南华大学船山学院-电脑监控系统

【常用的数量关系】
1、每份数×份数=总数； 总数÷每份数=份数 ； 总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数； 几倍数÷1倍数=倍数； 几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程 ； 路程÷速度=时间 ； 路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价； 总价÷单价=数量 ； 总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量； 工作总量÷工作效率=工作时间；
工作总量÷工作时间=工作效率；
6、加数+加数=和； 和 - 一个加数=另一个加数
7、被减数- 减数=差； 被减数-差=减数； 差+减数=被减数
8、因数×因数=积； 积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商 ； 被除数÷商=除数； 商×除数=被除数
小学数学图形计算公式
1、
正方形（C:周长， S：面积， a:边长）

周长=边长×4； C=4a 面积=边长×边长； S=a×a
2、
正方体（V：体积， a：棱长）

表面积=棱长×棱长×6； S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长； V= a×a×a
3、长方形（C:周长， S：面积， a:边长， b：宽 ）

周长=（长+宽）×2； C=2(a+b) 面积=长×宽 ； S=a×b
4、长方体（V：体积， S：面积， a:长， b：宽， h:高）

（1）表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2； S=2(ab+ah+bh)
（2）体积=长×宽×高； V=abh
5、三角形（S：面积， a:底， h:高）

6、平行四边形（S：面积，

7、梯形（S：面积，


面积=底×高÷2 ； S=ah÷2 三角形的高=面积×2÷底 三角形的底=面积×2÷高
a:底， h:高）

面积=底×高； S=ah
a:上底， b：下底， h:高）

面积=(上底+下底)×高÷2； S=(a+b)×h÷2
8、圆形（S：面积， C：周长，π：圆周率， d：直径， r：半径 ）
（1）周长=π×直径π=2×π×半径； C=πd=2πr
（2）面积=π×半径×半径； S= πr2
9、圆柱体（V：体积，S：底面积 C：底面周长， h：高， r：底面半径 ）
（1）侧面积=底面周长×高=C h=πdh=2πr h
（2）表面积=侧面积+底面积×2
（3）体积=底面积×高
10、圆锥体（V：体积， S：底面积， h：高， r：底面半径 ）

体积=底面积×高÷3
11、总数÷总份数=平均数

12、和差问题的公式：
已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问
题。 (和+差)÷2=大数； (和-差)÷2=小数

13、和倍问题的公式：
已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常叫做和倍问题。 和
÷(倍数-1)= 小数； 小数×倍数=大数（或者：和-小数=大数）
14、差倍问题的公式：
差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数。 差÷(倍数-1)= 小
数； 小数×倍数=大数（或者：小数+差=大数）
15、相遇问题：
相遇路程=速度和×相遇时间； 相遇时间=相遇路程和速度； 速度和=相遇路程÷相遇时间
16、浓度问题

溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量； 溶液的重量×浓度=溶质的重量； 溶质的重量÷溶
液的重量×100%=浓度； 溶质的重量÷浓度=溶液的重量
17、利润与折扣问题：

利润=售出价-成本； 利润率=利润÷成本×100%； 利息=本金×利率×时间；
涨跌金额=本金×涨跌百分比； 税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税）
【常用单位换算】
长度单位换算


1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米；1米=100厘米；1厘米=10毫米 （
(二）面积单位换算：

1平方千米=100公顷； 1公顷=10000平方米； 1平方米=100平方分米； 1
平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米
体积（容积）单位换算：
1立方米=1000立方分米；1立方分米=1000立方厘米; 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升； 1
立方米=1000升
（四）重量单位换算：
1吨=1000千克； 1千克=1000克； 1千克=1公斤
（
五）人民币单位换算
： 1元=10角； 1角=10分； 1元=100分
（六）时间单位换算：
1世纪=100年； 1年=12月；
【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】；
【小月（30天）有：4、6、9、11月】
【平年：2月有28天；全年有365天】；
【闰年：2月有29天；全年有366天】
1日=24小时； 1时=60分=3600秒； 1分=60秒；

