实际距离的比。这就是比 例的知识在实际生活中的一种应用。今天，我们就来学习
这方面的知识。
【新课讲授】
1.比例尺的意义。
（1）教师讲解：因为在绘制地图和其它平面图时，经常要用到图上距离与实际距离的比，

64

我们就把它起个名字，叫做比例尺。（板书：图上距离：实际 距离=比例尺）有时图上距离与实际
距离的比也可以写成分数形式。（板书：
图上距离
=比例尺）
实际距离
图上距离是比的前项，实际距离是比的后项。为了计算简便，通常把比例 尺写成前项或后项
是1的最简整数比。
（2）教师出示地图，引导学生观察1∶100000000。
（3）组织学生议一议：比例 尺中的“1”表示什么?“100000000”表示什么？指名说一说：
“1”表示图上距离，“10 0000000”表示实际距离，也就是说图上1cm的距离表示实际距离
100000000cm。
教师说明：1∶100000000是数值比例尺，有时写成
（4）引导学生观察比例尺
1
。
100000000
。适时讲解：这是线段比例尺，表示线段的长度1cm是 图
上距离，50km是实际距离，也就是说图上距离1cm代表着实际距离是50km。
（5）教师用投影出示图纸。引导学生观察图中的比例尺2∶1表示什么?
指名汇报：2∶1表示图上距离是实际距离的2倍。
教师小结：在生产中，有时由于机器零件 比较小，需要把实际距离扩大一定的倍数以后，再
画在纸上。这时比例尺的前项比后项大。为了计算方便 ，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。
2.教学例1。
（1）教师出示教材第53页例1。
组织学生独立思考，再在小组中议一议：什么是比例尺？
教师指名汇报，板书：
图上距离：实际距离
=2.4cm∶120km
=2.4cm∶12000000cm
=1∶5000000
（2）巩固应用。教师出示教材第53页“做一做”。组织学生独立完成，在小组中检查。
答案：教材53页“做一做”：2cm∶5mm=20mm∶5mm=4∶1
【课堂作业】
教材第56页练习十第1题。
答案：
第1题：把数值比例尺改为线段比例尺，在图 上距离与实际距离的比中，要把实际距离的单
位改写成所要求的单位，即30000000cm=300 km,所以应填300。

65

【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？有什么感受？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第1课时比例尺（1）
图上距离：实际距离=比例尺
图上距离
实际距离
=比例尺
1∶100000000是数值比例尺
图上距离∶实际距离
=1cm∶50km
=1cm∶5000000cm
=1∶5000000





第2课时

【教学内容】
比例尺（2）（教材第54页内容）。
【教学目标】
根据比例尺求图上距离或实际距离。
【重点难点】
1.根据比例尺求图上距离和实际距离。
2.设未知数时应统一长度单位。
【教学准备】
多媒体课件。


比例尺（2）
66

【情景导入】
前面我们学习了比例尺的求法，有同学能简单说一说吗？
指名学生回答问题，教师板书：
图上距离∶实际距离=比例尺
【新课讲授】
教学例2。
出示教材第54页例2。
指名读题，并说出题目已知什么，要求什么？
学生：已知比例尺和地铁1号线的图上距离，求它的实际距离大约是多少。
教师启发：因为图上距离：实际距离=比例尺，要求实际距离可以用解比例的方法来求。
学生思考并解答一下问题：
（1）这道题的图上距离是多少?（板书：7.8cm）
（2）实际距离不知道怎么办？（用x表示，在7.8的下面板书x,并在它们中间画上分数线）
（3）因为图上距离和实际距离的单位要统一，所设的x应用什么单位？（应用厘米）
（4）比例尺是多少？写成什么形式？（分数形式）教师板书解答过程。
解:设苹果园站到四惠东站的实际距离为x厘米。
7.81


x 400000
指定一名学生板演x的值，其他学生在练习本上做。教师强调单位互化的时候，注意0的个
数不能写掉了。
师问:这道题还有其他的方法吗？学生思考后回答。（可以用算术方法：7.8÷
1
）
400000
（5）巩固应用：做教材第54页“做一做”。先让学生说出图中的比例尺是多少 ，表示什么
意思，再用直尺量出图中河西村与汽车站的距离，然后计算出实际距离。集体订正时，要注意 检
查学生是否把实际距离化成了米。学有余力的学生要求他们用两种方法。
答案：
教材54页“做一做”:图上距离∶实际距离=1cm∶600m=1∶60000，量得图中河西村与汽车站的距离是2cm。
解:设河西村与汽车站两地的实际距离大约是xcm。
2∶x=1∶60000
x=120000
120000cm=1200m（求两 地的实际距离也可以根据线段比例尺，直接用600×2=1200（m）
【课堂作业】

67

教材第57页第5题。
组织学生独立完成，指名回答。
答案：
设上海到杭州的实际距离是x厘米。
3.41


x5000000
x=17000000
17000000=17km
答：上海到杭州的实际距离是17km。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第2课时比例尺（2）
图上距离：实际距离=比例尺
未知数→统一单位





第3课时 比例尺（3）

【教学内容】
比例尺（3）（教材第56～58页第3～10题）。
【教学目标】
1.通过练习，巩固对比例尺的认识。
2.培养学生联系实际解决问题的能力。
3.使学生感受到数学在生活中的广泛应用。
【重点难点】
把比例尺应用到实际生活中，解决实际问题。

