x1y2z3
L
1
:,
101
x2y 1z
L
2
:,

211
求过
L
1< br>且平行于
L
2
的平面方程。
1
2、设
zf(xy)y

(xy)
，
x

2z
且
f,

具有二阶连续导导数，求。
xy
五、求下列积分(共2小题，每小题8分，共16分)
1、计算二重积分

ln( 1x
2
y
2
)d

, 其中
D
是由圆周
D
x
2
y
2
1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
2、计算曲线积分

L
x
2
ydxydy,
其中
L
是由
y
2
x,yx
所组成的正向闭曲线。
六、解答题（一）(每小题8分，共16分)
1、利用高斯公式计算曲面积分

xdydzydzdxzdxdy
, 其中

是长方体 < br>


(x,y,z)|0xa,0yb,0zc
< br>
整个表面的外侧。
2、设幂级数
n1


x
n
.
n1
n2
(1).求收敛半径及收敛区间； (2).求和函数。
七、解答题（二）(第一小题8分，第二小题6分)
1、设曲线积分

L< br>4x
3
ydxxf(x)dy
在右半平面
(x0)
内与
路径无关，其中
f(x)
连续可微，且
f(1)2
，求
f (x)
。

2、讨论级数


n

 1n


,

0
的敛散性。

n1


南昌大学 2014～2015学年第二学期期末考试试卷
一、填空题(每空 3 分，共 15 分)
3xy9
1. 极限
lim
=_________.
x0
xy
y0
x
n
2. 幂级数


1

的收敛半径为_________.
2n3
n1

3. 微分方程
y

sinxylny
满足初始条件
y()e

2

n
的特解为______.
z

________. 4. 设函数
z
, 则


xy

x
1e
1

5. 改换二次积分的积分次序

0
dy

y
1y 1
2
f

x,y

dx
=_______.
二、单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 二元函数
zf
x,y

在

x
0
,y
0

处可微的充分条件是
（ ）
(A)
f

x,y
在

x
0
,y
0

处连续； 

x,y

,f
y


x,y
在

x
0
,y
0

的某邻域内存在 ； （B）
f
x


x
0
,y
0

xf
y


x
0
,y
0

y
(C)
zf
x
当
(D) lim

x

2


y

0
时，是无穷小；
2
zf
x

x
0
,y
0

xf
y


x
0
,y
0

y
x0
y0

x

2


y

2
0。
2. 已知向量的模分别是
a3,b5
,则当且仅当



（ ）时，向量
a

b
与
a

b
互相垂直 。

333
(A) （B）

(C)

(D)
2

555
3. 设
zz(x,y)
是由方程
z
2
3ye
x
za
3
0
所确定的
z
隐函数,则

( )。
y
3e
x
z
3z
(A) (B)
x
x
2z3ye
2z3ye
3e
x
z
3z
(C) (D)
x
2z3y
2ez3y
4. 若级数

u
条件收敛，
n
n1


则级数

u
n 1
n
必定（ ）。
（A） 收敛 （B） 发散
（C） 可能收敛，可能发散 （D） 无法确定
5. 函数
f(x)sinx
关于
x
的幂级数展开式为 ( )
x
2

(A)
1x
2!
(B)
1xx
2

x
n

n!

(x)


(x)

x
n

1
3
1
5
(C) xxx
3!5!
2n1
x
(1)
n1


2n1

!

(x)

(D)
1x
2
x
4
x
2n


(x)

