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抽象代数试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个
备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶
2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A、（N,

） B、（Z,

）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),

)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)， (123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)
交换的所有元素有（ ）
A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题 (本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正
确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果
f
是
A
与
A
间的一一映射，
a
是
A
的一个元，则
f
1

f

a



----------。
3、区间[1，2]上的运算
ab{mina,b}
的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z
8
的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
n9、设群
G
中元素
a
的阶为
m
，如果
ae< br>，那么
m
与
n
存在整除关系为--------。

1

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S
1
，S
2
是A的子环，则S
1
∩S
2
也是 子环。S
1
+S
2
也是子环吗？


3、设有置 换
(1345)(1245)
，
(234)(456)S
6
。
1．求

和

1

；
2．确定置换

和

1

的奇偶性。







四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。


2、M为含幺半 群，证明
b
=
a
-1
的充分必要条件是
aba
=< br>a
和
ab
2
a
=
e
。



2

近世代数模拟试题三 参考答案
一、 单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个
备选项中只有一个是符合题 目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、
多选或未选均无分。
1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共 30分)请在每小题的空格中填上正
确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a
；3、2；4、24；5、
9、
mn
；6、相等；7、商群；8、特征 ；
；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论 前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用
黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全 白只1种，四白一黑1种，三白二黑2
种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1
∩S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，
因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：


1

(1243)(56)
3、解： 1．，
(16524)
；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明：假定

是R的一个理想而

不是零理想，那么a
0


，由理想的定

3

1
a
义
a1

，因而R的任意元
bb1


这就是说

=R，证毕。
2、证 必要性：将b代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，
所以b=a-1。
——————————————————————————————————————

一．判断题
(每小题2分,共20分)

1. 实数集
R
关于数的乘法成群. （ ）
2. 若
H
是群
G
的一个非空有限子集，且
a,bH
都有
abH
成立，则
H
是
G
的一 个子
群. （ ）
3. 循环群一定是交换群. （ ）
4. 素数阶循环群是单群. （ ）
5.
设
G
是有限群，
aG
，
n
是
a
的阶，若
a
k
e
，则
n|k< br>. （ ）
6. 设
f
是群
G
到群
G
的同态映射，
H
是
G
的子群，则
f

H

是
G
的子群. （ ）
7. 交换群的子群是正规子群. （ ）
8. 设
G
是有限群，
H
是
G
的子群，则
G
H

|G|
. （ ）
|H|
9. 有限域的特征是合数. （ ）
10. 整数环
Z
的全部理想为形如
nZ
的理想. （ ）
二．选择题
(每小题3分,共15分)
11. 下面的代数系统

G,

中，（ ）不是群.
A.
G
为整数集合，

为加法； B.
G
为偶数集合，

为加法；
C.
G
为有理数集合，

为加法； D.
G
为整数集合，

为乘法.
12. 设
H
是G
的子群，且
G
有左陪集分类

H,aH,bH,cH

. 如果
H
的阶为6，那么
G

的阶
G
（ ）
A. 6； B.24； C.10； D.12.

4

13. 设S
3



1

,

12< br>
,

13

,

23

,

123

,

132

,

，则
S
B. 2； C. 3；
3
中与元

123

不能交换的元的个数
是
A. 1； D.4.
14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ）
A. G=（a）与G的子群； B. 整数加法群与模
n
的剩余类的加法群；
C. 变换群与置换群； D. 有理数加法群与模
n
的剩余类的加法群.
15. 整数环Z中，可逆元的个数是( )。
A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个
三．填空题
(每小题3分,共15分)

16. 如果
G
是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元
是 .
17.
n
次对称群
S
n
的阶是____________.
18. 整数加法群
Z
关于子群
nZ
的陪集为 .
19. 设
N
是
G
的正规子群，商群
G
N
中的单位元是 。
20. 若
R
是交换环,
aR
则主理想

a


____________.
四．计算题
(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)

21. 令




6


123456

123456




， ，
< br>54321

231564

1




621354


，计算

,
.


123456






22. 设
H{(1),(123),(132)}
是3次对称群
S
3
的子群，求
H
的所有左陪集和右陪集，并说
明
H是否是
S
3
的正规子群.





五．证明题
(每题10分,共30分)


5

23. 设
G
是群，
H
是
G的子群，证明：
aG
，则
aHa
1
也是子群




24. 设
G
是群，
H
是
G
的正规子群.
G
关于
H
的陪集的集合为
G
H
{gH|gG}
，
证明：
GH
对于陪集 的乘法成为一个群，称为
G
对
H
的商群.








25. 证明：域
F
上全体< br>nn
矩阵的集合
M
n

F

在矩阵的加法 和乘法下成为环.







一．判断题
(每小题2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√
二．选择题
(每小题3分,共15分)

11. D；12. B；13. C；14. B；15. B.
三．填空题
(每小题3分,共15分)

16. 1； 17.
n!
；18.

nZ,nZ1,,nZ

n1


；
19.
N
；20.
aR
.
四．计算下列各题
(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)
21. 解：




123456


546213

，

4分


6


1



123456


.



8分

312645

22. 解：
H
的所有左陪集为

H{(1),(123),(132)}
，
(

23)}

4分 < br>
12

H{(12),(13),
；
H
的所有右 陪集为

H{(1),(123),(132)}
，
H

12

{(12),(13),(23)}
.
对


S
3
，有

HH

，即
H
是正规子群.

12分
五．证明题
(每题10分,共30分)

23. 证明：因为
H是
G
的子群，对任意
x,yH
，有
xyH
.

4分
由题意，对任意
1
,a
x,yH
，有
ax
11
ay
1
aa
，
a
从
H
而


axa

ay
111< br>a

axy
11
aaHa
1
，即
aHa
1
也是子群.

10分
24. 证明：首先
G

3分
H
对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.
陪集
HeH
是它的单位元，
eHgHegHgH,gH
.

7分
又任意
gH
，有
gHgHeHgHgH< br>，即
gH
是
gH
的逆元.

10分
25. 证明：
M
n

F

关于加法是封闭的，且满足结合律，

3分
零元是
0
nn
，对任意
A
nn
M
n

F

，有
A
n n


A
nn

0
nn
，即A
nn
的负元是
A
nn
.
111M
n

F

关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是
E
nn
.

8分
乘法关于加法的分配律成立.

10分


7