谢远航-高中班级口号

2017学年春季学期
（A）若级数

a

n< br>发散，则级数

a

2
n
也发散

…



…


…


…



…


…


名
…
姓
…

…


…



…


…



．


…

号
…
学
…


…


线




封
号


序密




过




超
号


班要
学


教
不




纸
题
卷


试
答


学
…
大
…
峡
．
三
…
…
…
…
…
…
…
…

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（


A
…

…
）


…

题号 一 二 三 四 总分




…

…

得分


…


名
…
注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方
姓
…

…

阅卷人 得分
一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的

…
代号A、B、C或D填入下表中．



…

题号



1 2 3 4 5 6 7 8

…
1．已知



．
a
与
b
答案



…
都是非

号
…
零向
量，且满足
abab
，则必有（ ）.
学
…

(A)
ab0
(B)
ab0
(C)
ab0
(D)
ab0


…


线
2.极限
lim(x
22
1


x0
y)sin

y0
x
2
y
2

( ).

封
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在
号


序密

3．下列函数中，
dff
的是( ).



过
（A）
f(x,y)xy
（B）
f(x,y)xyc

0
,c
0
为实数



（C）
f(x,y)x
2
y
2
（D）
f(x,y)e
xy


超
号


4．函数
f(x,y)xy(3xy)
，原点
(0,0)< br>是
f(x,y)
的( ).
班要
学


阅卷人 得分
（A）驻点与极值点 （B）驻点，非极值点
（C）极值点，非驻点 （D）非驻点，非极值点
教
不





5．设平面区域
D:(x1)
2
(y 1)
2
2
，若
I

x
纸
y
题
1

卷

d

，
D
4

试
答

I
xy

2


d

，I
xy
3

学
…
D
4

3
d

，则有（ ）.
D
4
（A）
I大
…
1
I
2
I
3
（B）
I
1
I
2
I
3
（C）
I
2
I
1
I
3
（D）
I
3
I
1
峡
I
．
三
…
2< br>
6．设椭圆
L
：
x
2
y
2
2< br>4

3
1
的周长为
l
，则
Ñ
…
L
(3x4y
2
)ds
（ ）.
(A)
l
(B)
3l
(C)
4l
(D)
12l

…

…
7．设级数

a
…
n
为交错级数，
a
n
0(n)
，则（ ）.
n1
…
(A)该级数收敛 (B)该级数发散
…
(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛
…
8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）.
n1
n1


2

（B）若级数
a
n
发散，则级数

a
n
也发散
n1
n1


（C）若级数
a
2
n
收敛，则级数
n
也收敛
n 1

a
n1

（D）若级数

|a
n
|
收敛，则级数
n1

a
2
n
也收敛
n1
阅卷人 得分
二、
填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．


1.直线


3x4y2z60
与
z
轴相交，则常数
a
为 .

x3yza0
2．设
f(x,y)ln(x
y
x
),
则
f
y

(1,0)
______ _____. 3．函数
f(x,y)xy
在
(3,4)
处沿增加最快的方向的方向 导数为 .
4．设
D:x
2
y
2
2x
，二重积分

(xy)d

= .
D
5．设
f

x

是连续函数，
 {(x,y,z)|0z9x
2
y
2
}
，
< br>f(x
2
y
2
)dv
在柱面坐标系下

的三次积分为 .
6.幂级数


(1)
n1
x
n
n!
的收敛域是 .
n1
7.将函数f(x)



1,

x0
以
2

为周期延拓后，其傅里叶级数在点
x

处收敛

1x
2
,0x


于 .

三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明 过程或
演算步骤）
1．设
uxf(x,
x
y
)
，其中
f
有连续的一阶偏导数，求
u
u
x
，
y
．
解：
2．求曲面
e
z
zxy3
在点
(2,1,0)
处的切平面方程及法线方程．
解：
3.交换积分次序 ，并计算二次积分


siny
0
dx

xy
dy
．
解：
4．设

是由曲面
zxy ,yx,x1
及
z0
所围成的空间闭区域，求
I
< br>xy
2
z
3
dxdydz
.