68

【教学准备】
投影仪。

【复习导入】
1.什么是比例尺？比例尺1∶1000表示什么？
2.说说实际距离、图上距离和比例尺之间的关系。
【新课讲授】
1.教授例3。
（1）教师用投影出示教材55页的例3。
（2）组织学生讨论：画出三家和学校的平面图要 做好哪些准备工作？使学生明确：根据“图
上距离=实际距离×比例尺”，求出长和宽的图上距离。
（3）学生分组求出各图上距离，教师订正。（4）组织学生画出平面图，并在全班交流。
2.巩固应用：完成教材第55页“做一做”。组织学生独立完成，同桌间相互检查。
【练习讲授】
1.出示习题：小明家要搬新家了，他特别高兴。可是，他很担心新家离学校太 远。小明的爸
爸按比例为他画了一幅图，并且告诉他旧家与学校之间的距离是900m。小明量得新家到 学校的
图上距离是7cm，旧家到学校的距离是3cm。同学们，你们能帮助小明算算新家与学校之间的 距
离吗？
（1）学生根据手中的图纸，分小组研究用什么知识来解答，然后合作计算出结果。
（2）学生汇报所在小组是怎样想的及利用了什么知识。教师要求学生每说出一步算式要说
出理 由，并说一说为什么要这样求。
方法一：运用比例尺。
900m=90000cm 3∶90000=1∶30000
7×30000=210000（cm）=2100（m）
方法二：运用倍比关系。
7÷3=
77
900×=2100（m）
33
2.教师：通过同学们的计算，我们知道了小明的新家距学校 比旧家远了不少，但小明还是非
常高兴的，因为小明的新家比旧家宽敞。小明的新家按1∶200画出的 户型图是这样的。

69

教师：你能根据手中的图选其中的一间求出实际面积吗？
（1）学生以小组为单位分工计算出结果。
（2）汇报求出卧室和卫生间的实际面积的方法。
（3）引导学生通过这道题发现在比例尺的应用中应该注意哪些问题。
3.教材第56页练习十第4题。
教师：这是一幅七星瓢虫的放大图，那么它的比例尺的后项应该是多少？
组织学生独立完成，指名汇报。
答案：量得七星瓢虫的长度是2.5cm,2.5cm∶5mm=25mm∶5mm=5∶1。
4.教材第57页练习十第8题。
先组织学生独立练习，并在小组中交流。
答案：3.6cm 22.5cm 9000km
5.教材第57页练习十第7题。
（1）教师用投影出示第7题。
（2）指名读题，理解题意。
（3）小组合作讨论，指一名学生板演，然后集体订正。
解:设兰州到乌鲁木齐在地图上的长是x厘米。
1900km=190000000cm
x∶190000000=1∶40000000
x=4.75
答：地图上两地之间的长度是4.75cm。
6.教材第57页练习十第6题。
（1）组织学生分小组活动：在自己准备的地图上，选取两个城市。
（2）组织学生量出两个城市在图上的距离。
（3）根据比例尺，算出两个城市的实际距离。
（4）小组交流，汇报。
7.教材第57页练习十第9题。

70

（1）组织学生读题，理解题意。
（2）组织学生在小组中合作完成。
①根据比例尺，算出篮球场长和宽的实际距离。
②画出平面图。
③相互展示。
8.教材第58页练习十第10题。
(1)学生拿出自己测量房屋地面的长和宽的实际距离。
(2)组织学生在小组中议一议，使 学生明确，先要确定比例尺，再计算出长和宽的图上距离，
然后再画。（比例尺要根据平面的大小来定）
9.教材第58页练习十第11题。
（1）组织学生读题，理解题意。
（2）组织学生在小组中议一议，确定解题步骤。
（3）小组合作完成，并相互交流，这里用图上距离1cm表示实际距离200m比较合适。
（4）用投影展示学生的作业。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你又有哪些新的认识？比例尺能帮助我们解决生活中的哪些问题？
组织学生说一说，相互交流。
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第3课时 比例尺（3）
例题:
方法一：运用比例尺。
900m=90000cm
3∶90000=1∶30000
7×30000=210000cm=2100（m）
方法二：运用倍比关系。
7÷3=
77
900×=2100（m）
33




71

第4课时 图形的放大与缩小

【教学内容】
图形的放大与缩小（教材第60页例4及60页“做一做”）。
【教学目标】
1. 使学生从数学的角度认识放大与缩小现象，体会图形相似变化的特点，能按要求将图形放
大或缩小。
2.培养学生把已学知识应用到实际生活中的能力，以及动手的能力。
【重点难点】
1.理解图形的放大和缩小，能利用方格纸把一个简单图形按指定的比例放大或缩小。
2.使 学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小是图形边长的变化，图
形的形状不发生改 变。
【教学准备】
投影仪、投影片、方格纸。
【情景导入】
1.创设情境，引起冲突。
出示一张班级学生照片。
师：李林同学打算把自己的照片放大后挂在房间里，摄影师分别用了三种处理方法。
电脑演示：方法一，宽边不变，把长边拉长。
方法二，长边不变，把宽边拉长。
方法三，把长边、宽边同步拉长。
2.合理选择，初步感知。
请你帮助李林选择一下，哪种处理方法效果最佳？并说出理由。
【新课讲授】
1. （1）（隐去方法一、方法二图，留下方法三图和原图）师：仔细观察两幅图，总感觉两者
之间似乎存在 着一种关系，那我们可以着手从哪方面研究两者关系呢？
（师拿出一张长方形纸）我们先来分析一下长方形有哪些元素？最基本的因素是什么？
引领学生答出长方形的基本因素有长、宽、周长、面积，其中最基本的因素是长和宽。
师：那我们就从最基本的因素长和宽开始研究吧。
电脑出示：原照片长8cm，宽5cm。
放大后，照片长16cm，宽10cm。
放大后的长和原来的长有什么关系？宽呢？
（2）根据学生回答，教师引导出示：放大后长方形的长是原来长方形长的2倍，放大后的

72

宽也是原来长方形宽的2倍，概括起来说就是：长方形的每条 边都放大到原来的2倍。放大后的
长方形与原来长方形对应边长的比是2∶1。就是把原来的长方形按2 ∶1放大。（划线部分为所
出示的三句结论）
（3）借助两幅图理解“每条边”，“对应边长 ”和“2∶1”的含义，重点明白这里比的前项
和后项分别代表什么？
出示： 2 ∶ 1
前项 后项
放大后边长 原图边长
（4）如果把原图按3∶1放大，放大后长方形的长、宽各是多少？
学生回答，师同步板书：
原图 2∶1 3∶1
长（cm）：8 8×2=16 8×3=24
宽（cm）：5 5×2=10 5×3=15
继续追问，如果把原图按5∶1，10∶1放大，放大后的长、宽各是多少？指名口答。
①如果把原图按1∶2缩小，缩小后的长、宽是原长、宽的几分之几？各是多少厘米？
②先理解1∶2的含义：放大后的边长为1份，原图边长为2份。