第一单元 负数
1、负数的由来：
2
为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……），光有学过的0 1 3.4 ……是
5
远远不够的。所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负
2、负数：小于0的数叫负数（不包括0），数轴上0左边的数叫做负数。
若一个数小于0，则称它是一个负数。负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数）
2
负数的写法：数字前面 加负号“-”号， 不可以省略 例如：-2，-5.33，-45，-
5
3、正数：大于0的数叫正数（不包括0），数轴上0右边的数叫做正数
若一个数大于0，则称它是一个正数。正数有无数个，其中有（正整数，正分数和正小数）
2
正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。例如：+2，5.33，+4 5，
5
4、 0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限
负数都小于0，正数都大于0，负数都比正数小，正数都比负数大
5、数轴：




负
负
●
正
分界
0
●
正
分界
负数 0 正数
左边 ＜ 右边
6、比较两数的大小：
①利用数轴： 负数＜0＜正数 或 左边＜右边
②利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就 大，数字小的就小。负数之间比较大小，数字大
1111
的反而小，数字小的反而大 ＞ - ＜-
3636

第二单元 百分数(二)
（一）、折扣和成数
1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。
86.565
几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如八折= =80﹪，六折五= = =65﹪
1010100
解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，
然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答
商品现在打八折 ：现在的售价是原价的80﹪
商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪
2、成数：
18.585
=10﹪，八成五= = =80﹪
1010100
解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，
几成就是十 分之几，也就是百分之几十。例如一成=
然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题 方法进行解答
这次衣服的进价增加一成 ：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪
今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪
（二）、税率和利率

1、税率
（1）纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定 的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国
家。
（2）纳税的意义：税收是国家财政收入的主 要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、
文化和国防安全等事业。
（3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。
（4）税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
（5）应纳税额的计算方法： 应纳税额=总收入×税率 收入额=应纳税额÷税率
2、利率
（1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
（2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用 的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家
建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还 可以增加一些收入。
（3）本金：存入银行的钱叫做本金。
（4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
（5）利率：利息与本金的比值叫做利率。
（6）利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间 利率＝利息÷时间÷本金×100％
（7）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：
税后利息=利息- 利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)
税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)
购物策略：
估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。
购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案
学后反思：做事情运用策略的好处
第三单元 圆柱和圆锥
一、圆柱
1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为高;2.
以 长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。）
2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的
3、圆柱的特征：
（1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。
（2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。
（3）高的特征 ：圆柱有无数条高
4、圆柱的切割：①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S 增 =2πr²
② 竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆
柱的高，宽是圆柱 的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh
5、圆柱的侧面展开图：①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，展开图形为正方形
②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形
③无论怎么展开都得不到梯形
6、圆柱的相关计算公式：底面积 ：S底=πr²

底面周长：C底=πd=2πr
侧面积 ：S侧=2πrh
表面积 ：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh
体积 ：V柱=πr²h
考试常见题型：①已知圆柱的底面积和高， 求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长
②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积
③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积
④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积
⑤已知圆柱的侧面积和高， 求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径 和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计
算
无盖水桶的表面积 =侧面积＋一个底面积
油桶的表面积 =侧面积＋两个底面积
烟囱通风管的表面积=侧面积
只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装
侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池
侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类

二、圆锥
1、圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的
圆锥也可以由扇形卷曲而得到
2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高
3、圆锥的特征：
（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。
（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。
（3）高的特征 ：圆锥有一条高。
4、圆柱的切割：①横切：切面是圆
②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，
底是圆锥的底面直径 ，面积增加两个等腰三角形的面积，
即S增=2rh
5、圆锥的相关计算公式：底面积 ：S底=πr²
底面周长：C底=πd=2πr
1
体积 ：V锥= πr²h
3
考试常见题型：①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长
②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积
③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的 底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计
算
三、圆柱和圆锥的关系
1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。
3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。
2
4、圆柱与圆锥等底等高 ，体积相差 Sh
3
题型总结
①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积
分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化
分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积
之比
②圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间)
③横截面的问题
④浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水 容积的底面积乘以上升
的高度)容积是圆柱或长方体，正方体
⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的 问题，
1
注意不要乘以
3
第四单元 比例
1、比的意义
（1）两个数相除又叫做两个数的比
（2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比 的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的
前项除以后项所得的商，叫做比值。
（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
（5）比的后项不能是零。
（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。 2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本
性质。
3、求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数 ，也可
以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一 个最简比，即前、后项是互质的
数。
4、按比例分配：
在农业生产和日常生活中， 常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做
按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
6、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
7、比和比例的区别
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两 个比相等的式子，它有四项（即
两个内项和两个外项）。

