环保小卫士手抄报-财务会计职责

安徽农业大学期末考试试卷（A卷）
2015~2016学年第1 学期 考试科目：高等数学AⅠ
考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业

装
题号
得分
评阅人


得分
一


二


三


四


总分


订

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
线
9xx
2
1．函数
ylg()1
的定义域是
。

2
2．设
y(arccosx)
2< br>1
，则
dy
=
。

3．
lim(12x)
。
x0
1
x

4．不定积分

5．反常积分

得分

lnx
dx
= 。
x
0
xe
x
2
dx
= 。


二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1． 设
f(x)
在
(a,b)
内连续，且
x
0
(a, b)
，则在点
x
0
处 （ ）
A．
f(x)
的极限存在且可导 B．
f(x)
的极限存在但不一定可导
C．
f(x)
的极限不存在但可导 D．
f(x)
的极限不一定存在
2．若
f (x)
为
(,)
内的可导的奇函数，则
f'(x)
为
(,)
内的
（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．可能奇函数，可能偶函数
1

3． 若
f(x)
连续，设
g(x)

2x
0

f
2
(t)dt
，则
g'(x)
（ ）
A．
f
2
(2x)
B．
f
2
(2t)
C．
2f
2
(2x)
D．
f
2
(x)

4．若
e
x
是f(x)
的原函数，则

xf(x)dx

（ ）
A．
e
x
(1x)C
B．
e
x
(1x)C
C．
e
x
(x1)C
D．
e
x
(1x)C

5．下列曲线没有铅直渐近线的是 （ ）
2x1
1
lnx
x
2
f(x)
f(x)x
A．
f(x)
B． C． D．
f(x)e
x
2
1e
x
(x1)
得分


三、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）
1
.

求极限




1
lim
(
x0
1
x
1
)
。
x
e1

sinx,x0
2. 讨论
f(x)

在
x0
处的连续性和可导性。

x,0x









t

dy
d
2
y

xte
3. 设参数方程

确定
y
是
x
的函数 ，求和
2
。

t
dx
dx


ye







2

装
订
线


4．计算不定积分

arcsinxdx
。






5．设方程
xy
2
e
y
cos(xy
2
)
确定隐函数
yy(x)
并满足
y( 0)0
，求
y'
x0
。










6．试确定曲线
yax< br>3
bx
2
cxd
中的
a,b,c,d
，使得< br>x2
处曲线有水平切线，
(1,10)
为拐点，且点
(2,4 4)
在曲线上。









7．计算定积分

5
1
1
15x
dx
。








3

得分


四、解答题（本大题共 3 小题，第1、2小题 4分，第3小题 6分，共 14 分）
1．证明不等式：当
x 4
时，
2
x
x
2
。






2．设
f(x)
和
g(x)
在[a,b]
可导，且
f(a)f(b)g(a)g(b)
，证明：在
(a,b)
内
至少存在一点
c
，使得
f'(c)g'(c)。






3. 设
D
1
由抛物线
y2x
2
和直线
xa
，
x2< br>及
y0
所围成的平面区域；
D
2
是
由抛物线
y2x
2
和直线
xa
及
y0
所围成的平面区域，其 中
0a2
。

（1）试求平面区域
D
1
与D
2
的面积之和；（2）试求
D
1
绕
x
轴旋转 而成的旋转体
的体积
V
1
；（3）试求
D
2
绕y
轴旋转而成的旋转体的体积
V
2
；（4）问当
a
为何 值
时，
V
1

V
2
取得最大值？试求此最大值。








4

装
1.5CM
订
线


华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2015~2016学年第1 学期 考试科目：高等数学AⅠ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．
[4,5]
2．
2arccosx.
1
22
3
1
1x
2
dx
3．
e
4．
3
(lnx)
2
C
5．
2

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．B 2．B 3．C 4．B 5．D
三、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）
1
.

求极限
lim
11
x0
(x

e
x
1
)
。

11
e
x
解：
lim
x0
(
x

1xe
x
1
)

lim
x0
x(e
x
1)
．．．．．．．．．．．．．．．．1分
=
lim
e
x
1
x0
e
x
1xe
x
．．．．．．． ．．．．．．．．．4分
e
x
=
lim
x0
e
x
e
x
xe
x
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
=
1
2
．．．．．．．．．．．．．．．．8分

2. 讨论
f(x)


sinx,x0

x,0x 
在
x0
处的连续性和可导性。

解：因为
xlim
0

f(x)
x
lim
0
sinx0
．．．．．．．．．．．．．．．．1分
x
lim
0< br>
f(x)
x
lim
0

x0
．．． ．．．．．．．．．．．．．2分
而
f(0)0
，
lim
x0
f(x)f(0)
，故
f(x)
在x0处连续。．．．．．．．．．．． ．．．．．3分
f
'
f(0x)f(0)

(0)
x
lim
0

x
lim
sinx
x0

x
1
．．．．．．．．．．．．．．．．5分
f
'
( 0)
x
lim
f(0x)f(0)
0

x
lim
x

x0

x
1
．．．．．．．．． ．．．．．．．7分
f
'

(0)f
'