三、计算题(共2小题，每小题8分，共16分)
1、求微分方程
y''y'6y3e
2x
的通解。
2、设函数
zx
2
fe
x
,y
，其中
f
具有二阶连续的偏导数，

z
2
z
求
,
2
。
x
x
四、计算积分(8分)
计算

1e
D
1
x
2
y
2
dxdy
，其中
D是由中心在原点，
半径为
a
的圆在第一象限内的闭区域。
五、解答题（一）(每小题8分，共16分)
1、计算曲线积分

yxdxxydy
,
L
其中< br>L
是由
y
2
x,yx
所围成的正向闭曲线。
2、设幂级数
n0


n
2n1x

.
(1).求收敛半径及收敛区间； (2).求和函数。
六、解答题（二）(每小题8分，共16分)
1、求点

1,0,2

在平面
x2yz10< br>上的投影。
1
2、利用高斯公式计算曲面积分

2xdydzy dzdxzdxdy
,
2

其中

是界于
z 0
和
z4
之间的
圆柱体
x
2
y
2
4
的整个表面的外侧。
七、解答题（三）(第一小题8分，第二小题6分)
1、求函数
zx
2
xyy
2
9x6y20
的极值。

2、设
a0,b0
为常数，
f

t

是连续函数，且
f

t

0
，证明：
x
2
a


b1

f


1
2
y
2
b
2
x




a1

a


x

y

f

f


a

b


y

f


b

dxdy

abab


2
（补充轮换对称性结论： 若
D
关于
x,y
满足轮换对称性（即
将
D
的边界曲 线方程中的
x
与
y

交换位置，方程不变），则

f

x,y

dxdy

f

y, x

dxdy
）
DD
南昌大学 2015～2016学年第二学期期末考试试卷
一、填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 函数
zlog
2
x
2
y
2
的定 义域是_________.

3
z

_________. 2. 设
zxln

xy

，则
2
xy
3. 球面
x
2
y
2
z
2
 1
在

1,2,2

处的切平面方程为______.
4. 级数

n1

1
的和为________.
n

n1

5. 微分方程
y''4y0
的通解为_______.
二、单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 曲面
zf

x,y

上对应于点

x
0
,y
0
,z
0

处与
z
轴正向成
锐角的法向量
n
可取为（ ）。
(A)
1,f
x


x
0
,y
0

,f
y


x
0
,y
0
；



(B)

f


x,y

,f


x,y

,1

；
(C)

f


x,y< br>
,f


x,y

,1

；
(D)

f


x,y

,f

x,y

,1


x00y00
x00y00
x00y00
2. 幂级数

a

x1

n
n0

n
在
x 3
条件收敛，
则幂级数

n0

。
a
n
x
n
的收敛半径是（ ）
(A)
2
； (B)
3
； (C)
4
； (D)
5



x

x
y
3. 已知函数
y
是微分方程
y'


的解，
lnx
x

y


x

则

的表达式为（ ）。

y

x
2
x
2
y
2
y
2
(A)

2
； (B)
2
； (C)

2
； (D)
2

yy
xx
4. 设∑是取外侧的曲面
x
2y
2
z
2
1
，
则曲面积分

xdydzydzdxzdxdy
（ ）。

(A)

； (B)
2

； (C)
3

； (D)
4


5. 设
u

x,y

在平面有界闭区域
D
上具有二阶连 续偏导数，


2
u
2
u

2u
且满足
0
以及
2

2
0
，
xy
xy
则下列结论正确的是（ ）。
(A)最大值点和最小值点必定都在
D
的内部；
(B)最大值点和最小值点必定都在
D
的边界上；
(C)最大值点在
D
的内部，最小值点在
D
的边界上；
(D)最小值点在
D
的内部，最大值点在
D
的边界上
三、计算题(共3小题，每小题8分，共24分)
2
z
z
y< br>1、已知
zx

x0

，求，。
x
xy
2
2、求二重积分

D
1
xy
22< br>dxdy
，
2
其中积分区域
D
是
x
2

y1

1
。
3、求微分方程
y''2y

ye
x
的通解；
四、计算题(共2小题，每小题8分，共16分)
1、计算曲线积分:


sinxcosy3y

dx

cosxsiny4x
dy
，
L
其中有向曲线
L
是从点
A

2,0


沿上半圆周

x1

 y
2
1
到点
O

0,0

。
2、求幂级数


n0
2
n1
n
x
的 收敛半径、收敛域以及和函数。
n
2
五、计算题(共2小题，每小题8分，共16分)