（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。
8、成正 比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的
两个数的比值 （也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字
y
母表示 =k（一定）
x
9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的
两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用 字母表示x×y=k
（一定）
10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：
关 键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果
积一定 ，就成反比例。
11、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
12、比例尺的分类
（1）数值比例尺和线段比例尺 （2）缩小比例尺和放大比例尺
图上距离
13、图上距离：实际距离=比例尺 或 =比例尺
实际距离
实际距离×比例尺=图上距离 图上距离÷比例尺=实际距离
14、应用比例尺画图的步骤：
（1）写出图的名称、 （2）确定比例尺；
（3）根据比例尺求出图上距离；（4）画图（画出单位长度）
（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺
15、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。
16、用比例解决问题：
根据问 题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、
反比例关 系式列出相应的方程并求解。
17、常见的数量关系式：（成正比例或成反比例）
单价×数量=总价 单产量×数量=总产量 速度×时间=路程 工效×工作时间=工作总量
总价总产量路程工作总量
=数量 =数量 =时间 =工作时间
单价单产量速度工作效率
总价总产量路程工作总量
=单价 =单产量 =速度 =工作效率
数量数量时间工作时间
18、 已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和
实际距离 可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。
19、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？
答：每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数
已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公 顷数和要用的天数的积是一定的，所以每天播种的公顷
数和要用的天数成反比例。
20、判断下面各题的两个量是不是成比例，如果成比例，成什么比例？
（1）订阅《中国少年报》的份数和钱数。
钱数
因为 = 每份的钱数（一定）
订阅《中国少年报》的份数
所以，订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例。

（2）三角形的底一定，它的面积和高。
三角形的面积1
因为 = （一定）
高2
所以，它的面积和高成正比例。
（3）图上距离一定，实际距离和比例尺。
因为，实际距离×比例尺=图上距离（一定）
所以，实际距离和比例尺成反比例。
（4）一条绳子的长度一定，剪去的部分和剩下的部分。
因为，剪去的部分和剩下的部分不存在比值或积一定的关系，
所以，剪去的部分和剩下的部分不成比例。
（5）圆的面积和它的半径不成正比例，因为圆的 面积和它的半径的比值不一定，所以圆的面积
和它的半径不成正比例。
自行车里的数学：
前齿轮转数×前齿轮齿数=后齿轮转数×后齿轮齿数
蹬一圈走的路程=车轮周长×（蹬一圈，后轮转动的圈数）
蹬一圈走的路程=车轮周长×（前齿轮齿数：后齿轮齿数）
48:28≈1.71 48:24=2 48:20=2.4 48:18≈2.67 48:16=3 48:14≈3.43
40:28≈1.43 40:24≈1.67 40:20=2 40:18≈2.22 40:16=2.5 40:14≈2.86
前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，这种组合走的就远，因而车速快，但骑车人较费力
前、后齿轮齿数相差小的，比值就小，这种组合走的就近，因而车速慢，但骑车人较省力
自行车跑的快慢与两个条件有关：1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小（合理）
第五单元 数学广角—鸽巢问题
1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用
①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法,
如下表
放法
1
2
3
4
盒子1
3
2
1
0
盒子2
0
1
2
3
无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。 这个结论是在“任意
放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。
类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子
如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信
我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体， 把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看
作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式
②利用公式进行解题： 物体个数÷鸽巣个数=商……余数
至少个数=商+1
2、摸2个同色球计算方法。
①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1
②极端思想： 用最不利的摸法 先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证
一定有两个球是同色的。
③公式： 两种颜色：2＋1＝3（个）
三种颜色：3＋1＝4（个）
四种颜色：4＋1＝5（个）