如果按1∶4缩小呢？
小结提问：图形在放大与缩小时什么发生了变化？
过渡：从 李林同学的照片中我们学习了图形的放大与缩小，下面我们动手来画，或许还会有
新的发现。
2.独立完成教材第60页例4的绘图。
（1）默读例4并思考：书中画出几个图形？所画图形的格数与原图有什么关系？
（2）请同学们按要求画在自己的方格图中，比一比谁画的既正确又美观。
（3）投影反馈，请同学相互评价，重点说出所画图形格数是怎样得来的。
（4）观察上面的3个图形，你有什么发现。
3.例4的延伸。如果把放大后的这组图形的各 边再按1∶3缩小，图形又会发生什么变化？
学生讨论后得出：

73

（1）图形缩小了，但形状不变。
1
（2）缩小后的图形各条边分别缩小到原来长度的。
3
引导学生小结：图 形在放大、缩小时原图边长要同步变化，它们只是大小发生了变化，形状
没变。
4.试一试：在自己的方格纸上按4：1画出三角形放大后的图形（教材第60页“做一做”）。
学生尝试操作。
组织学生讨论、交流画三角形的技巧：你在画三角形时有什么比较好的方法。 （提示先画直
角边，再画斜边）
猜一猜斜边的变化与直角边相同吗？自己测量验证。
小结：图形在放大时所有边的变化是相同的。

【课堂作业】
1.填空。
一个长方形长3dm，宽2dm，按3∶1放大，放大后的长是（ ）dm，宽是（ ）dm，放
大后的长方形与原长方形的周长比是( ∶ )，面积比是（ ∶ ）。
2.完成教材第63页练习十一第1、2题。
第1题，教师用投影出示第1题的画面。
组织学生在小组中议一议并相互交流，然后教师指名说一说。
通过判断使学生明确：按一定的 比把一个图形放大或缩小后，它的各边也按这样的比放大或
缩小了。判断后，让学生说明理由。
第2题，先组织学生读题，理解题意。再组织学生按要求画图，教师用投影展示较好的作业。
同时指名 汇报第3问，学生可能会说：B可由A放大后得到，A和C可以由B缩小后得到，面积
与边长不是按相同 比例变化的。
【课堂小结】
图形的放大与缩小在日常生活中应用非常广泛，在深圳的世界之 窗，就有许多建筑是将世界
各地的名胜按一定的比例缩小后进行建造的，还有冲洗照片，汽车模型制造， 复印文件，绘制地
图，观察太空的天文望远镜……正是这些技术的应用，才使得我们的世界变得缤纷多彩 ，可见数
学与生活的联系是多么的紧密。【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第4课时图形的放大与缩小

74

原图 2∶1 3∶1
长（cm）∶8 8×2=16 8×3=24
宽(cm)∶5 5×2=10 5×3=15

原图 1∶2 1∶4
长(cm)∶8 8÷2=4 8÷4=2
宽(cm)∶5 5÷2=2.5 5÷4=1.25
图形边长同步变化，外形不变。





第5课时 用比例解决问题（1）

【教学内容】
用比例解决问题（1）（教材第61页的例5）。
【教学目标】
使学生能正确判断应用题中涉及的量成什么比例关系，能利用正比例的意义正确解读实际问
题。
【重点难点】
1.认识正比例实际问题的特点。
2.掌握用比例知识解答实际问题的解题思路。
【教学准备】
投影仪。

【复习导入】

75

1.（1）判断下面的量各成什么比例。
①工作效率一定，工作总量和工作时间。
②路程一定，行驶的速度和时间。先让学生说出数量关系式，再判断。
（2）先根据条件说出 下面各题的数量关系式，再说出两种相关联的量成什么比例，并列出
相应的等式。
①一台机床5小时加工40个零件，照这样计算，8小时加工64个。
②一列火车行驶360km。每小时行90km，要行4小时；每小时行80km，要行x小时。
指名口答，教师板书。
2.引入新课。
从上面可以看出，生产、生活中的一些实际 问题，应用比例的知识也可以列一个等式。所以
我们以前学过的一些实际问题，还可以应用比例的知识来 解答。这节课，我们就来学习用正比例
知识解决问题。（板书课题）
【新课讲授】
1.教学例5。
教师出示教材第61页的情境图，引导学生观察。
组织学生描述图画上的内容和数学信息。
问题：张大妈家上个月用了8吨水，水费是28元。李奶奶家用了10吨水，水费是多少钱？
（1）想一想：怎样计算呢？引导学生寻找条件，独立思考，列式算一算，再在小组中交流。
（2）指名说一说计算方法。学生可能会这样计算：
28÷8×10
=3.5×10
=35（元）
（3）还有其他的解答方法吗？
引导学生思考，教师可以说明：这样的问题可以应用比例的知识来解答。
（4）教师:问题中 有哪两种量，它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？根据这样的比
例关系，你能列出等式吗?
组织学生先独立思考，然后小组内讨论、交流。
（5）指名汇报。说一说解答方法。汇报时学生可能会说出：
因为每吨水的价钱一定，所以水 费和用水的吨数成正比例。也就是说两家水费和用水的吨数
的比值是相等的。
（6）组织学生设未知数，根据正比例的意义列方程解答。
指名板演，集体订正。