解： 5．求幂级数


nx
n1
的和函数
S(x)
，并求级数
n1


n
n1
2
n
的 和．

…



…


…


…



…


…


名
…
姓
…

…


…



…


…



．


…

号
…
学
…


…


线




封
号


序密




过




超
号


班要
学


教
不




纸
题
卷


试
答


学
…
大
…
峡
．
三
…
…
…
…
…
…
…
…
解：
阅卷人 得分

四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）
1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
解
2．计 算积分
Ñ
L
(x
2
y
2
)ds
，其中
L
为圆周
x
2
y
2
ax
(
a0
)．
解：
3．利用格林公式，计算曲线积分
I
Ñ
22
L
(xy)dx(x2xy)dy
，其中
L
是由抛物线
yx
2
和
xy
2
所围成的区域
D
的正向边界曲线．
4． 计算

xdS
，

为 平面
xyz1
在第一卦限部分.

解：
5．利用高斯公式 计算对坐标的曲面积分
蝌
dxdy
+
dydz
+
dzdx< br>，
S
其中

为圆锥面
z
2
x
2
y
2
介于平面
z0
及
z1
之间的部分的下侧 .
解：
2017学年春季学期
《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)
答案及评分标准
一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）
1．已知
a
与
b
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
都是非零向
答案
D A B B A D C D
量，且满足
abab
，则必有（D ）
(A)
ab0
； (B)
ab0
； (C)
ab0
； (D)
ab0
．
2.极限
lim(
22
1
x0
xy)sin
x
2
y< br>2

( A )
y0
(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在.
3．下列函数中，
dff
的是( B )；
（A）
f(x,y)xy
； （B）
f(x,y)xyc
0
,c
0
为实数
；
（C）
f(x,y)x
2
y
2
； （D）
f(x,y)e
xy
.
4．函数
f(x,y)xy( 3xy)
，原点
(0,0)
是
f(x,y)
的( B ).
（A）驻点与极值点； （B）驻点，非极值点；
（C）极值点，非驻点； （D）非驻点，非极值点.
5．设平面区域D：
(x1)
2
(y1)
2
2
，若
I

xy
1
d

，
I
xy
D
4
2


D< br>4
d

，
I
y
3


3
x
d

，则有（ A ）
D
4
（A）< br>I
1
I
2
I
3
； （B）
I
1
I
2
I
3
； （C）
I
2
I
1
I
3
； （D）
I
3
I
1
I
2
．
6．设椭圆
L
：
x
2
4

y
2
3
 1
的周长为
l
，则
Ñ
22
L
(3x4y)ds 
（D ）
(A)
l
； (B)
3l
； (C)
4l
； (D)
12l
．
7．设级数


a
n
为交错级数，
a
n
0(n)
，则（ C ）
n1
(A)该级数收敛； (B)该级数发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛．
8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ）

（A）若级数


a
n
发散，则级数
n1

a
2
n
也发散；
n1


（B）若级数
a
2< br>n
发散，则级数

a
n
也发散；
n1
n 1
（C）若级数


a
2
n


收敛，则级数
a
n
也收敛；
n1
n1
（D）若级数


|a
n
|
收敛，则级数
n1
< br>a
2
n
也收敛．
n1
二、
填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．
1.直线


3x4y2z60

x3yza0
与
z
轴相交，则常数
a
为 3 。
2．设
f(x,y) ln(x
y
x
),
则
f
y

(1,0 )
_______1_____
3．函数
f(x,y)xy
在
(3,4)
处沿增加最快的方向的方向导数为
2

4．设D:x
2
y
2
2x
，二重积分

(x y)d

=

．
D
5．设
f

x

是连续函数，
{(x,y,z)|0z9x
2< br>y
2
}
，

f(x
2
y
2
)dv
在柱面坐标系下

的三次积分为

2

39

2
0
d

0
d


0

f(

2
)d z

n
6.幂级数


(1)
n1
x
n1
n!
的收敛域是
(,)
.
7.函数
f(x)



1,

x0

,0x

，以
2

为周期延拓后，其傅里叶级数在点
x

处收敛于

1x
2

2
2
.