1、求曲面
2zxy3e
z
在点

1,2,0

处
的切平面方程和法线方程。
2、求函数
zx
2
y
2
12x16y

在区域
x
2
y
2
25
上的最大值和最小值。
六、计算题(8分)
用高斯公式计算曲面积分

xy
2
dydzx
2
ydzdxzdxdy


其中

为曲面
z
2
x
2
y
2
和
z1，
z2

所围立体的外侧曲面。
七、证明题(6分)
设
f

x

在点
x0
的某一邻域内具有二阶连续导 数，
且
lim
x0
f

x

x
1
0
，证明级数

f

n

绝对收敛 。
n1

南昌大学 2016～2017学年第二学期期末考试试卷
一、填空题(每空 3 分，共 15 分)
xy
1. 函数
z
2
的定义域是_________.
2
xy1
2
z
y
2. 设zxe，则

_________.
xy
3. 曲面
z x
2
y
2
在

1,1,2

处的切平 面方程为______.
4. 级数

n1

1
的和为________.
n

n2

5. 微分方程
y''6y

9y0
的通解为_______.
二、单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 以下命题不一定成立的是（ ）。
(A)多元函数可微就可导；
(B) 多元函数可微就连续；
(C)多元函数偏导数连续就可微；
(D) 多元函数可导就可微
2. 幂级数

a
n

x2
在
x3
收敛，
n0

n
则幂级数
a
n
x
n
的收敛半径
R
满足（ ）。
n0

(A)
2R3
； (B)
3R4
；
(C)
4R5
； (D)
R5

3. 若
y
1

x
< br>，
y
2

x

是非齐次微分方程:
y'' p

x

y

q

x
yf

x

的两个特解,
要使

y
1

x



y
2

x

仍然是方程:
y''p

x

y

q

x

yf

x

的解，
则

，

应满足（ ）。
1
(A)




； (B)



1
；
2
(C)

0
； (D)



1

4. 设

是取外侧的曲面
x
2
y
2
z
2
1
，则曲面积分
。

xdydzydzdxzdxdy
（ ）

24


(A)
1
； (B) ； (C) ； (D)
333


x
2
2y
2
,

5. 设
f

x,y


xy

0,

则
f
y

0,0


( ）。

x,y
< br>

0,0


x,y


0,0

，
(A)
1
; (B)
0
; (C)
1
； (D)
2

三、计算题(共3小题，每小题8分，共24分)
2
 z
z
2
1、已知
zxsin

xy

，求， 。
x
xy
2、求二重积分

D
1x
2
y
2
dxdy
，
2
2
其中积 分区域
D
是由曲线
x

y1

1
和
x

y2

4
所围成的区域。
2
2
3、求微分方程
y''ysinx
的通解
四、计算题(共2小题，每小题8分，共16分)

siny

1 、计算曲线积分


2y

dx

cosyl nx3x

dy
,

L

x
其中有向 曲线
L
是从点
A

4,0

沿上半圆周
2
x3y1
到点
B

2,0

。

2
2、求幂级数


n0
3
nx
n
的收敛半径、收敛域以及和函数。
n1
五、计算题(共2小题，每小题8分，共16分)
1、求曲面
x
2
2y< br>2
z
2
xyz4x2z6

在点

0,1,2

处的切平面方程和法线方程。
2、生 产某产品的利润函数为
R

x,y


3
80x< br>4
1
y
4
，其中
x
，
y

分别表示投入的劳动力数量和原材料数量。若每个单位
劳动力需
600
元，每单位 原材料需
2000
元，且劳动力和
原材料投入的总预算为
40
万元， 求最佳的资金投入方案。
六、计算题(8分)
用高斯公式计算曲面积分

x
3
dydzy
3
dzdxz
3
dxdy
，

其中

为曲面
x
2
y
2
z
2
4
所围立体的外侧曲面。
七、证明题(6分)
设正项数列

a
n

单调递减，级数


1

a
n
发散，
n1

n
求证级数





n1

收敛。
1
a
n
1
n