76

（7）指名检验。
师说明：在列式时，同学们可能 感到很陌生，列正比例的式子是什么样的，就是列出两组比，
并且比值要相等和题中的意义要相符，比如 ，此题比值的意义是每吨水的价钱一定，那么你所列
的比的比值一定要表示每吨水的价钱。应列出：
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
28∶8=x∶10
8x＝28×10
x＝280÷8x＝35
答：李奶奶家上个月的水费是35元。
（8）将答案代入到比例式中进行检验。
2.修改题目：王大爷上个月的水费是42元，他们家上个月用了多少吨水？
让学生说一说题意。
请同学们按照例5的方法在练习本上解答，同时指一名板演，然后集体订 正。指名说一说是
怎样想的，列比例的根据是什么？
学生独立应用比例的知识来解答，使学生 明确例5的条件和问题改变后，题目中水费和用水
的吨数的正比例关系没变，只是未知量变了。
【课堂作业】
教材第62页“做一做”第1题。
（1）先组织学生读题，理解题意。
（2）指两名学生板演，集体订正。
答案：
第1题：解：设要用x元。
6∶4=x∶3 x=4.5
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第5课时用比例解决问题（1）
用比例知识解题的一般步骤：
(1)判断比例关系
（2）找出对应数值

77

（3）列出等式解答


78

第6课时 用比例解决问题（2）

【教学内容】
用比例解决问题（2）。
【教学目标】
1.能利用反比例的意义正确解读实际问题。
2.进一步培养学生应用已学知识进行分析、推 理的能力。在解决实际问题的过程中，开拓思
维。
【重点难点】
掌握用反比例知识解答实际问题的解题思路。
【教学准备】
多媒体课件。

【情景导入】
前面我们一起学习了用正比例解决实际问题，今天我们一起来学习用反比例解决实际问题。
【新课讲授】
1.教学例6。
一个办公室原来平均每天照明用电100千瓦时。改 用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦
时。原来5天的用电量现在可以用多少天？
提问：以 前我们是怎样解答的？这样解答是先求什么？是按怎样的数量关系式来求的？这道
题里哪个量是不变的量 ？
（1）仿照例5的解题过程，用比例的知识来解答例6。指名板演，其余学生在练习本上做。
练习后让学生说一说怎样想的。检查解答过程，结合提问弄清为什么要列成积相等的式子。
（2）按 过去的方法是先求什么再解答的？求总数量的题现在用什么比例关系解答？用反比
例关系解答这道题，应 该怎样想，怎样做？
（3）指出：解答例6要按题意列出关系式，判断反比例，再找出两种相关联的量 相对应的
数值，然后根据反比例关系的乘积一定，也就是相对应数值的乘积相等，列式解答。
2.小结解题思路。
（1）请同学们根据例6的解题过程，想一想应用比例知识解题，是怎样想的，怎样做的？
（2）同学们相互讨论一下，然后大家交流。
（3）指一名学生说解题思路。
（4 ）指出：应用比例的知识解题，先要判断两种相关联的量成什么比例关系，(板书：判断
比例关系)再找 出相关联的量的对应数值，（板书：找出对应数值）再根据正反比例意义列出等式
解答。（板书：列出等 式解答）
追问：你认为解题的关键是什么？（正确判断成什么比例）怎样来列出等式？（正比例等式< br>比值相等，反比例乘积相等）

79

【课堂作业】
教材第62页“做一做”第2题。
（1）先组织学生读题，理解题意。
（2）指两名学生板演，集体订正。
答案：
第2题：解：设可以买x支。 2x=1.5×4 x=3
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第6课时用比例解决问题（2）
用比例知识解题的关键：正确判断成什么比例，正比例等式比值相等，反比例乘积相等。





整理和复习

【教学内容】
整理和复习（教材第65页内容）。
【教学目标】
1.回顾本单元的知识内容，进 一步理解和掌握有关比例的知识，培养学生归纳整理数学知识
的能力。
2.经历知识的回顾整理过程，体验归纳整理，构建知识体系的学习方法。
3.体验掌握数学 知识的成功喜悦，激发学习的兴趣，培养善于归纳总结、自我激励的良好习
惯。
【重点难点】
归纳整理有关比例的知识，形成知识体系。
【教学准备】
小黑板，投影仪。

【复习回顾】

80

1.教师：同 学们，这一单元我们学习了比例的知识，请同学们举例说一说：什么叫做比？什
么叫做比例？比和比例有 什么联系和区别？
组织学生看书，同桌讨论整理后回答，教师整理成表格。

2.用投影出示下面的问题：
（1）什么叫解比例？
（2）解比例的过程与要求是什么？
接着完成教材第65页第2题（强调书写与格式）。
①学生独立练习。
②请4位学生上讲台板演。
③说一说解比例的步骤，每步运算的根据是什么？
3.用投影出示下面的问题：
（1）什么叫做成正比例的量和正比例的关系？
（2）什么叫成反比例的量和反比例关系？
（3）正比例和反比例有什么区别和联系?
根据学生的回答，教师填写小黑板上的表。

81

（4）如何判断两种量是否成正比例或反比例？
小组讨论：概括“一找、二想、三判断”。
一找：哪两种相关联的量；
二想：两种相关联量的变化情况，写出关系式；
三判断：联系关联式，看是比值一定还是积一定，判断成什么比例。
4.自主构建，形成网络
教师：请各小组将本单元比例的应用这节内容进行归纳整理，比一比看哪个小组整理的知识
又详 细又清楚。
（1）组织各小组归纳整理。
（2）组织各小组汇报归纳整理的内容。
①汇报时要求各小组将自己归纳整理的内容展示出来。教师根据各小组汇报的情况，适当补
充。
②教师组织各小组的汇报进行评价。

