写日记的格式-奥运五福娃

数学分析1 期末考试试卷（A卷）


一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

x2a

1、设
lim

8
， 则
a
。
x

xa

x< br>e
x
1
2、设函数
f(x)
，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点
x(x2)
是 。
3、设
yln(x1x)
，则
dy
。
4、设
f(x)
是连续函数，且
f(x)x2

f(t)dt
，则
f(x)
。
0
1
2
5、

arctanxdx
= 。
0
1
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设数列
x
n
与数列
y
n
满足
limx
n
y
n
0
，则下列断言正确的是（ ）。
n< br>（A）若
x
n
发散，则
y
n
必发散。 （B）若
x
n
无界，则
y
n
必无界。
（C）若
x
n
有界，则
y
n
必为无穷小。 （D） 若
2、设函数
f(x)xx
，则
f

(0)
为（ ）。
（A） 1。 （B）不存在。 （C） 0。 （D） -1。
3、若
f(x)f(x)
1
为无穷小，则
y< br>n
必为无穷小。
x
n
(x),
在
( ，0)
内
f

(x)0,f

(x)0
， 则
f(x)
在
(0,)
内有（ ）。
（A）
f

(x)0,f

(x)0
。 （B）
f

(x)0,f

(x)0
。

< p>
（C）
f

(x)0,f

(x)0
。 （D）
f

(x)0,f

(x)0
。
4 、设
f(x)
是连续函数，且
F(x)

e
x
x
。
f(t)dt
，则
F

(x)
等于（ ）
（A）
e
x
fe
x
f(x)
。 （B）
e
x
fe
x
f(x)
。
（C）
e
x
fe
x
f(x)
。 （D）
e
x
fe
x
f(x)
。
< br>
1

5、设函数
f(x)asinxsin3x
在
x
处取得极值，则（ ）。
3
3
（A）
a1,f()
是极小值。 （B）
a1,f()
是极大值。

33
（C）
a2,f()
是极小值。 （D）
a2,f()
是极大值。

33
三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）
1tanx1sinx
1、求
lim

3
x0
ln(1x)





x
2
axb
2、设
lim4
，求
a、b
。
2
x1
xx


xln(1t
2
)
dy d
2
y
3、设
yy(x)
由参数方程

所确定，求
、
2
。
dxdx

ytarctant







df(sin
2
x)
4、设
f(x )
在
x0
处的导数连续，求
lim

。
x0
dx








5、求不定积分


6、求定积分

cosxdx
。
0
4
xsinx
dx
。
3
cosx


sin
2
x
7、设
f(x)

x< br>2

xe

3
x0
， 求

f(x2)dx
。
1
x0
四、证明下列不等式（本题10分）


1 、
2x


sinxx,x(0,)
； 2、
1

2
sinx
2
dx

。
0
x2












五、（本题10分）

g(x)e
x
设
f(x)


x0

x

0
x0
，其中
g(x)
具有二阶连续导数，
g(0)1,g

(0)1
。
（1）求
f

(x)
； （2）讨论
f

(x)
在
(,)
上的连续性。











六、（本题8分）
且

设函数
f(x)
在

a，b

上可导，证明：存在

(a，b)
， 使得

2


f(b)f(a)

(ba)f

(

)
。 (8分)
22











答案
一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

x2a

1、设
lim

8
， 则
a

ln2
。
x

xa

x
e
x
1
2、设函数
f(x)
，则函数的第 一类间断0 ，第二类间断点
x(x2)
是 2 。
3、设
yln(x1x)
，则
dy

2
1
1x
1
2
dx
。
4、设f(x)
是连续函数，且
f(x)x2

f(t)dt
，则
f(x)

0
x1
。
5、

arctanxdx
=
0
1

4
ln2
。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设数列
x
n
与数列
y
n
满足
limx
n
yn
0
，则下列断言正确的是（ D）。
n

（A） 若
x
n
发散，则
y
n
必发散。 （B）若
x
n
无界，则
y
n
必无界。
（C）若
x
n
有界，则
y
n
必为无穷小。 （D） 若
2、设函数
f(x)xx
，则
f

(0)
为（ C ）。
（A） 1。 （B）不存在。 （C） 0。 （D） -1。



3、若
f(x)f(x)
1< br>为无穷小，则
y
n
必为无穷小。
x
n
(x ),
在
(，0)
内
f

(x)0,f
 
(x)0
，则
f(x)
在
(0,)
内有（ C ）。
（A）
f

(x)0,f

(x)0
。 （B）
f

(x)0,f

(x)0
。
（C）
f

(x)0,f

(x)0
。 （D）
f

(x)0,f

(x)0
。
4 、设
f(x)
是连续函数，且
F(x)

e
x
x
。
f(t)dt
，则
F

(x)
等于（ A ）
（A）
e
x
fe
x
f(x)
。 （B）
e
x
fe
x
f(x)
。
（C）
e
x
fe
x
f(x)
。 （D）
e
x
fe
x
f(x)
。
5、设函数
f(x)asinx