(0 )
，
从而可导。
．．．．．．．．．．．．．．．．8分


5

t

dy
d
2
y

xte
3. 设参数方程

确定
y
是
x
的函数，求和
2
。

t
dx
dx
< br>
ye
dye
t
e
2t

t

解：．．．．．．．．．．．．．．．．3分

t
dxete1te
2t
()'
d
2
y
1t

．．． ．．．．．．．．．．．．．5分
dx
2
(te
t
)'
2(1t)e
2t
e
2t
(1t)
2

．． ．．．．．．．．．．．．．．7分
tt
ete

e
3t
(32t)
．．．．．．．．．．．．．．．．8分

3
(1t)
4．计算不定积分

arcsinxdx
。
解：

arcsinxdxxarcsinx

xdar csinx
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
xarcsinx

x
1x
2
dx
．．．．．．．．．．．．．．．．4分
1
1
2
xarcsinx

(1x)
2
d(1x
2
)
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
2
．．．．．．．．．．．．．．．8分
xarcsinx1x
2< br>C
．
5．设方程
xy
2
e
y
cos( xy
2
)
确定隐函数
yy(x)
并满足
y(0)0< br>，求
y'
解：方程两边对
x
求导，得
．．．．．．．．．．．．．．．4分
y
2
x2yy'e
y
y'sin(xy
2
)(12yy')
．
x0
。
y
2
sin(xy
2
)
．．．．．．．．．． ．．．．．．6分
y'
y2
2xye2ysin(xy)
又x0
，得
y0
，．．．．．．．．．．．．．．．．7分
代入得
y'

x0
．．．．．．．．．．．．．．．8分
=0
．
6

装
订
线

1.5CM

6．试确定曲线
yax
3
bx2
cxd
中的
a,b,c,d
，使得
x2
处曲 线有水平切线，
(1,10)
为拐点，且点
(2,44)
在曲线上。 < br>解：
y'3ax
2
2bxc,
．．．．．．．．．．．．．．． ．1分
y''6ax2b,
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由题意得


12a4bc0


6a2b0
． ．．．．．．．．．．．．．．．6分

abcd10

8a4b2cd44
解得
a1,b3,c24,d16
． ．．．．．．．．．．．．．．．8分
7．计算定积分

5
1
1< br>15x
dx
。
解：令
t5x
，则
dx 2tdt
．．．．．．．．．．．．．．．．2分

5
1
0

1
15x
dx

2t
2
1t
dt
．．．．．．．．．．．．．．．．4分
2

2
(1t) 1
0
1t
dt
．．．．．．．．．．．．．．．．5分
2(

2
0
dt

2
1
0
1t< br>dt)
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
2(tln|1t|)
2
0
．．．．．．．．．．．．．．．．7分
2(2ln3)
．．．．．．．．．．．．．．．．8分
四、解答题（本大题共 3 小题，第1、2小题 4分，第3小题 6分，共 14 分）
1．证明不等式：当
x 4
时，
2
x
x
2
。
证明：要证原不等式，只需证
xln22lnx

设
f(x)xln22lnx(x4)

f'(x)ln2
2
x
．．．．．．．．．．．．．．．．1分
当
x4
时，
f'(x)0
，
f(x)
在
[4 ,)
上单调增加．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以当
x4
时，
f(x)f(4)
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
7

即
xln22lnx0
，所以
xln22lnx
，所以2
x
x
2
．．．．．．．．．．．．．．．．4分
2．设< br>f(x)
和
g(x)
在
[a,b]
可导，且
f(a) f(b)g(a)g(b)
，证明：在
(a,b)
内
至少存在一点c
，使得
f'(c)g'(c)
。
解：设
F(x)f(x)g(x)
．．．．．．．．．．．．．．．．1分 则
F(a)F(b)0
，
F(x)f(x)g(x)
在
[a,b]
内满足罗尔中值定
理．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以在(a,b)
内至少存在一点
c
，使得
F'(c)0
，．．．． ．．．．．．．．．．．．3分
即
f'(c)g'(c)
．．．．．．．．．．．．．．．．4分
3．设
D
1
由抛物线
y2x
2
和直线
xa
，
x2
及
y0
所围成的平面区域；
D
2
是
由抛物线
y2x
2
和直线
xa
及
y0< br>所围成的平面区域，其中
0a2
。

（2）
试求平面区域
D
1
与
D
2
的面积之和；（2）试求
D
1
绕
x
轴旋转而成的旋转体
的体积
V
1
；（3）试求
D
2
绕
y
轴旋转而成的旋转体的体积
V
2
；（4）问当
a
为何值
时，
V
1

V
2< br>取得最大值？试求此最大值。

解：（1）
D
1
D
2


2x
2
dx
0
22
2
2
3
x
3
2
0

16
．．．．．．．．．． ．．．．．．1分
3
；
4

(32a
5
)；
．．．．．．．．．．．．．．．．2分

aa
5
2a
2
2a
2
y
2224
dy2

a
4< br>

a
4


a
4
；
（3 ）
V
2


a

2a

xdy2

a


．．．．．3分

0a
2
dV
4

4

a
3
(1a )
，
(32a
5
)

a
4
，
（4）
VV
1
V
2

．．．．．．．．．．．4分
da
5
（2）
V
1



y2
dx


(2x
2
)
2
dx< br>
当
a1
时，

当
a1
时，
d VdV
0
，当
0a1
时，
0
，
V
单调增；
．．．．．．．．．5分
dada
dV
0
，
V
单调减；则
a1
时
V
最大，且最大值为
da
12 9
VV
1
V
2


.
．．．．．．． ．．．．．．．．．6分
5


8