【课堂作业】

82

1.教材第65页第3题。
先组织学生独立完成，再互相说一说是怎样判断的？
2.教材第65页第4题。
学生独立练习，教师指名板演，然后集体订正。
答案：
1.（1）速度与时间成反比例；
（2）体积与底面积成正比例。
（3）面积与半径的平方成正比例。
2.（1）解：设甲乙两地相距x千米。
100x

x=150
23
（2）解：设返回时用了x小时。
60x=50×3 x=2.5
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
【课后作业】
1.第66页练习十二第1题～第4题。
2.完成练习册中本课时的练习。
答案：
1.第1题：（1）1∶300000； （2）5∶3, 5∶3, 25∶9；（3）135 < br>第2题：（1）有，正比例关系；（2）有，反比例关系；（3）有，正比例关系；（4）有，正比
例关系。
第3题：分析：先根据比例尺1∶2000000求出甲、乙两个城市之间高速公路的实际 距离，
再求出在比例尺是1∶5000000的地图上这条公路的图上距离。
解：设甲乙两个城市之间高速公路的实际距离为x厘米。
1∶2000000=5.5∶x x=11000000
设这条公路的图上距离是y厘米。
1∶5000000=y∶11000000 y=2.2
第4题：（1）解：设现价x元
150∶250=x∶180 x=108
（2）解：设原价200元的夹克衫，现价x元
x∶200=150∶250 x=120
90×4÷120=3
3
（3）
yx

5

整理和复习

83

5数学广角——鸽巢问题


【教学目标】
1.引导学生通过观察、猜测、实验推理等活动，经历探究鸽巢问题的过程，初 步了解鸽巢问
题，会用鸽巢问题解决简单的生活问题。
2.培养学生解决简单实际问题的能力。
3.通过鸽巢问题的灵活运用，展现数学的魅力。
【重点难点】
重点：灵活应用鸽巢问题解决实际问题。
难点：理解鸽巢问题。

【教学指导】
1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励引导学生借用学 具、实物操作或画草图的
方法进行说理。通过说理的方式理解鸽巢问题的过程是一种数学证明的雏形。通 过这样的方式，
有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后思维严密的数学证明做准备。
2.有意识地培养学生的模型思想。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和鸽巢

84

问题联系起来，能否找到该问题的具体情境与鸽巢问题的一般 化模型之间的内在关系，找出该问
题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是解决该问题的关键。 教学时，要引导学生先判断
某个问题是否属于鸽巢问题的范畴，再思考如何寻找隐藏在其背后的鸽巢问题 的一般模型。这个
过程是学生经历将具体问题数学化的过程，从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型 ，是体现
学生思维和能力的重要方面。
3.要适当把握教学要求。鸽巢问题本身或许并不复杂 ，但其应用广泛且灵活多变。因此，用
鸽巢问题解决实际问题时，经常会遇到一些困难，所以有时找到实 际问题与鸽巢问题之间的联系
并不容易,即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”。因此，教学时， 不必过分要求学生说理
的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就行了，鼓励学生借助实物操 作等直观方式
进行猜测、验证。
【课时安排】
建议共分2课时：
数学广角…………………………………………………………………2课时
【知识结构】


第1课时 鸽巢问题（1）

【教学内容】
最简单的鸽巢问题（教材第68页例1和第69页例2）。
【教学目标】
1.理解 简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法
探究“鸽巢问题”。
2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。
【重点难点】
了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。
【教学准备】
实物投影，每组3个文具盒和4枝铅笔。

85

【情景导入】
教师：同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？“ 电脑算命”看起来很深
奥，只要你报出自己的出生年月日和性别，一按键，屏幕上就会出现所谓性格、命 运的句子。通
过今天的学习，我们掌握了“鸽巢问题”之后，你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑 和荒
唐的，是不可相信的鬼把戏了。(板书课题：鸽巢问题)
教师：通过学习，你想解决哪些问题？
根据学生回答，教师把学生提出的问题归结为：“鸽巢 问题”是怎样的？这里的“鸽巢”是
指什么？运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？怎样运用“鸽巢问题” 解决问题？
【新课讲授】
1.教师用投影仪展示例1的问题。
同学们手中都有铅 笔和文具盒，现在分小组形式动手操作：把四支铅笔放进三个标有序号的
文具盒中，看看能得出什么样的 结论。
组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一放。
教师指名汇报。
学生汇报时会说出：1号文具盒放4枝铅笔，2号、3号文具盒均放0枝铅笔。
教师：不妨将这种放法记为（4,0,0）。〔板书：（4,0,0）〕
教师提出：（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）为一种放法。
教师：除了这种放 法，还有其他的方法吗？教师再指名汇报。学生会有（4，0，0）（0，1，
3）（2,2,0）（2 ,1,1）四种不同的方法。教师板书。
教师：还有不同的放法吗?
教师：通过刚才的操作，你能发现什么?（不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）
教师:“总有”是什么意思?（一定有）
教师:“至少”有2枝什么意思?（不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝）
教师：就是不能少于2枝。(通过操作让学生充分体验感受)
教师进一步引导学生探究：把5 枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒要放进几枝铅笔？
指名学生说一说，并且说一说为什么？教师: 把4枝笔放进3个盒子里,和把5枝笔放进4个盒子
里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。 这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么,
我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也 能得到这个结论呢?
学生思考——组内交流——汇报
教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
学生会说:我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒

86

子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)
教师:同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?
教师:这种分法,实际就是先怎么分的?
学生：平均分。
教师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)
学生汇报：要想发现存在着“总有一个盒子里一 定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管
放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有 2枝”。
这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?
教师:同意吗?那么把5枝笔放进4个盒子里呢?(可以结合操作,说一说)
教师:哪位同学能把你的想法汇报一下？
学生:(一边演示一边说)5枝铅笔放在4个盒子里 ,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝
铅笔。
师:把6枝笔放进5个盒子里呢?还用摆吗?
生:6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:把7枝笔放进6个盒子里呢?把8枝笔放进7个盒子里呢?把9枝笔放进8个盒子里呢?……
教师：你发现什么?
学生：铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
教师:你们 的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。把100枝铅笔放进
99个文具盒里会 有什么结论？一起说。
巩固练习：教材第68页“做一做”。
A组织学生在小组中交流解答。
B指名学生汇报解答思路及过程。
2.教学例2。
①出示题目:把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?请同学们
小组合作探究。探究时，可以利用每组桌上的7本书。
活动要求：
a.每人限独立思考。b .把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操作，可以利用每桌
上的7本书，要有分工，并要全 面考虑问题。(谁分铅笔，谁当抽屉，谁记录等)d.在全班交流汇
报。(师巡视了解各种情况)
学生汇报。
哪个小组愿意说说你们的方法？把你们的发现和大家一起分享，学生可能会有以下方法：