1

。
sin3x
在
x
处取得极值，则（ D ）
3
3
（A）
a1,f()
是极小值。 （B）
a1,f()
是极大值。

33
（C）
a2,f()
是极小值。 （D）
a2,f()
是极大值。

33
三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）
1、求
lim
x0
1tanx1sinx

3
ln(1 x)

解：lim
1tanx1sinx1tanx1sinxlim
x0x0
ln(1x
3
)x
3
1ta nx1sinx1tanxsinx1
lim
3
lim
3
x0
x
x0
x4
（1tanx1sinx）
2
（2分）
（6分）




x
2
axb
2、设
lim4
，求
a、b
。
2
x1
xx
解：lim(x
2axb)01ab0,b(1a)
x1
(2分）
(6分）

x
2
axb2xa
limlim2a4a2, b3.
2
x1x1
xx2x1


xln( 1t
2
)
dyd
2
y
3、设
yy(x)
由参数方程

所确定，求
、
2
。
dxdx

ytarctant
dy
2t
2
2t
2
2t
解：
22
dx
1t1t
2t
22
2 2
t21t


dyd2tdt




2
dxdt

2t

dx4t
3< br>
(3分）

(6分）
df(sin
2
x)
4、设
f(x)
在
x0
处的导数连续，求
lim

。
x0
dx
df(sin
2
x)1
2

解：limlim[f(sinx)2sinxcosx]

x0
x0
dx
2x
2

=lim[f(sinx)
x0
(4分）
(4分）
sinx
]f

(0)x

5、求不定积分

xsinx
dx
。
3
cosx
(2分）

xsinxxd(cosx)1
 2
解：dxxd(cosx)

cos
3
x

cos
3
x2

1xdx1x
[
2


][tanx]C
22
2cosxcosx2cosx


6、求定积分

cosxdx
。
0
4
(6分）< br>解：令xt,dx2tdt,
4
2
0
0
x0,t0; x4,t2.
2
2
0
（2分）



cosxdx

2tcostdt2[tsint
0


2(2sin2cos21)

sintdt]
（6分）

sin
2
x
7、设
f(x)

x
2

xe
31
1
3
x0
， 求

f(x2)dx
。
1
x0
解：令x2t,d xdt,x1,t1;x3,t1.


f(x2)dx

1
1
f(t)dt

0
1
sinxdx
xe
0
1
0
2
1
x
2
d x

0
1
（2分）
1cos2x
dx
2
（4分）
1
x
2
111
x
2
2 0


ed(x)[xsin2x]
1
e
02222
12
1[sin2]
4e
四、证明下列不等式（本题10 分）
1、
（6分）
2x

sinxx,
sinx
dx
。
x(0,)
； 2、
1

x2
2
0
2


证明：设
< br>sinx

f(x)

x


1
x(0,)
2
则函数在
x0
处连续，且
x0


f

(x)
xcosxsinxcosx

(xtanx)0,x(0,)
22
xx2

2sinx



1
)
时，
f(x)
单调减少，
f

f(x)f(0)

x
2

2


2

sinx

x(0,).1

2
dx

2
dx
0
2

2
0
x2
（3分）

所以，当
x(0,
（6分）



2x

sinxx,

（10分）
五、（本题10分）

g(x)e
x

设
f(x)

x

0

g(0)1,g

(0)1
。
x0
，其中
g(x)
具有二阶连续导数，且
x0
（ 1）求
f

(x)
； （2）讨论
f

(x)
在
(,)
上的连续性。 < br>g(x)e
x
0
f(x)f(0)g(x)e
x
x
解：（1）f

(0)limlimlim
x0x0x0xxx
2

g

(x)e
x
g
 
(x)e
x
g

(0)1
limlim（ 3分）
x0x0
2x22
x(g

(x)e
x)(g(x)e
x
）xg

(x)g(x)(1x)ex
f

(x)
2
xx
2

xg

(x)g(x)(1x)e
x
x0

2

x
f

(x)


g

(0)1
x0

2
（2）当
x0
时,
f

(x)
连续.当
x0
时,
(6分)

xg

(x)g(x)(1x)e
x
1
limf

(x)lim[g

(0)1]f

(0)

2
x0x0
x2
所以,
f

(x)
在
(,)
上都连续. (10分)

六、（本题8分）
设函数
f(x)
在

a，b

上可导，证明：存在

(a，b)
，使得

2


f(b)f(a)

(ba)f

(

)
。
22
证 明:设
g(x)x
2
,则
f(x)
与
g(x)
在

a，b

上满足柯西微分中值定理条件,故至
少存在一点

(a,b)
,使得

f(b)f(a)f
< br>(

)f(b)f(a)f

(

)
 

g(b)g(a)g

(

)b
2
a
2
2

所以,
2

[f(b)f(a)] (b
2
a
2
)f

(

)
(8分)

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