三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过 程或演
算步骤）
1．设
uxf(x,
x
u
u
y
)
，其中
f
有连续的一阶偏导数，求
x
，
 y
．
解：
u
x
fxf
x
1


y
f
2

………………4分

ux
2
y

y
2
f
2
< br> . ………………7分
2．求曲面
e
z
zxy3在点
(2,1,0)
处的切平面方程及法线方程．
解：令
F

x,y,z

e
z
zxy3
，………………2分
n(F
x
,F
y
,F
z
)(y,x,e
z
1)
，
n
(2,1,0)
(1,2,2)
，………………4分
所以在点
(2,1,0)
处的切平面方程为
(x2)2(y1)2z0
，
即
x2y2z40
；………………6分
法线方程为
x2< br>1

y1
2

z
2
. ………………7分
3.交换积分次序，并计算二次积分


0
dx


siny
x
y
dy
；
解：< br>

siny
0
dx


y
dy< br> =


0
dy

y
siny
x0
y
dx
………………4分
=


0
sinydy2
………………7分
4．设

是由曲面
zxy,yx,x1
及
z0
所围成的空间区域，求
I

xy
2
z
3
dxdydz


解：注意到曲面
zxy
经 过
x
轴、
y
轴，………………2分

=
{(x,y,z):0zxy,0yx,0x1}
………………4分
故
I

xy
2
z
3dxdydz


1
0
dx

xxy
23
1
0
dy

0
xyzdz
=
364
． ………………7分

5．求幂级数


nxn1
的和函数
S(x)
，并求级数
n1

n
1
2
n
的和．
n


解：
S(x)nx
n1
，
S(0)1
，
n1

由已知的马克劳林展式：
1< br>1
x


x
n
,|x|1
，……………… 2分
n1
有
S(x)(


x
n
)

(
1
1)

=
1
，
|x< br>n1
1x
(1x)
2
|1
，………………5分 

n

=
1n
=
1
S(
1
n1
2
n
2

n1
22
)
= 2 ………………7分
n1
2
四、综合解答题二（5个小题，每小题7分 ，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
解 设两个直角边的边 长分别为
x
，
y
，则
x
2
y
2
1
，周长
Cxy1
，
需求
Cxy1
在约束 条件
x
2
y
2
1
下的极值问题． ………………2分
设拉格朗日函数
L(x,y,

)xy1

(x< br>2
y
2
1)
，………………4分

F
x
12

x0,
令


F
y
12

y0,



x
2< br>y
2
1,
解方程组得
xy
2
2
为唯 一驻点， ………………6分
又最大周长一定存在，故当
xy
2
2
时有最大周长. ………………7分
2．计算积分
Ñ
L
(x
2
y
2
)ds
，其中
L
为圆周
x
2
y
2< br>ax
(
a0
)．
解：
L
的极坐标方程为 < br>
acos

，


2



2
；………………2分
则
ds

2< br>(


)
2
d

ad

，………………4分

3
所以
Ñ
(x
2
y
2
)ds

2
2
d



2
32

a
L



a


acos

d


22
2
． ………………7分
或解：
L
的形心
(x,y)(
a
2< br>,0)
，
L
的周长

a
，
Ñ
2 2
L
(xy)ds
=
Ñ
L
axds
=
ax

a
=

a
3
2

3． 利用格林公式，计算曲线积分
I
Ñ
L
(x
2
y
2
)dx(x2xy)dy
，其中
L
是
由抛物线
y x
2
和
xy
2
所围成的区域
D
的正向边界曲线 ．
解：
I
Ñ
(x
2
L
y
2
)dx(x2xy)dy



dxdy
………………3分
D



1x
0
dx< br>
x
2
dy
………………5分


1
3
………………7分
4． 计算

xdS
，

为平面
xyz1
在第一卦限 部分.

解：

在
xoy
面上的投影区域为
D< br>xy
:xy1(x0,y0)
，………………2分
又
: z1xy,
z
x
1,
z
y
1,故
dS3dxdy
，………………4分

所以
xdS3

xdxdy3

dx

D
xy
0
11x
0
xdy
3
. ………………7分
6
或解：由对称性，

xdS

113
(xyz)dSdS

3

3

65．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
蝌
dxdy
+
dydz
+
dzdx
，其中

为锥面
z
S
2
x< br>2
y
2
介于平面
z0
及
z1
之间的部 分的下侧。
解：补曲面
D:xy1,z1
（取上侧），………………2分
由高斯公式知
22
蝌
dxdy
+
dydz
+dzdx
＝0， ………………4分
S+
D
故
蝌
d xdy
+
dydz
+
dzdx

S
＝
-< br>＝

蝌
dxdy+dydz+dzdx

D
{x2
y
2
1}

dxdy
=


………………7分