87

a.动手操作列举法。
学生：通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书。
b.数的分解法。
把7分解成三个数，有（7,0），（6,1），（5,2），（4,3） 四种情况。在任何一种情况下，总有
一个数不小于3。
教师：通过动手摆放及把数分解两种方 法，我们知道把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉
至少放进几本书?(3本)
②教师质疑引出假设法。
教师：同学们通过以上两种方法，知道了把7本书放进3个抽屉，总 有一个抽屉至少放进3
本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：要把155本书放进3个抽屉呢？用 列举法、数的分
解法会怎么样？（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢？请同学们想想。
板书:7本3个2本……余1本(总有一个抽屉里至少有3本书)
8本3个2本……余2本(总有一个抽屉里至少有3本书)
10本3个3本……余1本(总有一个抽屉里至少有4本书)
师:2本、3本、4本是怎么得到的?
生：完成除法算式。
7÷3=2本……1本(商加1)
8÷3=2本……2本(商加1)
10÷3=3本……1本(商加1)
师:观察板书你能发现什么?
学生：“总有一个抽屉里的至少有3本”，只要用“商+1”就可以得到。
师:如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
学生:“总有一个抽屉里至少有3本”只要用5÷3=1本……2本,用“商+2”就可以了。
学生有可能会说：不同意!先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2
本,这2 本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
师:到底是“商 +1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行研究、讨论、交流、说
理活动。
可 能有三种说法：a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,
不是3本书 。
b.把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。
c.我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商

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加1”就可以了,不是“商加2”。
教师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?
学生回 答：如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总
有一个抽屉里至少 有商加1本书”了。
教师讲解：同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理 ”,最先是
由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理 ”。这
一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多
有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。
提问： 尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么方式表示这
一平均的过程呢？
学生在练习本上列式：7÷3=2……1。
集体订正后提问：这个有余数的除法算式说明了什么问题？
生：把7本书平均放进3个抽屉， 每个抽屉有两本书，还剩一本，把剩下的一本不管放进哪
个抽屉，总有一个抽屉至少放三本书。
③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。
a.提问：如果把10本书放进3个抽屉会怎样？13本呢？
b.学生列式回答。
c.教师板书算式：10÷3=3……1（总有一个抽屉至少放4本书）
13÷3=4……1（总有一个抽屉至少放5本书）
④观察特点，寻找规律。
提问：观察3组算式，你能发现什么规律？
引导学生总结归纳出：把某一数量（奇数）的书放 进三个抽屉，只要用这个数除以3，总有
一个抽屉至少放进书的本数比商多一。
⑤提问：如果把8本书放进3个抽屉里会怎样，为什么？
8÷3=2……2
学生汇 报。可能出现两种情况：一种认为总有一个抽屉至少放3本书；一种认为总有一个抽
屉至少放4本书。
学生讨论。讨论后，学生明白：不是商加余数2，而是商加1。因为剩下两本，也可能分别
放进 两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于数的分解（3,3,2）。所以，总有一个抽屉至少放3本书。
⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。
要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b……c（c ≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）
个物体。

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【课堂作业】
教材第69页“做一做”。
（1）组织学生在小组中交流解答。
（2）指名学生汇报解答思路及过程。
答案：
（1）∵11÷4=2（只）……3（只） 2+1=3(只)
∴一定有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。
（2）∵5÷4=1（人）……1（人） 1+1=2(人)
∴一定有一把椅子上至少坐2人。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

第1课时鸽巢问题（1）
（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）
学生铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
5÷2=2……1
7÷2=3……1
9÷2=4……1
要把a个物体放 进n个抽屉里，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）
个物体。






第2课时 鸽巢问题（2）

【教学内容】

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“鸽巢问题”的具体应用（教材第70页例3）。
【教学目标】
1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2.培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。
3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
【重点难点】
引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”，找出这里的“鸽巢”有几个，再利用 “鸽巢问题”
进行反向推理。
【教学准备】
课件，1个纸盒，红球、蓝球各4个。

【情景导入】
教师讲《月黑风高穿袜子》的故事。
一天晚上，毛毛房间 的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他又要出去，于是他就摸床底下
的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子 各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗中不知道哪
些袜子颜色是相同的。毛毛想拿最少数目的 袜子出去，在外面借街灯配成相同颜色的一双。你们
知道最少拿几只袜子出去吗？
在学生猜测的基础上揭示课题。
教师：这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。
板书：“鸽巢问题”的具体应用。
【新课讲授】
1.教学例3。
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个
球？
（出示一个装了4个红球和4个蓝球的不透明盒子，晃动几下）
师：同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?
（请一个同学到盒子里摸一摸，并摸出一个给大家看）
师：如果这位同学再摸一个，可能是什 么颜色的？要想这位同学摸出的球，一定有2个同色
的，最少要摸出几个球？
请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想。
指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。
摸2个球可能出现的情况：1红1蓝；2红；2蓝
摸3个球可能出现的情况：2红1蓝；2蓝1红；3红；3蓝
摸4个球可能出现的情况：2红2蓝；1红3蓝；1蓝3红；4红；4蓝
摸5个球可能出现的情况：4红1蓝；3蓝2红；3红2蓝；4蓝1红；5红；5蓝
教师：通过验证，说说你们得出什么结论。
小结：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。想要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸

91

3个球。
2.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。
教师：生活中像这样的例子很多，我们不能总 是猜测或动手试验吧，能不能把这道题与前面
所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？
思考：
a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？
b.应该把什么看成“鸽巢”?有几个“鸽巢”?要分放的东西是什么？
c.得出什么结论？
学生讨论，汇报。
教师讲解：因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个 “鸽巢”，“同色”
就意味着“同一个鸽巢”。这样，把“摸球问题”转化“鸽巢问题”，即“只要分的 物体个数比鸽
巢多，就能保证有一个鸽巢至少有两个球”。
从最特殊的情况想起，假设两种颜 色的球各拿了1个，也就是在两个鸽巢里各拿了一个球，
不管从哪个鸽巢里再拿一个球，都有两个球是同 色，假设最少摸a个球，即（a）÷2=1……（b）
当b=1时，a就最小。所以一次至少应拿出1× 2+1=3个球，就能保证有两个球同色。
结论：要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。
【课堂作业】
先完成第70页“做一做”的第2题，再完成第1题。
（1）学生独立思考。
（提示：把什么看做鸽巢？有几个鸽巢？要分的东西是什么？）
（2）同桌讨论。
（3）汇报交流。
教师讲解：第2题：因为一共有红、黄、蓝、白四种颜色的球，可以把四种 “颜色”看成四
个“鸽巢”，“同色”就意味着“同一鸽巢”。把“摸球问题”转化成“鸽巢问题”，即 “只要分的
物体个数比鸽巢数多一，就能保证至少有一个鸽巢有两个球，摸出的球的数量至少比颜色的种 数
多一，所以至少取5个球，才能保证有两个同色球。
第1题：他们说的都对，因为一年中最 多有366天，所以把366天看做366个鸽巢，把370
名学生放进366个鸽巢里，人数大于鸽巢 数，因此总有一个鸽巢里至少有两个人，即他们的生日
是同一天。1年中有十二个月，如果把12个月看 作是十二个鸽巢，把49名学生放进12个鸽巢
里，49÷12=4……1，因此总有一个鸽巢里至少有 5（即4+1）个人，也就是至少有5个人的生日
在同一个月。
教师：上课时老师讲的故事你 们还记得吗？（课件出示故事）谁能说说在外面借街灯配成同
颜色的一双袜子，最少应该拿几只出去？
【课堂小结】
本节课你有什么收获？
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。

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第2课时鸽巢问题（2）
要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色的种类多一。





6整理和复习


【教学目标】
1.比较 系统地掌握有关整数、小数、分数和百分数、负数、比和比例、方程的基础知识；能
比较熟练地进行整数 、小数、分数的四则运算；能进行整数和小数加、减、乘、除的估算；会使
用学过的简便运算，合理、灵 活地进行简算；会解方程；养成检查和验算的习惯。
2.巩固常用计量单位的对象，掌握所学的单位间的进率，能够简单的改写。
3.掌握所学的 几何图形的特征；能够比较熟悉地计算一些几何图形的周长、面积和体积，并
能应用；巩固所学的简单画 图、测量等技能；巩固对轴对称图形的认识，会画一个图形的对称轴，
掌握图形的平移旋转的方法；能用 数对，会根据方向和距离确定物体的位置，掌握有关比例尺的
知识，并能应用。
4.掌握所学 的统计初步认识，能够画出简单的统计图表，能够根据数据做出简单的判断与预
测，会求一些简单事物的 可能性，能够解决一些计算平均数的问题。
5.进一步感受数学知识间的内在联系，体会数学的作用； 掌握所学的常见的数量关系和解决
问题的思考方法，能够比较灵活地运用所学知识解决生活中的一些简单 的实际问题。
【重点难点】
知识的全面性与系统性，查漏补缺。

【教学指导】
1.加强整理和复习的系统性。我们知道，数学知识的特点之一就是具有严密的 逻辑系统性。
虽说我们在前面的学习过程中，每个单元、每个学期，都有整理和复习，但毕竟具有一定的 局限

93

性。本单元在平时学习的基础上，在更大范围 内引导学生对学过的知识进行更全面的回顾、整理
和比较、对照。这样原来分散学习时互不联系或联系较 少的知识，就有机会得以沟通，形成纵横
联系的知识体系。因此加强整理和复习的系统性，使所学的知识 结构化是本单元的首要任务。
2.启发、引导学生自己整理知识。如前所述，本单元教材所采取的精简 篇幅，是突出重点、
要点的做法，为教师启发、引导学生自己整理知识创造了条件。复习时，应充分的利 用教材的留
白，发挥学生参与知识的主动性和积极性。有时，学生的整理不够准确，不够全面，这都是真 实
的、自然的现象，教师在学生开动脑筋深有体会的基础上加以点拨，往往效果更好，不仅能加深
学生的印象，记得牢，还有助于培养并提高学生的学习能力，因为知识的整理和复习也是学习能
力的重 要组成部分之一。
本单元复习的内容涉及面广，而且又是逐年学习的，如果在课堂上进行逐项回忆，常 常花费
的时间多。因此，在课堂上复习各部分内容之前，可以布置学生先预习。课前预习可以让每一位< br>学生都有较充足的时间，有利于提高学生复习的主动性，也有利于提高课堂复习的效率。
3.在 系统整理和复习的过程中注意查漏补缺。在本单元的教学过程中，教师应根据前一段课
堂教学、批改作业 和课后辅导中了解到的情况，搞清学生还有哪些概念比较模糊，哪些方法不够
熟练，哪些疑难尚未解决， 在系统复习的过程中予以弥补。通过知识的再认、再现和质疑熟练起
来。可以说，所学知识与技能的巩固 ，是灵活应用于提高能力的基础，也是系统整理和复习的基
本要求之一。
4.加强练习的针对 性、有效性。本单元教材所提供的练习，是根据一般情况配备的，教师要
善于从本班学生的实际情况出发 ，有针对性地练习并加以适当的调整和增补，同时要注意因材施
教，对不同情况的学生提出不同的练习要 求，使各种程度的学生都能通过练习确有所获，并都能
在原有的基础上有所提高。
5.注意引导学生积累数学学习的经验，总结解决问题的策略。
本单元教材，基于复习整理解 决问题的思路和方法，设计了一系列的例题，并配备了必要的
练习。教学时，教师要善于就题论理、论思 路，引导学生总结比较一般的解题策略，以促进知识
的迁移和能力的提高。同时，教师还应该通过多种途 径，如课内学生的发言、小组讨论、课后的
作业批改、个别交流等了解学生的学习体会，发现他们的学习 经验，在班上交流或介绍。经验表
明，六年级的整理和复习阶段，是小学生形成总结学习经验的有利时机 ，利用这个时机，帮助学
生总结个人经验，分享他人经验，有利于学生的发展，有利于提高本单元的教学 成效。
【课时安排】建议共分27课时：
1.数与代数………………………………………………………………11课时
2.图形与几何……………………………………………………………6课时
3.统计与概率……………………………………………………………4课时

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4.数学思考………………………………………………………………2课时
5.综合与实践……………………………………………………………4课时
【知识结构】


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1.数与代数
第1课时 数的认识（1）
【教学内容】
数的认识（1）。
【教学目标】
使学生 比较系统地掌握有关整数、分数、小数、百分数和负数的基础知识，进一步弄清概念
间的联系和区别。
【重点难点】
1.使学生比较系统的掌握自然数和整数的基础知识。
2.弄清概念间的联系和区别。
【教学准备】
多媒体课件，实物投影。

【谈话导入】
1.教师:同学们，谁能说一说小学六年中我们都学过哪些数？你能举出生活中 利用这些数的例
子吗？说明每个数的具体含义。
请学生拿出课前收集的数据来汇报，指名在黑板上写下这些数。
其他同学注意倾听，听一听数读得是否正确，看一看黑板上的数写得对不对。
2.教师用课件出示一组数，弥补学生的不足。
（课件出示：
如：珠穆朗玛峰高达8844.43m。
南极洲年平均气温只有-25℃。
3
今年我市空气质量达到良好的天数占全年的。
5
这本词典有1722页。
一条围巾的成分：羊毛40%、化纤60%。）
3.把黑板上的数分一分类。

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4.揭示课题。
同学们回答得很正确， 这就是我们在小学阶段学习的几种数，这几节课我们就把这几种数的
意义和有关知识进行整理和复习，我 们今天先复习自然数和整数。（板书课题：数的认识）
【归纳整理】
自然数和整数。 1.教师提问：什么样的数是自然数？0表示什么？有没有最小的自然数？有没有最大的自然
数？
根据学生的回答，教师板书：
2.教师提问：谁知道我们学习的哪些数是整数？
学生回答后，教师提出问题：能不能说整数就是自然数？让学生想一想，议一议，说一说。
教 师向学生说明：我们小学阶段学习的整数，除了自然数，还学习了一些小于零的整数即负
整数，这些负整 数到中学要更深入的学习。
结合上面的复习和板书，将板书补充成如下形式：

3.小组整理数的其他知识。提问：关于数的知识你还知道哪些？
（1）学生自由发言。
（2）小组合作学习，重点讨论下面的问题。（出示讨论题）
a.什么是十进制计数法？
b.你能说出哪些计数单位？
c.怎样比较两个数的大小？
d.说一说因数、倍数、质数、合数各自的含义。
根据学生的回答教师完成整数、小数的数位顺序表。

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教师说明：整数和小数都是按十进制计数法写出得数，其中个、十、百……以 及十分之一、
百分之一……都是计数单位。各个计数单位所站的位置，叫做数位。数位是按一定的顺序排 列的。
练一练：填空（口答）。
27046=2×（ ）+7×（ ）+0×（ ）+4×（ ）+6×（ ）
说出4004.04这个数中的三个“ 4”分别在什么数位上，各表示什么，这个数中的三个“0”各起
什么作用？
4.怎样比较两个数的大小？举例说明。
引导学生从整数、小数、分数三个方面回答。
整数、小数的比较方法。
比较分数大小的方法，从同分母、同分子、异分母三个方面小结。教师逐一指名回答。
提问：非0自然数有几种常用的分类方法，分类的依据是什么？
学生边回答教师边板书：非零 自然数根据是不是2的倍数，分成偶数和奇数；根据所含因数
的个数，分成
1、质数和合数。
板书：

回答：什么是奇数、偶数？什么是质数、合数？
教师指名一一回答，并要求学生记住100以内质数表。
【课堂作业】
教材73页第3～5题。
学生独立完成并在小组中相互交流，教师巡视并针对具体情况进行指导。
【课堂小结】
通过复习，请你们把自然数和整数的有关知识整理一下并在小组中交流。
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。


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第2课时 数的认识（2）

【教学内容】
数的认识（2）。
【教学目标】
使学生逐步学会整理的方法，不断提高思维的灵活性。
【重点难点】
1.使学生比较系统地掌握自然数和整数的基础知识。
2.弄清概念间的联系和区别。
【教学准备】
多媒体课件。

【谈话导入】
上一节课我们分析了自然数和整数，今天来我们回忆下数的另一个重要部分。
【归纳整理】
分数和小数。
1.组织学生分组活动，复习有关分数的知识。

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2.每个小组选一个代表发言，展示整理和复习的结果。
教师结合 各个小组整理和复习的情况，及时予以肯定和鼓励，并注意突出“分数的意义、分
数单位和分数与除法的 关系”，同时还可以做如下板书：
a
分数和除法的关系：a÷b=（b≠0）
b

3.通过直观图形，导入对小数意义的整理和复习。出示下面各图形，要求学生分 别用分数和
小数表示图中阴影部。

4.教师提出以下问题，让学生分小组讨论。
（1）什么样的数可以用小数表示？
（2）小数和分数有什么关系？
（3）什么是循环小数？循环小数可以怎样写？小数是不是都小于1？
5.组织各小组对上面提出的问题发表看法，教师板书如下：


6.分数 的基本性质和小数的基本性质有什么关系？小数点移动位置，小数的大小会发生什么
变化？
分别说出分数的基本性质、小数的基本性质的内容是什么？举例说明。
板书：0.1=0.10=0.100=……
110100

=……
101001000
分数的基本性质和小数的基本性质有什么关系？
（因为小数可以 看做分母是10、100、1000……的分数，所以小数的基本性质是分数的基本
性质的特殊情况。）

100